劉海祥，謝志祥，黃長(zhǎng)龍，張 衡

（長(zhǎng)江大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

0 引言

數(shù)值仿真模型修正計(jì)算在航天航空、橋梁等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。有限元模型修正利用實(shí)際測(cè)試得到的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)信息與理論模型得到的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)參數(shù)的修正使得理論模型更加精確、符合實(shí)際。在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，一方面建筑結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期的使用過(guò)程中會(huì)遭受各種環(huán)境荷載作用、溫度應(yīng)力的侵蝕和影響，使得建筑構(gòu)件老化、材料性能發(fā)生變化，使得構(gòu)件的實(shí)測(cè)值與模型的計(jì)算值存在較大誤差；Shankar Sehgal綜述了FE模型誤差的原因：邊界定義誤差、材料屬性誤差、連續(xù)體呈分散性及形體不易建模［1］。

數(shù)值仿真模型計(jì)算領(lǐng)域：例如蔡國(guó)平等將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入有限元模型修正中，該方法能夠較快地收斂到全局最優(yōu)解［2］。孟慶成等將灰色系統(tǒng)理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法結(jié)合，能夠適應(yīng)小樣本、數(shù)據(jù)不全的情況［3］。但是，以上基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型修正都是基于動(dòng)力試驗(yàn)的，基于靜力試驗(yàn)的研究很少。其中袁旭東等利用靜力測(cè)量結(jié)果對(duì)一五榀桁架結(jié)構(gòu)采用了改進(jìn)動(dòng)量的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，其結(jié)果表明測(cè)量數(shù)據(jù)不完備條件下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有很強(qiáng)的魯棒性、模型依然具有較高的準(zhǔn)確性［4］。

本文提出了利用ABAQUS有限元軟件建立的簡(jiǎn)支梁模型，提出一種基于靜力數(shù)據(jù)下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型修正方法，并運(yùn)用一種基于靜力凝聚下的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型修正方法。最后利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，驗(yàn)證該算法的有效性。

1 靜力凝聚法原理

靜載荷作用下結(jié)構(gòu)的初始靜態(tài)平衡方程可以表示為：

其中，k0為初始狀態(tài)下的N×N維全局剛度矩陣；U0為N×1維的初始位移向量；F0為N×1維的靜態(tài)載荷向量。

對(duì)于FE（有限元）模型，全局剛度矩陣的變化可以表示為元素剛度矩陣展開(kāi)矩陣的線(xiàn)性組合，如下：

其中，n為總結(jié)構(gòu)元素的數(shù)量；γ0i為結(jié)構(gòu)元素更新因子，即結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化速率；Ki為單位元素剛度矩陣的N×N維擴(kuò)展矩陣，其中其他部分為零。

假設(shè)結(jié)構(gòu)剛度矩陣可以更新為矩陣，并被寫(xiě)入的形式：

考慮到在初始狀態(tài)和更新?tīng)顟B(tài)下的負(fù)載是相同的，我們可以有：

其中，Uu為測(cè)量得的位移向量。

假定剛度矩陣中的平動(dòng)分量和轉(zhuǎn)動(dòng)因子已經(jīng)相互分離，寫(xiě)成分塊形式：

其中，t為平動(dòng)分量；θ為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，下標(biāo)代表相應(yīng)元素的子矩陣。

采用靜力凝聚法對(duì)自由度進(jìn)行壓縮：假如產(chǎn)生作用效應(yīng)的荷載中忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)因素的影響，即Fst=0。把公式代入到上面的方程，那么可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的表達(dá)式：

將式（6）代到首個(gè)矩陣表達(dá)式中：

式（7）可以寫(xiě)成：

即式（4）。

通過(guò)式（8）可以求出豎向撓度值。

2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的信息處理能力應(yīng)用在許多領(lǐng)域，其強(qiáng)大的非線(xiàn)性映射能力、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)和容錯(cuò)性能夠讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從大量的歷史數(shù)據(jù)中進(jìn)行聚類(lèi)并學(xué)習(xí)，找到某些行為變化的規(guī)律。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有最佳逼近和全局最優(yōu)的優(yōu)點(diǎn)，相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不存在局部最優(yōu)問(wèn)題。Powell于1985年提出了基于多變量插值的徑向基函數(shù)方法，之后Broomhead和Lowe在1988年首次將RBF應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、構(gòu)建徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5］。

3 梁式結(jié)構(gòu)模型修正實(shí)例

3.1 實(shí)體模型

在實(shí)驗(yàn)室建造一根預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁，簡(jiǎn)支梁的設(shè)計(jì)示意圖如圖1所示?；炷猎O(shè)計(jì)強(qiáng)度C30，非預(yù)應(yīng)力鋼筋采用HRB400級(jí)鋼筋，預(yù)應(yīng)力鋼筋采用1860級(jí)鋼絞線(xiàn)，箍筋采用Φ6 mm的光圓鋼筋，間距150 mm。圖1為混凝土實(shí)體梁加載實(shí)驗(yàn)裝置圖，在彈性范圍內(nèi)對(duì)梁進(jìn)行大小為5 040 kN的集中荷載加載試驗(yàn)（不卸載），測(cè)量其撓度。兩個(gè)集中加載力的位置及測(cè)點(diǎn)示意圖如圖2所示。由于計(jì)算模型的自由度總與現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試的數(shù)目不吻合，這里采用靜力凝聚法對(duì)模型自由度進(jìn)行縮減，使其數(shù)目相符［6］。

圖1 實(shí)驗(yàn)加載裝置圖

圖2 測(cè)點(diǎn)的布置

3.2 基于ABAQUS的有限元模型［7-8］

基于ABAQUS分析的模型主要有：分離式和整體式兩種。本文在有限元中采用整體式的建模方法，能夠有效避免因?yàn)閱卧?xì)分導(dǎo)致的應(yīng)力奇異問(wèn)題，有利于提高整體計(jì)算的收斂性性能。圖3為試驗(yàn)混凝土簡(jiǎn)支梁尺寸及配筋示意圖。表1為混凝土簡(jiǎn)支梁初始材料參數(shù)表，混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變采用混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范（塑性損傷模型）。

圖3 簡(jiǎn)支梁實(shí)驗(yàn)圖及配筋圖

表1 簡(jiǎn)支梁初始材料參數(shù)表

3.2.1 混凝土相關(guān)參數(shù)計(jì)算

混凝土材料本構(gòu)關(guān)系采用Saenz和Sargin模型：

其中，ε為應(yīng)變；Ec為變形模量；Es為彈性模量。

其中：

其中，fc為單軸抗壓強(qiáng)。

本文采用混凝土的塑性損傷模型［9］，由于實(shí)際的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件多，鋼筋布置十分復(fù)雜，如果考慮混凝土壓碎時(shí)，計(jì)算結(jié)果在非線(xiàn)性階段撓度-位移曲線(xiàn)偏差較大、結(jié)果容易發(fā)散；而不考慮混凝土壓碎，則模型計(jì)算結(jié)果收斂，因此這里采用的是加載時(shí)未開(kāi)裂階段的撓度-位移加載數(shù)值。

3.2.2 模型及網(wǎng)格劃分

采用sweep網(wǎng)格劃分技術(shù)，劃分網(wǎng)格前，首先要指定各個(gè)部件的網(wǎng)格單元類(lèi)型。為了避免出現(xiàn)較嚴(yán)重的沙漏現(xiàn)象和網(wǎng)格扭曲，打開(kāi)網(wǎng)格扭曲控制開(kāi)關(guān)，同時(shí)沙漏控制設(shè)置為增強(qiáng)。鋼筋骨架的單元類(lèi)型選為T(mén)3D2，其余設(shè)置默認(rèn)，網(wǎng)格劃分后的簡(jiǎn)支梁見(jiàn)圖4。

圖4 有限元模型網(wǎng)格劃分

3.2.3 模型加載及job分析步

在有限元軟件load模塊中施加邊界條件和荷載，按照簡(jiǎn)支梁邊界條件，左邊加固定約束、右邊加豎向鏈桿，荷載加載方式選擇施加豎向的位移，模型不考慮扭轉(zhuǎn)的作用。

在job分析模塊選擇完全分析、重啟動(dòng)分析，提交分析作業(yè)，模型梁的變形的加載見(jiàn)圖5。模型加載計(jì)算完畢后，進(jìn)入后處理模塊選取測(cè)點(diǎn)并輸出點(diǎn)的撓度值。通過(guò)對(duì)比測(cè)量結(jié)果與模型位移計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)撓度與計(jì)算撓度相差較大，故利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正以便使模型與實(shí)際相符。

圖5 梁的變形圖

4 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正［10］

進(jìn)行靜力荷載試驗(yàn)，取構(gòu)件在一種工況條件下的多組撓度數(shù)據(jù)，采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合靜力數(shù)據(jù)對(duì)該梁式結(jié)構(gòu)的初始模型參數(shù)進(jìn)行修正。為了驗(yàn)證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正性能，采用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行兩者的對(duì)比分析，驗(yàn)證基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限元模型修正的可行性及實(shí)用性。

基于RBF網(wǎng)絡(luò)模型修正步驟［11］如下：選取待修正參數(shù)，根據(jù)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)的方法，選取對(duì)結(jié)構(gòu)特征響應(yīng)量（本文采用靜載工況的撓度值）靈敏度高的設(shè)計(jì)參數(shù)作為待修正參數(shù)，最后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出參數(shù)修正的結(jié)果。

4.1 修正參數(shù)的選擇

有限元模型修正就是通過(guò)實(shí)測(cè)響應(yīng)與理論模型計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比修正，使得修正后的理論模型數(shù)據(jù)滿(mǎn)足精度要求。在建立有限元模型修正時(shí)一般選擇物理參數(shù)（彈性模量E、截面積A以及抗彎剛度EI）作為待修正的參數(shù)。如果將所有的物理參數(shù)都作為修正參數(shù)，雖然模型修正的精度得到保證，但是模型的計(jì)算量大、效率低，而且分析結(jié)果不易收斂。為了提高修正效率，在模型修正前必須要選出對(duì)更加結(jié)構(gòu)敏感的物理參數(shù)。本文利用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)支梁作為仿真計(jì)算的實(shí)例，采取工程經(jīng)驗(yàn)將截面尺寸、截面慣性矩和彈性模量作為模型待修正的物理參數(shù)，利用實(shí)測(cè)撓度來(lái)修正截面尺寸、截面慣性矩和彈性模量，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 模型參數(shù)及區(qū)間

4.2 樣本點(diǎn)的選擇

樣本的選擇直接影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，F(xiàn)EM計(jì)算的次數(shù)與樣本點(diǎn)的數(shù)目具有直接關(guān)系。均勻并具有代表性的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，能夠更好地滿(mǎn)足計(jì)算效率及精度。本文采用均勻樣方設(shè)計(jì)［12］，建立3參數(shù)21水平的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣方設(shè)計(jì)表。

4.3 算法描述

4.3.1 歸一化

將數(shù)據(jù)歸一化就是將數(shù)據(jù)映射到［0，1］或［-1，1］區(qū)間或更小的區(qū)間。導(dǎo)入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣方設(shè)計(jì)表數(shù)據(jù)到MATLAB矩陣中，調(diào)用MATLAB函數(shù)mapminmax歸一化導(dǎo)入的樣本數(shù)據(jù)。

4.3.2 創(chuàng)建及仿真訓(xùn)練

通過(guò)MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中函數(shù)newrb（P，T，goal，spread，MN，DF）函數(shù)實(shí)現(xiàn)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的創(chuàng)建，其中P和T分別代表訓(xùn)練集的輸入和輸出，goal為均方誤差的目標(biāo)，SPREED為徑向基的擴(kuò)展速度，MN為最大的神經(jīng)元個(gè)數(shù)。

該徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每次訓(xùn)練后再?gòu)臉颖局刑崛⌒碌木W(wǎng)絡(luò)參數(shù)、隱含層神經(jīng)元數(shù)目增加，當(dāng)重復(fù)訓(xùn)練后的神經(jīng)元數(shù)目達(dá)到均方差目標(biāo)時(shí)，訓(xùn)練停止得到需要的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

4.3.3 結(jié)果分析

撓度修正前后的比較見(jiàn)表3，計(jì)算結(jié)果誤差圖見(jiàn)圖6。

表3 撓度修正前后的比較

圖6 計(jì)算結(jié)果誤差圖

通過(guò)表3，圖6可以發(fā)現(xiàn)，用有限元軟件ABAQUS建立的混凝土簡(jiǎn)支梁在兩個(gè)豎向大小為5 040 kN的集中力加載下產(chǎn)生的撓度值與實(shí)測(cè)值大致相符合，但還是具有較大誤差。在建立模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，材料參數(shù)的定義、邊界條件的設(shè)置即使與模型初始參數(shù)一致也不能完全模擬出實(shí)際的模型結(jié)構(gòu)性能。在利用MATLAB構(gòu)建的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后，得到了與實(shí)際比較相符的結(jié)果，其中相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正效果更好：與實(shí)際結(jié)果的誤差均不超過(guò)4%（見(jiàn)表4，圖7）。

表4 設(shè)計(jì)參數(shù)修正前后的對(duì)比

圖7 預(yù)測(cè)樣本曲線(xiàn)

5 結(jié)論

1）利用有限元軟件ABAQUS對(duì)一梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真模擬，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)撓度與理論撓度相差較大。采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)靜力數(shù)據(jù)下的梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對(duì)比，修正結(jié)果誤差不超過(guò)4%，表明了修正結(jié)果的有效性。

2）不需要復(fù)雜的模型迭代計(jì)算，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以將力學(xué)的反問(wèn)題的求解逆為正向求解從而避免非線(xiàn)性和不確定性因素。