張洪碩 周勇壯 沈詠 鄒宏新

(國防科技大學,理學院量子信息研究所,長沙 410073)

離子阱中囚禁的離子在滿足庫侖耦合條件下,會形成庫侖晶體,其結構分布和運動軌跡由離子阱的參數(shù)和離子種類決定.本文采用分子動力學模擬軟件LAMMPS 和(py)LIon 程序包,仿真了40Ca+在線型離子阱中庫侖晶體的形成過程,以及不同位置離子的微運動和宏運動軌跡.另外,本文還對混入少量同位素離子(44Ca+)和氫化鈣離子(CaH+)后的40Ca+晶體結構進行了仿真,并對混入前后形成的庫侖晶體結構變化進行對比和分析,期望能對離子阱實驗中形成的暗離子進行識別和處理.

1 引 言

1953 年第一個四極質(zhì)譜儀由德國科學家Paul等[1]提出,1959 年Fischer 實現(xiàn)了Paul 阱[2],同年Dehmelt 等實現(xiàn)了Penning 阱[3].當離子阱系統(tǒng)滿足庫侖耦合條件時,阱中囚禁的離子會形成庫侖晶體,這是一種由經(jīng)典電磁相互作用導致的相同帶電粒子的固定排布,但在實際應用中又會受到量子力學的影響[4].

庫侖晶體的研究和應用前景十分廣泛.在非線性動力學方面,庫侖晶體中存在著粒子的混沌行為,晶體結構穩(wěn)定性與晶體頻率和射頻頻率的比例相關[5].在熱力學和統(tǒng)計物理方面,從一維離子串到二維鋸齒形結構再到三維橢球結構相變過程中,出現(xiàn)的缺陷位置符合Kibble-Zurek 模型的預測,進而引出了對稱性破缺問題的討論,而單個雜質(zhì)離子在離子串中的熱運動涉及到的是Frenkel-Kontorova模型[6,7].在核物理方面,Penning 阱中形成的庫侖晶體中存在雜質(zhì)離子碰撞現(xiàn)象,這與致密恒星熱核聚變類似[8].在腔量子電動力學方面,庫侖晶體中的離子由于幾乎靜止,且離子彼此之間和離子與環(huán)境被較好的隔離,其內(nèi)部電子態(tài)可以被高精度控制,因而可以作為單光子水平下原子和光相互作用的理想研究對象[9].在量子信息處理方面,當糾纏態(tài)下的離子數(shù)目達到邊帶冷卻的囚禁極限時,需要保持在不同的離子阱中或相同離子阱中的不同囚禁位置,來滿足不同區(qū)域特定離子之間的門操作等,因而庫侖晶體可以應用于量子位日益增多的系統(tǒng)中[10].在量子模擬方面,庫侖晶體作為量子比特比二進制的經(jīng)典計算機有著天然的優(yōu)勢,同時也滿足系統(tǒng)中離子穩(wěn)定和與環(huán)境隔離的條件.在量子邏輯光譜學方面,通過激發(fā)雙離子庫侖晶體的振動模式,將光譜學離子的電子狀態(tài)信息傳遞到邏輯離子,對邏輯離子進行激光冷卻和狀態(tài)檢測,進而實現(xiàn)對光譜離子進行超分辨率光譜分析[11].

關于庫侖晶體基本結構性質(zhì)的研究,在實驗方面,庫侖晶體結構參數(shù)的測量主要涉及徑向和軸向幾何參數(shù)、宏運動和微運動頻率以及離子阱參數(shù)與空間尺度關系等[12].通過調(diào)整離子阱參數(shù),可以實現(xiàn)庫侖晶體從一維至三維的相變,其中三維庫侖晶體具有螺旋結構[13].多組分庫侖晶體往往采用協(xié)同冷卻的方式,由于經(jīng)常選取相對質(zhì)量相差較大的離子,因而具有明顯的分層現(xiàn)象,如24Mg+,40Ca+等.也有選取較高電荷數(shù)離子的雙組份晶體,如Ho14+和Be+,其排布方式與離子的荷質(zhì)比和空間電荷效應相關[14,15].另外,調(diào)控離子阱參數(shù)可以精密控制庫侖晶體,減小附加微運動等[12,16,17].在理論和仿真方面,現(xiàn)有研究主要涵蓋了不同類型的離子阱中形成的庫侖晶體結構,如四極阱、Penning阱、八極阱等[18].另外還有多組分庫侖晶體的仿真,離子數(shù)量較多且荷質(zhì)比相差較大時,庫侖晶體有同心球殼的結構,而荷質(zhì)比相差較小時分層不明顯[19?22].在仿真嚴格的真空相變條件、分子動力學模擬上的優(yōu)化等方面也有一些研究[23,24].在以往庫侖晶體仿真方面,往往偏重于庫侖晶體結晶后的狀態(tài),對不同位置和在冷卻過程中離子運動軌跡研究相對較少.值得一提的是,在離子阱實驗中經(jīng)常遇到的暗離子問題,目前已開展了很多相關研究,如基于暗離子的數(shù)目變化的離子反應過程研究[25],對協(xié)同冷卻作用下單個暗離子的成像研究[26],對激光冷卻下與暗離子相關的碰撞系數(shù)研究等[27].本文針對多離子協(xié)同冷卻的動力學問題,在庫侖晶體中用暗離子替換了特定位置的離子,研究了離子晶體的動態(tài)演化過程.

LAMMPS(large-scale atomic/molecular massively parallel simulator)是由美國桑迪亞國家實驗室聯(lián)合天普大學開發(fā)的基于C++的開源經(jīng)典分子動力學模擬軟件包,已被廣泛應用于物理學、化學、材料科學、生物學等多個領域[28].由于LAMMPS 的建模需要自行建?；蛘叩谌杰浖?因而Bentine 等[29]開發(fā)了一款基于Python 的針對線型離子阱中庫侖晶體仿真的外部程序包(py)LIon,本文工作便是在此基礎上完成的.

本文采用分子動力學模擬軟件LAMMPS 和(py)LIon 程序包,基于線型離子阱囚禁鈣離子開展了庫侖晶體結構和運動軌跡的模擬仿真.對單組分的鈣離子庫侖晶體形成過程中的動能和溫度變化進行分析,也對多組分荷質(zhì)比相差比較大的庫侖晶體結構進行仿真.鈣離子阱中可能混入同位素離子(44Ca+)和氫化鈣離子(CaH+),分析其對庫侖晶體結構的影響,結果表明,在一定條件下有可能通過對離子阱中庫侖晶體成像實現(xiàn)對暗離子種類的識別,這對基于離子阱的相關應用和實驗研究具有一定的指導意義.

2 線型離子阱模型

關于線型離子阱的物理結構,主要是由加載高頻交變電壓的四極桿和兩端的端蓋直流電壓組成,另外在實驗中往往會在四極桿的多個位置施加額外的直流修正電極,囚禁場電勢的表達式為(1)式,其中Urf為射頻電壓、Ωrf為射頻電壓的頻率、2r0為離子阱的內(nèi)徑、Uend為端蓋電壓、2z0為有效極桿的長度(端蓋電壓之間的距離)、κr為徑向幾何參數(shù)、κz為軸向幾何參數(shù),x和y為徑向方向,z為軸向方向.其徑向和軸向宏運動的頻率表達式如(2)和(3)式:

在線型離子阱中形成庫侖晶體還需要施加激光冷卻、郎之萬熱浴等方式進一步限制離子的運動,如(4)式所示:

離子在滿足等離子體耦合參數(shù)?！?175 的情況時,在離子阱中可以形成庫侖晶體,其中Q是粒子電荷,a是與粒子密度相關的Wigner-Seitz 半徑,kB是玻爾茲曼常數(shù),T是粒子溫度[30].

本文通過設定離子阱的參數(shù)并生成LAMMPS輸入文件,傳輸給LAMMPS 運行得到輸出結果,而后在Python 中對仿真結果進行進一步地分析處理[29].在(py)LIon 的主程序中可將單線程修改為多線程,這在運行多離子體系時可以提升一定的運行速度.(py)LIon 工具包將激光冷卻對離子的作用力Fl等價為與速度成正比的反向阻尼力(常量阻尼參數(shù)β),如(5)式,大部分仿真中一般小于βmax≈π2?/λ2[22,29,31].而這在仿真中計算冷卻極限時并不夠嚴謹,因而根據(jù)參考文獻[32]中多普勒激光冷卻的半經(jīng)典理論,在原工具包中加入新的激光冷卻函數(shù)如(6)—(8)式和自發(fā)輻射反向沖量函數(shù)如(9)和(10)式,其中Δ為激光失諧量,Γ為自然線寬,Ω為拉比振蕩頻率,k為波矢,ρee為激發(fā)態(tài)概率[32].由于Fr的方向是隨機的,在仿真中可以通過隨機的球坐標中方位角φ和仰角θ的來給定方向.另外,還存在著離子吸收光子的離散過程對冷卻力的影響,形式與Fr相同,同樣有著加熱作用.[32]在冷卻激光弱飽和(共振飽和參數(shù)s0=2?2/Γ2→0),且激光失諧量Δ為自然線寬Γ的1/2 的狀態(tài)下,當加熱功率與冷卻功率相等時,可以得到多普勒冷卻極限,如(11)式,其中 ? 為約化普朗克常數(shù)[32,33].

仿真得到每個時間步長下的離子坐標和瞬時速度,進而生成離子的三維運動軌跡.由于庫侖晶體中離子的宏運動動能貢獻了主要的總動能,因而可以計算多個微運動周期的動能平均值來衡量庫侖晶體的總動能和溫度隨時間的變化.[22]具體由(12)和(13)式給出,其中J為一個RF 周期(微運動周期)所包含的時間步長數(shù)量,α取x,y,z三個方向,N為總離子數(shù),〈〉為多個RF 周期下的速度平均值,Esec為宏運動動能,Tsec為宏運動溫度[22].另外動能與溫度的關系如(14)式:

3 仿真結果與分析

3.1 鈣離子庫侖晶體

使用參考文獻[34]的參數(shù),采用激光冷卻方式模擬了34 個40Ca+形成的庫侖晶體.具體參數(shù)為Uec=1 V,Urf=252.4 V,Ωrf=2π×5.634 MHz,r0=3.5 mm,z0=5.0 mm,κz=0.17[34].針對阱中的離子施加一束在x,y和z軸上均有相同分量的激光.根據(jù)阱參數(shù)定義時間步長(timestep)為8.875×10–9s,總時間為107個時間步長,1 個微運動周期包含20 個時間步長,而當采樣間隔為微運動周期的倍數(shù)時,可以得到僅包含宏運動的軌跡.繪制了位于頂部(靠近晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸)和中部偏下(偏離旋轉(zhuǎn)對稱軸)的兩個離子的運動軌跡,為方便之后的描述,分別將其記為離子1 和離子2.

圖1(a)所示為庫侖晶體形成穩(wěn)定后,在10 個微運動周期下的平均位置,離子1 和離子2 分別用紅色的“×”和“+”來標記.圖1(b)是兩個離子加載了微運動的宏運動軌跡在徑向平面上的投影,總時間為20 個微運動周期(1 個宏運動周期,即離子往復運動的一個周期),采樣間隔為1 個時間步長,由淺至深的灰度表示軌跡隨時間的演化,左側為離子1 的運動軌跡,右側為偏離z軸的離子2 軌跡.圖1(c)是最后100 個微運動周期下,兩個離子到旋轉(zhuǎn)對稱軸的距離隨時間的變化.由于離子1 的運動軌跡經(jīng)過旋轉(zhuǎn)對稱軸,因而其距離變化的曲線(紅色)相對平滑,而離子2 的曲線(藍色)有明顯的鋸齒.從圖中可以得出離子1 的宏運動軌跡更加對稱,離子2 的微運動幅度要強于離子1.

圖1 激光冷卻下不同位置離子的微運動和宏運動軌跡比較 (a)34 個40Ca+組成的庫侖晶體在10 個微運動周期下的平均位置,“×”和“+”所在位置為選取的離子1 和2;(b)兩個離子在徑向平面上加載了微運動的宏運動軌跡,灰度代表時間演化;(c)兩個離子與旋轉(zhuǎn)對稱軸的距離隨時間的演化,紅色平滑曲線是離子1 的變化曲線,藍色曲線是離子2 的變化曲線Fig.1.Micromotion and secular motion of ions at different positions under laser cooling: (a) The average position of Coulomb crystals composed of 34 40Ca+ in 10 micromotion cycles,the positions of × and+are the selected particles 1 and 2;(b) the secular motion trajectory loaded with micromotion on the radial plane of the two particles,the gray scale represents the time evolution;(c)the evolution of the distance between the particle and axial rotational axis of symmetry evolving over time.The red smooth curve is for particle 1,and the blue curve is for particle 2.

為了進一步分析,圖2 是在不同的演化時間下離子1 和2 與旋轉(zhuǎn)對稱軸的距離變化,8×106個時間步長下的變化曲線由黃色上三角標記,107個時間步長由紅色“×”標記,1.5×107個時間步長由藍色圓形標記,2×107個時間步長由綠色下三角標記.可以觀察到其宏運動的振幅隨著時間演化會不斷增大,這說明在庫侖晶體形成一段時間后,整體溫度會緩慢升高,同時說明庫侖晶體存在壽命，這也可能是由于算法誤差積累導致的.

圖2 激光冷卻下離子1 和離子2 的徑向微運動和宏運動對比（1000 個時間步長）.不同顏色表示不同演化時間后的運動軌跡：0.8×107 個時間步長(黃色上三角),107 個時間步長(紅色“×”),1.5×107 個時間步長(藍色圓形),2×107 個時間步長(綠色下三角)Fig.2.Comparison of radial micromotion and secular motion of ion 1 and ion 2 over 1000 timesteps under lasercooling.Different colors represent the trajectory of motion after different evolution times: 8×106 timesteps (yellow),107 timesteps (red),1.5×107 timesteps (blue),2×107 timesteps(green).

由于庫侖晶體早在106個時間步長之前就已經(jīng)大致形成,因此本文繪制了不同時刻下庫侖晶體的溫度變化如圖3,最終冷卻溫度可以降至3.02 mK,時間范圍是0—4×105(時間步長),采樣間隔為1000 個時間步長,(8)式中用于平均動能的微運動周期數(shù)量為10,其中在初始段存在溫度上升的階段，這是由于初始條件并非穩(wěn)定狀態(tài)而造成的.

圖3 激光冷卻下34 個40Ca+形成的庫侖晶體溫度隨時間的變化曲線,時間范圍是0—0.4×106 個時間步長Fig.3.Temperature of Coulomb crystals formed by 34 40Ca+under laser cooling,the time range is 0 —0.4 × 106 timesteps.

值得一提的是,本文模擬了單個離子在線型離子阱中的冷卻過程,使用了上文提到的新加入到工具包中的激光冷卻函數(shù)和加熱函數(shù),其中40Ca+的397 nm 激光對應能級躍遷的自然線寬Γ約為22.4 MHz,在激光弱飽和的狀態(tài)下,得到其冷卻極限為0.536 mK,其冷卻過程的溫度和速率變化如圖4 所示.

圖4 單個40Ca+在線型離子阱中的冷卻過程(a)溫度隨時間的變化(b)速度隨時間的變化,藍色、綠色和紅色曲線分別對應在x,y 和z 方向上的速度平均值變化Fig.4.The cooling process for a single 40Ca+ in a linear ion trap: (a) The change in temperature over time;(b) the change in speed over time.The blue,green,and red curves correspond to changes in the average velocity in the x,y,and z direction respectively.

3.2 多組分庫侖晶體

在之前的研究中有不少是通過協(xié)同冷卻的方式對多組份庫侖晶體進行的研究,這在離子的荷質(zhì)比相差比較大的情況下,庫侖晶體才會有比較明顯的分層排布[22].本文仿真了4 種荷質(zhì)比的離子,Q∶M分別為1∶40,1∶80,1∶120 和1∶160,離子阱參數(shù)設定與之前相同,初始每種離子各125 個,同樣采用協(xié)同冷卻的方式,對荷質(zhì)比為1∶40 的離子施加激光冷卻,其他離子在庫侖相互作用下也會得到冷卻,演化時間為3.5×106個時間步長.圖5 為4 種不同荷質(zhì)比的離子形成的庫侖晶體,用不同的顏色形狀來區(qū)分.圖中可以明顯看到其分層現(xiàn)象,越靠近中心其荷質(zhì)比越大,在三維結構上有類似圓柱殼的結構,而在徑向平面投影上有近似圓形的排布方式.本文進一步計算了徑向平面投影上的類圓排布結構的平均半徑和間隔,如表1 數(shù)據(jù).由計算可知,最外層荷質(zhì)比為1∶160 的離子,沒有嚴格按照1∶1 的間隔方式排布,可能的原因是最外層離子數(shù)目不夠充足,雖然形成了類似圓柱殼結構的排布方式,但是軸向方向上部分離子更加靠近中心部分,導致整體結構向外凸,在徑向平面上殼壁厚度增大,在軸向平面上圓柱高度變短.

表1 4 種荷質(zhì)比離子組成的類圓排布結構信息Table 1. Information on the circle-like arrangement of four charge-to-mass ratio ions.

圖5 4 種不同荷質(zhì)比的離子在庫侖晶體中的排布.離子種類分別為1∶40(藍色圓形),1∶80(紅色下三角),1∶120(黃色“×”),1∶160(綠色上三角)(a)為三維圖片;(b)為軸向平面投影;(c)為徑向平面投影Fig.5.The arrangement of ions with four different charge-to-mass ratios in the Coulomb crystal.Ion types are 1∶40 (blue circle),1∶80 (red lower triangle),1∶120 (yellow ×),1∶160 (green upper triangle) separately: (a) Three-dimensional image;(b) axial plane image projection;(c) radial plane image projection.

3.3 Ca+庫侖晶體中混入相關雜質(zhì)對晶體結構的影響

自然界鈣的同位素中占比最多的前兩位是40Ca 和44Ca,豐度分別為96.941%和2.086%[35].在鈣離子阱實驗中可能會引入同位素44Ca+和氫化離子CaH+,由于荷質(zhì)比相差不大,其分層結構不太明顯.如圖6 所示,首先仿真了125 個40Ca+、8 個CaH+和8 個44Ca+形成的庫侖晶體.在徑向平面投影上CaH+和44Ca+均位于庫侖晶體外側,而44Ca+位于更靠近外側.

圖6 多組分庫侖晶體結構,包含36 個40Ca+(藍色圓形),8 個CaH+(紅色下三角形)和8 個44Ca+(黃 色“×”)(a)三維圖片;(b)軸向平面投影;(c)徑向平面投影Fig.6.Multicomponent Coulomb crystal structures,36 40Ca+ (blue circle),8 CaH+ (red upper triangle) and 8 44Ca+ (yellow ×):(a) Three-dimensional image;(b) axial plane image projection;(c)radial plane image projection.

由于同位素離子和氫化離子形成的暗離子無法直接觀測,可間接分析其對周圍離子排布的影響.本文仿真了8 個40Ca+離子形成一維離子串的庫侖晶體,如圖7 所示.在3 種離子組合的情況下進行了仿真,第1 組為8 個40Ca+,第2 組為7 個40Ca+和1 個CaH+,第3 組 為7 個40Ca+和1 個44Ca+.從軸向角度來看,離子串軸向排布間隔整體上沒有太大的變化,而從徑向角度來看,44Ca+對周圍40Ca+離子的排布影響較大,造成了納米量級上的位置變動(最大為1.70 nm),但目前的實驗手段無法觀測到.而對于CaH+的混入,在成像上只會觀察到出現(xiàn)了暗離子,但基本對40Ca+的排布基本無影響.

圖7 由8 個40Ca+形成的離子串在兩種混入雜質(zhì)的情況下排布方式的對比,兩種情況分別為混入1 個氫化離子(CaH+)或者1 個同位素離子(44Ca+)Fig.7.Comparison of the arrangement of the ion string formed by pure 40Ca+ and ion string containing 1 hydride ion (CaH+) or 1 isotopic ion (44Ca+).

如圖8 所示,本文仿真了16 個40Ca+離子形成二維平面結構的庫侖晶體,同樣分為3 種情況.圖8(a)是16 個40Ca+形成的庫侖晶體,紅色標記“×”為另外兩種情況下替換40Ca+的位置,綠色實線是選取在圖8(b)中進行對比的部分.圖8(b)中第1 組為16 個40Ca+,用藍色點和連線標記,第2 組為15 個40Ca+和1 個CaH+,用黃色點和連線標記,第3 組為15 個40Ca+和1 個44Ca+用綠色點和連線標記.另外,CaH+用紅色 “+” 標記,44Ca+用紅色“×”標記,橫坐標為離子在二維庫侖晶體平面的位置.同樣從軸向角度看,在整個庫侖晶體的軸向間隔沒有太大的變化,而徑向角度來看,44Ca+對離子串的排布影響較大,對附近40Ca+排布的最大影響為0.453 μm,這在目前的實驗手段是可以觀察到的,而CaH+的影響相對較小,最大為0.154 μm.

圖8 由16 個40Ca+形成的平面庫侖晶體在兩種混入雜質(zhì)的情況下排布方式的對比.兩種情況分別為混入1 個氫化離子(CaH+)和1 個同位素離子(44Ca+)(a)三維圖片;(b)軸向平面投影的對比Fig.8.Comparison of the arrangement of the planar Coulomb crystal formed by 16 pure 40Ca+ and Coulomb crystal containing 1 hydride ion (CaH+) or 1 isotopic ion (44Ca+): (a) three-dimensional image;(b) axial plane image projection.

多個離子的庫侖晶體呈現(xiàn)出類似DNA 的螺旋結構[13].本文仿真了36 個40Ca+,分別混入1 個CaH+或1 個44Ca+所形成的庫侖晶體,如圖9 所示,按照與圖7 相同的方式進行了標識,區(qū)別是選取對比的部分是被替換的離子所在的螺旋線.在徑向方向來看,通過計算替換離子對所在螺旋線上所有40Ca+造成位置變化，得到44Ca+造成最大的影響為0.314 μm,而CaH+最大影響為0.246 μm.值得一提的是,通過遍歷所有離子的位置變化,暗離子對周圍離子排布影響最大的離子并不在螺旋線上,而是在軸向上最靠近暗離子的位置,其位置變化為0.905 μm.

圖9 由36 個40Ca+形成的三維庫侖晶體在兩種混入雜質(zhì)的情況下排布方式的對比.兩種情況分別為混入1 個氫化離子(CaH+)和1 個同位素離子(44Ca+)(a)三維圖片;(b)螺旋結構的對比Fig.9.Comparison of the arrangement of the three-dimensional Coulomb crystal formed by 36 40Ca+ and Coulomb crystals containing 1 hydride ion (CaH+) or 1 isotopic ion (44Ca+): (a) Three-dimensional image;(b) comparison of helical structure.

4 結 論

本文使用分子動力學模擬軟件,仿真了線型離子阱中形成的40Ca+庫侖晶體的相關內(nèi)容,主要為冷卻過程中不同位置離子的運動軌跡、動能和溫度隨時間變化的分析,等數(shù)目的多組分庫侖晶體的仿真以及關于40Ca+庫侖晶體中引入雜質(zhì)后的排布結構變化等3 個方面.

對于單組分庫侖晶體,靠近旋轉(zhuǎn)對稱軸的離子宏運動軌跡更加對稱,幅值也更小.而對于等數(shù)目的多組分庫侖晶體,在荷質(zhì)比相差較大且離子總數(shù)較多的情況下,雖然有明顯的分層排布方式,但最外層離子的排布方式并不嚴格按照圓柱殼的方式排布,這對于實驗中多組分離子庫侖晶體成像也具有一定的指導意義.在40Ca+庫侖晶體中引入雜質(zhì)的排布結構方面,從一維到三維結構的都進行了仿真.在一維離子串中混入的暗離子對周圍離子的影響較小,而在二維平面和三維螺旋結構中的暗離子對周圍離子造成的排布位置變化較為明顯,在目前實驗精度下是可觀測的,通過對比分析或許可以用于區(qū)分暗離子的種類,進一步提高離子阱的性能.

總的來說,當下通過離子阱搭建的量子系統(tǒng)占據(jù)著現(xiàn)代物理的重要地位,庫侖晶體雖然由經(jīng)典物理條件約束,但在量子系統(tǒng)中或許有著不可估量的應用前景,因而本文關于庫侖晶體在3 個方面開展的仿真工作對今后的實驗和仿真具有一定的參考價值,尤其是在離子阱中暗離子的識別等方面.