邱祥風(fēng), 姜衛(wèi)東, 張新禹, 霍 凱, 劉永祥

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

作為新體制雷達(dá)的代表,多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)已經(jīng)引起了廣泛的研究[1]。具體來說,根據(jù)天線配置不同,MIMO雷達(dá)可以分為分布式MIMO雷達(dá)和集中式MIMO雷達(dá)兩種。與傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)相比,通過使用信號分集與空間分集技術(shù),MIMO雷達(dá)可以提升雷達(dá)系統(tǒng)的全方位性能[2]。由于其在目標(biāo)檢測及參數(shù)估計等方面的優(yōu)越性能,MIMO雷達(dá)已經(jīng)應(yīng)用到了很多方面,如自動駕駛[3]、遙感[4]、災(zāi)難檢測[5]等。

雜波是雷達(dá)對所接收到的除感興趣目標(biāo)以外其他雷達(dá)回波的總稱[6]。在雷達(dá)目標(biāo)探測領(lǐng)域,雜波研究可以用來對其抑制以提高對目標(biāo)的檢測能力[7]。對于地基雷達(dá),地物雜波能量多集中在零頻附近,只存在輕微的多普勒擴(kuò)展問題,通?？梢允褂妹}沖對消方法[8-9]加以抑制,如典型的二脈沖對消與三脈沖對消方法[10]。這類方法的本質(zhì)是在雜波的多普勒頻域內(nèi)形成一個高通濾波器,對地物雜波加以抑制。對于運(yùn)動的雷達(dá)平臺,平臺的運(yùn)動將會導(dǎo)致回波中的強(qiáng)地物雜波在多普勒域產(chǎn)生大范圍擴(kuò)展,與待檢測運(yùn)動目標(biāo)在多普勒域的能量分布疊加在一起,嚴(yán)重干擾運(yùn)動目標(biāo),特別是對慢速運(yùn)動目標(biāo)的檢測。為了解決這一問題,空時自適應(yīng)處理(space and time adaptive processing, STAP)技術(shù)[11]從空域與多普勒域兩個維度入手,利用雜波與目標(biāo)在空間-多普勒維度分布不同的特點進(jìn)行運(yùn)動平臺下的雜波抑制,并取得了可觀的性能。

為了提升MIMO雷達(dá)的雜波抑制與目標(biāo)檢測性能,STAP技術(shù)被擴(kuò)展至MIMO雷達(dá),并成為機(jī)載MIMO雷達(dá)的核心技術(shù)。研究表明[12],由于其具有大虛擬孔徑以及長時間的脈沖累積,MIMO-STAP技術(shù)可以顯著提升系統(tǒng)的空間及速度分辨能力,提升對慢速目標(biāo)的最小可檢測速度(minimum detectable velocity, MDV)。得益于數(shù)字任意波形發(fā)生器、固態(tài)發(fā)射機(jī)、高速信號處理等先進(jìn)硬件技術(shù)的發(fā)展,自適應(yīng)波形設(shè)計和接收信號的自適應(yīng)處理具備了實時實現(xiàn)的可行性,有效地促進(jìn)了雷達(dá)的智能化發(fā)展。通過借鑒蝙蝠的回聲定位系統(tǒng),Haykin[13]在2006年首次提出了認(rèn)知雷達(dá)的概念。認(rèn)知雷達(dá)利用目標(biāo)和環(huán)境的先驗信息,對發(fā)射波形和接收濾波器實時優(yōu)化,實現(xiàn)對信號的閉環(huán)處理過程。

作為認(rèn)知雷達(dá)的核心技術(shù),發(fā)射波形(與接收濾波器)的優(yōu)化設(shè)計獲得了廣泛的關(guān)注。目前經(jīng)典的雷達(dá)波形主要可以分為3種,線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)波形、非LFM (non-LFM, NLFM)波形以及相位編碼波形[14]。LFM信號作為一種大時寬帶寬積信號,已經(jīng)成為一種應(yīng)用最廣泛的信號。但其可變參數(shù)往往只包括帶寬、調(diào)頻率等,波形設(shè)計的自由度太低。NLFM波形包括步進(jìn)頻率調(diào)頻信號等,除了波形設(shè)計的自由度太低以外,其信號處理流程也相對復(fù)雜。相位編碼信號[15]通過不同的編碼規(guī)則設(shè)計每個碼元的初始相位,以實現(xiàn)不同的應(yīng)用需要,在雷達(dá)乃至通信領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。因其具有較高的設(shè)計自由度,相位編碼波形也成為認(rèn)知雷達(dá)發(fā)射波形優(yōu)化設(shè)計的常用波形。現(xiàn)有的波形設(shè)計優(yōu)化準(zhǔn)則主要包括最大化檢測概率[16]、最大化相對熵[17]、最大化互信息[18]以及最大化信雜噪比(signal to clutter plus noise ratio, SCNR)[19]等?？紤]到雷達(dá)實際工作系統(tǒng),在設(shè)計雷達(dá)波形時還需要考慮一定的約束,如峰均功率比(peak to average power ratio, PAR)約束、相似性約束、恒模約束、頻譜約束等。

為了提升對地面運(yùn)動目標(biāo)的檢測能力,Tang等[19]將波形優(yōu)化設(shè)計的思想引入機(jī)載MIMO-STAP中。為了獲取更高的設(shè)計自由度與更好的波形性能,該文獻(xiàn)同時考慮了發(fā)射波形與接收濾波器的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計問題。通過引入恒模約束,優(yōu)化問題最終被建模為一個具有非確定性多項式級復(fù)雜度的雙變量非凸優(yōu)化問題,然后使用基于半正定松弛的序列優(yōu)化算法(semi-definition relaxation-based sequential optimization algorithm, SOA-SR)迭代求解最優(yōu)的發(fā)射波形與接收濾波器。其求解方法主要包括兩個部分,即固定發(fā)射波形求解最優(yōu)的接收濾波器,然后固定接收濾波器求解最優(yōu)波形,二者交替進(jìn)行直至收斂。在求解最優(yōu)接收濾波器時,將優(yōu)化問題等效為一個廣義瑞利熵問題,然后可以得到最優(yōu)接收濾波器的精確解;在求解最優(yōu)發(fā)射波形時,目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個準(zhǔn)凹的分式規(guī)劃問題。常規(guī)的求解思路主要是使用二分法將其轉(zhuǎn)換為一系列的凸優(yōu)化問題,然后求解。為了簡化求解過程,引入Charnes-Cooper變換[20],將待求解問題轉(zhuǎn)化為一個半正定規(guī)劃問題。

然而,在計算最優(yōu)濾波器時,由于廣義瑞利熵的求解過程中需要進(jìn)行矩陣求逆與特征值分解運(yùn)算,算法所需的計算復(fù)雜度比較高。對此使用最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)方法[21]求解最優(yōu)接收濾波器。

為了進(jìn)一步降低算法的復(fù)雜度,本文提出一種基于SCNR近似的最優(yōu)波形求解方法。通過利用前次迭代所得的目標(biāo)函數(shù)值,將當(dāng)前迭代過程中需要求解的非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解,并通過理論分析證明了近似過程的收斂性能。數(shù)值實驗分析表明,相對于文獻(xiàn)[19]中的方法,本文所提方法不僅具有更快的收斂速度,還可以實現(xiàn)更高的SCNR增益。

1 系統(tǒng)建模

1.1 信號模型

如圖1所示,本文考慮機(jī)載MIMO雷達(dá)平臺,其中Vp表示平臺運(yùn)動速度,Nt表示發(fā)射天線個數(shù),Nr表示接收天線個數(shù),θt和φt分別表示目標(biāo)的方位角和俯仰角,θc,i和φc,i分別表示第i個雜波塊的方位角和俯仰角。另外,以dT和dR表示發(fā)射陣列與接收陣列排列間隔,以ut∈RNt×1和ur∈RNt×1分別表示發(fā)射陣元與接收陣元位置。則對于運(yùn)動速度為Vt的運(yùn)動目標(biāo),其接收到的信號可以表示為

Sr=aT(θt,φt)S

(1)

Yt,m=αtexp[j2π(m-1)Ftb(θt,φt)aT(θt,φt)S]

(2)

式中:αt表示目標(biāo)回波的復(fù)幅度,與通道傳輸和衰減系數(shù)相關(guān);Ft=(2Vt)/fr表示目標(biāo)的歸一化多普勒頻率;b(θ,φ)=exp{j(2π)/λurcosφsinθ}是接收陣列的導(dǎo)向矢量。

圖1 機(jī)載MIMO雷達(dá)系統(tǒng)工作圖Fig.1 Illustration of airborne MIMO radar system

(3)

在雷達(dá)信號處理過程中,回波信號中的地海雜波往往被視為信號無關(guān)的干擾分量。為簡單起見,在圖1所示的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中,只考慮與目標(biāo)處在同一距離環(huán)的雜波塊,進(jìn)而雜波分量可以表示為

(4)

式中:Nc表示一個雜波環(huán)內(nèi)的離散雜波塊的個數(shù);αc,i和Fc,i分別表示第i個雜波塊的復(fù)幅度以及歸一化多普勒頻率,Fc,i=2Vpcosφc,isinθc,i/(λfr)。根據(jù)認(rèn)知雷達(dá)相關(guān)理論,雜波的先驗知識可以利用環(huán)境動態(tài)數(shù)據(jù)庫、數(shù)字高程圖以及環(huán)境感知[22-25]等方式獲取。

假設(shè)接收機(jī)噪聲n∈CNrML×1在時域和空域上不相關(guān),且其服從于均值為0,方差為Rn的循環(huán)對稱復(fù)高斯隨機(jī)分布,則

(5)

結(jié)合以上內(nèi)容,本文所考慮的機(jī)載MIMO場景下的一個相參處理周期內(nèi)的接收信號可以表示為

y=yt+yc+n

(6)

1.2 優(yōu)化目標(biāo)

在STAP信號處理過程中,接收端處理器往往需要設(shè)計一個多維的接收濾波器以抑制雜波干擾,以增強(qiáng)雷達(dá)系統(tǒng)的目標(biāo)檢測性能。一般來說,SCNR與檢測概率具有正相關(guān)關(guān)系,且容易與發(fā)射波形建立聯(lián)系。因此,本文使用最大化SCNR的設(shè)計準(zhǔn)則。

(7)

(8)

值得注意的是,在恒模約束的條件下,本文考慮的優(yōu)化問題實質(zhì)上是在優(yōu)化波形的相位值。進(jìn)一步,將發(fā)射波形的恒模約束轉(zhuǎn)換為關(guān)于其協(xié)方差矩陣的秩1約束,則優(yōu)化問題式(8)可以等價變換為

(9)

2 求解方法

在本節(jié)中,使用交替優(yōu)化的方法求解發(fā)射波形與接收濾波器的聯(lián)合優(yōu)化問題式(9)。

2.1 固定發(fā)射波形求解最優(yōu)接收濾波器

接收濾波器w是一個無約束的待優(yōu)化變量,因此求解最優(yōu)接收濾波器時需要解決的優(yōu)化問題可以表示為

(10)

該問題是一個經(jīng)典的廣義瑞利熵問題[26-27],文獻(xiàn)[19]直接得出其最優(yōu)解為

(11)

式中：λmax(·)表示提取矩陣的最大特征值。顯然,由于需要進(jìn)行矩陣求逆與特征值分解運(yùn)算,式(11)的運(yùn)算復(fù)雜度比較高。對此,使用MVDR求解w,得到:

(12)

2.2 固定接收濾波器求解最優(yōu)發(fā)射波形

相對于優(yōu)化接收濾波器,求解最優(yōu)波形的問題更加復(fù)雜。為了方便求解,首先使用松弛的思想去除秩1約束,然后得到關(guān)于Rs的優(yōu)化問題:

(13)

文獻(xiàn)[19]使用Charnes-Cooper變換,將待求解的分式規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個凸優(yōu)化問題,然后使用Matlab凸優(yōu)化工具箱[28]求解。本節(jié)提出一種基于SCNR近似的迭代優(yōu)化算法求解優(yōu)化問題，首先將其轉(zhuǎn)換為

(14)

式中:β表示松弛后的協(xié)方差矩陣Rs決定的SCNR。由于約束條件中存在未知參數(shù)β,松弛后的優(yōu)化問題依然是一個難以求解的非凸問題。對此,使用上一步求解優(yōu)化問題P3所得到的SCNR值ζ替代約束等式左側(cè)的未知參數(shù)β,這樣就可以得到一個凸優(yōu)化問題:

(15)

優(yōu)化問題式(15)可以使用Matlab凸優(yōu)化工具箱直接求解。根據(jù)變換前后的關(guān)系,不難得到:

(16)

由于

(17)

(18)

根據(jù)式(17)有：

(19)

因此,

(20)

(21)

因此,利用

(22)

可以得到:

(23)

(24)

證畢

本文所提方法具體實現(xiàn)流程如算法1所示,該方法從隨機(jī)初始點s0開始迭代,然后交替優(yōu)化w和s,直至達(dá)到收斂準(zhǔn)則。其中,初始迭代點s0為恒模約束下的任意相位波形。在算法運(yùn)行過程中,可以首先隨機(jī)生成取值在(0,2π)之間的隨機(jī)相位序列φrand,然后通過變換s0=exp(jφrand)得到。

算法1 本文所提算法流程輸入: s0輸出: sopt, woptFor i=1,2,…1. 初始化: si=s0;2. 通過式(11)優(yōu)化 wi;3. 通過式(15)優(yōu)化 Ris;4. 使用隨機(jī)策略計算 si;5. i←i+1;6. 直至|SCNRi+1-SCNRi|/SCNRi<ξ

2.3 算法復(fù)雜度分析

3 實驗與分析

本節(jié)進(jìn)行仿真實驗以分析所提算法的實際性能,實驗參數(shù)如表1所示。

表1 實驗參數(shù)設(shè)置

首先分析所提方法的收斂性能并將其與文獻(xiàn)[19]中的SOA-SR 算法進(jìn)行對比。圖2給出了兩種算法的SCNR值隨迭代次數(shù)的變化。

圖2 SCNR隨迭代次數(shù)的變化Fig.2 SCNR changing with the number of iterations

從圖2中可以看出,在不同的迭代停止條件下,即ξ=10-2、ξ=10-3、ξ=10-4時,本文所提方法都能逐漸收斂。隨著ξ取值的逐漸減小,迭代所需的收斂次數(shù)逐漸增加,且輸出的SCNR值逐漸升高。在相同的停止準(zhǔn)則時,本文所提算法在第19次迭代時停止,而SOA-SR方法在第62次迭代時停止。此外,兩種算法最終達(dá)到的輸出SCNR增益分別為23.39 dB和22.71 dB,這說明本文方法可以求解出更優(yōu)的發(fā)射波形與接收濾波器組合。

為了進(jìn)一步直觀說明本算法在運(yùn)算效率方面的優(yōu)越性,本文在圖3中對比了不同算法在不同精度下的運(yùn)行時間。其中，SOA-SR方法的停止準(zhǔn)則為ξ=10-3。由圖3可知,隨著ξ取值的逐漸減小,算法運(yùn)行所需的時間逐漸增加。此外,在相同的迭代準(zhǔn)則下,本文所提算法所需要的運(yùn)行時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[19]中的SOA-SR方法。此外,隨著迭代停止準(zhǔn)則的逐漸減小,本文所提算法的運(yùn)行時間也在逐步增大。

圖3 不同算法運(yùn)算時間對比Fig.3 Run time comparison of different algorithms

圖4給出了不同算法的輸出SCNR隨目標(biāo)多普勒頻率的變換關(guān)系。從圖4中可知,相對于經(jīng)典的SOA-SR方法,本文提出的交替優(yōu)化方法在多數(shù)多普勒頻段內(nèi)具有更高的SCNR增益,可以獲得更優(yōu)的運(yùn)動目標(biāo)檢測性能。另外,隨著迭代門限的逐漸減小,雖然計算負(fù)擔(dān)有所增大,但輸出SCNR呈現(xiàn)逐步增加的趨勢。

圖4 輸出SCNR隨目標(biāo)多普勒頻率變化Fig.4 Output SCNR varing with target Doppler frequency

圖5分別給出了在不同的SNR和CNR條件下的輸出SCNR值。對比可知,隨著SNR和CNR逐漸變化,兩種方法的SCNR值具有相同的變化趨勢。值得指出的是,在相同的實驗條件下,本文所提方法所得SCNR增益一直高于SOA-SR方法,再次說明了所提算法的優(yōu)越性。

圖5 不同SNR和CNR條件下輸出SCNR值Fig.5 SCNR value of different SNR and CNR

圖6給出了LFM波形、SOA-SR以及本文所提算法求解得到的最優(yōu)發(fā)射波形和接收濾波器對應(yīng)的空時二維響應(yīng)圖。

圖6 不同波形對應(yīng)的空時二維響應(yīng)圖Fig.6 Space-time two-dimensional response graphs corresponding to different waveforms

其中,兩種優(yōu)化算法的初始迭代點使用相同的隨機(jī)相位序列,迭代過程均在ξ=10-3時停止進(jìn)行,其余參數(shù)按表1選取。其中,所發(fā)射的LFM信號由一組恒模約束下的LFM信號組成,其波形矩陣可以表示為

(25)

式中：l=1,2,…,L,nt=1,2,…,Nt,對應(yīng)的波形向量可以計算為sLFM=vec(SLFM)。此外,LFM波形使用MVDR接收濾波器。

從圖6中可知,3種空時響應(yīng)圖都在目標(biāo)所在位置形成主瓣增益,在雜波干擾所在位置形成深的凹陷。特別地,本文算法的空時響應(yīng)圖中的零陷比SOA-SR算法產(chǎn)生的零陷以及LFM波形產(chǎn)生的零陷更深,所提算法的優(yōu)越性進(jìn)一步得到了證明。

圖7(a)和圖7(b)分別給出了沿著目標(biāo)所在的空間頻率以及多普勒頻域的空時響應(yīng)剖面圖。觀察可知,不同算法產(chǎn)生的波形均能在雜波出現(xiàn)的位置形成凹陷,以減少雜波對目標(biāo)檢測的影響。另外,本文所提算法產(chǎn)生波形對應(yīng)的雜波零陷相對于其他兩種波形更深,對地物雜波的抑制性能更優(yōu)。

圖7 空時響應(yīng)剖面圖Fig.7 Profiles of different space-time responses

4 結(jié) 論

為了提升對雜波干擾的抑制性能,同時提高對運(yùn)動目標(biāo)的檢測能力,考慮了機(jī)載MIMO場景下的發(fā)射波形與接收濾波器的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計問題。為了快速高效求解聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計的非凸模型,首先利用MVDR方法求解廣義瑞利熵問題,進(jìn)而提出了一種基于SCNR近似的優(yōu)化波形求解方法。實驗結(jié)果表明,與經(jīng)典的SOA-SR方法相比,本文所提方法不僅具有更快的收斂速度,還可以實現(xiàn)更高的SCNR增益。