李倩

寧夏師范學(xué)院 （寧夏固原市 756000）

1 數(shù)學(xué)多元表征

最早的數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式中，就存在著數(shù)與形兩方面，人們通過數(shù)與形相結(jié)合的方式認(rèn)識世界，而從數(shù)學(xué)多元表征的視角下來看，“數(shù)”主要是指數(shù)學(xué)中的言語表征，也叫敘述性表征，如文字、數(shù)字、式子、數(shù)學(xué)概念等，“形”主要指數(shù)學(xué)中的視覺表征，也叫描繪性表征，如實(shí)物、模型、圖像、活動(dòng)、幾何圖形等[1]。認(rèn)識一個(gè)數(shù)學(xué)對象，從多元表征視角看，需要從多角度、多方面進(jìn)行把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。多元表征理論指導(dǎo)下的教學(xué)目的，不僅僅是掌握知識，更是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從學(xué)習(xí)多元表征，到會(huì)用多元表征學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)者整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2 數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的意義

基于數(shù)學(xué)多元表征，本人認(rèn)為數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜抽象性決定了數(shù)學(xué)教學(xué)需要多元表征呈現(xiàn)知識，多元表征理論指導(dǎo)下的教學(xué)有助于多角度呈現(xiàn)知識，幫助學(xué)生深度理解知識；有助于動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)知識，幫助學(xué)生活躍思維；有助于豐富化呈現(xiàn)知識，幫助學(xué)生邏輯思維、非邏輯思維和創(chuàng)新能力得到綜合發(fā)展。

多元表征能夠讓數(shù)學(xué)知識多角度地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，多元智能理論指出每個(gè)人都擁有九種主要的智能，包括語言智能、邏輯數(shù)理智能、空間智能等。該理論對教學(xué)的啟發(fā)是在進(jìn)行表征知識的過程中，需要多角度地呈現(xiàn)出來，這樣不同角度發(fā)現(xiàn)知識的過程就能發(fā)展學(xué)生的不同智能。除此，多角度地呈現(xiàn)知識，能幫助學(xué)生對知識有一個(gè)全面系統(tǒng)的認(rèn)識，能夠深度理解知識，同時(shí)不會(huì)割裂知識之間的連貫性和整體性。

多元表征理論指導(dǎo)下，需要讓數(shù)學(xué)知識動(dòng)態(tài)化地呈現(xiàn)在學(xué)生面前。動(dòng)態(tài)化表征相較于靜態(tài)的圖片，更易于引起學(xué)生注意，學(xué)生也保持在一個(gè)活躍的情緒狀態(tài)下，更樂于投入學(xué)習(xí)中。同時(shí)，動(dòng)態(tài)化地表征也能幫助學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的產(chǎn)生過程，從新的角度來表征知識，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)表征對象本質(zhì)的認(rèn)識。因此，多元表征理論下的教學(xué)，能幫助學(xué)生減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)，對知識進(jìn)行深刻全面的認(rèn)識。如橢圓和拋物線的動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)，通過動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生便于觀察并能對橢圓和拋物線概念以及幾何特征有更具體形象的認(rèn)識。即到兩定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡是橢圓，而到兩定點(diǎn)距離之差等于定長的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。動(dòng)態(tài)地表征知識，還能更易區(qū)分不同知識之間的差異，認(rèn)識到不同概念間的本質(zhì)區(qū)別。

多元表征也能夠讓數(shù)學(xué)知識豐富化地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，變異學(xué)習(xí)理論指出，以事物或現(xiàn)象呈現(xiàn)的原初狀態(tài)為“基值”，通過不同形式變換“基值”，使學(xué)習(xí)者逐漸認(rèn)識事物或想象本質(zhì)的一種理論[2]。從該理論出發(fā)，這就是多元表征的過程，通過豐富化的表征數(shù)學(xué)對象，幫助學(xué)生逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的過程。同時(shí)，在豐富化表征下，包括視覺化和言語化表征，不同的表征下，幫助學(xué)生發(fā)展不同的能力。視覺化表征能促進(jìn)學(xué)生的非邏輯思維的發(fā)展，并且能促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新思發(fā)展，而言語化表征能促進(jìn)學(xué)生的邏輯思維發(fā)展，所以在豐富化表征下，能夠促進(jìn)學(xué)生綜合全面發(fā)展。

3 復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示及幾何意義內(nèi)容的表征分析

3.1 內(nèi)容分析

復(fù)數(shù)包括代數(shù)表示和三角表示兩種，而復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算在此基礎(chǔ)上也延伸出了代數(shù)表示和三角表示兩種方式，復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法的三角表示形式為探究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義奠定了基礎(chǔ)。在本案例中，分為兩個(gè)主要部分，復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示和幾何意義的探究屬于幾何過程。

復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示運(yùn)算公式的推導(dǎo)過程，需要借助復(fù)數(shù)的乘法法則及兩角和的正弦、余弦公式，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算，得出結(jié)論。該過程屬于代數(shù)過程，也能夠幫助學(xué)生更深刻理解復(fù)數(shù)的模與輻角的概念。

復(fù)數(shù)乘法幾何意義的探究，基于復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)，也一一對應(yīng)與平面向量；同時(shí)基于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角形式，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角之和。從模和輻角兩個(gè)角度出發(fā)，探究復(fù)數(shù)乘法就是向量的伸縮或旋轉(zhuǎn)變換。

3.2 表征分析

（1）符號表征：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角形式——

（2）文字表征：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和。

（3）圖形表征：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，在其中一個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的基礎(chǔ)上，旋轉(zhuǎn)另一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角，模長伸長或伸縮另一個(gè)復(fù)數(shù)的模長倍。

（4）表征間的轉(zhuǎn)換：由符號表征向圖形表征轉(zhuǎn)換——解釋，的幾何意義；例題：

4 教學(xué)設(shè)計(jì)案例

4.1 設(shè)計(jì)思路

復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示是復(fù)數(shù)三角表示的知識的拓展，在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的基礎(chǔ)上探究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，它是“數(shù)”與“形”緊密結(jié)合的產(chǎn)物?；诙嘣碚骼碚?，教學(xué)中要始終注意從視覺化表征和言語化表征兩個(gè)側(cè)面，提出由言語化問題到視覺化問題后及時(shí)提出由視覺化問題到言語化問題，讓學(xué)生在數(shù)與形之間進(jìn)行知識轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從“數(shù)”和“形”的不同側(cè)面展示了數(shù)學(xué)的和諧之美。通過借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件動(dòng)態(tài)化、直觀化、視覺化的媒介作用，能夠更好地用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看問題，即將本來靜止的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算結(jié)果用旋轉(zhuǎn)和伸縮來考察，以此輔助教學(xué)。在這個(gè)過程中，能較好地提高學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)以及讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想。

4.2 知識分析

知識名稱：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義；知識來源：人教A 版必修第二冊第七章第三節(jié)第二課時(shí)“復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義”；教學(xué)重點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義；教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法的幾何意義及利用其解決問題。

4.3 學(xué)情分析

學(xué)生處于高一年級，復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是復(fù)數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它把復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的伸縮與旋轉(zhuǎn)變換，豐富了復(fù)數(shù)的內(nèi)涵。但是教材中僅給出了一般結(jié)論，缺少必要的解釋與相應(yīng)的訓(xùn)練，不少學(xué)生認(rèn)識上不到位，不能順利理解和接受，產(chǎn)生思維上的困難和障礙。

4.4 目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）了解復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及幾何意義，復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示是對復(fù)數(shù)三角表示的應(yīng)用于拓展，拓寬復(fù)數(shù)的內(nèi)涵。

（2）能說出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，會(huì)利用其解決簡單的問題。

（3）在利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義解決問題的過程中，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法。從數(shù)到形的聯(lián)系，幫助學(xué)生加深理解復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，在有形到數(shù)的練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，注重表征間的轉(zhuǎn)換。

4.5 策略設(shè)計(jì)

教學(xué)方法：講授法、問題導(dǎo)學(xué)、演示法、探究法等方法。

設(shè)計(jì)教學(xué)流程：舊知回顧，引入課題→多元化表征，深度理解知識→表征整合，獲得方法技能→完成表征，掌握知識本質(zhì)。

4.6 教學(xué)過程

4.6.1 舊知回顧，引入課題

首先，復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示，幫助學(xué)生回顧所學(xué)知識。引導(dǎo)學(xué)生特別關(guān)注從三角表示的角度來看，復(fù)數(shù)乘法是否能用三角形式表示，又具備怎么的幾何意義，從而引出課題。

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)舊知，發(fā)現(xiàn)知識網(wǎng)絡(luò)有待完善，引導(dǎo)學(xué)生思考新的問題，從而幫助學(xué)生初步形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)。

4.6.2 多元化表征，深度理解知識

探究一：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

（1）提出問題

如果把復(fù)數(shù)z1，z2分別寫成三角形式z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2）你能計(jì)算z1z2并將結(jié)果表示成三角形式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過提出問題，給學(xué)生一定的啟發(fā)，引發(fā)學(xué)生思考，并起到提示的作用。

（2）計(jì)算證明

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，學(xué)生動(dòng)手計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：本過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，同時(shí)鞏固所學(xué)的正弦、余弦公式，在此基礎(chǔ)上形成復(fù)數(shù)乘法的三角表示。

（3）歸納概括

符號表征：

文字表征：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和。

設(shè)計(jì)意圖：符號表征與言語表征的呈現(xiàn)中，通過多媒體軟件，講到積的模的變化時(shí)，將其中的r1、r2分別加粗變色強(qiáng)調(diào)，講到輻角的變化時(shí)，將角度進(jìn)行加粗變色強(qiáng)調(diào)，加強(qiáng)言語與符號表征間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生對復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的各表征之間建立聯(lián)系。

探究二：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義

（1）提出問題

首先，通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，提出問題“由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角形式，你能否找到積與兩個(gè)因數(shù)的相互關(guān)系？（從代數(shù)出發(fā)過渡到幾何）”。

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)問“積與兩因數(shù)之間的關(guān)系”，而不是直接拋出“復(fù)數(shù)乘法具有怎樣的幾何意義”，從多元表征角度，提出的問題更加具象，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就會(huì)更輕松移動(dòng)，同時(shí)這樣更能激發(fā)了學(xué)習(xí)的“欲”，引發(fā)學(xué)生的思考，而不顯得生硬，難懂。

（2）觀察猜想

首先，針對以上提問，引導(dǎo)學(xué)生要解答該問題，需要借助復(fù)平面來表示兩復(fù)數(shù)和兩復(fù)數(shù)的積。接著，通過動(dòng)態(tài)演示兩復(fù)數(shù)以及兩復(fù)數(shù)的積對應(yīng)的平面向量。然后觀察復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示式中積與因數(shù)之間的差異——輻角和模兩方面，進(jìn)而思考，兩復(fù)數(shù)的積是如何在其中一個(gè)復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上生成的？

（2 點(diǎn)說明：1.不同復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，兩復(fù)數(shù)積的生成過程相同；2.當(dāng)其中一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角小于0 和模長大于0 小于1 的情況。）

最后，通過以上操作，得出相應(yīng)的研究結(jié)果。

積的模（長度）：積的模等于各復(fù)數(shù)模的積。它反映在圖上，是在某一模長的基礎(chǔ)上變成另一模長倍，這樣的乘法可以認(rèn)為是在某一復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的基礎(chǔ)上伸長或縮短另一模長而成。即模的變化可以通過伸縮形成。

輻角（角度）：積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和。它反映在圖中，是在某一輻角的基礎(chǔ)上再加上另一個(gè)輻角，這樣的相加可以認(rèn)為是以某一復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為始邊，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)另一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角而成。即輻角相加可以通過旋轉(zhuǎn)形成。

設(shè)計(jì)意圖：基于多元表征理論下的教學(xué)更加注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，從而優(yōu)化知識的呈現(xiàn)方式，通過動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的演示，向量的伸縮與旋轉(zhuǎn)，能夠更清晰地傳遞本節(jié)課的重難點(diǎn)，幫助學(xué)生建立思維的橋梁。這不僅能在思路上給予學(xué)生點(diǎn)撥，更能在探索的過程中獲得新方法（漁）——數(shù)形結(jié)合。

（3）歸納概括

引導(dǎo)學(xué)生理解積與兩個(gè)因數(shù)的相互關(guān)系就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，從而歸納復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。（從復(fù)數(shù)的三角形式出發(fā)得到復(fù)數(shù)乘法的幾何意義）

設(shè)計(jì)意圖：通過歸納概括，學(xué)生能夠在不斷探索中建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)體系，初步達(dá)到了知識目標(biāo)（魚）。

4.6.3 表征整合，獲得方法技能

設(shè)置三個(gè)問題，利用復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行初步的應(yīng)用。

例1，你能解釋i2=-1 和（-1）2=1 的幾何意義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固對復(fù)數(shù)乘法幾何意義的認(rèn)識。第一、二個(gè)問題是從數(shù)到形，第三個(gè)問題從形到數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。通過表征間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生更深刻體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法的奧秘，進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，這個(gè)過程能夠提煉出獲得知識的思想方法（漁）。

4.6.4 完成表征，掌握知識本質(zhì)

（1）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三種表征方式：文字表征、代數(shù)表征、三角表征、幾何表征。

（2）學(xué)習(xí)了今天的課程，那復(fù)數(shù)除法又具備怎樣的幾何意義呢？你能否探究一下？

設(shè)計(jì)意圖：同時(shí)呈現(xiàn)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算的三種表征方式，幫助學(xué)生建立多元表征，同時(shí)學(xué)會(huì)多元表征學(xué)習(xí)。最終通過新問題的提出，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣（欲）。

5 教學(xué)建議

5.1 依托多媒體，提高學(xué)習(xí)效率

數(shù)形結(jié)合是很多數(shù)學(xué)知識中很重要的思想方法，這體現(xiàn)出同一個(gè)數(shù)學(xué)對象能從多個(gè)角度進(jìn)行呈現(xiàn)，這其中“形”的呈現(xiàn)就需要借助于多媒體軟件。依托多媒體軟件能夠讓數(shù)學(xué)對象動(dòng)態(tài)地、直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，幫助學(xué)生形成淺層的心象碼，再輔助于言語表征，幫助學(xué)生理解知識，淺層心象碼與深層心象碼之間的轉(zhuǎn)換，最終提高學(xué)習(xí)效率。比如，在歸納概括復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示時(shí)，分別是模長和輻角的變化，分別歸納模長和輻角的言語表征時(shí)，利用多媒體軟件分別強(qiáng)調(diào)模長、輻角的變化。發(fā)揮多媒體軟件的作用，能夠幫助學(xué)生集中注意力，幫助學(xué)生進(jìn)行從符號表征向文字表征的過渡，提高學(xué)習(xí)效率。

5.2 設(shè)計(jì)有效的教學(xué)過程，降低學(xué)習(xí)負(fù)荷

多元表征理論指導(dǎo)下的教學(xué)要求多元地表征數(shù)學(xué)對象，但在實(shí)際的教學(xué)過程中，過多的表征形式下的數(shù)學(xué)對象不一定對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到正向的作用，有時(shí)不會(huì)減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，反而會(huì)增加。這就要求教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要充分考慮到知識的特征、以及學(xué)生的認(rèn)知水平。比如，在復(fù)數(shù)乘法的三角表示教學(xué)中，學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于三角形式，若此時(shí)在學(xué)習(xí)這個(gè)知識點(diǎn)后，緊接著呈現(xiàn)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的所有表征形式，第一，不會(huì)幫助學(xué)生更好地進(jìn)行多元表征學(xué)習(xí)；第二，對學(xué)生探究幾何意義是沒有幫助的，反而會(huì)造成知識間的混亂，不能更好地進(jìn)行知識間的銜接。

5.3 善于變式教學(xué)，促進(jìn)知識整合和知識遷移。

變式教學(xué)的目的在于多方面地呈現(xiàn)知識，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)多角度地理解知識的本質(zhì)。變式，以本題為基點(diǎn)，延伸出不同水平階段的問題，引發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生對知識進(jìn)行整合，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)知識遷移。不同的變式有不同的教學(xué)效果，比如，由特殊到一般的變式，能減輕知識難度，幫助學(xué)生理解知識本質(zhì)；而從一般到特殊的變式，能幫助學(xué)生應(yīng)用知識，知識整合。針對不同的教學(xué)目標(biāo)，可以選擇不同的變式方式，這樣能夠有效的進(jìn)行教學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。