李曉曉，孫付春，吳昊榮

(成都大學a.機械工程學院；b.電子信息與電氣工程學院，成都 610106)

0 引言

數(shù)控機床在現(xiàn)代工業(yè)中起著不可取代的作用，多軸數(shù)控機床因其加工復雜曲面的高度柔性被廣泛應用于機械制造行業(yè)[1]。目前，基于機床幾何誤差建模與辨識為基礎，再進行機床幾何誤差補償是提高機床精度的有效途徑。幾何誤差產(chǎn)生于機床的設計、制造和裝配階段，屬于先天性的靜態(tài)誤差，決定了機床的加工精度[2]。機床幾何誤差元素溯源作為機床幾何誤差建模與辨識的基礎，近年來已經(jīng)得到了廣泛關注，學者們利用全局靈敏度分析法和局部靈敏度分析法開展機床幾何誤差元素溯源研究[3-4]。局部靈敏度分析法以機床靜態(tài)常量的誤差建模為基礎，以幾何誤差元素作為分析變量，以空間誤差模型作為敏感度計算模型，分別對空間誤差模型中的X、Y、Z方向誤差分量作偏微分運算，得到靈敏度系數(shù)，進而溯源機床關鍵幾何誤差源[5]。LASEMI等[6]利用直接矩陣微分法對數(shù)控機床的空間誤差模型進行局部靈敏度分析，依據(jù)靈敏度系數(shù)將幾何誤差源劃分為重要與非重要誤差源。WANG等[7]根據(jù)局部靈敏度系數(shù)去除了非關鍵和線性相關的幾何誤差元素，簡化了基于球桿儀測量的幾何誤差元素辨識過程；武劍等[8]在局部靈敏度分析的基礎上，結合誤差貢獻度判定準則實現(xiàn)了機床關鍵幾何誤差元素溯源，為機床關鍵部件精度控制提供了新思路。全局靈敏度分析法的分析變量是機床幾何誤差元素，敏感度模型是空間誤差模型，采用統(tǒng)計方法確定幾何誤差在空間中的分布，利用幾何誤差元素對誤差模型的影響程度，從而來溯源機床關鍵幾何誤差源[9]。但全局靈敏度分析法的局限性在于：①機床誤差源的分布特征無法準確獲得；②概率分布要求大批量樣本，對于具體某臺機床誤差情況則不準確[10-11]。

目前，絕大部分學者只利用局部靈敏度分析法或全局靈敏度分析法對機床空間誤差元素溯源展開研究[3,5-7,12]，但是針對同一機床同時采用兩種靈敏度分析法將會獲得何種結果缺少研究；同時，兩種靈敏度分析法同時溯源出的幾何誤差元素能為精確找出機床關鍵幾何誤差元素提供理論支持。基于此，針對局部靈敏度分析法和全局靈敏度分析法，以某臥式加工中心為例，分別溯源機床關鍵幾何誤差元素，驗證兩種方法的適用性，準確溯源出機床的關鍵幾何誤差元素。

1 利用旋量理論建立3軸數(shù)控機床空間模型

3軸數(shù)控機床包含了21項幾何誤差元素(GEs)，其中18項位置相關幾何誤差元素(PDGEs)和3項位置無關幾何誤差元素(PIGEs)[3]。如表1所示，δ、ε分別表示線性誤差和轉角誤差。

表1 3軸數(shù)控機床幾何誤差元素

1.1 基于螺旋理論的多軸數(shù)控機床空間誤差建模方法

機床運動鏈劃分為刀具運動鏈和工件運動鏈，常被用于研究機床空間誤差[13]。機床坐標系下，將刀尖點的實際運動位置相對工件被切削點的實際運動位置的矢量差定義為機床空間誤差。利用螺旋理論分析運動鏈拓撲結構，推導各運動鏈運動學正解，構建基于全局坐標系下的空間誤差模型[14]。

圖1 機床工件運動連和刀具運動鏈

(1)

(2)

結合式(1)、式(2)，得理想狀態(tài)下的刀具坐標系相對于工件坐標系的齊次變化矩陣：

(3)

實際運動過程中，因PDGEs和PIGEs的綜合影響，切削點和刀尖點相對基坐標系原點將會發(fā)生偏移，對于單個運動軸而言，在運動過程中會產(chǎn)生6項PDGEs，將產(chǎn)生的運動誤差同樣用運動螺旋表示，那么理想運動螺旋到實際運動螺旋的變化便可看作是誤差運動的結果[15]。與齊次變換理論類似，將6項PDGEs對應的誤差運動矩陣相乘即可得到第i軸的最終PDGEs變換矩陣[15]，同理可得PIGEs變換矩陣，如式(6)和式(7)所示。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Sji為第i軸相對于第j軸的垂直度。

故實際狀態(tài)下的刀具坐標系相對于工件坐標系的齊次變化矩陣可表示為：

(8)

機床空間誤差包括位置誤差和姿態(tài)誤差[3]，設刀尖點相對于刀具坐標系的位置和方向向量分別為Rpt和Rot，將實際狀態(tài)與理想狀態(tài)基坐標系下刀尖點相對切削點的偏差定義為機床空間誤差ΔV，有：

(9)

式中，Perror為機床空間位置誤差；Oerror為機床空間姿態(tài)誤差。

1.2 臥式加工中心空間誤差建模

圖2為某型號的臥式加工中心結構及運動拓撲鏈，機床運動鏈包括工件運動鏈(床身-Z軸-工件)和刀具運動鏈(床身-X軸-Y軸-刀具)。在床身和工件上分別建立機床坐標系MCS和工件坐標系WCS。

(a) 加工中心結構 (b) 運動拓撲鏈圖2 臥式加工中心結構及運動拓撲鏈

根據(jù)基于螺旋理論的3軸數(shù)控機床空間誤差建模過程，可推導出如圖2所示臥式加工中心的空間誤差模型：

(10)

式中，Perror為刀尖點在工件坐標系的實際位置向量(3軸機床中通常僅考慮位置向量)；Oerror為刀尖點在工件坐標系的實際姿態(tài)向量。

(11)

(12)

(13)

(14)

最終可得圖2所示臥式加工中心的空間誤差模型：

(15)

1.3 幾何誤差元素辨識

基于“十二線法”測量原理[16]，使用雷尼紹XL系列激光干涉儀，進行機床幾何誤差辨識測量實驗，如圖3所示。機床工作行程為800 mm×600 mm×600 mm，實驗恒溫環(huán)境溫度為20±0.5 ℃。各運動軸的PDGEs辨識結果如圖4～圖6所示，PIGEs辨識結果如表2所示。

圖3 機床幾何誤差辨識測量實驗 圖4 X軸PDGEs辨識結果

圖5 Y軸PDGEs辨識結果 圖6 Z軸PDGEs辨識結果

表2 PIGEs辨識結果 (μm·m-1)

2 局部靈敏度分析法溯源機床關鍵幾何誤差元素

由臥式加工中心空間誤差模型可知，機床空間位置誤差與幾何誤差元素和運動軸運動位置相關，可將其表示為[8]：

ΔP=f(G,M)

(16)

式中，ΔP=(ΔPxΔPyΔPz)為機床空間位置誤差；G=(δxxδyxδzxεxxεyxεzxδxyδyyδzyεxyεyyεzyδxzδyzδzzεxzεyzεzzSxySyzSxz)為機床的21項幾何誤差元素；M=(x,y,z)為機床的運動位置。

由臥式加工中心空間誤差模型可知，F(xiàn)是變量G和M的連續(xù)可導函數(shù)，將其按一級泰勒級數(shù)展開后，可得：

(17)

式中，S=?f/?M為機床空間位置誤差對于21項幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)矩陣，如式(18)所示。

(18)

式(18)為臥式加工中心的誤差靈敏度矩陣，反映出當運動軸運動位置和幾何誤差元素產(chǎn)生變化時，對X、Y、Z方向空間位置誤差的影響程度。另外可從誤差靈敏度矩陣中方便得到各幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)Smi(m=x,y,z;i=1,2,3,…,21)。

2.1 關鍵幾何誤差元素辨識評定

誤差靈敏度矩陣是溯源機床關鍵幾何誤差元素的基礎。考慮到機床運動軸運動位置對各方向空間誤差的靈敏度系數(shù)的影響，對Smi針對運動位置進行積分，實現(xiàn)靈敏度系數(shù)全局化，以統(tǒng)一量綱、便于對比分析。在實際加工中，機床空間誤差直接影響機床加工精度，因此在溯源機床關鍵幾何誤差元素時，不僅需考慮運動軸運動位置，還需引入各幾何誤差元素的值。另外，統(tǒng)一機床關鍵幾何誤差元素的長度量與角度量，并將其無量綱化處理，會使溯源效果更佳。將各幾何誤差元素對機床實際加工精度的影響因子定義為誤差貢獻度，提出一則誤差溯源評定準則，其具體可寫作：

(19)

2.2 機床幾何誤差元素貢獻度分析

在分析圖2所示的臥式加工中心幾何誤差元素的誤差貢獻度時，需給出機床工作空間范圍(600 mm×600 mm×480 mm)和幾何誤差元素的辨識結果，如表2所示。臥式加工中心的21項幾何誤差元素的數(shù)值，可參考機床工作運動極限位置處的幾何誤差值，即將X/Y/Z軸的工作運動極限值代入表2中的各幾何誤差元素辨識結果中，即可得到各運動軸幾何誤差元素的估值，計算結果如表3所示。

表3 機床運動軸幾何誤差元素評估值

將表3中的機床運動軸幾何誤差元素評估值與靈敏度系數(shù)代入式(19)，可計算出如圖7所示的各部件誤差在臥式加工中心空間位置誤差上的貢獻度。

圖7 臥式加工中心空間位置誤差貢獻度

圖7的臥式加工中心空間位置誤差貢獻度分析結果顯示：21項幾何誤差元素對機床空間位置誤差的影響程度明顯不同；δzz的誤差貢獻度值最大，達13.42%，δzy次之，為13.01%；δxx、δyx、δzx、δxy、δyy、δyz、δxz、δyz、Sxy這9項幾何誤差元素的誤差貢獻度值相對較高；且上述11項幾何誤差元素的誤差貢獻度值總和占全部21項幾何誤差元素誤差貢獻度的92.386%，說明表明這些幾何誤差元素是機床關鍵幾何誤差元素。

3 全局靈敏度分析法溯源機床關鍵幾何誤差元素

基于機床空間誤差模型的全局靈敏度分析，本質(zhì)是求解機床各項幾何誤差元素對機床精度的固有影響程度。綜合考慮幾何誤差元素運動特性，借鑒正交試驗設計思想在臥式加工中心的工作空間中選取25個試驗點，設計多因素正交試驗和單因素參數(shù)試驗，對比試驗結果，以快速、準確溯源機床關鍵幾何誤差元素。通過正交試驗結果，分析試驗因素對結果的影響程度[2]。在臥式加工中心21項幾何誤差元素的正交試驗中，計算模型為機床位置誤差模型，可表示為：

(20)

正交試驗方差分析過程為：計算各因素對試驗誤差的離差平方和、自由度、平均離差平方和及F值；F檢驗。對于給定的顯著性水平α，根據(jù)F分布表，查找α水平下的臨界值Fα；通過比較Fj與Fα的大小，若Fj值大于Fα，則j因素對試驗結果有顯著影響，且偏差越大影響越顯著，反之無顯著影響。

借鑒正交試驗思想，綜合考慮幾何誤差元素與運動位置的關系以及試驗點的空間均布性，以X、Y、Z軸運動坐標選擇測點位置，選取5水平3因素，按照L25(56)正交表優(yōu)選25個試驗點，如表4所示。

表4 機床工作空間中試驗位置選取 (mm)

圖8 位置誤差正交試驗F值

為溯源機床關鍵幾何誤差元素，選取α=0.01/0.05，查詢F分布表得到等水平α下的臨界值Fα=4.37/2.84。若F值大于Fα，則幾何誤差元素對試驗結果有顯著影響，且偏差越大影響越顯著，反之無顯著影響。綜合位置誤差和姿態(tài)誤差正交試驗結果，得到各試驗點符合顯著性檢驗的幾何誤差元素。

圖8的位置誤差正交試驗結果顯示：不同試驗點的幾何誤差元素對位置誤差的影響程度明顯不同。試驗點1為機床原點，F(xiàn)值均很小，為全局最小F值點；試驗點25接近工作空間的極限位置，δyx、δyz的F值達到4 603.02和4 777.31，為全局最大F值點；試驗點13位于工作臺中心與Z軸極限的交點位置，δyx、δyz的F值為1 078.81、1 092.04，雖小于全局最大F值，但大于其他幾何誤差元素的F值。根據(jù)F分布表得到等水平α下的臨界值Fα=4.37/2.84，可以看出：機床不同工作位置處的關鍵幾何誤差元素溯源結果相同，符合顯著性檢驗的幾何誤差源所包含的幾何誤差元素項數(shù)也不同。因此需要計算各項幾何誤差元素在工作空間中各位置的F均值，以評估其對機床空間精度的影響程度，計算結果如圖9所示。CHENG等[11]指出單個誤差元素的靈敏度系數(shù)越高，對模型的影響越大，并且多個幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)之和靈敏度系數(shù)之和的80%以上，表明這些幾何誤差元素是關鍵的幾何誤差元素。因此通過將25個位置點出的全部21項幾何誤差元素取均值后，發(fā)現(xiàn)：δxx、δyx、δzx、δyy、δzy、εzy、δxz、δyz、δzz、εxz、Sxy和Syz，這幾項幾何誤差元素的正交試驗F值總和超過全部幾何誤差元素F值總和的80%，故將其作為臥式加工中心的關鍵幾何誤差元素，在機床設計和安裝調(diào)試時應予以重點關注。

圖9 位置誤差正交試驗F均值圖

由此得出，臥式加工中心的關鍵幾何誤差元素為：δxx、δyx、δzx、δyy、δzy、εzy、δxz、δyz、δzz、εxz、Sxy和Syz，包含3項定位誤差、5項直線度誤差、2項轉角誤差和2項垂直度誤差，共12項幾何誤差元素。

4 結論

通過對多軸數(shù)控機床關鍵幾何誤差元素溯源方法進行了深入研究，以某臥式加工中心機床為例，分別采用局部靈敏度分析法和全局靈敏度分析法溯源臥式加工中心關鍵幾何誤差元素。兩種方法中的誤差靈敏度系數(shù)的定義不同，機床的21項幾何誤差元素對臥式加工中心空間位置誤差的影響程度也不同；采用局部靈敏度分析法溯源出機床11項關鍵幾何誤差元素，采用全局靈敏度分析法溯源出機床12項幾何誤差元素。盡管兩種溯源方法得到的機床關鍵幾何誤差元素不同，但各運動軸的線性誤差均為機床關鍵誤差源，且對機床空間位置誤差具有顯著影響；另外，各運動軸的轉角誤差的靈敏度系數(shù)均較小，而垂直度誤差的溯源結果并不相同，有待進一步的分析研究。