趙沛雯，張達(dá)敏*，張琳娜，鄒誠誠

（1.貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025；2.貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽 550025）

0 引言

為了解決較為復(fù)雜的工程問題，大量群智能算法被相繼提出。群智能算法是指一類受生物群體行為啟發(fā)而設(shè)計(jì)的具有分布式智能行為特征的智能算法。目前已有的群智能算法包括模擬退火（Simulated Annealing，SA）算法［1］、雞群算法（Chicken Swarm Optimization，CSO）［2］、鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［3］、蝗蟲算法（Grasshopper Optimization Algorithm，GOA）［4］等。

禿鷹搜索算法（Bald Eagle Search optimization algorithm，BES）是馬來西亞學(xué)者Alsattar 等［5］在2020 年提出的一種新穎的、受自然啟發(fā)的元啟發(fā)式優(yōu)化算法，通過模擬禿鷹在狩獵魚類時(shí)的智能社會(huì)行為。與其他智能算法相比，BES 具有較強(qiáng)的全局搜索能力，能夠有效地解決各類復(fù)雜數(shù)值優(yōu)化問題。但是，BES 存在易陷入局部最優(yōu)、多樣性差等問題，尤其是在解決較為復(fù)雜的多峰函數(shù)問題上缺點(diǎn)更加明顯。目前，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)BES 的這些缺點(diǎn)，賈鶴鳴等［6］提出將萊維（Levy）飛行策略與模擬退火機(jī)制引入BES，增強(qiáng)局部搜索與全局收斂能力，同時(shí)將改進(jìn)的BES（Improved BES，IBES）用于優(yōu)化支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）學(xué)習(xí)器，并將這種融合模型應(yīng)用于封裝式特征選擇。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，IBES 能夠改善SVM 的性能，提高SVM 的效率和數(shù)據(jù)的分類精確度。

為了使算法加快收斂的同時(shí)能夠跳出局部最優(yōu)，本文引入了縱橫交叉策略（crisscross strategy）［7］以及黃金正弦算法（Golden Sine Algorithm，Gold-SA）［8］，并對(duì)搜索階段的位置公式進(jìn)行重新定義，提出一種融合黃金正弦算法和縱橫交叉策略的禿鷹搜索算法（BES with Golden Sine algorithm and Crisscross strategy，GSCBES）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，GSCBES 具有能夠平衡全局搜索和局部搜索能力，并且在收斂速度和精度方面均有所提升。使用GSCBES 對(duì)反向傳播（Back Propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［9］的權(quán)值和閾值進(jìn)行尋優(yōu)，并將優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于空氣質(zhì)量的預(yù)測(cè)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，預(yù)測(cè)精確度較優(yōu)化前有所提高。

1 禿鷹搜索算法

禿鷹遍布于北美洲地區(qū)，飛行中視力敏銳，觀察能力優(yōu)秀。以捕食鮭魚為例，禿鷹首先會(huì)基于個(gè)體和種群到鮭魚的濃度來選擇搜索空間，朝一個(gè)特定區(qū)域飛行；其次，在選定搜索空間內(nèi)搜索水面，直到發(fā)現(xiàn)合適的獵物；最后，禿鷹會(huì)逐漸改變飛行高度，快速向下俯沖，從水中成功捕獲鮭魚等獵物。禿鷹搜索算法模擬禿鷹在狩獵過程中的行為，以證明狩獵各階段的協(xié)同序列是合理的。相應(yīng)地，該算法可以分為三個(gè)部分，即選擇搜索空間、在選擇的搜索空間內(nèi)搜索和俯沖。

1.1 選擇階段

在選擇階段，禿鷹在選定的搜索空間內(nèi)識(shí)別并選擇最佳區(qū)域（食物量大的區(qū)域），在該區(qū)域內(nèi)它們可以捕食獵物。式（1）從數(shù)學(xué)上呈現(xiàn)了這種行為。

其中：α∈[1.5，2]是控制位置變化的參數(shù)；r為區(qū)間（0，1）的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；Pbest表示禿鷹當(dāng)前根據(jù)最佳位置選擇的搜索空間被識(shí)別；Pmean表示禿鷹之前搜索的所有位置的平均分布；Pi表示第i只禿鷹的位置。

1.2 搜索階段

在搜索階段，禿鷹在選定的搜索空間內(nèi)搜索獵物，并在螺旋空間內(nèi)向不同方向移動(dòng)以加速搜索。螺旋飛行數(shù)學(xué)模型采用極坐標(biāo)方程進(jìn)行位置更新，具體計(jì)算公式如下：

其中：a∈(5，10) 表示中心點(diǎn)與搜索點(diǎn)之間的夾角；R∈(0.5，2)表示搜索周期數(shù)；θ(i)和r（i）分別為螺旋方程的極角與極徑；rand為（0，1）的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；x（i）與y（i）表示極坐標(biāo)下的禿鷹位置，取值均為（-1，1）。由此可得到在極坐標(biāo)下禿鷹位置更新的公式：

其中：Pi+1為禿鷹下一次的位置。

1.3 俯沖捕食階段

俯沖捕食階段，禿鷹從搜索空間的最佳位置擺動(dòng)到目標(biāo)獵物，所有的搜索點(diǎn)也向最佳點(diǎn)移動(dòng)。該運(yùn)動(dòng)同樣也使用極坐標(biāo)的方式進(jìn)行描述，具體計(jì)算公式如下：

由此可得到禿鷹捕食獵物的位置更新公式為：

其中：c1和c2均為區(qū)間［1，2］的隨機(jī)數(shù)，用于增加禿鷹向最佳點(diǎn)和中心點(diǎn)移動(dòng)的強(qiáng)度。

2 本文算法

為了克服BES 收斂速度慢、精確度不高等缺點(diǎn)，本文對(duì)搜索階段的禿鷹位置更新公式設(shè)置權(quán)重并引入縱橫交叉策略對(duì)禿鷹搜索算法進(jìn)行改進(jìn)。

2.1 縱橫交叉策略

禿鷹搜索算法的空間選擇階段，主要利用隨機(jī)搜索的先驗(yàn)信息乘以α來更新位置，然后在前一個(gè)搜索區(qū)域附近選擇另一個(gè)不同的搜索區(qū)域，此時(shí)若前一個(gè)搜索區(qū)域已經(jīng)成為局部最優(yōu)，那么下一次的搜索就會(huì)陷入局部最優(yōu)造成“早熟”，導(dǎo)致算法收斂精度降低。為了防止禿鷹個(gè)體“早熟”，本文在個(gè)體俯沖捕食階段之后引入了縱橫交叉策略［7］，該策略能夠提高解決復(fù)雜優(yōu)化問題的全局搜索能力，從而提高收斂速度和求解精度。

2.1.1 水平交叉

水平交叉指對(duì)兩個(gè)不同禿鷹之間在所有維度上操作的算術(shù)交叉，使不同個(gè)體之間能夠相互學(xué)習(xí)，增大全局搜索能力，防止種群過早收斂，從而提高收斂速度和搜索精度。在執(zhí)行水平交叉策略之前，將禿鷹個(gè)體兩兩不重復(fù)地設(shè)置為父代個(gè)體X（i）和X（j），并以交叉概率Ph進(jìn)行算術(shù)交叉，為了盡可能多地找到解決方案，通常交叉概率設(shè)置為1。父代交叉后通過式（16）～（17）產(chǎn)生子代個(gè)體：

其中：q1、q2均為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；c1和c2均為［-1，1］的隨機(jī)數(shù)；X（i，d）、X（j，d）分別表示為第d維的父代X（i）和X（j）；分別表示X（i，d）和X（j，d）通過水平交叉產(chǎn)生的第d維子代。生成的子代與父代之間進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，最終保留最優(yōu)個(gè)體。

2.1.2 垂直交叉

標(biāo)準(zhǔn)BES 在迭代后期易陷入局部最優(yōu)，往往是因?yàn)榉N群在更新過程中某些個(gè)體在某一維度陷入局部最優(yōu)所造成的。垂直交叉是在兩個(gè)不同維度之間對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行運(yùn)算的算術(shù)交叉，在整個(gè)迭代過程中，垂直交叉搜索的父種群來自水平交叉的優(yōu)勢(shì)解的種群，能夠防止種群陷入局部最優(yōu)；同時(shí)每個(gè)垂直交叉操作只產(chǎn)生一個(gè)子代，以便為停滯維度提供跳出局部最優(yōu)的機(jī)會(huì)，而不破壞另一個(gè)可能是全局最優(yōu)的維度。對(duì)個(gè)體i的第d1維和第d2維進(jìn)行垂直交叉，通過式（18）得到后代個(gè)體：

其中：q為［0，1］上的隨機(jī)數(shù)：為父代X（i）在第d1維和第d2維進(jìn)行垂直交叉產(chǎn)生的子代。垂直交叉產(chǎn)生的子代個(gè)體與父代進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，保留適應(yīng)度較優(yōu)的個(gè)體。

2.2 基于慣性權(quán)重的位置更新

在標(biāo)準(zhǔn)的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［10］中，對(duì)于位置更新方程，目前較多采用線性遞減權(quán)值（Linearly Decreasing Weight，LDW）策略，通過引入動(dòng)態(tài)權(quán)值ω獲得比固定值更好的尋優(yōu)結(jié)果。

其中：tmax為最大迭代次數(shù)；ωini為慣性權(quán)重初始值，ωend為慣性權(quán)重最終值。

受此啟發(fā)，本文提出一種基于慣性權(quán)重的禿鷹位置更新公式，用于更新搜索階段的位置公式，賦予禿鷹能夠調(diào)整全局和局部搜索的能力，以提高標(biāo)準(zhǔn)BES 的性能。

其中：b1∈[0，1]為群體交流系數(shù)；b2∈[0，1]為個(gè)體記憶系數(shù)；通常ωini取0.9，ωend取0.4。

2.3 黃金正弦捕食機(jī)制

黃金正弦算法（Golden-SA）［8］是一種數(shù)學(xué)啟發(fā)算法，該算法是受正弦的啟發(fā)構(gòu)建的。在該算法中，隨機(jī)個(gè)體的數(shù)量與每個(gè)維度上均勻分布的搜索代理的數(shù)量相同。在Golden-SA的位置更新中引入了黃金分割系數(shù)，黃金分割能夠縮小搜索范圍，只在能夠產(chǎn)生最優(yōu)解的空間進(jìn)行搜索，從而提高了算法的收斂速度，使算法具有較強(qiáng)的局部開發(fā)能力。受文獻(xiàn)［11］啟發(fā)，本文將Golden-SA 作為局部算子引入到俯沖捕食階段的位置更新公式中，使算法的尋優(yōu)空間更全面，提高算法的尋優(yōu)速度以及求解精度。同時(shí)利用Golden-SA 中的r1、r2參數(shù)能夠縮小搜索空間，指引禿鷹個(gè)體快速向種群最優(yōu)個(gè)體靠近，降低算法陷入局部最優(yōu)的可能性。具體的位置更新公式如下：

其中：r1為［0，2π］的隨機(jī)數(shù)；r2為［0，π］的隨機(jī)數(shù)；x1=-π+(1-τ)*2π，x2=-π+τ*2π 是根據(jù)黃金分割系數(shù)τ（τ=而得到的系數(shù)。這些系數(shù)縮小了搜索空間，允許當(dāng)前值接近理想值。

2.4 算法步驟

綜上所述，GSCBES 的步驟如下：

Step1 設(shè)置GSCBES 的相關(guān)參數(shù)：種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)tmax，搜索維度dim，搜索范圍ub、lb。

Step2 計(jì)算種群中每個(gè)禿鷹個(gè)體的適應(yīng)度值，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的大小排序，標(biāo)記出全局最優(yōu)值Pbest。

Step3 根據(jù)全局最優(yōu)值Pbest的位置進(jìn)行搜索空間的選擇，同時(shí)利用式（1）進(jìn)行位置更新。

Step4 選取完搜索空間之后使用螺旋移動(dòng)搜索，禿鷹個(gè)體在搜索空間搜索獵物，利用式（21）進(jìn)行位置更新。

Step5 禿鷹俯沖捕食，利用式（22）進(jìn)行位置更新。

Step6 引入縱橫交叉策略，防止算法陷入局部最優(yōu)。

Step7 判斷是否達(dá)到結(jié)束條件，如果達(dá)到則輸出最優(yōu)結(jié)果，否則重復(fù)步驟Step2～6。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了更加全面地驗(yàn)證本文算法性能，同時(shí)驗(yàn)證每個(gè)改進(jìn)策略的有效性，本文的仿真實(shí)驗(yàn)分為5 個(gè)部分：

1）將GSCBES 與標(biāo)準(zhǔn)BES［5］以及IBES［6］比較，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析GSCBES 的有效性和可行性；

2）將GSCBES 與基于慣性權(quán)重位置更新的GSCBES1、融入黃金正弦算法的GSCBES2、結(jié)合縱橫交叉策略的GSCBES3 進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證不同改進(jìn)策略的可行性；

3）將GSCBES 與 模擬退火（SA）算 法［3］、粒子群優(yōu)化（PSO）算法［10］、融合精英反向和縱橫交叉的WOA（Elite opposition-based and Crisscross optimization for WOA，ECWOA）［12］進(jìn)行比較，以驗(yàn)證GSCBES 的優(yōu)越性；

4）通過Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證GSCBES 與其他算法之間的顯著性差異；

5）通過在CEC2014 基準(zhǔn)函數(shù)中選取部分單峰、多峰、混合復(fù)合類型的函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化測(cè)試，以驗(yàn)證GSCBES 的可行性和魯棒性。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了驗(yàn)證本文提出的GSCBES 的性能，本文選取如表1所示的11 個(gè)Benchmark 函數(shù)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其中，f1～f7為單峰函數(shù)，f8～f11為多峰函數(shù)。單峰函數(shù)用于測(cè)試算法的收斂速度和收斂精度；多峰函數(shù)由于具有多個(gè)局部極值，常用來測(cè)試算法跳出局部最優(yōu)的能力以及全局搜索的能力［13］。在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)之前，為了使實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有公正性和客觀性，將所有算法的規(guī)模設(shè)置為30，最大迭代次數(shù)為1 000。GSCBES、BES、IBES、ECWOA、PSO 以及SA 的其他相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

表1 11個(gè)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Eleven test functions

表2 不同算法的參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameter setting of different algorithms

3.2 與標(biāo)準(zhǔn)BES比較

將標(biāo)準(zhǔn)BES 與GSCBES 在空間位數(shù)dim=30 的條件下對(duì)11 個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行求解，并通過最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)值以及單詞運(yùn)行耗時(shí)t指標(biāo)評(píng)估算法效能。表3 為算法在11 個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30 次的結(jié)果。

標(biāo)準(zhǔn)差反映了算法的穩(wěn)定性和魯棒性，而平均值則反映了算法收斂速度。如表3 所示，在單峰函數(shù)f1～f7中，對(duì)于函數(shù)f1～f4，GSCBES 除了能尋到函數(shù)理論最優(yōu)值0 之外，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差也均為0，表明相較于BES，GSCBES 具有更高的收斂精度且尋優(yōu)結(jié)果穩(wěn)定；對(duì)于函數(shù)f5和f7，GSCBES 雖沒有尋到理論值0，但不論是平均值還是標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)BES，由此可得GSCBES 具有更高的尋優(yōu)精度且尋優(yōu)結(jié)果更穩(wěn)定；對(duì)于函數(shù)f6，雖未尋到理論值，但與標(biāo)準(zhǔn)BES 相比，平均值相差21個(gè)數(shù)量級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)差相差20 個(gè)數(shù)量級(jí)，這些均表明GSCBES 能夠得到更優(yōu)的結(jié)果且收斂速度明顯提升。

在多峰函數(shù)f8～f11中，對(duì)于函數(shù)f8，與標(biāo)準(zhǔn)BES 相比，GSCBES 具有較優(yōu)的穩(wěn)定性；對(duì)于函數(shù)f10～f11，GSCBES 雖沒有尋到理想最小值，但與BES 相比，具有更高的收斂精度和尋優(yōu)結(jié)果的質(zhì)量，其中f10的標(biāo)準(zhǔn)值為0，表明GSCBES 具有更高的穩(wěn)定性；對(duì)于f9，GSCBES 尋到理想最小值。

總之，對(duì)于11 個(gè)測(cè)試函數(shù)，相較于標(biāo)準(zhǔn)BES，GSCBES 具有更高的全局搜索能力和魯棒性，能夠跳出局部最優(yōu)。

從表3 中還可以看出，不論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，GSCBES 單次運(yùn)行的時(shí)間均比標(biāo)準(zhǔn)BES 長，這是由于在BES中引入本文提出的3 種改進(jìn)策略后，算法搜索區(qū)域更廣，找到的解更多，從而導(dǎo)致算法尋優(yōu)時(shí)間變長，但在其余3 項(xiàng)指標(biāo)方面，GSCBES 均有明顯提高。

表3 GSCBES與BES測(cè)試結(jié)果的比較Tab.3 Comparison of GSCBES and BES test results

3.3 不同改進(jìn)策略比較

將GSCBES 與基于慣性權(quán)重位置更新的GSCBES1、融入黃金正弦算法的GSCBES2、結(jié)合縱橫交叉策略的GSCBES3進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證不同策略的可行性。算法參數(shù)與3.2節(jié)相同。表4 為算法獨(dú)立運(yùn)行30 次的仿真結(jié)果。

由表4 可知，對(duì)于f1～f4，GSCBES 的最優(yōu)值、平均值與標(biāo)準(zhǔn)差均能夠達(dá)到理論值；對(duì)于函數(shù)f5～f7，GSCBES 不論是在尋優(yōu)精度還是速度等方面均有顯著提升；對(duì)于f8，雖然GSCBES 在其他項(xiàng)指標(biāo)未優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)BES，但在標(biāo)準(zhǔn)值方面有所提升，表明GSCBES 在穩(wěn)定性方面優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)BES。

具體地，GSCBES1 和GSCBES2 對(duì)于函數(shù)f1～f4、f6的有效性有顯著影響，從最優(yōu)值、平均值與標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，基于慣性權(quán)重位置更新的改進(jìn)策略和融入黃金正弦算法的改進(jìn)策略能夠有效地提高算法尋優(yōu)能力以及收斂精度；對(duì)于函數(shù)f9和f12，這兩種改進(jìn)策略均提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力。GSCBES3 對(duì)于函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果是3 種改進(jìn)策略中效果較差的，但其在收斂精度方面相較于標(biāo)準(zhǔn)BES 也得到了提升，尤其對(duì)于函數(shù)f8，在穩(wěn)定性方面有更顯著的優(yōu)化。從表4 的仿真結(jié)果來看，無論在單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)中，融入3 種改進(jìn)策略的GSCBES 有效地提高了收斂速度、收斂精度以及穩(wěn)定性。

表4 不同策略的結(jié)果比較Tab.4 Comparison of results of different strategies

從單次運(yùn)行耗時(shí)上來看，相同維度下，基于慣性權(quán)重位置更新的GSCBES1 比標(biāo)準(zhǔn)BES 耗時(shí)短，表明加入慣性權(quán)重之后增加了算法全局搜索能力；而融入黃金正弦算法的GSCBES2 和結(jié)合縱橫交叉策略的GSCBES3 均比標(biāo)準(zhǔn)BES 耗時(shí)長，這是因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)BES 中分別加入這兩種策略后，找到的解更多，從而導(dǎo)致尋優(yōu)時(shí)間變長。

為了從多樣性的角度驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性，圖1 給出了標(biāo)準(zhǔn)BES、GSCBES 和3 種改進(jìn)策略在相同維度dim=30 條件下的收斂曲線。從圖1 可以看出，無論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，GSCBES 都具有較高的收斂速度和收斂精度。其中：圖1（a）～（c）為單峰函數(shù)的收斂曲線，可以看出GSCBES1和GSCBES2 具有更高的收斂精度以及更快的尋優(yōu)速度，GSCBES3 是3 個(gè)改進(jìn)策略中尋優(yōu)效果較差的，但其尋優(yōu)精度同樣比BES 高；圖1（d）～（f）為多峰函數(shù)的收斂曲線，可以看出，3 種改進(jìn)策略算法的收斂曲線均在BES 的收斂曲線之下，且下降快，說明改進(jìn)算法在相同維度下的收斂速度和收斂精度均有顯著提高。綜上所述，以上3 種改進(jìn)策略對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BES 的收斂性、魯棒性等方面均有顯著影響。

圖1 不同改進(jìn)策略下的收斂曲線對(duì)比Fig.1 Comparison of convergence curves under different improvement strategies

3.4 與其他群智能算法的比較

將GSCBES 與SA［3］、PSO［10］、IBES［6］、ECWOA［12］進(jìn)行比較，分別在dim=10，30，200 的條件下對(duì)11 個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，獨(dú)立運(yùn)行30 次的結(jié)果如表5 所示。由表5 可知，相同維度下，PSO 的單次運(yùn)行耗時(shí)最短，ECWOA 和SA 次之，GSCBES 第三，IBES 耗時(shí)最長。這是因?yàn)橥琍SO、SA 以及ECWOA 相比，GSCBES 在基本算法中加入了3 種改進(jìn)策略之后，算法的搜索范圍擴(kuò)大，尋找到的解增多，導(dǎo)致尋優(yōu)時(shí)間變長。加入慣性權(quán)重后提升了算法全局搜索能力，從而使算法的收斂速度得到提高。雖然PSO 在單次運(yùn)行耗時(shí)上最短，但其尋優(yōu)精度同SA 相差不大，且兩者的尋優(yōu)結(jié)果相對(duì)較差。ECWOA 和IBES 的收斂精度是4 種對(duì)比算法中較高的，但GSCBES 的收斂速度和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于其他4 種算法。

表5 各群智能算法在不同維度下的結(jié)果比較Tab.5 Comparison of results of different swarm intelligence algorithms in different dimensions

從縱向數(shù)據(jù)來看，PSO 的尋優(yōu)效果最差；SA 次之；而ECWOA 只對(duì)f9求解時(shí)才能達(dá)到理論值，IBES 只對(duì)函數(shù)f1、f3和f9求解時(shí)能夠?qū)さ嚼碚撝?；雖然對(duì)于函數(shù)f5和f9，GSCBES的尋優(yōu)結(jié)果并不是最好的，但其相較于其他函數(shù)不僅在收斂速度方面有所提升，同時(shí)也提高了算法穩(wěn)定性，尤其是f1～f4、f9，不僅能尋到理論值，同時(shí)穩(wěn)定性方面也有明顯的提升。

從橫向數(shù)據(jù)來看，當(dāng)維度dim從10 到30 再到200，對(duì)于函數(shù)f1～f3、f7，除ECWOA 外，其他算法的求解精度均有所下降，這是由于隨著維度的增加，函數(shù)復(fù)雜度也增加，從而尋優(yōu)時(shí)需要做更多的調(diào)整，然而GSCBES 的尋優(yōu)結(jié)果仍然是最優(yōu)。

對(duì)于f4、f6，算法的求解精度和穩(wěn)定性均有所提升，但相較于4 種對(duì)比算法，GSCBES 不論是求解精度還是穩(wěn)定性都是最高的。對(duì)于f5，隨著維度的增加，5 種算法的尋優(yōu)能力均有所提升，雖然GSCBES 的尋優(yōu)結(jié)果沒有IBES 好，但其在耗時(shí)上低于IBES，表明本文算法的全局搜索能力以及收斂速度比IBES 更優(yōu)。對(duì)于f8，PSO 的收斂速度優(yōu)于GSCBES，但其穩(wěn)定性和魯棒性不如GSCBES；雖然IBES 的標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)于GSCBES，但其耗時(shí)遠(yuǎn)多于GSCBES。對(duì)于f9，所有算法的收斂速度和魯棒性隨著維度的增加均有所下降，但相較于4 種比較算法，GSCBES 的求解精度仍然最高。對(duì)于f10，除ECWOA 外，其余4 種算法不論是求解速度還是穩(wěn)定性方面均有所上升，其中GSCBES 和IBES 的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差雖一樣，但在耗時(shí)上GSCBES 比IBES 短，表明在保證尋優(yōu)結(jié)果的同時(shí)GSCBES 能夠快速跳出局部最優(yōu)。對(duì)于f11，除ECWOA和SA 外，其余算法的求解精度均有所上升，其中GSCBES 不論是穩(wěn)定性還是尋優(yōu)能力均是最優(yōu)的，從而驗(yàn)證了GSCBES在低維和高維條件下均有更好的求解能力。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)本文算法與其他算法之間是否有顯著的區(qū)別，驗(yàn)證本文算法的穩(wěn)定性，使用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)用作非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)以確定結(jié)果，其決定了兩個(gè)樣本之間的差異。假設(shè)H0：兩種算法之間沒有明顯區(qū)別；H1：兩種算法之間有明顯區(qū)別。當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果R＜0.05 時(shí)，拒絕零假設(shè)，此時(shí)說明算法之間有顯著的區(qū)別；當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果R＞0.05 時(shí)，接受零假設(shè)，此時(shí)說明算法之間并無顯著的區(qū)別。

表6 為在相同維度dim=30 的條件下，GSCBES 與其他算法對(duì)比的秩和檢驗(yàn)結(jié)果。其中“R”表示檢驗(yàn)結(jié)果；“W”為顯著判斷結(jié)果；由于最佳算法不能與自身進(jìn)行比較，故表6 中標(biāo)記為“NA”，即表示無法進(jìn)行顯著性的判斷；“+”表示GSCBES 比其他算法更具顯著性；“-”表示GSCBES 的尋優(yōu)能力低于其他算法；“=”表示GSCBES 與其他算法的性能并無明顯的差異。

表6 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果Tab.6 Results of Wilcoxon rank sum test

從表6 可以看出，絕大部分的R 遠(yuǎn)小于0.05，相應(yīng)的W值為“+”。因此，總體上GSCBES 與其他8 種算法間具有顯著性差異，表明GSCBES 對(duì)于其他算法具有更高的顯著優(yōu)勢(shì)，即有更好的尋優(yōu)能力。

3.6 CEC2014基準(zhǔn)函數(shù)上測(cè)試

為了進(jìn)一步驗(yàn)證GSCBES 的穩(wěn)定性和魯棒性，本文在CEC2014 測(cè)試函數(shù)中選取部分單峰函數(shù)（Unimodal Function，UM）、多峰函數(shù)（Multimodal Function，MF）、混合函數(shù)（Hybrid Function，HF）和復(fù)合函數(shù)（Composition Function，CF）進(jìn)行優(yōu)化求解。選取的部分函數(shù)如表7 所示，本文實(shí)驗(yàn)種群規(guī)模為30，迭代次數(shù)為1 000，維度30。

表7 CEC2014測(cè)試函數(shù)Tab.7 CEC2014 test functions

表8 整理了部分CEC2014 測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次后各算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于CEC2014 函數(shù)具有復(fù)雜的表征特征，因此所有算法都較難尋到函數(shù)最優(yōu)值［14］。由表8 可知，對(duì)于CEC01，與GSCBES1 相比，GSCBES 的穩(wěn)定性略差，但其收斂速度最優(yōu)。對(duì)于多峰函數(shù)，相較于PSO，GSCBES 的平均值略差，但其穩(wěn)定性和魯棒性方面最優(yōu)。在混合和復(fù)合函數(shù)中，GSCBES 的尋優(yōu)結(jié)果更接近理論值，且穩(wěn)定性方面也是最優(yōu)的，表明GSCBES 具有良好的有效性和魯棒性。

表8 不同算法在CEC2014測(cè)試函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果比較Tab.8 Comparison of optimization results of different algorithms on CEC2014 test functions

4 基于GSCBES的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是目前使用頻率較高的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，根據(jù)誤差來進(jìn)行反向傳播。但在傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，網(wǎng)絡(luò)的閾值和初始權(quán)重值隨機(jī)產(chǎn)生，使BP 存在易陷入局部最優(yōu)的缺陷，這會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的精確度有所影響［15］。針對(duì)這一缺陷，本文通過引入融合黃金正弦算法和縱橫交叉策略的禿鷹搜索算法GSCBES 初始化網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)值和閾值，從而提高BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精確度，并將優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于空氣質(zhì)量的預(yù)測(cè)。

4.1 初始化工作

本文使用的數(shù)據(jù)源于加州大學(xué)歐文分校（University of California Irvine）提出的用于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)庫中針對(duì)部署在意大利城市現(xiàn)場(chǎng)的氣體多傳感器設(shè)備的每小時(shí)的平均響應(yīng)記錄和氣體濃度［16］。選擇數(shù)據(jù)前1 900 個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后100 個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，并對(duì)提取到的數(shù)據(jù)集采用最大最小法［17］進(jìn)行歸一化處理。

由于過多的隱含層會(huì)使網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算量增加，所以研究中常選用三層網(wǎng)絡(luò)，即只含有單層隱含層［18］。在構(gòu)建BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)中，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能有很大的影響，若節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)獲取的有用信息就少；若節(jié)點(diǎn)數(shù)過多，不僅增加訓(xùn)練時(shí)間，還可能出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象，使網(wǎng)絡(luò)的泛化能力下降［19］。因此本文利用經(jīng)驗(yàn)式（23）來確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

其中：N為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；m為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；n為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；a∈[1，10]，為常數(shù)。

為了檢驗(yàn)不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)下網(wǎng)絡(luò)模型的性能，本文使用均方誤差（Mean Square Error，MSE）和平均絕對(duì)百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）這兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行仿真評(píng)估。其中MSE 是一種衡量“平均誤差”的常見方法，能夠確定數(shù)據(jù)的離散程度，均方差誤差越小，則表明預(yù)測(cè)模型可以獲得更好的精度；MAPE 指的是所有單個(gè)觀測(cè)值和真實(shí)值的絕對(duì)偏差百分比，與比例無關(guān)，可用于不同比例的預(yù)測(cè)［20］。表9 為不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下網(wǎng)絡(luò)的MSE 和MAPE，由表9 可以看出，節(jié)點(diǎn)數(shù)為4 時(shí)，MSE 和MAPE 均取得了最小值，因此，最終得到2-4-1 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

表9 不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)下的預(yù)測(cè)誤差Tab.9 Prediction errors under different hidden layer node numbers

在構(gòu)建完網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之后，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。其中，學(xué)習(xí)率lr通常取值為0～1，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳播中幫助網(wǎng)絡(luò)避免陷入局部極小，找到全局最小值；然而學(xué)習(xí)率設(shè)置過低會(huì)使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度慢，過高則會(huì)使網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象［18］。本文比較了隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為4 時(shí)，不同學(xué)習(xí)率和精確度下的預(yù)測(cè)誤差，結(jié)果如表10 所示。由表10 可知，學(xué)習(xí)率和精確度均取0.01 時(shí)的預(yù)測(cè)誤差值較小。最后利用GSCBES 初始化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的閾值和權(quán)值，從而提高網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的精確度和收斂速度。

表10 不同學(xué)習(xí)率及精確度下的預(yù)測(cè)誤差Tab.10 Prediction errors at different learning rates and accuracies

4.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型仿真與分析

圖2 為基于GSCBES 的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（GSCBES-BP）與原始BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（以下簡記為BP）、基于PSO 的BP（PSO-BP）的誤差比較結(jié)果。通過圖2 可直觀地看出，相較于原始BP，GSCBES-BP 利用GSCBES 得到的最優(yōu)個(gè)體來初始化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的閾值和權(quán)值，同時(shí)將MSE 作為禿鷹個(gè)體的適應(yīng)度值，克服了原始BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于隨機(jī)初始化權(quán)重和閾值而導(dǎo)致的精確度不高、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。同時(shí)由于GSCBES 中引入了黃金正弦算法和縱橫交叉策略，使算法能夠跳出局部最優(yōu)，從而提高收斂速度和精度，這也使GSCBES-BP 經(jīng)過訓(xùn)練之后得到的誤差要小于PSO-BP 的誤差。

圖2 3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)誤差對(duì)比Fig.2 Comparison of prediction errors of three neural network models

為了更全面地說明GSCBES-BP 優(yōu)于原始BP 和PSO-BP，本文還使用平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）進(jìn)行對(duì)比。其中MAE 是一種線性分?jǐn)?shù)，所有個(gè)體差異在平均值上的權(quán)重都相等，不存在誤差之間正負(fù)抵消的問題，比平均誤差更能表明預(yù)測(cè)值的真實(shí)水平；RMSE 對(duì)極大或極小誤差十分敏感，可以很好地反映預(yù)測(cè)的精確度［21］。表11 為原始BP、PSO-BP以及于GSCBES-BP 在4 種指標(biāo)下的仿真結(jié)果。由于GSCBES提高了收斂速度和精度，并且能夠跳出局部最優(yōu)值，它的4項(xiàng)指標(biāo)值均小于PSO-BP；并且，由于GSCBES-BP 是將最優(yōu)個(gè)體作為模型的初始化權(quán)值和閾值，使模型的預(yù)測(cè)精度得到提高，因此它的4 項(xiàng)指標(biāo)的值均優(yōu)于原始BP，同時(shí)也表明本文提出的優(yōu)化方式效果較好。

表11 GSCBES-BP、PSO-BP與BP的結(jié)果對(duì)比Tab.11 Comparison of results of GSCBES-BP，PSO-BP and BP

5 結(jié)語

本文在標(biāo)準(zhǔn)禿鷹搜索算法的基礎(chǔ)上引入新的基于慣性權(quán)重的位置更新公式、縱橫交叉策略以及黃金正弦算法，提出改進(jìn)的禿鷹搜索算法GSCBES，它能夠跳出局部最優(yōu)，具有平衡全局搜索和局部搜索能力。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，GSCBES 在求解精度和收斂速度上都明顯優(yōu)于對(duì)比算法SA、IBES、PSO 和ECWOA，同時(shí)提升了算法的穩(wěn)定性和魯棒性。將GSCBES 應(yīng)用于初始化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，同時(shí)對(duì)空氣質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于GSCBES-BP 的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的均方誤差等結(jié)果均明顯優(yōu)于PSO-BP 和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。在后續(xù)的研究中，計(jì)劃將改進(jìn)算法應(yīng)用到通信系統(tǒng)的頻譜分配問題中，進(jìn)一步驗(yàn)證CSCBES 算法的性能。