周正 黃少云

(北京大學(xué)電子學(xué)院,納米器件物理與化學(xué)教育部重點實驗室,固態(tài)量子器件北京市重點實驗室,北京 100871)

串聯(lián)耦合三量子點(serial triple quantum dots,STQD)體系在近十年來受到人們的廣泛關(guān)注,這不僅是提高量子點集成度的一個必然過程,更重要的是可以利用STQD 中一些特定的電荷占據(jù)態(tài)來實現(xiàn)自旋量子比特的快速全電學(xué)調(diào)控.本文運用常相互作用模型,導(dǎo)出了與外部可觀測物理量相關(guān)的STQD 電化學(xué)勢,借助數(shù)值模擬計算得到STQD 在不同中間柵電壓下的線性輸運二維電荷穩(wěn)態(tài)圖(簡稱二維穩(wěn)態(tài)圖),著重研究STQD 的各種電荷占據(jù)態(tài)之間的能量簡并點(簡稱能量簡并點),結(jié)合實驗將STQD 中的能量簡并點歸納為三種類型,對這些能量簡并點的深入理解可以指導(dǎo)實驗高效地尋找STQD 體系中適合量子計算的工作區(qū).

1 引 言

量子計算在理論層面的不斷完善和技術(shù)層面的不斷發(fā)展,吸引了越來越多的實驗工作尋找量子計算的物理實現(xiàn),即在硬件上實現(xiàn)量子計算的方案[1?3].基于半導(dǎo)體量子點的自旋量子比特方案[4],能借助現(xiàn)有成熟的半導(dǎo)體工藝技術(shù)[5],并且在擴展性與可調(diào)控性等方面具有潛在優(yōu)勢,自從1998 年被理論提出后,已經(jīng)發(fā)展成為實現(xiàn)固態(tài)量子計算極具潛力的方案之一[6,7].

經(jīng)過最初十幾年的探索,這一領(lǐng)域內(nèi)的研究人員已經(jīng)可以在單量子點[8]和雙量子點[9?13]中實現(xiàn)量子比特的初始化-操縱-讀出過程.2000 年,美國IBM T.J.Watson 研究中心的DiVincenzo 等[14]在理論上提出,利用三個電子的自旋態(tài)作為一個量子比特,僅借助海森堡交換相互作用就可以實現(xiàn)高速的量子比特操作,從而可以極大地減小由于復(fù)雜的材料或者器件結(jié)構(gòu)帶來的退相干效應(yīng),這一實現(xiàn)量子比特操作的方案被稱為交換量子比特(exchangeonly qubit)方案[15].2006 年,加拿大國家研究理事會微結(jié)構(gòu)科學(xué)研究所的Gaudreau 等[16]在實驗上偶然構(gòu)筑了串聯(lián)三量子點體系(serial triple quantum dots,STQD),為進一步研究三個電子自旋態(tài)的相互作用提供了實驗基礎(chǔ).2010 年,他們在實驗上構(gòu)筑了高度可調(diào)控的STQD,并對三量子點的不同電荷占據(jù)態(tài)進行了初步分析[17].2013 年,哈佛大學(xué)的Marcus 等[18]借助STQD 的(201),(111)和(102)三個電荷占據(jù)態(tài)實現(xiàn)了三電子自旋的交換量子比特.2017 年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的郭國平教授研究組[19]在實驗中借助三量子點的(7,1,3)和(6,2,3)等電荷態(tài)進一步研究了混合量子比特.顯然,深刻理解STQD 各種電荷占據(jù)態(tài)之間的關(guān)系,對于高效地調(diào)控得到量子計算所需要的工作區(qū)至關(guān)重要.電荷占據(jù)態(tài)由與各個柵電壓相關(guān)的電荷穩(wěn)態(tài)圖(stability diagram)來描述[16],嚴格來說,三量子點的電荷穩(wěn)態(tài)圖是一個關(guān)于三個柵電壓變化的三維圖形[20,21].實驗上完全得到這樣的三維圖形需要極大的工作量,故通常采取設(shè)定中間柵電壓不變,通過改變兩端兩個柵電壓的大小來得到STQD 的線性輸運二維穩(wěn)態(tài)圖(以下簡稱二維穩(wěn)態(tài)圖),即三維電荷穩(wěn)態(tài)圖的一個二維切面[17?22],顯然中間量子點的從動狀態(tài)使得這樣的二維穩(wěn)態(tài)圖提供的信息有限.早期的三量子點體系中,對電荷占據(jù)態(tài)及其能量簡并點的討論主要圍繞實驗上有限幾個結(jié)果并配合一定的數(shù)值模擬進行[17?22].實驗上的穩(wěn)態(tài)圖受限于溫度效應(yīng)和量子效應(yīng)對能級的擴展,簡并點附近的量子隧穿產(chǎn)生的能級免交叉,以及隧穿電流較低等因素[22],目前還缺乏在這個體系中對電荷占據(jù)態(tài)及其能量簡并點的系統(tǒng)討論[21],特別是對簡并點之間連續(xù)演化過程的理解,這些問題對快速準確地確定量子計算工作區(qū)帶來了極大的挑戰(zhàn).理論上,借助常相互作用模型并通過數(shù)值模擬計算,可以得到三維電荷穩(wěn)態(tài)圖的任意一個二維截面,需要的計算時間遠遠低于實驗上的測量時間,結(jié)合少量實驗結(jié)果,就可以高效協(xié)助實驗上尋找STQD 合適的量子計算工作區(qū).

本文以一定的實驗參數(shù)為依據(jù),運用常相互作用模型,借助數(shù)值模擬計算的電化學(xué)勢分布圖,得到了STQD 在不同中間柵電壓下的二維穩(wěn)態(tài)圖,消除了實驗上隧穿電流較低等不利因素影響,分類對能量簡并三重點和四重點進行了系統(tǒng)討論,并給出形象化的對應(yīng)電化學(xué)勢示意圖,更直觀地討論STQD 不同電荷占據(jù)態(tài)的關(guān)系以及能量簡并點的性質(zhì),最后與文獻中的實驗結(jié)果對照,在檢驗理論計算正確性的基礎(chǔ)上,還揭示了目前實驗上沒有發(fā)現(xiàn)的一類能量簡并三點.本工作的模擬結(jié)果可以對更進一步理解STQD 的量子輸運性質(zhì)和為實驗上尋找STQD 合適的量子計算工作區(qū)提供參考.

2 常相互作用模型

2.1 理論模型

常相互作用(constant interaction,CI)模型是以半經(jīng)典的方式描述量子點輸運的基本模型[23].常相互作用模型基于以下兩個基本假設(shè):

1) 不同量子點中被限制電子之間的庫侖相互作用,以及任一量子點中被限制電子與周圍環(huán)境(包括源極、漏極和柵極)之間的庫倫相互作用都可以分別用一個為常數(shù)的電容C來描述;

2) 任一量子點中被限制電子所能占據(jù)的量子化能譜不受外電勢和量子點內(nèi)填充電子數(shù)目的影響,整個量子點系統(tǒng)的能量可以用經(jīng)典的靜電能和電子占據(jù)的量子化能之和描述.

基于以上兩條假設(shè),可以構(gòu)建電容網(wǎng)絡(luò)(capacitive network)描述量子點之間以及量子點與源極、漏極、柵極之間的相互關(guān)系,如圖1 所示.這里,源極、漏極、柵極以及量子點均視為均勻體系,可以抽象為節(jié)點(nodes),節(jié)點之間由線段相連,表明它們之間存在相互作用,以一個常電容C來描述.

圖1 電容網(wǎng)絡(luò)Fig.1.Capacitive network.

對圖中的各個元素賦予相關(guān)的物理量:

1) 對每一個節(jié)點編號,例如節(jié)點j,具有一定的電荷Qj和相對于大地的電勢Vj(大地電勢取零);

2) 任意兩個節(jié)點之間,例如節(jié)點j與節(jié)點k之間,都具有耦合電容Cjk(由對稱性可知Cjk=Ckj).假設(shè)共有N個節(jié)點,則節(jié)點j上的電荷Qj可以寫為

其中,Qj0為當(dāng)節(jié)點j與其他所有節(jié)點之間都沒有電勢差時所具有的電荷;qjk為由于第k個節(jié)點與第j個節(jié)點存在電勢差,從而第k個節(jié)點在第j個節(jié)點上由于電容耦合而感生的電荷;Cjk為第j個節(jié)點與第k個節(jié)點之間的耦合電容.

Qj0為當(dāng)節(jié)點j與其他所有節(jié)點之間都沒有電勢差時所具有的電荷.

qjk為由于第k個節(jié)點與第j個節(jié)點存在電勢差,從而第k個節(jié)點在第j個節(jié)點上由于電容耦合而感生的電荷.

進一步定義:

為節(jié)點j的凈電荷(net charge),則(1)式可以重寫為

定義為j節(jié)點的自身電容,即節(jié)點j與外部世界的所有耦合電容之和.

考慮到所有節(jié)點的表達方便,可以將(3)式寫為矩陣形式:

為所有節(jié)點之間的耦合電容矩陣.

進一步把節(jié)點分為兩類:

1) 電荷節(jié)點(charge nodes): 即量子點.量子點用大寫英文字母A,B,C···來表示.實際上量子點之間不僅有電容耦合,還應(yīng)當(dāng)有電阻,以描述電子在量子點之間的輸運,電阻的大小與隧穿勢壘等物理參數(shù)有關(guān)[24,25];

2) 電壓節(jié)點(voltage nodes): 即柵極、源極、漏極.用希臘字母α,β,γ···來表示柵極,用S來表示源極,用D來表示漏極.實際上,源極和漏極與量子點之間的耦合不僅有電容耦合,還應(yīng)當(dāng)有電阻,以描述電子從源漏極進出量子點的過程,電阻的大小與隧穿勢壘等物理參數(shù)有關(guān).而柵極與量子點之間視為理想絕緣,只存在電容耦合.

這樣,把(5)式化為分塊矩陣方程的形式:

僅包含了電荷節(jié)點和電壓節(jié)點之間的電容.

CVV=0.在實際實驗中,源漏電極以及柵電極都與各自的恒壓源相連,故不考慮電壓節(jié)點之間的相互影響.

VD=(VA,VB,···,VZ)T為電荷節(jié)點相對于大地的電勢向量.

VV=(VS,Vα,Vβ,···,Vζ,VD)T為電壓節(jié)點相對于大地的電勢向量,這里僅考慮低源漏偏壓情形,向量中VD=0,VD ＜VS ≈0 .對于載流子的輸運行為,可以認為電子從源極輸運到漏極,空穴從漏極輸運到源極.

接下來,計算電荷節(jié)點的電勢能U,它需要考慮量子點之間的互能和量子點本身的自能,即[26]:

其中VD為電荷節(jié)點相對于大地的電勢向量;CDD為電荷節(jié)點之間的耦合電容矩陣.

量子點的電勢VD并不是一個可觀測量,所以不是我們關(guān)注的量,我們關(guān)注的是可觀測和可調(diào)控的柵電壓和源漏電壓大小(VV)如何影響量子點中的電子數(shù)目(QD),故由(6)式定義有效電荷QeDff:

根據(jù)假設(shè)(2),量子點體系的總能量U(ND) 還應(yīng)當(dāng)包括量子點中的量子化能級,在僅考慮所有量子點處于基態(tài)的情況下:

其中EXn為第X個量子點中的第n級量子化能大小.我們?nèi)藶橐?guī)定EXn上僅能占據(jù)一個電子,如果考慮了簡并(例如自旋簡并或者谷簡并),那么這里相鄰兩個EXn的大小有可能是相同的.

這樣,量子點X的電化學(xué)勢就定義為

μX(NA,NB,···,NX ?1?NX,···)的物理含義即為在其他量子點中電子數(shù)目不變時,第X個量子點增加一個電子所需要的能量.

至此,結(jié)合(8)式—(11)式,導(dǎo)出了量子點總能量和不同量子點電化學(xué)勢與可觀測量(例如柵電壓)之間的關(guān)系.具體的電容參數(shù)可以通過實驗獲得或者估算,例如可以通過調(diào)節(jié)柵電壓將三量子點轉(zhuǎn)化成雙量子點和單量子點來獲取電容參數(shù)[22];量子化能級的大小與具體材料和量子點大小等因素有關(guān),例如在直徑約為30 nm 的InAs 納米線上,由兩個寬度為30 nm,相距70 nm 的指柵定義的量子點,量子化能級差約為1.5 meV[27];背景電荷的大小則與器件中的施主濃度有關(guān)[23,28],可以近似認為是一個常數(shù)[23].接下來,利用常相互作用模型來具體討論STQD.

2.2 STQD 的電化學(xué)勢

STQD 的等效電路和電容網(wǎng)絡(luò)如圖2 所示,從而可以對前面討論過的物理量得到以下具體表達形式,

圖2 STQD 的等效電路Fig.2.Equivalent circuits of STQD.

1) 電荷節(jié)點對應(yīng)的電荷向量:

2) 電荷節(jié)點之間的電容矩陣:

為了方便使用(10)式計算電勢能,對(13)式取逆:

3) 電荷節(jié)點和電壓節(jié)點之間的電容矩陣:

5) 電荷節(jié)點相對于大地的電勢向量:

6) 電壓節(jié)點相對于大地的電勢向量:

在線性輸運的條件下,考慮到VD=0,VD ＜VS ≈0,由(8)式可以得到.

7)有效電荷向量:

綜上,利用(10)式可以計算STQD 系統(tǒng)的總能量如下:

分別被稱為量子點X的單電子充電能和量子點X與量子點Y的相互作用能[20],以上的X,Y,Z指代了量子點A,B,C.以A量子點為例,量子點A的電化學(xué)勢可以利用(11)式定義為

在STQD 中,我們認為EAC ＜EAB,EBC.利用(22)式—(24)式,就可以得到三個量子點的電化學(xué)勢在柵電壓調(diào)制下的變化情況.

3 模擬結(jié)果討論

3.1 STQD 線性輸運二維穩(wěn)態(tài)圖

對于STQD 系統(tǒng),在量子限域情況和線性輸運前提一定的條件下,只有三個可調(diào)控柵電壓,即Vα,Vβ和Vγ.實驗上采用掃描一個柵電壓,同時保持另兩個柵電壓靜態(tài)不變,然后再順序改變兩個靜態(tài)柵電壓的值,重復(fù)第一個柵電壓的掃描,這樣得到STQD 三維電荷穩(wěn)態(tài)圖在一定柵電壓范圍內(nèi)的全貌,對應(yīng)著極大的數(shù)據(jù)量.實際實驗中往往設(shè)定其中一個柵電壓不變,掃描其他兩個柵電壓來減少數(shù)據(jù)量,這樣得到的是三維電荷穩(wěn)態(tài)圖的一個二維切面,即三量子點的二維穩(wěn)態(tài)圖.在本文的模擬中,參考實驗的具體情況[18?20],設(shè)置中間柵電壓Vβ為一個常數(shù),以Vα為縱軸,Vγ為橫軸,借助計算機尋找以下三種情況來繪制STQD 在能量簡并點附近的二維穩(wěn)態(tài)圖[20]:

1) 某一個量子點特定的電化學(xué)勢與源漏費米能級對齊.它代表了電子可以直接由源極隧穿到達該量子點,這個隧穿過程包括直接的順序隧穿和間接的共隧穿[25].如果這個電子在量子點中停留一定時間后進一步隧穿抵達了漏極,且以上過程持續(xù)重復(fù)進行,則形成可觀測的隧穿電流,這個隧穿電流在二維穩(wěn)態(tài)圖中描繪出了該量子點的充電線(charging line)[20,25].

2) 不同量子點特定的電化學(xué)勢相互對齊,它代表了電子可以在這幾個量子點之間實現(xiàn)單電子隧穿,這個過程由于沒有電子由源極輸運到漏極,故不會產(chǎn)生可觀測的隧穿電流,在一般的隧穿電流描繪的二維穩(wěn)態(tài)圖中并不可見.但通過電荷傳感器(charge sensor)可以觀測到該過程產(chǎn)生的單電子電荷再分布[29?31].這個過程產(chǎn)生的可觀測量在二維穩(wěn)態(tài)圖中對應(yīng)了量子點之間的電荷重分布線(charge reconfiguration line)[20,25].

3) 同時滿足條件(1)和條件(2),這種情況在二維穩(wěn)態(tài)圖中一般對應(yīng)了某些特定的點,它們往往是某幾個能量簡并點.

用 (NA,NB,NC) 來表示量子點A具有NA個電子,量子點B具有NB個電子,量子點C具有NC個電子(NA,NB,NC均為正整數(shù)).在低能單電子隧穿的條件下,我們只需研究 (NA,NB,NC) ,(NA+1,NB,NC),(NA,NB+1,NC),(NA,NB,NC+1),(NA+1,NB+1,NC),(NA+1,NB,NC+1) ,(NA,NB+1,NC+1),(NA+1,NB+1,NC+1) 這八個狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)化情況,就可以描述整個STQD 的二維穩(wěn)態(tài)圖.

如圖3 所示為嚴格對稱STQD(A量子點的電容參數(shù)與C量子點的電容參數(shù)相同)的二維穩(wěn)態(tài)圖.我們參考前期的實驗工作選擇了具體的電容參數(shù)[22],見附表A1.不失一般性,我們?nèi)×孔踊芗塃Xn為定值0 meV,背景電荷對應(yīng)的電子個數(shù)NX0為定值 0 .數(shù)值模擬中設(shè)定溫度為絕對零度,不考慮能級展寬,也不考慮只有在能量簡并點附近才重要的隧穿耦合效應(yīng)[25].需要指出的是,圖所示的模擬二維穩(wěn)態(tài)圖是大部分實驗工作中任意選擇一個靜態(tài)柵電壓時具有代表性的測量結(jié)果[20],以不同顏色的區(qū)域分割線表示不同的物理過程,可以分為以下三組:

圖3 在中間量子點柵壓Vβ=0.0106 V 時的STQD 的二維穩(wěn)態(tài)圖.其中紅色線、藍色線和黑色線分別代表了量子點A,B,C 的充電線;黃色線、紫色線以及綠色線分別代表了電荷在量子點A 和B、量子點B 和C 以及量子點A 和C 之間的電荷重分布線;灰色線代表了STQD 點獨有的輸運過程Fig.3.Low source-drain bias charge stability diagram of STQD at Vβ=0.0106 V.Red-,blue-and black-colored lines represent the charging line of quantum dot A,B and C,respectively;Yellow-,purple-and green-colored lines represent charge reconfiguration lines between quantum dots A and B,B and C,and A and C,respectively;Gray-colored line represents a unique transport process of STQD.

1) 紅色線、藍色線和黑色線為一組,它們分別對應(yīng)了量子點A、B和C的充電線.

2) 黃色線、紫色線和綠色線為一組,它們分別對應(yīng)了電子在量子點A和B、量子點B和C以及量子點A和C之間的電荷重分布線.

以上兩組線中有一個量子點處于庫倫阻塞狀態(tài),所以三量子點在形式上等效為雙量子點,相應(yīng)的電荷穩(wěn)態(tài)圖類似雙量子點的情形,也在雙量子點的實驗電荷穩(wěn)態(tài)圖中能找到對應(yīng)的情況[25].

3) 灰色線代表了由于某個電子進入(或退出)量子點A或C,導(dǎo)致STQD 中電子的再分布,即對應(yīng)了 (NA,NB+1,NC) 態(tài) 與(NA+1,NB,NC+1)態(tài)之間的能量簡并狀態(tài),可以認為是來自源極的電子進入A量子點,同時把B量子點中的電子“擠到”C量子點中[16].這是STQD 相對于雙量子點獨有的輸運過程.

3.2 電荷占據(jù)能量簡并三重態(tài)點: 三點

三點(triple point)是指二維穩(wěn)態(tài)圖中三個不同電荷占據(jù)態(tài)簡并的一個點[25].在STQD 系統(tǒng)的模擬二維穩(wěn)態(tài)圖中,可以將三點歸納為以下三類:

第一類三點如圖3 紫色虛線方框所示區(qū)域,將該區(qū)域放大如圖4(a)所示,圖中I區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC),不同顏色的箭頭標識了這類三點的三種表現(xiàn)形式,即綠色箭頭表示A和C兩個量子點電化學(xué)勢對齊,紫色箭頭表示B 和C 兩個量子點電化學(xué)勢對齊,黃色箭頭表示A和B兩個量子點電化學(xué)勢對齊.其中實心點標示了在該簡并點處是電子型輸運.以圖4(a)中的綠色實心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖4(b)所示,它代表了(NA,NB+1,NC),(NA+1,NB+1,NC)、(NA,NB+1,NC+1) 三個狀態(tài)的簡并,可以對應(yīng) (NA,NB+1,NC)→(NA+1,NB+1,NC)→(NA,NB+1,NC+1)→(NA,NB+1,NC)的電子輸運過程,此時電子可以首先由源極共振隧穿至A量子點,接著借助共隧穿通過B量子點到達C量子點,最后共振隧穿至漏極;空心點標示了在該簡并點處是空穴型輸運.以圖4(a)中的綠色空心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖4(c)所示,它代表了 (NA+1,NB+1,NC+1),(NA+1,NB+1,NC),(NA,NB+1,NC+1) 三 個狀態(tài)的簡并,可以對應(yīng)(NA+1,NB+1,NC+1)→(NA+1,NB+1,NC)→(NA,NB+1,NC+1)→(NA+1,NB+1,NC+1)的空穴輸運過程,此時空穴可以由漏極共振隧穿至C量子點、接著借助共隧穿通過B量子點到達A量子點,最后共振隧穿至源極.由此可見,空穴的輸運過程是與電子的輸運過程互補的.這一類三點的特點是: 總有一個量子點處于庫倫阻塞狀態(tài).這類三點可以在實驗中找到對應(yīng)的情況[18].

圖4 第一類三點.其中I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域 (a) 對應(yīng)了圖3 中的紫色虛線方框,這里 V β=0.0106V. 綠色箭頭表示 A 和 C 兩個量子點電化學(xué)勢對齊,紫色箭頭表示 B 和 C 兩個量子點電化學(xué)勢對齊,黃色箭頭表示 A 和 B 兩個量子點電化學(xué)勢對齊,實心點對應(yīng)了電子型輸運,空心點對應(yīng)了空穴型輸運;(b) 圖(a)中綠色實心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和C;(c) 圖(a)中綠色空心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.4.The first type of triple points.Region I refers to (NA,NB +1,NC) charge state: (a) Zoom-in of the purple box in Fig.3 at Vβ=0.0106V.The green-colored arrow indicates the alignment between electrochemical potential of dot A and dot C.The purplecolored arrow indicates the alignment between electrochemical potential of dot B and dot C.The yellow-colored arrow indicates the alignment between electrochemical potential of dot A and dot B.Solid dots correspond to electron transport,and open dots correspond to hole transport;(b) the alignment of electrochemical potential of green-colored solid dot in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively;(c) the alignment of electrochemical potential of green-colored open dot in Figure(a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

第二類三點如圖3 藍色虛線方框所示區(qū)域,將該區(qū)域放大如圖5(a)所示,圖中I 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC),II區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài)(NA+1,NB,NC+1),空心點標示了在該簡并點處是空穴型輸運.以圖5(a)中的藍色空心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖5(c)所示,它代表了(NA+1,NB,NC+1),(NA+1,NB+1,NC) ,(NA,NB+1,NC)三個狀態(tài)的簡并,可以對應(yīng)(NA+1,NB,NC+1)→(NA+1,NB+1,NC)→(NA,NB+1,NC)→(NA+1,NB,NC+1)的空穴輸運過程,此時有一個額外的空穴可以處于B量子點中,也可處于C量子點中,當(dāng)該空穴處于C量子點時,來自漏極的空穴可以借助共隧穿輸運至A量子點;需要指出的是在圖5(a)中并不存在以上空穴型輸運對應(yīng)的電子型輸運的第二類三點.為了顯示對應(yīng)的電子型輸運第二類三點,需要在圖5(a)的基礎(chǔ)上減小Vβ得到如圖5(b)所示的二維穩(wěn)態(tài)圖,實心點標示了在該簡并點處是電子型輸運.以圖5(b)中的藍色實心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖5(d)所示,輸運過程與空穴情況互補.這類三點的特點是: 中間量子點的填充情況會影響兩端量子點的填充情況,如果中間量子點填充了電荷,那么兩端兩個量子點就不會填充電荷.這類三點也可以在實驗中找到對應(yīng)的情況[20].

圖5 第二類三點,其中I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域,II 區(qū)指代的是 (NA+1,NB,NC +1) 區(qū)域 (a) 對應(yīng)了圖3 中的藍色虛線方框,這里 V β=0.0106 V .箭頭指代的空心點標示了在該三點處是空穴型輸運;(b) V β=0.0078 V .箭頭指代的實心點標示了在該三點處是電子型輸運.圖(b)對應(yīng)二維穩(wěn)態(tài)圖的 V β 值小于圖(a)的 V β 值;(c) 圖(a)藍色空心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情 況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和C;(d) 圖(b)藍色實心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.5.The second type of triple points.Region I refers to (NA,NB +1,NC) charge state and region II refers to (NA+1,NB,NC +1) charge state: (a) Zoom-in of the blue-colored box in Fig.3 at V β=0.0106 V .The two arrows indicate triple points of hole transport;(b) at V β=0.0078 V .The two arrows indicate triple points of electron transport. V β of (b) is smaller than that of Figure (a);(c) the alignment of electrochemical potential indicated by the blue-colored open dot in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively;(d) the alignment of electrochemical potential indicated by the blue-colored solid dot in Figure (b).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

第三類三點如圖3 紅色虛線方框所示區(qū)域,將該區(qū)域放大如圖6(a)所示,圖中I 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC) ,II 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài)(NA+1,NB,NC+1),實心點標示了在該簡并點處是電子型輸運.以圖6(a)中的紅色實心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖6(c)所示,它代表了(NA+1,NB,NC),(NA,NB+1,NC)、(NA,NB,NC+1) 三個電荷占據(jù)態(tài)的簡并,可以對應(yīng)(NA+1,NB,NC)→(NA,NB+1,NC)→(NA,NB,NC+1)→(NA+1,NB,NC)的電子型輸運過程.此時有一個額外的電子被三個量子點所共有.為了顯示對應(yīng)的空穴型第三類三點,在圖6(a)的基礎(chǔ)上增大Vβ可以得到如圖6(b)所示的二維穩(wěn)態(tài)圖,空心點標示了在該簡并點處是空穴型輸運.以圖6(b)中的紅色空心點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖6(d)所示,輸運過程與電子情況互補.這類三點的特點是有一個電荷被三個量子點所共有.但可能由于分辨率不高等原因,這類三點目前并沒有在實驗中被找到.

圖6 第三類三點,其中I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域,II 區(qū)指代的是 (NA+1,NB,NC +1) 區(qū)域 (a) 對應(yīng)了圖3 中的紅色虛線方框,這里 V β=0.0106 V .箭頭指代的實心點標示了在該三點處是電子型輸運;(b) V β=0.0167 V .箭頭指代的空心點標示了在該三點處是空穴型輸運.圖(b)對應(yīng)二維穩(wěn)態(tài)圖的 V β 值大于圖(a)的 V β 值;(c) 圖(a)紅色實心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情 況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和C.(d) 圖(b)紅色空心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA、QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.6.The third type of triple points.Region I refers to (NA,NB +1,NC) charge state and region II refers to (NA+1,NB,NC +1) charge state;(a) Zoom-in of the red-colored box in Fig.3 at V β=0.0106 V .The arrow indicates a triple point of electron transport;(b) if (NA,NB,NC)=(1,1,1) ,then V β=0.0167 V .The arrow indicates a triple point of hole transport. V β of Figure (b) is larger than that of Figure (a);(c) the alignment of electrochemical potential indicated by the red-colored solid dot in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively;(d) the alignment of electrochemical potential indicated by the red-colored open dot in Figure (b).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

3.3 電荷占據(jù)能量簡并四重態(tài)點: 四點

四點(quadruple point)是指二維穩(wěn)態(tài)圖中四個電荷占據(jù)態(tài)簡并的一個點[17,20].在如圖所示的STQD 二維穩(wěn)態(tài)圖中并不顯見,這是由于四點的形成需要更苛刻的條件,例如要求三個量子點的電化學(xué)勢分別對齊的同時與源漏費米能級也對齊,在實際實驗中很難通過簡單的、未經(jīng)設(shè)計的柵電壓設(shè)置達到,往往需要對量子點的精密電學(xué)調(diào)控才能觀察到.而借助數(shù)值模擬計算,可以靈活調(diào)節(jié)Vβ值,進而系統(tǒng)地討論STQD 穩(wěn)態(tài)圖中的四點性質(zhì).結(jié)合實驗中的具體情況,將模擬得到的四點歸納為以下三類:

第一類四點如圖7(a)和圖7(b)兩個圖中的箭頭所示,圖中I 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC),II 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA+1,NB,NC+1),圖7(b)的Vβ值略大于圖(a)的Vβ值.圖7(a)中的棕色實心點標示了在該四點處是電子型輸運,電化學(xué)勢對齊情況如圖7(c)所示,它代表了 (NA,NB,NC),(NA+1,NB,NC),(NA,NB+1,NC),(NA,NB,NC+1)四個電荷占據(jù)態(tài)的簡并,可以對應(yīng)(NA,NB,NC)→(NA+1,NB,NC)→(NA,NB+1,NC)→(NA,NB,NC+1)→(NA,NB,NC)的電子輸運過程.此時來自源極的電子可以分別占據(jù)A,B,C三個量子點或者三個量子點都不占據(jù),共四種情況.圖7(b)中的棕色空心點標示了在該四點處是空穴型輸運,電化學(xué)勢對齊情況如圖7(d)所示,其輸運過程與電子情況互補.這類四點也可在實驗中找到對應(yīng)的情況[17].

圖7 第一類四點,其中I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域,II 區(qū)指代的是 (NA+1,NB,NC +1) 區(qū)域 (a) 在Vβ=0.0109 V下的二維穩(wěn)態(tài)圖.箭頭指代的實心點對應(yīng)了電子輸運的四點;(b) V β=0.0166 V .箭頭指代的空心點對應(yīng)了空穴輸運的四點.圖(b)對應(yīng)二維穩(wěn)態(tài)圖的 V β 值大于圖(a)的 V β 值;(c) 圖(a)棕色實心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和C;(d) 圖(b)棕色空心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.7.The first type of quadruple points.Region I refers to (NA,NB +1,NC) charge state and region II refers to (NA+1,NB,NC +1) charge state: (a) Charge stability diagram at V β=0.0109 V .The arrow indicates a quadruple point of electron transport;(b) at V β=0.0166 V .The arrow indicates a quadruple point of hole transport. V β of Figure (b) is larger than that of Figure (a);(c) the alignment of electrochemical potential indicated by the brown-colored solid dot in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively;(d) the alignment of electrochemical potential indicated by the brown-colored open dot in Figure (b).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

第二類四點如圖8 中的箭頭所示,圖中I 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC),II 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA+1,NB,NC+1) ;這類四點由兩個分別為電子型和空穴型的第二類三點合并而成,故本身就可以代表電子輸運和空穴輸運兩個過程.以圖8(a)中的橘黃色點為例,電化學(xué)勢對齊情況如圖8(b)所示,它代表了 (NA,NB,NC+1) ,(NA+1,NB,NC+1),(NA,NB+1,NC+1),(NA,NB+1,NC) 四個電荷占據(jù)態(tài)的簡并.可以對應(yīng)(NA,NB,NC+1)→(NA+1,NB,NC+1)→(NA,NB+1,NC+1)→(NA,NB+1,NC)→(NA,NB,NC+1)的電子輸運過程,輸運情況是來自源極的電子可以進入量子點A或B或者都不進入,如果該電子進入量子點B,那么C量子點中的電子就可以輸運到漏極,共四種情況.也可以對應(yīng)(NA,NB+1,NC+1)→(NA,NB+1,NC)→(NA,NB,NC+1)→(NA+1,NB,NC+1)→(NA,NB+1,NC+1)的空穴輸運過程,輸運情況是來自漏極的空穴可以進入量子點C或B或者都不進入,如果該空穴進入量子點B,那么A量子點中的空穴就可以輸運到源極.這類四點也可以在實驗中找到對應(yīng)的情況[20].

圖8 第二類四點 (a) 在 V β=0.0138 V 下的二維穩(wěn)態(tài)圖.I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域,II 區(qū)指代的是(NA+1,NB,NC +1)區(qū)域.箭頭對應(yīng)了四點的位置;(b) 圖(a)橘黃色點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.8.The second type of quadruple points: (a) Charge stability diagram at V β=0.0138V .Region I refers to (NA,NB +1,NC)charge state and region II refers to (NA+1,NB,NC +1) charge state.The arrows indicate the position of quadruple points;(b) the alignment of electrochemical potential indicated by the orange-colored point in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

第三類四點如圖9(a)和圖9(d)中的箭頭所示,圖中I 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA,NB+1,NC),II 區(qū)指代了電荷占據(jù)態(tài) (NA+1,NB,NC+1) .我們發(fā)現(xiàn)在附表A1 所示的電容參數(shù)下,第三類四點形成的同時,I 區(qū)和II 區(qū)在二維穩(wěn)態(tài)圖中從一個區(qū)域變成了一個點,如圖9(a),圖9(b),圖9(c)與圖9(d)所示.圖9(a)中灰色實心點標示了在該四點處是電子型輸運,電化學(xué)勢對齊情況如圖9(e)所示,它代表了 (NA+1,NB,NC) ,(NA,NB+1,NC),(NA,NB,NC+1),(NA+1,NB,NC+1) 四個電荷占據(jù)態(tài)的簡并,可以對應(yīng)(NA+1,NB,NC)→(NA,NB+1,NC)→(NA,NB,NC+1)→(NA+1,NB,NC+1)→(NA+1,NB,NC)的電子輸運過程.灰色實心點的輸運情況是首先一個電子可以在A,B,C三個量子點之間自由輸運,另外,當(dāng)該電子占據(jù)C量子點時,來自源極的另一個電子可以進入A量子點中,共四種情況.圖9(d)中的灰色空心點對應(yīng)了空穴型輸運,電化學(xué)勢對齊情況如圖9(f)所示,輸運過程與電子情況互補.這類四點也可以在實驗中找到對應(yīng)的情況[17,32].

圖9 第三類四點,其中I 區(qū)指代的是 (NA,NB +1,NC) 區(qū)域,II 區(qū)指代的是 (NA+1,NB,NC +1) 區(qū)域 (a) 這里 V β=0.0102 V .箭頭指代的四點對應(yīng)了電子輸運;(b) V β=0.0104 V .圖(b)對應(yīng)二維穩(wěn)態(tài)圖的 V β 值稍大于圖(a)的 V β 值;(c) V β=0.0170 V .圖(c)對應(yīng)二維穩(wěn)態(tài)圖的 V β 值稍小于圖(d)的 V β 值;(d) V β=0.0172 V. 箭頭指代的四點對應(yīng)了空穴輸運;(e) 圖(a)灰色實心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和C;(f) 圖(d)灰色空心點對應(yīng)的電化學(xué)勢對齊情況,QDA,QDB 和QDC 分別指代的是量子點A,B 和CFig.9.The third type of quadruple points.Region I refers to (NA,NB +1,NC) charge state and region II refers to (NA+1,NB,NC +1) charge state: (a) Charge stability diagram at V β=0.0102 V .The arrow indicates a quadruple point of electron transport;(b) at V β=0.0104 V . V β of Figure (b) is a little bit larger than that of Figure (a);(c) at V β=0.0170 V . V β of Figure (c) is a little bit smaller than that of Figure (d);(d) at V β=0.0172 V .The arrow indicates a quadruple point of hole transport;(e) the alignment of electrochemical potential indicated by the gray-colored solid dot in Figure (a).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively;(e) the alignment of electrochemical potential indicated by the gray-colored open dot in Figure (d).QDA,QDB and QDC refer to quantum dot A,B and C,respectively.

以上分類詳細討論了三點和四點的相關(guān)性質(zhì).形式上,以理論方式再現(xiàn)了三量子點輸運中的三點和四點;另一方面,由于數(shù)值計算的便利性,也可以通過連續(xù)地調(diào)節(jié)Vβ值很方便地再現(xiàn)三點到四點之間的轉(zhuǎn)變過程,這些便利性可以幫助我們在實際實驗中設(shè)定高效的實驗方案.STQD 二維穩(wěn)態(tài)圖的系統(tǒng)數(shù)值構(gòu)建,對于進一步利用STQD 實現(xiàn)各種量子調(diào)控具有積極的指導(dǎo)意義.

例如,可以將STQD 調(diào)至圖4(a)所示的工作區(qū),通過合理地調(diào)節(jié)Vα和Vβ,可以改變電子之間的海森堡交換能,實現(xiàn)STQD 系統(tǒng)在(NA+1,NB,NC) (NA,NB+1,NC) 以 及 (NA,NB,NC+1) 三 個態(tài)之間的相互作用,進而實現(xiàn)交換量子比特[18];借助電子自旋共振(ESR)技術(shù)在圖4(a)所示的工作區(qū)還可以實現(xiàn)電子自旋的快速調(diào)控[33].除此之外,借助圖4(a)中綠色箭頭所示的三點,可以研究量子點A與量子點C之間的遠距離傳輸問題[22],實現(xiàn)“遠距離”電荷傳輸對于提高交換作用自旋量子比特運行效率[14]和實現(xiàn)電子自旋態(tài)的遠距離傳輸有著非常重要的意義[34,35];利用第三類三點或第一類四點,可以靈活調(diào)節(jié)電子在量子點中的位置,借此可以進一步利用STQD 研究量子元胞自動機[16];如果利用單電子自旋作為量子比特,可以借助雙量子點實現(xiàn)CNOT 門的應(yīng)用[36],進而利用第三類三點或第一類四點附近的工作區(qū)研究三量子比特Toffoli 門[37].總之,對于能量簡并點的深入理解可以為我們尋找STQD 合適量子計算的工作區(qū)提供積極指導(dǎo).

4 結(jié) 論

本文運用常相互作用模型,以一定的實驗參數(shù)為基礎(chǔ),借助數(shù)值模擬計算得到了STQD 的二維穩(wěn)態(tài)圖,不僅可以很好地重現(xiàn)以往借助實驗得到的STQD 二維穩(wěn)態(tài)圖,還可以借助理論計算模擬保證高的清晰度以及靈活地調(diào)整各類參數(shù),降低實驗工作量,從而高效系統(tǒng)地討論STQD 穩(wěn)態(tài)圖的相關(guān)性質(zhì).本文為研究理解STQD 的輸運過程、為利用STQD 實現(xiàn)交換量子比特或者混合量子比特乃至進一步利用STQD 更深入地研究量子輸運現(xiàn)象、為量子計算和量子模擬提供了參考基礎(chǔ).

感謝北京理工大學(xué)儀器科學(xué)與技術(shù)專業(yè)曹非凡同學(xué)在程序編寫方面的指導(dǎo).

附錄A

表1 STQD 二維穩(wěn)態(tài)圖模擬使用的電容參數(shù)(圖3 — 圖9的電容參數(shù)),參考自文獻[22] 中的相關(guān)實驗值Table A1. The capacitance parameters used to reproduce the charge stability diagram shown in Fig.3 — Fig.9.The quantity of each parameters is cited from Ref.[22].