高安安，胡愛花，江正仙

（江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122）

0 引言

隨著通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)越來越受到重視，并廣泛應(yīng)用于同步控制［1-3］、機(jī)器人協(xié)同［4］、傳感器網(wǎng)絡(luò)［5-6］、無人機(jī)編隊［7］控制等方面，其中，一致性問題是多智能體系統(tǒng)研究的熱點問題，也是根本性問題。

在一致性問題中，多智能體系統(tǒng)的安全一致性問題成為關(guān)注重點。簡單來說，安全一致性指存在網(wǎng)絡(luò)攻擊時，多智能體系統(tǒng)的一致性情況。由于網(wǎng)絡(luò)攻擊對網(wǎng)絡(luò)的一致性具有破壞性的影響，因此，研究具有網(wǎng)絡(luò)攻擊的多智能體一致性問題變得至關(guān)重要。常見的網(wǎng)絡(luò)攻擊有：拒絕服務(wù)（Denial of Service，DoS）、竊取、騷擾、欺騙等。目前對于網(wǎng)絡(luò)攻擊下的一致性問題已取得了一些成果，如：文獻(xiàn)［8］研究了存在DoS 攻擊和輸入飽和下的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者網(wǎng)絡(luò)的安全一致性問題；文獻(xiàn)［9］研究了DoS 攻擊下基于采樣控制的多智能體一致性；文獻(xiàn)［10］則研究了雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下存在DoS 攻擊的安全一致性。

值得指出的是，不同于上述文獻(xiàn)［8-10］中一致性誤差系統(tǒng)漸近收斂到零，在安全一致性相關(guān)研究中，有些文獻(xiàn)實現(xiàn)了一致性誤差系統(tǒng)的均方有界收斂，如：采用脈沖控制方法，文獻(xiàn)［11］研究了欺騙攻擊下多智能體的均方有界一致性問題；文獻(xiàn)［12］考慮了帶有隨機(jī)噪聲的智能體狀態(tài)方程，得到了欺騙攻擊下多智能體系統(tǒng)均方有界一致的充分條件；文獻(xiàn)［13］在系統(tǒng)存在時延和噪聲的條件下，設(shè)計了一種狀態(tài)估計器，實現(xiàn)了多智能體狀態(tài)估計誤差的均方有界一致。相較于DoS 攻擊，欺騙攻擊形式更為復(fù)雜［11-12］，通過注入虛假信息到控制器，對系統(tǒng)一致性造成了破壞性影響，同時難以被檢測和識別。因此，本文考慮網(wǎng)絡(luò)中存在欺騙攻擊的非線性多智能體系統(tǒng)，進(jìn)一步研究均方有界一致性問題。

在多智能體一致性研究中，現(xiàn)有文獻(xiàn)中采用了多種控制方法，包括采樣控制、間歇控制、牽引控制、事件觸發(fā)控制和脈沖控制等。如文獻(xiàn)［14］研究了牽引控制下多智能體的一致性問題；文獻(xiàn)［15-16］使用事件觸發(fā)控制方法，得到了多智能體系統(tǒng)的一致性。多智能體安全一致性研究中，這些控制方法也被加以使用，如：文獻(xiàn)［17-18］研究了基于事件觸發(fā)控制的多智能體安全一致性；文獻(xiàn)［19］考慮了時延情況下多智能體安全一致性問題。另外，針對一致性問題，單一控制方法往往無法獲得良好的一致性效果，因此多種控制方法的組合也被廣泛應(yīng)用于多智能體一致性問題的研究，在一致性收斂速度和控制成本方面有較好的改善。脈沖控制方法僅在離散時刻點施加控制，經(jīng)濟(jì)有效。但傳統(tǒng)脈沖控制周期固定，本文結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制，提出分布式事件觸發(fā)脈沖控制方法，深入研究多智能體系統(tǒng)的安全一致性。由于脈沖控制對于脈沖間隔有嚴(yán)格要求，因此事件觸發(fā)條件的設(shè)計具有挑戰(zhàn)性。

基于上述討論，針對欺騙攻擊下多智能體系統(tǒng)的安全一致性，本文在固定脈沖時間間隔控制［11］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制［18］，得到了領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)在事件觸發(fā)脈沖控制下的安全一致性。最后，通過數(shù)值仿真驗證了理論結(jié)果的有效性。

本文提出了一種具有觸發(fā)時間間隔上界的事件觸發(fā)脈沖控制方案：當(dāng)控制器的觸發(fā)時間間隔達(dá)到給定的時間上界，即使事件觸發(fā)條件沒有滿足，也會進(jìn)行觸發(fā)，產(chǎn)生脈沖信號，同時更新觸發(fā)條件；進(jìn)一步，與單一固定脈沖時間間隔的脈沖控制方法相比，引入的事件觸發(fā)機(jī)制能夠加快一致性速度，靈活地控制脈沖時間間隔。

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識

1.2 多智能體模型描述

考慮一個包含N個跟隨者的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)模型描述如下：

在原有固定時間脈沖控制的基礎(chǔ)上，為了能夠優(yōu)化調(diào)整脈沖時間間隔，引入事件觸發(fā)機(jī)制。在本文中，事件觸發(fā)時刻即是脈沖時刻，而事件觸發(fā)時刻由事件觸發(fā)條件控制。接下來，將會分析給出事件觸發(fā)條件。

對于智能體i，先考慮脈沖時間間隔固定，設(shè)脈沖時間間隔為h，且h1＜h＜h2，即：

再設(shè)無最大觸發(fā)時間間隔限制的事件觸發(fā)條件為：

1.3 欺騙攻擊模型描述

本節(jié)主要介紹脈沖控制器遭受欺騙攻擊的情況。首先，給出系統(tǒng)遭受的攻擊為ξi(t)，接著給出系統(tǒng)遭受攻擊的概率，設(shè)隨機(jī)變量θi(t)表示事件智能i在t時刻被攻擊的結(jié)果：令θi(t)=1 表示攻擊成功，θi(t)=0 表示攻擊失?。徊⑶襊(θi(t)=1)=，P(θi(t)=0)=1-，其中∈[0，1]是一個常數(shù)。接下來，我們給出脈沖控制模型。如果欺騙攻擊成功，則第i個智能體接收的脈沖信號將被錯誤的數(shù)據(jù)所取代；如果沒有攻擊或者攻擊失敗，則脈沖信號為式（2），即：

針對上述多智能體系統(tǒng)，為了便于理論分析，給出如下假設(shè)。

假設(shè)1 智能體網(wǎng)絡(luò)存在以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點的有向生成樹。

假設(shè)2 對于非線性函數(shù)f(·)，存在非負(fù)常數(shù)rij(i=1，2，…，N，j=1，2，…，n)使得對于任意x1，x2∈Rn有下式成立：

假設(shè)3 隨機(jī)變量θi(t)(i=1，2，…，N) 相互之間是獨立的。

結(jié)合式（9），受到欺騙攻擊的多智能體系統(tǒng)（1）可以進(jìn)一步表示為：

定義1［11］如果存在一個閉集z和一個正常數(shù)σ，對任意的xi(0) ∈Rn，誤差系統(tǒng)ζ(t)的數(shù)學(xué)期望（用符號表示則為E{‖ζ(t)‖}）收斂于集合z，則稱多智能體（1）是均方有界一致的：

2 欺騙攻擊下多智能體安全一致性分析

本節(jié)將給出遭受欺騙攻擊的多智能體系統(tǒng)（1）在控制協(xié)議（9）下實現(xiàn)安全一致性的充分條件。

定理1在假設(shè)1 至假設(shè)4 成立的條件下，如果存在正定矩 陣P和正數(shù)α＞0，c＞0，ε＞0，φ∈(0，1)，μ=(1+ε)φ∈(0，1)使得下式成立：

則誤差系統(tǒng)（12）實現(xiàn)了均方有界一致，且界限為z1，其中：

至此，誤差系統(tǒng)實現(xiàn)了均方有界一致，這意味著多智能體系統(tǒng)（1）在控制協(xié)議（9）下實現(xiàn)了安全一致性。需要指出的是，事件觸發(fā)機(jī)制可能導(dǎo)致芝諾行為的發(fā)生，從而破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。接下來，我們將排除芝諾行為。

3 數(shù)值仿真

本章將通過兩個例子來驗證理論結(jié)果的有效性：例1 是具有1 個領(lǐng)導(dǎo)者和4 個跟隨者的多智能體系統(tǒng)；例2 則是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中不存在以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點的有向生成樹的仿真事例。

例1：考慮一個具有4 個跟隨者和1 個領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D1 所示。

圖1 例1的多智能體的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.1 Multi-agent network topological graph of example 1

圖1 中數(shù)字0 代表領(lǐng)導(dǎo)者智能體，數(shù)字1～4 代表跟隨者智能體，則可以得到拉普拉斯矩陣為：

領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者2 和跟隨者3 有牽引關(guān)系，可以表示為D=diag{0，3，2，0}。

多智能體系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者的運動方程為：

跟隨者的運動方程滿足：

因P(θi(t)=1)=，可取攻擊發(fā)生概率θˉ=0.1；取攻擊數(shù)據(jù)為ξi(t)=[0.11，-0.11]T，則有ξ=0.0242。為了便于分析，設(shè)定參數(shù)c=0.35，ε=0.2。用Matlab 求解定理1 中式（13）和式（14）可得α=2，μ=0.543。由式（15）可得h2＜，再根據(jù)不等式h＜h2，可設(shè)定固定脈沖時間間隔h=0.3，結(jié)合定理1 式（16）計算可得誤差邊界為0.366。由于本文使用事件觸發(fā)控制，且事件觸發(fā)條件表示為：Fi(t)=，則設(shè)定事件觸發(fā)條件的參數(shù)為γ=0.1，η=0.1。

圖2 是智能體xi1(i=0，1，2，3，4)和智能體xi2在事件觸發(fā)脈沖控制下的運行狀態(tài)。可以看出智能體的狀態(tài)由離散逐漸收斂，但并沒有達(dá)到一致，而是在一定范圍內(nèi)波動，即達(dá)到了均方有界一致。

圖2 例1中xi(i=0，1，…，4)在事件觸發(fā)脈沖控制下的狀態(tài)Fig.2 States of agents xi(i=0，1，…，4) under event-triggered impulsive control in example 1

由于欺騙攻擊隨機(jī)發(fā)生，為了減少仿真結(jié)果的誤差干擾，運行程序50 次，并計算‖ζ(i)(t)‖(i=1，2，…，50)的值取平均，并把平均值定義為平均誤差。圖3 是在固定脈沖時間間隔與事件觸發(fā)脈沖控制下智能體的平均誤差，圖中虛線的數(shù)值為誤差邊界0.366。從圖3（a）、（b）可以看出智能體的平均誤差均小于給定的誤差邊界，而且在事件觸發(fā)脈沖控制下，平均誤差的收斂更快。

圖3 固定脈沖時間間隔與事件觸發(fā)脈沖控制下智能體的平均誤差Fig.3 Average error of agents under fixed impulsive time intervals and event-triggered impulsive control

圖4 為事件觸發(fā)控制下智能體的脈沖時間序列，數(shù)值為0 表明沒有脈沖，數(shù)值1、2、3、4 則分別代表跟隨者智能體x1、x2、x3、x4的脈沖次數(shù)。可以看出，事件觸發(fā)脈沖控制能夠根據(jù)智能體的運行情況，有效地調(diào)節(jié)脈沖時間間隔，從而合理地調(diào)節(jié)脈沖次數(shù)，更快地達(dá)到一致性。

圖4 事件觸發(fā)脈沖控制下跟隨者智能體的脈沖間隔Fig.4 Impulsive intervals of follower agents under event-triggered impulsive control

圖5 則分別給出了4 個智能體在網(wǎng)絡(luò)攻擊概率為0.1 時遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊的次數(shù)，其中數(shù)值為1 代表智能體遭受到攻擊，數(shù)值為0 則智能體未遭受到攻擊。從圖5 可以看出，遭受攻擊的次數(shù)符合攻擊概率0.1。

圖5 智能體遭受攻擊的次數(shù)Fig.5 Number of attacks on agents

例2：不同于例1 中的網(wǎng)絡(luò)圖中存在以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點的有向生成樹，例2 的拓?fù)鋱D則不包含以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點的有向生成樹，其節(jié)點數(shù)和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖6 所示，圖中數(shù)字0 代表領(lǐng)導(dǎo)者智能體，數(shù)字1～4 代表跟隨者智能體，對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為：

例2 中相關(guān)的矩陣和參數(shù)與例1 中的設(shè)置相同，僅在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上作出改變。由圖6 可以看出領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者2有牽引關(guān)系，可以表示為D=diag{0，3，0，0}。圖7 給出了智能體狀態(tài)的一維分量和二維分量，由圖中可以看出當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不存在以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點的有向生成樹時，即不滿足文中假設(shè)1 時，智能體狀態(tài)沒有達(dá)到均方有界一致。

圖6 例2的多智能體的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.6 Multi-agent network topological graph of example 2

圖7 例2中xi(i=0，1，…，4)在事件觸發(fā)脈沖控制下的狀態(tài)Fig.7 States of agents xi(i=0，1，…，4) under event-triggered impulsive control in example 2

4 結(jié)語

本文研究了欺騙攻擊下多智能體系統(tǒng)的安全一致性問題，結(jié)合脈沖控制和事件觸發(fā)控制，通過線性矩陣不等式設(shè)置的一致性參數(shù)，利用圖論和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)出了多智能體系統(tǒng)一致性誤差系統(tǒng)的均方有界收斂條件，并給出了數(shù)值仿真的結(jié)果。相較于單一的脈沖控制，脈沖控制和事件觸發(fā)控制相結(jié)合能夠加快一致性速度，靈活地調(diào)整脈沖時間。然而不足的是，本文并沒有考慮時延等實際因素，進(jìn)一步的研究將關(guān)注帶有時滯的多智能體系統(tǒng)均方有界一致性問題。