劉欣鵬，楊映雯，孫 毅，晏致濤

(1.重慶科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，重慶 401331；2.能源工程力學(xué)與防災(zāi)減災(zāi)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 401331)

1909年Frahm提出[1]一種廣泛用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的裝置——調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper,TMD)，該裝置由質(zhì)量塊、彈簧元件組成。為了擴(kuò)大減振頻帶有效范圍，Den Hartog等[2]在Frahm系統(tǒng)設(shè)計(jì)中增加黏性阻尼器。隨著研究的深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用于機(jī)械工程領(lǐng)域的慣容系統(tǒng)有著放大質(zhì)量效應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)。隨后，Smith提出通過慣容系統(tǒng)連接TMD形成一種新型阻尼器——慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper-inerter,TMDI)[3]，該裝置能夠改善TMD減振效率低、魯棒性差的特性。

近年來，TMDI在建筑抗震、抗風(fēng)及減振優(yōu)化等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注。在建筑抗震方面，Wang等[4-5]將慣容系統(tǒng)引入結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，以降低建筑懸架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)；De Domenico等[6-7]利用TMDI特性，改善基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的抗震性能；Pietrosanti等[8]系統(tǒng)分析了TMDI在地震激勵(lì)下的減震效率；Palacios-Quionero等[9]通過改進(jìn)TMDI形式，提出MTMDI減震概念，并將其安裝于兩棟樓間，研究MTMDI對(duì)連體建筑的減震效率問題。

在結(jié)構(gòu)抗風(fēng)方面，Giaralis等[10]通過數(shù)值模擬74層建筑結(jié)構(gòu)，研究TMDI對(duì)高層建筑風(fēng)致振動(dòng)的控制作用；Giaralis等[11]基于氣動(dòng)力經(jīng)驗(yàn)功率譜，研究風(fēng)激勵(lì)作用下TMDI對(duì)于高層建筑風(fēng)致響應(yīng)的控制作用；王欽華等[12-13]通過開展剛性模型的風(fēng)洞試驗(yàn)，研究TMDI及MTMDI對(duì)連體超高層建筑風(fēng)振響應(yīng)的控制效果。

在減振優(yōu)化方面，Marian等[14]基于最小化位移方差方法，對(duì)白噪聲激勵(lì)下的無阻尼單自由度TMDI結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化；Pietrosanti等[15]針對(duì)多自由度-TMDI結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通過頻率分析，研究了在高斯零均值白噪聲隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)體系模態(tài)參數(shù)優(yōu)化問題；李超等[16]基于遺傳算法，對(duì)加速度激勵(lì)下的調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器TVMD進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化研究。

此外，定點(diǎn)理論作為阻尼器參數(shù)優(yōu)化的另一重要方法，由Den Hartog于1985年首次提出[17]。該方法基于主結(jié)構(gòu)頻響曲線特性，通過韋達(dá)定理得到阻尼器在簡諧激勵(lì)下的最優(yōu)參數(shù)解析解表達(dá)式。董飛等[18]采用修訂的定點(diǎn)理論研究夾層阻尼懸臂式TMD相互耦合時(shí)動(dòng)力參數(shù)之間的變化規(guī)律，提出解耦的兩階段設(shè)計(jì)方法；李亞峰等[19]提出一種新型減振裝置即慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器VTMDI，并采用定點(diǎn)理論對(duì)其減振性能進(jìn)行系統(tǒng)研究；Ikago等[20]基于慣容系統(tǒng)提出調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器(TVMD)，并采用定點(diǎn)理論優(yōu)化其參數(shù)；羅浩等[21]采用定點(diǎn)理論研究串聯(lián)黏性質(zhì)量阻尼器SVMD的優(yōu)化參數(shù)，得出SVMD的結(jié)構(gòu)響應(yīng)傳遞函數(shù)。

輸電導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)是一種渦激振動(dòng)。當(dāng)微風(fēng)吹過導(dǎo)線時(shí)，在其截面上下側(cè)依次形成渦旋，這種規(guī)律性渦旋會(huì)在截面上下側(cè)交替產(chǎn)生垂直于來流方向的橫風(fēng)向作用力，由此形成振動(dòng)響應(yīng)。為了抑制此類振動(dòng)，本文基于定點(diǎn)理論，研究了諧波荷載作用下TMDI振動(dòng)控制機(jī)理，旨在為輸電導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)防治措施研究提供理論基礎(chǔ)。

圖1 旋渦脫落引起的微風(fēng)振動(dòng)Fig.1 The vibration of a breeze caused by vortex shedding

1 慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器振動(dòng)控制機(jī)理研究

1.1 理想系統(tǒng)模型

早在21世紀(jì)初Smith提出慣容系統(tǒng)[22]，由于其特殊的結(jié)構(gòu)形式，最初主要用于高性能車輛懸架系統(tǒng)的振動(dòng)控制[23-25]。隨著研究的深入，TMDI現(xiàn)已被廣泛用于建筑[26-28]、橋梁[29]、風(fēng)力渦輪機(jī)[30-31]的抑振耗能中。

理想慣容系統(tǒng)是一種具有獨(dú)立自由度的線性裝置，節(jié)點(diǎn)間產(chǎn)生與其相對(duì)加速度成正比的反作用力，見式(1)[32]

(1)

常見的慣容系統(tǒng)形式主要有齒輪齒條、滾珠絲杠[34]以及液壓式[35-36]，各種形式的慣容器，如圖2所示。

(a) 齒輪齒條式

齒輪齒條型慣容系統(tǒng)通過齒輪齒條將平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，以改善傳統(tǒng)TMD減振性能。這類慣容系統(tǒng)的振動(dòng)控制效率與齒輪數(shù)量及傳動(dòng)比有關(guān)，其中表觀質(zhì)量b計(jì)算公式[37]如式(2)所示

(2)

式中:mf為實(shí)心飛輪質(zhì)量；rr、rpr為實(shí)心飛輪旋轉(zhuǎn)半徑及其對(duì)應(yīng)小齒輪半徑；rk、prk(k=1,2,3)為第k個(gè)大齒輪半徑及其對(duì)應(yīng)小齒輪的半徑。

此外，慣容系統(tǒng)與TMD的連接方式對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制效率也有一定影響。通過慣容系統(tǒng)將TMD與主結(jié)構(gòu)相連，稱為非接地TMDI；慣容系統(tǒng)一端接地，另一端與TMD相連，稱為接地TMDI；兩種連接方式如圖3所示。

1.2 單自由度結(jié)構(gòu)體系運(yùn)動(dòng)方程及最優(yōu)參數(shù)解析解

1.2.1 非接地慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器

對(duì)于非接地結(jié)構(gòu)體系(圖3(a))，動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式如下

(a) 非接地TMDI

(3)

式中：M1、K1、C1為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼；M2、K2、C2為TMDI的質(zhì)量、剛度和阻尼；x1、x2為主結(jié)構(gòu)、TMDI的橫向位移。

對(duì)附加非接地TMDI的主結(jié)構(gòu)，設(shè)施加的簡諧激勵(lì)力為

F=Fyeiωt

(4)

主結(jié)構(gòu)與非接地TMDI的位移分別表示為

x1=X1eiωt，x2=X2eiωt

(5)

式中，X1、X2為x1、x2的復(fù)數(shù)振幅。

則主結(jié)構(gòu)與非接地TMDI的速度與加速度分別表示為

(6)

將式(4)～式(6)代入式(3)可得主結(jié)構(gòu)響應(yīng)振幅

(7)

主結(jié)構(gòu)受外界激勵(lì)作用的幅值表示為Xst=Fy/K1，則結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)的動(dòng)位移與靜位移之比即動(dòng)力放大系數(shù)(DMF)表示為

(8)

其中

R1=K2-bω2-M2ω2

R2=C2ω

R3=K1K2-(C1C2+bK1+M1K2+M2K1+M2K2)ω2+(bM1+bM2+M1M2)ω4

R4=(C2K1+C1K2)ω-(bC1+C2M1+C1M2+

C2M2)ω3

(9)

根據(jù)定點(diǎn)理論，忽略主結(jié)構(gòu)阻尼的系統(tǒng)頻響曲線均經(jīng)過固定點(diǎn)P、Q。當(dāng)固定點(diǎn)高度相等且達(dá)到最大值時(shí)，減振效率最高，如圖4所示。

Den Hartog對(duì)比研究了主結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)TMD系統(tǒng)的振動(dòng)控制效率的影響，得到結(jié)論：定點(diǎn)理論可用于小阻尼結(jié)構(gòu)(阻尼比5%以內(nèi))的振動(dòng)優(yōu)化研究[38]。因此本文采用定點(diǎn)理論，以主系統(tǒng)無阻尼附加非接地和接地TMDI系統(tǒng)為對(duì)象推導(dǎo)最優(yōu)參數(shù)解析解。

定點(diǎn)理論中動(dòng)力放大系數(shù)一般化表達(dá)式為

(10)

圖4 定點(diǎn)理論Fig.4 The fixed point theory

為了明確參數(shù)A-G，引入如下規(guī)定

(11)

式中：ω1、ω2為主結(jié)構(gòu)和TMDI的固有頻率；ζ1、ζ2為主結(jié)構(gòu)和TMDI的阻尼比；μ為TMDI質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量之比；β為表觀質(zhì)量與TMDI質(zhì)量之比；λ為外激勵(lì)力與主結(jié)構(gòu)的頻率比；γ為TMDI與主結(jié)構(gòu)的頻率比。

將式(11)代入式(8)，整理得到無阻尼主結(jié)構(gòu)-非接地TMDI動(dòng)力放大系數(shù)如下

(12)

觀察式(10)、(12)可知

(13)

為了確定最優(yōu)頻率比，通過定點(diǎn)理論可知，ζ2的變化對(duì)固定點(diǎn)P、Q的取值均無影響，故整理式(10)如下

(14)

忽略ζ2對(duì)固定點(diǎn)P、Q的取值影響，故還需滿足以下關(guān)系

(15)

考慮兩者的極性相反，式(15)可簡化為

(16)

整理得

(17)

設(shè)求解結(jié)果為λP、λQ，根據(jù)韋達(dá)定理可得

(18)

此時(shí)，忽略ζ2的動(dòng)力放大系數(shù)為

(19)

根據(jù)定點(diǎn)理論，最優(yōu)頻率比條件下λP、λQ兩點(diǎn)的動(dòng)力放大系數(shù)相等，即

(20)

則

(21)

聯(lián)立式(18)、(21)，求解可得

2EAG=D(BF+D-EC)

(22)

將式(13)參數(shù)A～G代入式(22)，最優(yōu)頻率比為

(23)

通過韋達(dá)定理，可得固定點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)λP、λQ

(24)

將參數(shù)A～F代入到式(24)中可得

(25)

固定點(diǎn)P、Q為頻響曲線最高點(diǎn)時(shí)，減振效果最優(yōu)。故對(duì)式(10)求極值，得到結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼比表達(dá)式

(26)

(27)

其解按照ζ2多項(xiàng)式進(jìn)行整理可得

(28)

式中，參數(shù)I4、I2、I0為

I4=-2D2G2λ6+2DEG2λ4

I2=(3A2G2+C2D2)λ8-(4CD2+4ABG2)λ6+(B2G2+4CDE+3D2+2AG2-C2E2)λ4-(4DE)λ2+(E2-G2)

I0=(-2A2C2)λ10+(2ABC2+6A2C)λ8-(4A2+8ABC)λ6+(6AB+4AC+2B2C-2BC2)λ4-

(4A+2B2-2C2)λ2-(2B-2C)

(29)

(30)

選擇任一阻尼比值時(shí)，僅能滿足P、Q其中一點(diǎn)為結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線極值，故取其平均值作為最優(yōu)阻尼比，即

(31)

將參數(shù)A～F代入上式，可得最優(yōu)阻尼比

(32)

此時(shí)，最大動(dòng)力放大系數(shù)為

(33)

1.2.2 接地慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器

對(duì)于接地結(jié)構(gòu)體系(圖3b)，其動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式如下

(34)

可得主結(jié)構(gòu)位移為

(35)

化簡上式可得無阻尼主結(jié)構(gòu)-接地TMDI的動(dòng)力放大系數(shù)

(36)

觀察式(10)、(34)，可得各個(gè)參數(shù)

(37)

將各參數(shù)代入式(22)，即可得

(38)

取其正值并化簡，得其最優(yōu)頻率比

(39)

將參數(shù)A～G代入式(24)中可得固定點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)λP、λQ

(40)

(41)

此時(shí)，最大動(dòng)力放大系數(shù)為

(42)

2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析

表1總結(jié)了兩種連接方式TMDI及傳統(tǒng)TMD的參數(shù)解析解。通過表1結(jié)果，圖5～圖8表示表觀質(zhì)量比為0～0.6時(shí)調(diào)諧參數(shù)隨質(zhì)量比變化的函數(shù)曲線，并討論了調(diào)諧參數(shù)對(duì)主結(jié)構(gòu)-TMDI振動(dòng)特性的影響。

表1 減振系統(tǒng)的優(yōu)化解析解Tab.1 Optimal analytical solution of vibration reduction system

圖5 非接地TMDI最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)Fig.5 Optimal design parameters for unground TMDI

由圖5可知，隨著表觀質(zhì)量比β增加，最優(yōu)頻率比γopt線性增加，最優(yōu)阻尼比ζ2opt線性減少。反之，隨著質(zhì)量比μ的增加，γopt線性減小、ζ2opt線性增大。

圖6 接地TMDI最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)Fig.6 Optimal design parameters for ground TMDI

由圖6可知，隨著表觀質(zhì)量比β的增加，γopt線性減小，ζ2opt線性增加。隨著質(zhì)量比μ的增加，γopt線性減小、ζ2opt線性增大。

圖7 最優(yōu)動(dòng)力放大系數(shù)Fig.7 Optimal dynamic amplification factor

圖8 主結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線比較Fig.8 Comparison of frequence response curves of the primary structure

由圖7可知，非接地TMDI的動(dòng)力放大系數(shù)隨著表觀質(zhì)量比β的增大而增大。由表1可知，當(dāng)β=0時(shí)，結(jié)構(gòu)體系為TMD，此時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)小于非接地TMDI。結(jié)果表明非接地慣容系統(tǒng)降低了TMD的減震效率，在一定程度上隔斷了能量傳遞，從而無法實(shí)現(xiàn)有效耗能。

對(duì)于接地TMDI，結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)隨表觀質(zhì)量比β增大而減小，表明該類連接形式有助于提高結(jié)構(gòu)體系減振效果，改善TMD系統(tǒng)的耗能效率。

此外，無論采用何種連接形式，TMDI的動(dòng)力放大系數(shù)均隨著質(zhì)量比μ的增加而減小。但為了減輕附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)承載能力的不利影響，故在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制過程中，通常限制質(zhì)量比μ在0.2以下。

當(dāng)μ=0.05，β=0.2時(shí)，根據(jù)表1得到最優(yōu)頻率比及最優(yōu)阻尼比如下

TMD：γopt=0.952、ζ2opt=0.134；

非接地TMDI：γopt=0.956、ζ2opt=0.956；

接地TMDI：γopt=0.943、ζ2opt=0.146。

根據(jù)上述的最優(yōu)參數(shù)得到激勵(lì)頻率λ與動(dòng)力放大系數(shù)DMF的關(guān)系曲線，如圖8所示。與傳統(tǒng)TMD和非接地TMDI相比，接地TMDI的峰值動(dòng)力放大系數(shù)下降約8.4%、16.5%。結(jié)果表明，接地TMDI能有效控制主結(jié)構(gòu)振動(dòng)，而非接地TMDI對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制不利。由此可見慣容系統(tǒng)連接位置對(duì)TMD吸振能力影響顯著。

3 結(jié)構(gòu)魯棒性分析

為了研究阻尼器受主結(jié)構(gòu)固有頻率及自身阻尼攝動(dòng)對(duì)振動(dòng)控制效率的影響，本節(jié)從ω1和C2發(fā)生攝動(dòng)分別進(jìn)行研究。

3.1 主結(jié)構(gòu)頻率攝動(dòng)

由于結(jié)構(gòu)剛度與模態(tài)頻率成比例，本節(jié)將通過結(jié)構(gòu)剛度的等比變化，研究結(jié)構(gòu)固有頻率攝動(dòng)對(duì)TMDI魯棒性的影響。由圖9可知，以最優(yōu)剛度曲線為基準(zhǔn)，隨著剛度的減小，曲線峰值偏左。反之，曲線峰值偏右。此外，剛度的變化均會(huì)使得曲線由雙峰向單峰轉(zhuǎn)變，且單峰峰值大于雙峰。

圖9 主結(jié)構(gòu)剛度變化后的響應(yīng)曲線Fig.9 Response curve of main structure after stiffness change

圖10所示為三種減振方式下，主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)隨剛度攝動(dòng)的變化規(guī)律。與其他兩種振動(dòng)控制方式相比，接地TMDI能夠很好的維持控制效果。且由圖8可得，接地TMDI調(diào)頻寬度增大約6%、13%。

圖10 主結(jié)構(gòu)剛度等倍變化后三種阻尼器的比較Fig.10 Comparison of three kinds of shock absorbers after main structure stiffness change

3.2 阻尼器阻尼攝動(dòng)

如圖11所示，在0.2ζ2opt～2ζ2opt變化范圍內(nèi)，以1.0ζ2opt曲線為基準(zhǔn)，主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線峰值均有所上升。當(dāng)攝動(dòng)范圍在0.2ζ2opt時(shí)，相對(duì)于接地TMDI，非接地TMDI系統(tǒng)響應(yīng)峰值大幅增加，由此可得非接地TMDI受阻尼攝動(dòng)影響較大。

如圖12所示，在攝動(dòng)范圍內(nèi)，主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)變化平緩，僅為最小動(dòng)力放大系數(shù)的1.5倍。且與傳統(tǒng)TMD和非接地TMDI相比，接地TMDI動(dòng)力放大系數(shù)減少約0.6%、1.6%。結(jié)果表明：較其他兩種減振裝置，接地TMDI吸振能力受阻尼攝動(dòng)影響最小總體而言，對(duì)于主結(jié)構(gòu)頻率和阻尼系數(shù)的攝動(dòng)，接地TMDI的魯棒性更為優(yōu)秀。

(a) 非接地TMDI

圖12 阻尼比等倍變化后三種阻尼器的比較Fig.12 Comparison of three kinds of shock absorbers after damping coefficient change

4 結(jié) 論

本文通過單自由度主結(jié)構(gòu)附加TMDI系統(tǒng)模型建立動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的研究，并分析對(duì)比TMD、非接地和接地TMDI在主結(jié)構(gòu)受簡諧激勵(lì)力下的減振性能和魯棒性，得出以下主要結(jié)論：

(1) 采用定點(diǎn)理論推導(dǎo)出激勵(lì)力下TMDI的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的解析表達(dá)式。

(2) 相同條件下接地TMDI與傳統(tǒng)TMD相比動(dòng)力放大系數(shù)下降約8.4%，與非接地TMDI相比下動(dòng)力放大系數(shù)下降約16.5%，接地形式的TMDI減振效果更顯著。

(3) 當(dāng)主結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生攝動(dòng)時(shí)，接地TMDI調(diào)頻寬度相比傳統(tǒng)TMD提高約6%，與非接地TMDI相比提高約13%。在阻尼器的阻尼比攝動(dòng)范圍內(nèi)，接地TMDI減振系統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)增幅僅約1.5倍，接地TMDI吸振能力受阻尼比攝動(dòng)影響最小。故接地TMDI的魯棒性明顯優(yōu)于TMD和非接地TMDI。