李壽德

(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海 200030)

產(chǎn)品創(chuàng)新的目的是為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量[1]以及差異化程度[2],而工藝創(chuàng)新的目的是為了降低邊際生產(chǎn)成本。近年來,國內(nèi)外研究者對企業(yè)的產(chǎn)品與工藝創(chuàng)新進(jìn)行了大量卓有成效的研究。Lambertini等[3]研究了生產(chǎn)單一產(chǎn)品的壟斷廠商關(guān)于產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新的最優(yōu)研發(fā)組合,發(fā)現(xiàn)企業(yè)對兩種投入的相對激勵取決于消費(fèi)者對質(zhì)量的支付意愿。Zhong等[4]提出了一個考慮知識積累下產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新的動態(tài)模型,研究了壟斷企業(yè)的最優(yōu)投入水平和兩種投入之間的關(guān)系。Li[5]建立了一個多產(chǎn)品壟斷企業(yè)在“干中學(xué)”下產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新的動態(tài)控制模型并研究了最優(yōu)條件和特點(diǎn)。Zhong等[6]研究了從單一價格制度到二級價格歧視對廠商產(chǎn)品和創(chuàng)新投入以及定價策略的影響。這一系列研究主要集中于討論生產(chǎn)端即廠商行為對其創(chuàng)新投入策略的影響,而忽視了消費(fèi)者行為因素(消費(fèi)者參考質(zhì)量)在廠商運(yùn)營策略制定過程中的重要作用。參考質(zhì)量通常是消費(fèi)者利用過往的消費(fèi)經(jīng)驗(yàn)以及對過去產(chǎn)品質(zhì)量的觀察等信息形成的心理預(yù)期質(zhì)量,消費(fèi)者以此為基準(zhǔn)與真實(shí)質(zhì)量進(jìn)行比較,從而對需求產(chǎn)生的影響稱為參考質(zhì)量影響[7]。尤其是對于線上購物的消費(fèi)者,他們的購買決定主要受品牌商譽(yù)、購物評價和過往經(jīng)驗(yàn)等的影響,而這在現(xiàn)有關(guān)于廠商創(chuàng)新行為和投入決策的研究中常常被忽略。事實(shí)上,消費(fèi)者的參考質(zhì)量影響消費(fèi)者的需求,進(jìn)而影響企業(yè)的創(chuàng)新行為。Chenavaz[8]分析了需求受參考質(zhì)量影響下企業(yè)的動態(tài)產(chǎn)品質(zhì)量策略問題,并討論了參考質(zhì)量對企業(yè)的管理意義。Liu等[9]研究了考慮參考質(zhì)量下企業(yè)的短視行為對產(chǎn)品質(zhì)量、定價策略和整個供應(yīng)鏈利潤的影響。Xue等[10]研究了存在質(zhì)量通貨膨脹時參考質(zhì)量對聯(lián)合定價和動態(tài)產(chǎn)品質(zhì)量投入的影響。孫曉明[11]研究了參考質(zhì)量影響下的雙渠道供應(yīng)鏈最優(yōu)決策問題,比較分析了參考質(zhì)量對質(zhì)量和定價策略、制造商和零售商利潤帶來的不同影響。本文將參考質(zhì)量影響引入到企業(yè)創(chuàng)新投入決策的控制問題中,運(yùn)用動態(tài)最優(yōu)控制理論方法分析廠商實(shí)現(xiàn)利潤最大化以及政府實(shí)現(xiàn)社會福利最大化兩種情形下消費(fèi)者的參考質(zhì)量對企業(yè)創(chuàng)新行為的影響,以期提高企業(yè)決策的有效性。

1 基本模型

本文的模型可以看作是Li等[12]研究模型的延續(xù)和發(fā)展。假定在連續(xù)時間t∈[0,∞),生產(chǎn)單一產(chǎn)品的廠商以價格p(t)銷售產(chǎn)品,同時進(jìn)行產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新活動(提高產(chǎn)品質(zhì)量和降低邊際生產(chǎn)成本)。根據(jù)Lambertini等[3]的研究,產(chǎn)品質(zhì)量q(t)和邊際生產(chǎn)成本c(t)隨時間的變化分別服從如下動態(tài)過程:

式中:k(t)和h(t)分別為廠商在產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新方面的瞬時投入水平;δ>0為產(chǎn)品質(zhì)量的衰減率,σ>0為生產(chǎn)技術(shù)老化等原因?qū)е碌恼叟f率。相應(yīng)地,根據(jù)Li等[12]的研究,產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新投入的瞬時成本函數(shù)分別為這里,狀態(tài)方程式(1)和式(2)是非線性的,而在Li等的研究中采用的是線性狀態(tài)方程,即:

下面考慮參考質(zhì)量問題,參考質(zhì)量是消費(fèi)者與現(xiàn)有質(zhì)量進(jìn)行比較的基準(zhǔn)。根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]中的研究,在[0,t]時期內(nèi),消費(fèi)者的參考質(zhì)量可以使用基于歷史經(jīng)驗(yàn)質(zhì)量的指數(shù)平滑過程進(jìn)行模擬,具有衰減的記憶效應(yīng),即

其中:r0是初始參考質(zhì)量;μ>0為記憶參數(shù),μ值越大,意味著消費(fèi)者越短期的記憶和越低的產(chǎn)品忠誠度[9]。將r(t)的表達(dá)式對時間t求微分,可得

式(3)表明,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量超過預(yù)期參考質(zhì)量時,消費(fèi)者的參考質(zhì)量將增加,且μ越大,調(diào)整速度越快。在穩(wěn)態(tài)時參考質(zhì)量與產(chǎn)品質(zhì)量相等。

由于參考質(zhì)量將對市場需求產(chǎn)生影響,若當(dāng)前產(chǎn)品質(zhì)量高于參考質(zhì)量會促進(jìn)需求量,反之則抑制需求量。本文假定產(chǎn)品沒有庫存。根據(jù)Gavious等[14]的研究,需求函數(shù)D(t)受產(chǎn)品價格、產(chǎn)品質(zhì)量以及參考質(zhì)量的共同影響,可表示為如下線性形式:

式中:a>0為基本市場潛力;a1>0和a2>0分別是產(chǎn)品價格和產(chǎn)品質(zhì)量對需求的影響系數(shù);a3>0是參考質(zhì)量影響系數(shù),衡量消費(fèi)者對當(dāng)前產(chǎn)品質(zhì)量與參考質(zhì)量差距的敏感程度。

得到消費(fèi)者的需求函數(shù)后,可考慮廠商的瞬時成本函數(shù),根據(jù)文獻(xiàn)[3,12]中的研究,廠商的瞬時成本函數(shù)為

式中:υq2(t)是使用機(jī)器和熟練勞動力生產(chǎn)質(zhì)量為q(t)的產(chǎn)品的瞬時質(zhì)量成本;α,θ,υ>0分別是相應(yīng)的成本系數(shù)。

進(jìn)一步,在連續(xù)時間t∈[0,∞),廠商的瞬時利潤函數(shù)為

本文假定企業(yè)是理性的,即p(t)-c(t)≥0。下面將分別研究在廠商決策和政府調(diào)控兩種情形下廠商產(chǎn)品和過程創(chuàng)新投入的穩(wěn)態(tài)均衡及系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

2 廠商決策

2.1 最優(yōu)條件和性質(zhì)

給定折現(xiàn)率ρ,則在連續(xù)時間t∈[0,∞),廠商的目標(biāo)是尋求價格p(t)以及投入h(t)和k(t),使凈收益折現(xiàn)流Π最大化,即

式中,產(chǎn)品價格p(t)、產(chǎn)品創(chuàng)新投入k(t)和工藝創(chuàng)新投入h(t)是控制變量,產(chǎn)品質(zhì)量q(t)、邊際生產(chǎn)成本c(t)和參考質(zhì)量r(t)是狀態(tài)變量。初始條件為:q(0)=q0,c(0)=c0,r(0)=r0。這里假定ρ>σ,否則廠商的邊際成本將持續(xù)增加,系統(tǒng)不可能存在穩(wěn)態(tài)均衡。式(7)的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)為

式中,λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)分別是與狀態(tài)變量q(t)、c(t)和r(t)相關(guān)聯(lián)的共態(tài)變量(影子價格)。

根據(jù)漢密爾頓函數(shù)式(8)可得如下一階條件和共態(tài)方程:

相應(yīng)的一組橫截條件分別為:

由方程式(9)可得廠商的定價條件為

由方程式(14)可得參考質(zhì)量的共態(tài)變量穩(wěn)定條件下的影子價格,即

進(jìn)一步,應(yīng)用定價條件式(15)有

根據(jù)一階條件和共態(tài)方程,并運(yùn)用式(16),可以得出廠商產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新投入變化的運(yùn)動方程:

由上式可知參考質(zhì)量r(t)對兩種創(chuàng)新投入變化率均有影響,而記憶參數(shù)μ僅對產(chǎn)品創(chuàng)新投入變化率有影響,將式(17)、(18)對r(t)求導(dǎo),式(17)對μ求導(dǎo),可得結(jié)論1(證明過程見附錄A):

結(jié)論1①意味著在廠商決策情形下,其他條件不變,在連續(xù)時間t∈[0,+∞)有:兩種創(chuàng)新投入的變化率隨參考質(zhì)量的增加而增加;結(jié)論1②意味著當(dāng)=0時,在參考質(zhì)量的穩(wěn)態(tài)影子價格的鄰域內(nèi),隨著記憶參數(shù)μ的增大,產(chǎn)品創(chuàng)新瞬時投入的變化率增大,投入變化越快。

2.2 穩(wěn)態(tài)均衡

將上式對μ求導(dǎo)可得:

在其他條件不變的情況下,隨著記憶參數(shù)μ的減小、消費(fèi)者對產(chǎn)品的忠誠度越高時,廠商將增加對產(chǎn)品創(chuàng)新的穩(wěn)態(tài)投入k m。

接下來研究在穩(wěn)態(tài)投入附近當(dāng)狀態(tài)變量q(t)、c(t)和r(t)有微小變動時產(chǎn)生的影響,結(jié)果歸納為結(jié)論2。

結(jié)論2廠商最優(yōu)情形下,有:

結(jié)論2①說明,當(dāng)Λm(μ)≥0時,產(chǎn)品創(chuàng)新上的穩(wěn)態(tài)投入k m將隨產(chǎn)品質(zhì)量q(t)的增大而增大,而隨邊際生產(chǎn)成本c(t)和參考質(zhì)量r(t)的增大而減小。當(dāng)μ越小、消費(fèi)者的產(chǎn)品忠誠度越高時,廠商會更加注重產(chǎn)品質(zhì)量的提高,加大對產(chǎn)品質(zhì)量的投入從而吸引客戶長期消費(fèi)。結(jié)論2②意味著工藝創(chuàng)新上的穩(wěn)態(tài)投入h m隨著產(chǎn)品質(zhì)量q(t)的增大而增大,隨著參考質(zhì)量r(t)的增大而減小,當(dāng)p(t)≥時,h m隨著邊際生產(chǎn)成本c(t)的增大而增大(減小)。當(dāng)產(chǎn)品定價較高時,廠商會更加注重生產(chǎn)流程的優(yōu)化以降低產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本。

由于狀態(tài)變量q(t)、c(t)和r(t)都出現(xiàn)在微分方程式(19)、(20)中,說明廠商的兩種投入是相關(guān)的,可以通過微分法找出一種投入對另一種投入的影響。接下來將討論在穩(wěn)態(tài)均衡k m(q,c,r)和h m(q,c,r)附近,兩種投入之間是否存在互補(bǔ)或替代關(guān)系,結(jié)果如結(jié)論3所示。

結(jié)論3廠商決策情形下,有:

由于結(jié)論3②和3③的解釋與結(jié)論3①類似,故在此主要對結(jié)論3①進(jìn)行解釋。當(dāng)Λm(μ)≥0時,在穩(wěn)態(tài)投入附近,兩者會相互促進(jìn)。由于Λm(μ)是μ的減函數(shù),當(dāng)μ越小、消費(fèi)者的產(chǎn)品忠誠度越高時,產(chǎn)品質(zhì)量q(t)的增加以及邊際成本c(t)的下降將更有可能增加廠商收益,邊際成本下降時企業(yè)的邊際收益增加是顯然的;當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量增加時,一方面將促進(jìn)現(xiàn)有購買者的需求量,另一方面將吸引更多偏好高質(zhì)量的消費(fèi)者;消費(fèi)者愿意為更高質(zhì)量的產(chǎn)品付出高價格。因此,廠商的總利潤水平將增加。而當(dāng)μ較大時,消費(fèi)者的產(chǎn)品忠誠度較低,兩者更可能會相互抑制,產(chǎn)品質(zhì)量q(t)的增加以及邊際成本c(t)的下降將降低廠商收益。這是由于盡管降低邊際成本將提高邊際收益,但產(chǎn)品質(zhì)量增加將提高產(chǎn)品的總成本,且消費(fèi)者此時對于產(chǎn)品質(zhì)量并不敏感,需求量降低,廠商的利潤水平隨之下降。

接下來將研究在廠商決策情形下廠商創(chuàng)新行為的動態(tài)模型是否存在一個穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)均衡。結(jié)合狀態(tài)變量運(yùn)動方程式(1)～(3)以及控制方程式(17)和式(18),可以得到如下控制系統(tǒng):

通常具有復(fù)雜特征值的系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于雅可比矩陣特征值實(shí)部的符號:當(dāng)所有特征值都有正的實(shí)部時,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;當(dāng)所有特征值都有負(fù)的實(shí)部時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的;若至少存在一個特征值具有負(fù)實(shí)部而其他特征值具有正實(shí)部時,該控制系統(tǒng)具有鞍點(diǎn)穩(wěn)定性。本模型中雅可比矩陣J有5個特征值,無法直接判斷特征值的符號,也很難通過矩陣的跡和行列式進(jìn)行判斷,因此,按照文獻(xiàn)[3,12]中的處理方法,采用數(shù)值模擬以及數(shù)值計算的方法進(jìn)行求解。相應(yīng)的參數(shù)為:①ρ=0.15,δ=0.1,μ=0.2,α=2.5,θ=2,υ=0.15,σ=0.1,a=5,a1=0.25,a2=0.35,a3=0.3;②ρ=0.25,δ=0.2,μ=0.15,α=1.6,θ=1.5,υ=0.15,σ=0.1,a=10,a1=0.2,a2=0.3,a3=0.25。

令ζτ為矩陣J的特征值,τ=1,2,…,5,使用參數(shù)①中的數(shù)據(jù)求解得到

用同樣的方法使用參數(shù)②中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解,可得

對于可行的參數(shù)進(jìn)行重復(fù)操作,發(fā)現(xiàn)特征值ζ1、ζ2和ζ3具有正實(shí)部,而ζ4和ζ5具有負(fù)實(shí)部。因此,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)均衡解具有唯一的鞍點(diǎn)穩(wěn)定性(分析過程見附錄B)。據(jù)此得到結(jié)論4。

結(jié)論4在廠商決策條件下,控制系統(tǒng)式(21)的穩(wěn)態(tài)均衡解{k m,h m,q m,c m,r m}具有唯一的鞍點(diǎn)穩(wěn)定。

3 政府調(diào)控

3.1 最優(yōu)條件和性質(zhì)

在政府最優(yōu)化模型中,給定折現(xiàn)率ρ(ρ>0),假定產(chǎn)品價格p(t)由廠商決定(見式(15)),政府的目標(biāo)是尋求創(chuàng)新投入h(t)和k(t),使社會福利折現(xiàn)流SW最大化。消費(fèi)者剩余可以通過下式求得:

政府的瞬時社會福利函數(shù)為:sw(t)=π(t)+cs(t),因此,社會福利水平最大化問題為:

式中,初始條件為:q(0)=q0,c(0)=c0,r(0)=r0。

式(23)的現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)為

式中,ω1(t)、ω2(t)和ω3(t)分別是與狀態(tài)變量q(t)、c(t)和r(t)相關(guān)聯(lián)的共態(tài)變量(影子價格)。根據(jù)漢密爾頓函數(shù)式(24),一階條件和共態(tài)方程為:

相應(yīng)的橫截條件為:

由方程式(29)可得參考質(zhì)量的共態(tài)變量穩(wěn)定條件下的影子價格,即

根據(jù)上述一階條件和共態(tài)方程即式(25)～(29),可得如下兩種投入變化的運(yùn)動方程:

式中,ω3(t)是與r(t)相關(guān)聯(lián)的共態(tài)變量(影子價格),將式(31)、(32)對r(t)求導(dǎo),式(31)對μ求導(dǎo),結(jié)果可總結(jié)結(jié)論5中。

3.2 穩(wěn)態(tài)均衡

與上節(jié)的處理相似,將對應(yīng)的結(jié)果總結(jié)如下,對各結(jié)論的解釋及分析與前文一致:

隨著記憶參數(shù)的增加而其他條件不變,有:

結(jié)論6政府調(diào)控條件下,有:①當(dāng)

接下來將研究在政府調(diào)控情形下廠商創(chuàng)新行為的動態(tài)模型是否存在一個穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)均衡。根據(jù)狀態(tài)變量運(yùn)動方程式(1)～(3)和控制方程式(31)和式(32),可得如下控制系統(tǒng):

結(jié)論8政府調(diào)控條件下,動態(tài)控制系統(tǒng)式(35)的穩(wěn)態(tài)均衡解{k s,h s,q s,c s,r s}具有唯一鞍點(diǎn)穩(wěn)定性。

4 數(shù)據(jù)模擬

為了比較分析在廠商決策和政府調(diào)控兩種情形下均衡解的大小,利用2.2節(jié)中的參數(shù)②給出在廠商利潤最大化及社會福利最大化條件下穩(wěn)態(tài)均衡附近的一般解(見附錄D)。圖1分別反映了兩種情形下創(chuàng)新投入和產(chǎn)品價格的時間路徑,實(shí)線和虛線分別表示廠商決策和政府調(diào)控情形下的一般解。

由圖1可知,廠商與政府相比存在投入不足的問題,即在廠商決策情形下,產(chǎn)品創(chuàng)新和工藝創(chuàng)新的投入都低于政府調(diào)控下的對應(yīng)投入。將結(jié)果總結(jié)為結(jié)論9。

圖1 產(chǎn)品創(chuàng)新、工藝創(chuàng)新和產(chǎn)品價格隨時間變化的路徑

結(jié)論9政府調(diào)控情形下的企業(yè)產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新投入均高于廠商決策情形下的相應(yīng)投入,而價格幾乎沒有變化。

5 結(jié)論

本文考察了考慮消費(fèi)者行為下廠商產(chǎn)品創(chuàng)新和工藝創(chuàng)新的動態(tài)控制模型,分別研究了廠商決策和政府實(shí)現(xiàn)調(diào)控兩種情形下參考質(zhì)量對廠商創(chuàng)新投入決策的影響,并通過數(shù)據(jù)模擬比較分析了控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)均衡附近創(chuàng)新投入和產(chǎn)品價格的一般解隨時間變化的路徑。

結(jié)論表明:

(1) 在廠商決策和政府調(diào)控情形下分別存在一個唯一的穩(wěn)定態(tài),即鞍點(diǎn)穩(wěn)態(tài)均衡。

(2) 產(chǎn)品和工藝創(chuàng)新投入的變化率隨參考質(zhì)量的增加而增加,而穩(wěn)態(tài)創(chuàng)新投入則隨參考質(zhì)量的增加而下降。

(3) 在其他參數(shù)不變的情況下,隨著消費(fèi)者記憶參數(shù)的減小,消費(fèi)者對產(chǎn)品忠誠度較高時,廠商將增加對產(chǎn)品創(chuàng)新的穩(wěn)態(tài)投入,且在穩(wěn)態(tài)投入附近兩種投入更可能是互補(bǔ)品。

(4) 廠商對兩種創(chuàng)新投入的社會激勵均高于私人激勵,而價格幾乎沒有變化。

附錄A

附錄B

其中:

根據(jù)2.2節(jié)中參數(shù)①和參數(shù)②給出的參數(shù),可得

附錄C

其中:

相應(yīng)地,根據(jù)2.2節(jié)中參數(shù)①和參數(shù)②給出的參數(shù),發(fā)現(xiàn)

其中:

利用2.2節(jié)中參數(shù)①的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計算得到J的5 個特征值,分別為:ζ1=0.057 8+15.097 3i,ζ2=0.057 8-15.0973i,ζ3=7.1935,ζ4=-7.0090,ζ5=-0.2000。使用2.2節(jié)中參數(shù)②的數(shù)據(jù)求得:ζ1=0.125 0+0.185 4i,ζ2=0.1250-0.1854i,ζ3=0.3266,ζ4=-0.1500,ζ5=-0.0766。對可行的參數(shù)進(jìn)行重復(fù)操作,發(fā)現(xiàn)特征值ζ1、ζ2 和ζ3 具有正實(shí)部,而ζ4 和ζ5 具有負(fù)實(shí)部。

附錄D