蘆穗豪，韓勇，2，齊永陽(yáng)，宋國(guó)賢

（1.中國(guó)海洋大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)部，山東青島 266100；2.青島海洋科學(xué)與技術(shù)國(guó)家試點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室區(qū)域海洋動(dòng)力學(xué)與數(shù)值模擬功能實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266000）

0 概述

數(shù)字孿生是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)字化表現(xiàn)，是未來(lái)制造業(yè)發(fā)展轉(zhuǎn)型，實(shí)現(xiàn)智能制造、提高工業(yè)產(chǎn)能的重要技術(shù)［1］。信息物理融合作為數(shù)字孿生技術(shù)的基石，貫穿于數(shù)字孿生產(chǎn)品的各個(gè)階段，而如何構(gòu)建數(shù)字孿生虛擬模型是實(shí)現(xiàn)信息物理融合的重要一環(huán)［2］。由于數(shù)字孿生虛擬模型具有高精度、高實(shí)時(shí)的特點(diǎn)，因此提升傳統(tǒng)建模方法的精度與效率，是當(dāng)前構(gòu)建數(shù)字孿生虛擬模型亟待解決的問(wèn)題。以航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片為例，航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的虛擬模型與葉片截面輪廓曲線息息相關(guān)，即構(gòu)建數(shù)字孿生航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片虛擬模型，要求葉片截面輪廓曲線建模方法精確高效。

B 樣條曲線造型靈活，具有許多優(yōu)良特性［3］，被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)擬合或工業(yè)產(chǎn)品輪廓型線的表示中。B 樣條曲線對(duì)平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)的擬合是一個(gè)多維多元非線性的優(yōu)化問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)此展開(kāi)了廣泛研究。其中，啟發(fā)式算法［4］是主要的研究方向，包括遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）［5］、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）［6］算法和其他新型優(yōu)化算法。在GA 上，YOSHIMOTO 等［7］較早利用GA 對(duì)B 樣條節(jié)點(diǎn)向量進(jìn)行編碼優(yōu)化；其后周明華等［8］改進(jìn)節(jié)點(diǎn)向量編碼方法，提高了初始節(jié)點(diǎn)向量的多樣性；孫越泓等［9］將節(jié)點(diǎn)向量初始化與數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況相結(jié)合，提高了節(jié)點(diǎn)向量的優(yōu)化效率；BUREICK 等［10］提出了精英策略改進(jìn)GA，提升了收斂速度和擬合精度?；贕A 的節(jié)點(diǎn)向量?jī)?yōu)化方法流程簡(jiǎn)單，優(yōu)化輔助參數(shù)較少，但普遍具有收斂速度較慢、優(yōu)化效率較低的缺點(diǎn)。在PSO 算法上，GALVEZ 等［11］和MOHANTY 等［12］利用PSO 算法優(yōu)化節(jié)點(diǎn)向量，但擬合精度不高；胡良臣等［13］利用PSO算法擬合帶法向約束的B 樣條曲線，但優(yōu)化效率較差。其他優(yōu)化算法在該問(wèn)題上也有應(yīng)用，徐善健等［14］利用混沌螞蟻群優(yōu)化算法平衡了擬合精度與搜索時(shí)間；GALVEZ 等［15］利用螢火蟲(chóng)算法取得了較高的擬合精度，但對(duì)不連續(xù)帶有突變尖點(diǎn)的數(shù)據(jù)適應(yīng)力較差，隨后又提出采用精英克隆選擇算法［16］，處理了不連續(xù)和尖點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合，但優(yōu)化效率較差；CHEN 等［17］則改進(jìn)了精英克隆選擇算法，但效果不大；UYAR 等［18］采用侵入性雜草優(yōu)化算法，收斂速度較快，但擬合精度不高；GALVEZ 等［19］改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法，將其應(yīng)用于B 樣條邊界擬合，但收斂速度過(guò)慢；UEDA 等［20］改進(jìn)模擬退火算法，但搜索時(shí)間較長(zhǎng)。不同的優(yōu)化算法總存在著擬合精度與優(yōu)化效率不平衡的問(wèn)題，難以很好地適應(yīng)用于高精度和高實(shí)時(shí)性的工程加工領(lǐng)域。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種結(jié)合麻雀搜索算法（SSA）的B 樣條曲線擬合方法。通過(guò)隨機(jī)初始化內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量，利用最小二乘法確定最優(yōu)控制點(diǎn)，建立相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)，再根據(jù)改進(jìn)SSA 多次迭代計(jì)算得到自適應(yīng)的內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量，最終確定擬合的B 樣條曲線。此外，為計(jì)算符合目標(biāo)精度的最少控制點(diǎn)數(shù)，采用二分搜索的方法改變每次迭代的控制點(diǎn)數(shù)量，提升傳統(tǒng)搜索方式的搜索效率。本文以航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片建模為實(shí)驗(yàn)背景，在葉片前后緣及曲線連接處連續(xù)性等研究［21］的基礎(chǔ)上，利用基于改進(jìn)SSA 的B樣條曲線擬合方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

1 問(wèn)題定義

本文擬解決的問(wèn)題為利用B 樣條曲線擬合方法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的吸力面和壓力面進(jìn)行高精度的曲線表達(dá)。葉片曲線表達(dá)的關(guān)鍵包括精度和描述復(fù)雜度，因此本文解決的問(wèn)題可細(xì)化為：在給定逼進(jìn)誤差σ的條件下，利用最少的控制點(diǎn)優(yōu)化B 樣條曲線的擬合逼近。

B 樣條曲線可表示為：

其中：t為數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化值；Sn(t)為B 樣條曲線在t處的擬合點(diǎn)向量，控制點(diǎn)總數(shù)為(n+1)；B 樣條曲線控制點(diǎn)向量集為P={P0,P1,…,Pn}；p為曲線的次數(shù)；Nj,p(t)為B 樣條基函數(shù)。

Nj,p(t)定義如式（2）所示：

其中：Nj,p(t)的下標(biāo)j、p分別為基函數(shù)的序號(hào)和B 樣條曲線的次數(shù)，t為數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化值；uj為節(jié)點(diǎn)向量集U={u0,u1,…,um}中節(jié)點(diǎn)向量，uj的取值區(qū)間為［0，1］，且U滿足非遞減序列的特性。

通過(guò)式（2）可將B 樣條曲線擬合逼近的過(guò)程分為數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化、節(jié)點(diǎn)配置和求未知控制點(diǎn)3 個(gè)步驟。

1.1 數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化

數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化就是將一組二維坐標(biāo)點(diǎn)參數(shù)化為數(shù)值，以便進(jìn)行曲線擬合逼近，本文采用LEE［22］提出的向心參數(shù)化方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化，參數(shù)化方法可表示為：

其中：i為當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)的序號(hào)；(M+1)為數(shù)據(jù)點(diǎn)的總數(shù)；ti為第i個(gè)二維坐標(biāo)點(diǎn)的參數(shù)化值；Dk,k-1為第k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和第(k-1)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的歐氏距離；Dj,j-1同理；默認(rèn)t0=0。

1.2 節(jié)點(diǎn)配置

節(jié)點(diǎn)配置是指構(gòu)建節(jié)點(diǎn)向量集U={u0,u1,…,um}的過(guò)程，即確定節(jié)點(diǎn)向量的數(shù)量和位置。

在參數(shù)化B 樣條曲線中，曲線控制點(diǎn)數(shù)量、曲線次數(shù)和節(jié)點(diǎn)向量數(shù)量間存在式（4）的約束關(guān)系：

其中：曲線節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)；曲線次數(shù)為p；曲線控制點(diǎn)數(shù)為(n+1)。

節(jié)點(diǎn)向量集U滿足非遞減序列的特性，且節(jié)點(diǎn)向量的取值區(qū)間為［0，1］。夾 持B 樣條曲線（Clamped B-Spline）［3］為通過(guò)首尾控制點(diǎn)的曲線，本文采用夾持B 樣條曲線，節(jié)點(diǎn)向量還應(yīng)遵循式（5）的配置：

其中：U={u0,u1,…,um}表示節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)的節(jié)點(diǎn)向量集；up+1,…,um-p-1為一組節(jié)點(diǎn)向量集的內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量；p為B 樣條曲線的次數(shù)。

1.3 未知控制點(diǎn)求解

B 樣條曲線的擬合逼近誤差為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的歐幾里得距離，如式（6）所示：

其中：δ為逼近誤差；Sn(t)為B 樣條曲線在t處的擬合點(diǎn)向量；(M+1)為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；Qi表示第i個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)向量；ti為節(jié)點(diǎn)的參數(shù)化值為歐幾里得范數(shù)，用于計(jì)算向量長(zhǎng)度。

由式（1）～式（5）可知，在給定一組待擬合曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的條件下，式（6）轉(zhuǎn)化為以控制點(diǎn)和內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量為未知量的待解問(wèn)題，如式（7）所示：

其中：δ為逼近誤差；U={u0,u1,…,um}為節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)的節(jié)點(diǎn)向量集；P={P0,P1,…,Pn}為控制點(diǎn)數(shù)為(n+1)的控制點(diǎn)向量集；(M+1)為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；ti為節(jié)點(diǎn)的參數(shù)化值；Qi表示第i個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)向量；Nj,p為第j個(gè)次數(shù)為p的基函數(shù)為歐幾里得范數(shù)，用于計(jì)算向量長(zhǎng)度。

從式（7）可以看出，B 樣條曲線擬合逼近問(wèn)題中存在控制點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量?jī)深愇粗?，該?wèn)題為一個(gè)多維多元的非線性問(wèn)題。在B 樣條曲線擬合逼近中，初始化內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集后可用最小二乘法求得最優(yōu)控制點(diǎn)，進(jìn)而獲取該內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集的最優(yōu)擬合曲線。因此，問(wèn)題的難點(diǎn)就轉(zhuǎn)向如何在保證精度和收斂效率情況下獲取內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集的最優(yōu)配置。

在上述基礎(chǔ)上，給定目標(biāo)精度的最少控制點(diǎn)B樣條曲線逼近問(wèn)題可進(jìn)一步表述為：求解控制點(diǎn)數(shù)量(n+1)，使得控制點(diǎn)數(shù)量在(n+1)下滿足目標(biāo)精度，而在n時(shí)不滿足目標(biāo)精度。該問(wèn)題可用式（8）表示：

其中：σ為B 樣條曲線擬合的目標(biāo)精度；min 為最小值函數(shù)；U={u0,u1,…,um}為節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)的節(jié)點(diǎn)向量集；P={P0,P1,…,Pn}為控制點(diǎn)數(shù)為(n+1)的控制點(diǎn)向量集。

求解給定目標(biāo)精度的最少控制點(diǎn)B 樣條曲線逼近問(wèn)題往往通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)數(shù)量求得。由于升序或降序的搜索方式存在效率較差、穩(wěn)定性較低的缺點(diǎn)，因此本文利用二分搜索思想優(yōu)化搜索方式，提升最少控制點(diǎn)求解效率與穩(wěn)定性。

2 SSA

本文提出一種改進(jìn)的SSA 來(lái)解決內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量配置的自適應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題。SSA 是一種從麻雀群體覓食行為中提煉出的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型［23］，較其他優(yōu)化算法具有收斂速度快、穩(wěn)定性好、適應(yīng)性強(qiáng)、搜索精度高的特點(diǎn)。SSA 模擬了麻雀種群的捕食與反捕食行為，具體為探索者捕食、追隨者跟隨探索者或逃離捕食、隨機(jī)生成警戒事件的3 個(gè)流程。優(yōu)化問(wèn)題中的每只麻雀的位置是多維的，其位置的適應(yīng)度值大小則決定麻雀的探索者和追隨者角色。為提高追隨者的捕食率，較低能量的追隨者會(huì)飛到其他區(qū)域覓食。另外，部分麻雀還負(fù)責(zé)警戒，當(dāng)警戒行為發(fā)生時(shí)，它們將放棄當(dāng)前食物移向新位置。

在本文問(wèn)題中，麻雀表示一組內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集的配置，其適應(yīng)度值為該配置下的擬合誤差評(píng)價(jià)值，則適應(yīng)度值較小的內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集作為探索者，反之為追隨者。當(dāng)開(kāi)始迭代時(shí)，追隨者會(huì)直接躍向最優(yōu)解，這使SSA 在運(yùn)行初期能快速收斂至某范圍的適應(yīng)度內(nèi)，避免后續(xù)非必要的迭代。因此，SSA 更適用于高實(shí)時(shí)性的工業(yè)數(shù)字孿生場(chǎng)景中。在給定目標(biāo)精度的工業(yè)建模中，SSA 相較于收斂較慢的PSO 和GA 有著更高的計(jì)算效率。

然而，普通的SSA 易陷入局部最優(yōu)且全局搜索能力較弱。本文改進(jìn)了麻雀位置更新函數(shù)和警戒行為，使SSA 能更好地應(yīng)用于極值非零的優(yōu)化問(wèn)題，提高了迭代時(shí)的種群多樣性。

2.1 探索者位置更新函數(shù)的改進(jìn)

在SSA 曲線逼近問(wèn)題中，探索者與追隨者的位置更新直接決定內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集的變化，進(jìn)而影響擬合精度。在普通的SSA 算法中，由圖1（a）可見(jiàn)，探索者非警戒更新函數(shù)隨著迭代增加收斂于零，表現(xiàn)出局部搜索能力漸強(qiáng)、全局搜索能力漸弱、迭代后期易陷入局部最優(yōu)的特性。此外，內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量分布于［0，1］，非遞減序列特性在更新函數(shù)的影響下也將收斂于零，使得迭代時(shí)的種群多樣性降低，同時(shí)說(shuō)明原探索者位置更新方式不適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量?jī)?yōu)化。針對(duì)上述問(wèn)題，本文去除了探索者收斂為零的部分，將其修改為正態(tài)分布的隨機(jī)函數(shù)，使內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新變化時(shí)上下浮動(dòng)，隨著迭代計(jì)算收斂于最優(yōu)位置。

探索者修改后的更新函數(shù)如式（9）所示：

其中：E為均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)為麻雀種群第t次迭代第i只麻雀的第d維的位置；R2為警戒因子，是在［0，1］范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；RST為警戒閾值，是［0.5，1.0］范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；d為x的維度數(shù)。

σ2定義如式（10）所示：

其中：σ2為E的方差；b為精度因子，該值會(huì)影響位置波動(dòng)范圍，本文取10；(m+1)為節(jié)點(diǎn)向量數(shù)。

為體現(xiàn)更新策略的改動(dòng)，圖1（b）、圖1（c）分別展示了探索者在非警戒和警戒下的更新策略。修改后的更新函數(shù)對(duì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量的更新有兩點(diǎn)改善：一是在非警戒情況下，因更新函數(shù)值增添了大于1 的情況，在乘法效應(yīng)下，內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量具備了向上跳動(dòng)的特性，從而增加了內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集的種群多樣性；二是隨著迭代次數(shù)的增加，內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量不再受更新函數(shù)的影響趨零變化，而是根據(jù)當(dāng)前位置上下波動(dòng)，這加強(qiáng)了算法的跳出局部最優(yōu)能力，提升了全局搜索最優(yōu)能力。

圖1 探索者更新策略函數(shù)值分布變化Fig.1 Value distribution change of explorer update strategy function

2.2 警戒行為位置更新函數(shù)的改進(jìn)

SSA 算法警戒行為在曲線逼近問(wèn)題中表現(xiàn)為內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量的位置更新。在原始SSA 算法警戒策略中，處于最優(yōu)位置的預(yù)警麻雀將向最差位置逃離，而逃離的步長(zhǎng)因子與適應(yīng)度值相關(guān)。適應(yīng)度值的大幅變化造成了大步長(zhǎng)的產(chǎn)生，進(jìn)而影響內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量位置的波動(dòng)距離，而較大的波動(dòng)距離將導(dǎo)致內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量超出更新范圍的概率變大，最終降低迭代過(guò)程中的種群多樣性，同時(shí)也會(huì)造成內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集構(gòu)造失??；其他處于非最優(yōu)位置的預(yù)警麻雀則在最優(yōu)位置附近跳躍，即收斂于最優(yōu)位置，這雖然加強(qiáng)了算法的快速收斂能力，但也易于陷入局部最優(yōu)，呈現(xiàn)出較弱的全局搜索能力。

針對(duì)上述情況，本文對(duì)警戒行為的位置更新函數(shù)做出了修改，圖2 所示為修改后的警戒策略。一方面針對(duì)處于最優(yōu)位置的預(yù)警麻雀，通過(guò)將跳躍步長(zhǎng)因子限制為［0，1］之間隨機(jī)數(shù)，縮短其向最差位置跳躍的步長(zhǎng)，步長(zhǎng)的縮短將原本的直接跳躍策略拆分為多步靠近移動(dòng)，即把當(dāng)前位置與最差位置之間的情況細(xì)化并考慮在內(nèi)，位置更新函數(shù)的改進(jìn)提高了迭代時(shí)的種群多樣性，進(jìn)而提高了SSA 的全局搜索能力，使其能夠?qū)さ礁鼉?yōu)解；另一方面針對(duì)其他預(yù)警麻雀，修改為以自身位置為起點(diǎn)向最優(yōu)位置躍進(jìn)的策略，將跳躍側(cè)重點(diǎn)傾向于自身位置，而非快速聚合于最優(yōu)位置。這削弱了原算法中過(guò)強(qiáng)的快速收斂能力，讓警戒行為對(duì)SSA 中麻雀的影響變得“緩和”，最終不但解決了其陷入局部最優(yōu)的瓶頸，而且提高了算法的全局搜索能力。

圖2 警戒策略對(duì)比Fig.2 Comparison of warning strategies

當(dāng)警戒行為發(fā)生時(shí)，位置更新函數(shù)修改如式（11）所示：

其中：t為迭代次數(shù)分別為當(dāng)前迭代的麻雀種群中第i只麻雀第t次迭代的第d維位置的最差位置和最優(yōu)位置；fi為第i只麻雀的適應(yīng)度值；fg為最優(yōu)適應(yīng)度值；β1和β2為步長(zhǎng)參數(shù)取值為［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

2.3 內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍

傳統(tǒng)的SSA 算法迭代時(shí)會(huì)出現(xiàn)一組內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量中部分逆序的情況，造成B 樣條曲線構(gòu)造失敗，導(dǎo)致該只麻雀“死亡”，無(wú)法參與后續(xù)優(yōu)化計(jì)算，降低種群多樣性。

為保證內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量符合B 樣條曲線的構(gòu)建規(guī)則，本文提出了內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍的概念，即為每只麻雀的單維變量建立各自的更新范圍，使其在更新迭代時(shí)不會(huì)跳出該范圍。

內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍的計(jì)算方法如式（12）所示：

其中：i為節(jié)點(diǎn)向量的序號(hào)；p為B 樣條曲線的次數(shù)；(m+1)為節(jié)點(diǎn)向量數(shù)；li和ri為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)向量的左邊界和右邊界；ui為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)向量。

圖3所示為一組內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍的建立過(guò)程。

圖3 內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍生成方法Fig.3 Generation method of internal node vector variation range

在圖3 中，節(jié)點(diǎn)向量0.6 所對(duì)應(yīng)的變化范圍為［0.45，0.675］。需要說(shuō)明的是，麻雀位置更新總是伴隨著變化范圍的更新。迭代一次內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量，其數(shù)值不可超出變動(dòng)范圍，否則將此次變動(dòng)調(diào)整為內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量距離最近的邊界值。

3 最少控制點(diǎn)B 樣條曲線擬合的實(shí)現(xiàn)

改進(jìn)的SSA 修改了探索者與警戒行為的位置更新函數(shù)，設(shè)定了內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量的更新范圍，這些改進(jìn)使SSA 能夠跳出局部最優(yōu)，具有更強(qiáng)的全局搜索能力，更適用于B 樣條曲線擬合問(wèn)題。然而，在工業(yè)數(shù)字孿生場(chǎng)景下，降低零件數(shù)字模型的數(shù)據(jù)量和描述復(fù)雜度至關(guān)重要。因此，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)向如何在給定曲線擬合精度的前提下，用最少的控制點(diǎn)實(shí)現(xiàn)B 樣條曲線擬合。

在減少控制點(diǎn)問(wèn)題上，傳統(tǒng)搜索方法通過(guò)升序或逆序枚舉控制點(diǎn)數(shù)量的方式進(jìn)行求解，這種方式包含了大量冗余無(wú)效計(jì)算，具有效率過(guò)低、算法運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)的缺點(diǎn)。本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出控制點(diǎn)數(shù)量與擬合精度存在正相關(guān)關(guān)系的結(jié)論?；诖颂匦?，本文提出了利用二分搜索的思想優(yōu)化最少控制點(diǎn)的搜索。二分搜索方法跳過(guò)了大部分冗余無(wú)效計(jì)算，提高了整體搜索效率。

改進(jìn)SSA算法中具體控制點(diǎn)搜索流程如圖4所示。

圖4 改進(jìn)SSA 中具體控制點(diǎn)搜索流程Fig.4 Search procedure of specific control points in improved SSA

SSA 相關(guān)參數(shù)的設(shè)置包括B 樣條曲線次數(shù)、麻雀種群數(shù)量和迭代次數(shù)的設(shè)置。內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集是根據(jù)控制點(diǎn)數(shù)量和一些約束條件隨機(jī)生成的浮點(diǎn)數(shù)數(shù)組。SSA 相關(guān)參數(shù)初始化后，可通過(guò)最小二乘法計(jì)算在該組內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集下的最優(yōu)控制點(diǎn)，再計(jì)算相應(yīng)的適應(yīng)度值，根據(jù)適應(yīng)度值進(jìn)行SSA 的迭代更新。

3.1 適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)用于評(píng)價(jià)SSA 中一組節(jié)點(diǎn)向量集的擬合優(yōu)劣程度，函數(shù)輸出值是SSA 選取探索者、追隨者的重要指標(biāo)，影響了SSA 的優(yōu)化性能。在B 樣條曲線擬合問(wèn)題中，適應(yīng)度函數(shù)的建立考慮兩個(gè)因素：一是數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線的平均距離；二是數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線的最大距離。平均距離可視為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)具有相同的影響權(quán)重，主要在整體上影響擬合曲線與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的貼合情況，在迭代后期，受原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量和平均效應(yīng)的影響，單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)B 樣條曲線影響程度被削減，這使得算法的局部曲線優(yōu)化能力不足。而局部曲線較差的擬合效果往往伴隨著較大距離誤差，將數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線的最大距離加入適應(yīng)度計(jì)算中，提高了較遠(yuǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響權(quán)重，可以改善局部曲線擬合較差的情況，進(jìn)一步提升算法的B 曲線擬合效果。本文的適應(yīng)度函數(shù)如式（13）所示，適應(yīng)度值越小，曲線擬合效果越佳。

其中：f為適應(yīng)度函數(shù)；U={u0,u1,…,um}為節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)的節(jié)點(diǎn)向量集；P={P0,P1,…,Pn}為控制點(diǎn)數(shù)為(n+1)的控制點(diǎn)向量集；(M+1)、di、dmax分別為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、單個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的距離和數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的最大距離；Qi為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)向量；F1、F2為距離影響因子，F(xiàn)1、F2決定了單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)擬合曲線的約束能力，本文中為歐幾里得范數(shù)；max 為最大值函數(shù)。

3.2 最優(yōu)控制點(diǎn)

初始化構(gòu)建內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量后，B 樣條曲線擬合逼近問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)多維單元的非線性問(wèn)題，可通過(guò)最小二乘法求解最優(yōu)控制點(diǎn)。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線擬合逼近精度最小時(shí)控制點(diǎn)的配置，該配置為最優(yōu)配置。在節(jié)點(diǎn)向量集已知的情況下，式（7）的曲線擬合精度可表示為：

本文采用夾持B 樣條曲線，頭尾控制點(diǎn)已知，因此僅對(duì)編號(hào)1～n-1 控制點(diǎn)求偏導(dǎo)。為滿足必要條件，令=0，可得：

式（18）為關(guān)于控制點(diǎn)Pl,l={1,2,…,n-1}的n-1個(gè)線性方程式，若令l=1,2,…,n-1，可得到n-1 個(gè)方程組，其滿足于：

其中：N表示大小為(M-1)×(n-1)的標(biāo)量矩陣；P表示大小為(n-1) ×1 的待求控制點(diǎn)向量矩陣；C表示大小為(M-1)×1 的向量矩陣。

N、P、C具體表示如式（20）～式（22）所示：

由式（19）求解最優(yōu)控制點(diǎn)集合可通過(guò)P=(NTN)-1C，其中內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量在規(guī)定的更新范圍內(nèi)變動(dòng)保證了NTN是可逆的。依據(jù)高斯消元法對(duì)n-1個(gè)方程組進(jìn)行求解，可得到最優(yōu)控制點(diǎn)集合。至此，將求得的最優(yōu)控制點(diǎn)集合與內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量集合代入至式（13）中，可計(jì)算得到當(dāng)前麻雀的適應(yīng)度值。

3.3 最少控制點(diǎn)數(shù)量的二分求解

傳統(tǒng)搜索方法通過(guò)升序或逆序枚舉尋找曲線擬合的最少控制點(diǎn)，該方法冗余計(jì)算多，效率低，不適合實(shí)時(shí)性強(qiáng)的工業(yè)建模工作場(chǎng)景。為縮短尋找最少控制點(diǎn)的時(shí)間，提高運(yùn)行效率，本文采用二分搜索的思想對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。

二分搜索的可行性是基于控制點(diǎn)數(shù)量與擬合精度存在正相關(guān)關(guān)系。圖5 所示為使用SSA 算法在確定控制點(diǎn)數(shù)量的條件下取得的最優(yōu)方案得到的擬合誤差?？梢钥闯?，控制點(diǎn)數(shù)量與曲線擬合精度之間存在正相關(guān)關(guān)系。其中，控制點(diǎn)數(shù)量范圍控制在5～16 中，實(shí)驗(yàn)運(yùn)行500 次。

圖5 最少控制點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合精度的關(guān)系Fig.5 Relationship between the minimum number of control points and fitting accuracy

受隨機(jī)初始化節(jié)點(diǎn)向量的影響，在大量控制點(diǎn)情況下會(huì)導(dǎo)致最終的擬合精度變化極小，此時(shí)控制點(diǎn)數(shù)量與曲線擬合精度之間的正相關(guān)關(guān)系將減弱，此類情況可通過(guò)擴(kuò)大初始種群數(shù)量改善。若將相同控制點(diǎn)數(shù)量的擬合精度取平均值，則此時(shí)控制點(diǎn)數(shù)量與擬合精度存在嚴(yán)格正相關(guān)關(guān)系。

二分搜索最少控制點(diǎn)數(shù)量依靠搜索區(qū)間與目標(biāo)精度來(lái)完成。在最少控制點(diǎn)求解問(wèn)題中，搜索區(qū)間是控制點(diǎn)數(shù)量的變動(dòng)范圍，SSA 迭代前取搜索區(qū)間中值為當(dāng)前控制點(diǎn)數(shù)，當(dāng)?shù)Y(jié)束后輸出曲線的擬合精度，若未達(dá)到目標(biāo)精度，則右移搜索區(qū)間左邊界，反之，左移右邊界。當(dāng)搜索區(qū)間僅包含單值時(shí)，該值為最少控制點(diǎn)數(shù)。

3.4 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度是評(píng)價(jià)算法性能的重要指標(biāo)，本文通過(guò)提出算法的時(shí)間復(fù)雜度T'和原SSA 的時(shí)間復(fù)雜度T來(lái)研究算法效率的變化。

首先計(jì)算改進(jìn)SSA 的時(shí)間復(fù)雜度T'，設(shè)置麻雀的種群規(guī)模為I，維度數(shù)為D。若初始化參數(shù)時(shí)間為T(mén)init，計(jì)算單個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量左右邊界所需時(shí)間為η1，初始化單個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量所需時(shí)間為η2，最小二乘法計(jì)算最優(yōu)控制點(diǎn)時(shí)間為T(mén)cp，適應(yīng)度函數(shù)的運(yùn)算時(shí)間為T(mén)f，則初始化時(shí)時(shí)間復(fù)雜度為：

對(duì)于算法的探索者行為，由式（9）可知，修改后的探索者更新計(jì)算效率與正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成效率密切相關(guān)。本文利用Box-Muller 算法［24］生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，若生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的時(shí)間為η3，生成R2、RST的時(shí)間為η4，更新每一維探索者位置的時(shí)間為η5，探索者占比為G1，則修改后的探索者位置更新時(shí)間復(fù)雜度為：

改進(jìn)SSA 與原SSA 具有相同的跟隨者行為，其位置更新時(shí)間復(fù)雜度為：

對(duì)于算法的警戒者行為，由式（11）可知，若兩個(gè)步長(zhǎng)因子的生成時(shí)間為η6，更新每一維的警戒者位置的時(shí)間為η7，警戒者占比為G2，則修改后的警戒者位置更新時(shí)間復(fù)雜度為：

在麻雀位置更新結(jié)束后，對(duì)于內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍，首先需要檢查一次內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量的位置是否越界，然后刷新內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍。由式（12）可知，若檢查單個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量越界行為的時(shí)間為η8，則內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新范圍檢查與刷新操作的時(shí)間復(fù)雜度為：

在一次改進(jìn)SSA 迭代的最后，為保證下次迭代的正常進(jìn)行，還需更新麻雀的適應(yīng)度值并提取最優(yōu)、最差麻雀，而適應(yīng)度值計(jì)算的前提需要利用最小二乘法計(jì)算最優(yōu)控制點(diǎn)。若選取最優(yōu)與最差麻雀的時(shí)間為η9，則更新麻雀適應(yīng)度值的時(shí)間復(fù)雜度為：

由式（23）～式（28）可知，當(dāng)最大迭代次數(shù)為K與種群規(guī)模I固定時(shí)，改進(jìn)SSA 算法在本文問(wèn)題上應(yīng)用所需的時(shí)間復(fù)雜度為：

應(yīng)用原SSA 與本文問(wèn)題需要添加最小二乘法計(jì)算最優(yōu)控制點(diǎn)，由式（25）可知，原SSA 的時(shí)間復(fù)雜度T為：

式（29）和式（30）說(shuō)明了原SSA 與改進(jìn)SSA 的時(shí)間復(fù)雜度保持一致，本文對(duì)探索者、警戒行為的改進(jìn)沒(méi)有降低原算法的求解效率。

在初始化和更新迭代過(guò)程中，B 樣條曲線基函數(shù)因內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量變化將重新構(gòu)造，為進(jìn)一步分析改進(jìn)SSA 在B 樣條擬合問(wèn)題上的時(shí)間復(fù)雜度，有必要分析B 樣條基函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度。若B 樣條節(jié)點(diǎn)向量數(shù)為(m+1)，次數(shù)為p，根據(jù)式（2）可得B 樣條曲線基函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度：

在改進(jìn)SSA 參數(shù)初始化時(shí)，假設(shè)SSA 設(shè)置參數(shù)時(shí)間為η10，則初始化參數(shù)時(shí)間復(fù)雜度為：

對(duì)于適應(yīng)度函數(shù)，由式（13）可知，若(n+1)為控制點(diǎn)向量集的數(shù)量，(M+1)為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)向量的數(shù)量，則在計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)時(shí)最壞情況下控制點(diǎn)數(shù)量為(M+1)，其適應(yīng)度函數(shù)時(shí)間復(fù)雜度為：

在計(jì)算最優(yōu)控制點(diǎn)時(shí)，需要先計(jì)算內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量更新后的B 樣條基函數(shù)，然后再根據(jù)式（19）～式（22）求得最優(yōu)控制點(diǎn)。因此，最優(yōu)控制點(diǎn)計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為：

在本文問(wèn)題中，麻雀維度數(shù)D即為內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量數(shù)(m+1-2p)，而根據(jù)式（4），內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量數(shù)與控制點(diǎn)數(shù)存在線性關(guān)系，則將式（32）、式（33）代 入式（29）后，改進(jìn)SSA 在本文問(wèn)題上應(yīng)用的時(shí)間復(fù)雜度為：

式（35）表明，改進(jìn)SSA 在B 樣條曲線擬合問(wèn)題上的時(shí)間復(fù)雜度與原數(shù)據(jù)點(diǎn)輸入規(guī)模相關(guān)，時(shí)間復(fù)雜度主要受限于待擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。

在尋找最少控制點(diǎn)問(wèn)題中，若尋找控制點(diǎn)范圍為［L，R］，則二分尋找最少控制點(diǎn)數(shù)量的時(shí)間復(fù)雜度為：

式（36）表明，二分搜索使得最少控制點(diǎn)數(shù)量的搜索次數(shù)減少(R-L-lb(R-L))次，總體搜索效率有所提高。

4 實(shí)驗(yàn)設(shè)置與結(jié)果

圖6 所示為某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣靜轉(zhuǎn)子葉片的三維模型，選取該葉片17 個(gè)截面輪廓（圖6 中黑色線條）的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行壓力面和吸力面的曲線逼近擬合實(shí)驗(yàn)，其中每個(gè)截面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)是以0.001 mm 的弦公差標(biāo)準(zhǔn)取樣生成，每個(gè)截面數(shù)據(jù)點(diǎn)為350 個(gè)左右。

圖6 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣靜轉(zhuǎn)子葉片三維模型Fig.6 Three-dimensional model of compressor stator and rotor blade of aeroengine

實(shí)驗(yàn)主要分為4 類：第1 類實(shí)驗(yàn)探究了改進(jìn)SSA在B 樣條曲線擬合問(wèn)題上的應(yīng)用可行性與正確性，實(shí)驗(yàn)采用17 個(gè)截面與3 組固定數(shù)量的控制點(diǎn)（分別為20、50、80 個(gè)）進(jìn)行迭代運(yùn)算；第2 類實(shí)驗(yàn)是為了驗(yàn)證二分方法尋找最少控制點(diǎn)的可行性與高效性，可行性探究實(shí)驗(yàn)在給定目標(biāo)精度和初始控制點(diǎn)區(qū)間（搜索區(qū)間為［10，40］）的條件下，記錄搜索過(guò)程中控制點(diǎn)數(shù)量的變化；高效性探究實(shí)驗(yàn)設(shè)定精度區(qū)間［0.01，0.001］、初始控制點(diǎn)區(qū)間［10，80］，分別統(tǒng)計(jì)升序、逆序、二分搜索方法的運(yùn)算時(shí)間，其中精度變化步長(zhǎng)為0.005；第3 類實(shí)驗(yàn)對(duì)比3 種常用的節(jié)點(diǎn)向量定義方法與改進(jìn)SSA 的擬合精度，探求改進(jìn)SSA 優(yōu)化節(jié)點(diǎn)向量的優(yōu)勢(shì)；第4 類實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步對(duì)比3 種節(jié)點(diǎn)向量?jī)?yōu)化算法，評(píng)價(jià)改進(jìn)SSA 的擬合效果和優(yōu)化效率兩方面的性能。

需說(shuō)明的是，在工業(yè)建模背景下，零件建模精度為所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的最大距離，本文沿用該定義。

4.1 SSA 在曲線擬合問(wèn)題上的應(yīng)用效果

改進(jìn)SSA 具有快速與高精度收斂的特性，提高了B 樣條曲線擬合的精度與效率，以及葉片三維數(shù)字模型的建模精度與效率。在17 個(gè)實(shí)驗(yàn)截面中，針對(duì)不同的葉片截面輪廓，選取了6 個(gè)部位和輪廓曲率差異較大、具有代表性的葉片擬合結(jié)果進(jìn)行展示分析。葉片截面吸力面壓力面曲線擬合效果如圖7所示。結(jié)果顯示，擬合曲線均較好地貼合了原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，這表明了改進(jìn)SSA 在B 樣條曲線擬合上具有較好的魯棒性。

圖7 輪廓曲線擬合效果Fig.7 Fitting effects of contour curves

圖8 展示了6 組葉片截面擬合時(shí)適應(yīng)度值的收斂情況，其中每組迭代固定了控制點(diǎn)數(shù)量。SSA 在迭代初期具有快速收斂能力，適應(yīng)度值快速向最優(yōu)迭代，隨后趨于穩(wěn)定。圖8 的擬合過(guò)程驗(yàn)證了這一迭代規(guī)律，經(jīng)過(guò)10 次左右的迭代適應(yīng)度值即可趨于收斂，且曲線擬合最終都收斂，這表明了改進(jìn)SSA 在B 樣條曲線擬合中的可行性。

圖8 截面輪廓曲線擬合迭代過(guò)程Fig.8 Iterative process of profile contour curve fitting

圖8 中同一葉型曲線在擬合時(shí)，隨著控制點(diǎn)數(shù)量的增加，迭代結(jié)束時(shí)的適應(yīng)度值不斷縮小，印證了控制點(diǎn)數(shù)量與曲線擬合精度的正相關(guān)關(guān)系。而在不同葉型、等量控制點(diǎn)擬合時(shí)，改進(jìn)SSA 的收斂適應(yīng)度值在一個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)浮動(dòng)，這說(shuō)明不同葉型會(huì)影響擬合精度。因此，工業(yè)上要使得不同葉型曲線都達(dá)到目標(biāo)精度，有必要求出所有曲線達(dá)到目標(biāo)精度所需的最少控制點(diǎn)數(shù)。

4.2 二分搜索的速度提升

二分搜索方法通過(guò)搜索區(qū)間減半的方式來(lái)提升單調(diào)性問(wèn)題的搜索效率，在3.3 節(jié)與4.1 節(jié)中都驗(yàn)證了控制點(diǎn)數(shù)量與擬合精度之間的單調(diào)關(guān)系，因此本文利用二分思想求解B 樣條曲線擬合所需的最少控制點(diǎn)，降低傳統(tǒng)搜索方法的運(yùn)算時(shí)間。圖9 為截面輪廓曲線1、3、5 在目標(biāo)精度為0.001 mm 時(shí)，隨著二分搜索進(jìn)行時(shí)不斷輸出的擬合精度，通過(guò)縮小搜索區(qū)間，最終控制點(diǎn)數(shù)固定在某值。二分搜索過(guò)程呈現(xiàn)出擬合精度向目標(biāo)精度回歸和控制點(diǎn)數(shù)收斂于某值的特征。由此可見(jiàn)，二分搜索方法在求解最少控制點(diǎn)問(wèn)題的可行性與有效性。

圖9 二分搜索時(shí)最少控制點(diǎn)和擬合精度的變化Fig.9 Change of least control points and fitting accuracy in binary search

為分析二分搜索優(yōu)化效率，本文對(duì)比了二分、升序、降序3 種搜索最少控制點(diǎn)的平均時(shí)間差異和不同精度下的搜索時(shí)間變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10 所示。就平均耗時(shí)而言，二分搜索在3 條曲線上均耗時(shí)最少。以曲線3 為例，二分平均查找時(shí)比升序和降序均耗時(shí)縮短了34.6%和46.2%，這體現(xiàn)了二分搜索的高效性。就不同精度而言，相比升序搜索，二分搜索大幅減少了高目標(biāo)精度下的搜索時(shí)間，低目標(biāo)精度下也具有相似的搜索效率；相比降序搜索，二分搜索提高了低目標(biāo)精度下的搜索性能，高目標(biāo)精度下的搜索效率略差。另外，目標(biāo)精度在［0.003，0.005］時(shí)，二分搜索比升序搜索的耗時(shí)變化更為平緩，表明二分搜索具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。降序搜索方式雖也體現(xiàn)出了較高搜索穩(wěn)定性，但其主要受益于降序搜索的結(jié)束條件和SSA 快速收斂的特性，進(jìn)而主要耗時(shí)集中在較少控制點(diǎn)區(qū)域，這也使得降序搜索在低目標(biāo)精度下表現(xiàn)不佳?？傮w而言，二分搜索在不同目標(biāo)精度上都有較優(yōu)表現(xiàn)，具有最好的整體優(yōu)化效率，在不同的目標(biāo)精度情況下有較強(qiáng)穩(wěn)定性，適用于求解B 樣條曲線擬合最少控制點(diǎn)問(wèn)題。

圖10 不同搜索方式耗時(shí)對(duì)比Fig.10 Time consuming comparison of different search ways

4.3 改進(jìn)SSA 構(gòu)建自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量的優(yōu)勢(shì)

在B 樣條曲線次數(shù)固定的情況下，選擇不同的節(jié)點(diǎn)向量直接改變了B 樣條曲線基函數(shù)的線型，進(jìn)而影響B(tài) 樣條曲線的最終形狀。因此，B 樣條曲線的擬合逼近很大程度上取決于節(jié)點(diǎn)向量的構(gòu)建。傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)向量構(gòu)建方法因沒(méi)有考慮B 樣條曲線的特殊性，很難應(yīng)用于精度要求較高、曲線線型不同的場(chǎng)景。

為驗(yàn)證改進(jìn)SSA 構(gòu)建自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量的優(yōu)勢(shì)，將改進(jìn)SSA 與均勻分步法［25］、平均節(jié)點(diǎn)法［3］、皮格爾節(jié)點(diǎn)法［3］3 種傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)向量構(gòu)建方法進(jìn)行對(duì)比，選用最大誤差（Emax）和均方誤差（EMSE）進(jìn)行量化分析。實(shí)驗(yàn)控制點(diǎn)數(shù)量固定為80 個(gè)，改進(jìn)SSA 的迭代次數(shù)為200 次，初始種群數(shù)量為50 個(gè)。

評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算公式如式（37）所示：

其中：Emax為最大誤差；EMSE為均方誤差；max 為最大值函數(shù)；di為單個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的距離；(M+1)為原始點(diǎn)數(shù)量。

實(shí)驗(yàn)在17 組葉片截面輪廓曲線中進(jìn)行，表1 僅記錄上文展示出的6 組截面曲線的擬合結(jié)果。

表1 不同節(jié)點(diǎn)向量擬合曲線對(duì)應(yīng)誤差Table 1 Corresponding errors of fitting curves with different node vectors

由表1 可知，本文自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量在6 組截面曲線中都取得了最好的擬合結(jié)果。以曲線3 為例，相比均勻節(jié)點(diǎn)向量，本文自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量的Emax降低了3 個(gè)數(shù)量級(jí)，EMSE降低了4 個(gè)數(shù)量級(jí)；相比平均節(jié)點(diǎn)向量，Emax降低了4 個(gè)數(shù)量級(jí)，EMSE降低了6 個(gè)數(shù)量級(jí)；與皮格爾節(jié)點(diǎn)向量相比，Emax降低了4 個(gè)數(shù)量級(jí)，EMSE降低了6 個(gè)數(shù)量級(jí)。在本文問(wèn)題中，均勻節(jié)點(diǎn)向量配置相對(duì)于其他兩種傳統(tǒng)方法取得了較好的擬合效果，這可能是由于葉片吸力面與壓力面曲線變化平緩，無(wú)明顯突變。但均勻節(jié)點(diǎn)向量配置在曲線4 和曲線6 上產(chǎn)生了4 個(gè)數(shù)量級(jí)的誤差偏差，這也說(shuō)明了均勻節(jié)點(diǎn)向量法受擬合的曲線線型影響較大，穩(wěn)定性較低。對(duì)于6 個(gè)不同的截面輪廓曲線，本文的自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量法的Emax控制在1 個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)，EMSE控制在2 個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)。由此可見(jiàn)，本文提出的基于改進(jìn)SSA 建立的自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量在魯棒性和精確性上均優(yōu)于傳統(tǒng)方法定義的節(jié)點(diǎn)向量。

4.4 與其他優(yōu)化算法對(duì)比

傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)向量構(gòu)建方法存在適應(yīng)性差、擬合精度較低的缺點(diǎn)。為提高曲線擬合精度，研究人員采用PSO［11］、GA［7］等算法生成自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)向量，為比較改進(jìn)SSA 與其他優(yōu)化算法在B 樣條曲線擬合問(wèn)題上的優(yōu)劣程度，本文分別采用PSO、GA 和原SSA 算法對(duì)上述6 個(gè)截面點(diǎn)云的迭代過(guò)程進(jìn)行對(duì)比分析研究。為便于分析，更好地評(píng)價(jià)節(jié)點(diǎn)向量的優(yōu)化能力，本文控制點(diǎn)數(shù)量固定為20 個(gè)，迭代次數(shù)固定為200 次，設(shè)置種群數(shù)量為50 個(gè)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11 所示。

從迭代結(jié)束時(shí)的適應(yīng)度值出發(fā)，改進(jìn)SSA 擬合效果最優(yōu)，PSO 與原SSA 次之，并取得了相似的擬合結(jié)果，GA 相比其他優(yōu)化算法優(yōu)化效果不明顯。從優(yōu)化效率來(lái)看，原SSA 在迭代初期適應(yīng)度值快速縮小，隨之陷入局部最優(yōu)無(wú)法跳躍出來(lái)；改進(jìn)SSA 收斂略微慢于原SSA，在50 次左右的迭代后趨于穩(wěn)定，但在迭代中后期仍具有一定的跳出局部最優(yōu)能力；PSO在迭代過(guò)程中不斷向最優(yōu)情況靠近，效率低于原SSA 和改進(jìn)SSA，且對(duì)不同的截面曲線優(yōu)化效果差異較大，這可能與葉型形狀差異和初始化種群的隨機(jī)性有關(guān)。GA 整體優(yōu)化效率相比其他算法略顯弱勢(shì)，在迭代過(guò)程中適應(yīng)度值雖呈下降趨勢(shì)但降幅較小，這也導(dǎo)致了GA 最終無(wú)法取得較好的優(yōu)化結(jié)果。

從總體上看，改進(jìn)SSA 在擬合效果和優(yōu)化效率上均取得了較好的結(jié)果。在200 次迭代后，改進(jìn)SSA比原版SSA 有更好的擬合結(jié)果，并在迭代中后期具有一定的跳出局部最優(yōu)能力。與PSO 和GA 相比，改進(jìn)SSA 在擬合效果和優(yōu)化效率上均有巨大優(yōu)勢(shì)。PSO 雖與原版SSA 有相當(dāng)?shù)臄M合精度，但其劣勢(shì)在于優(yōu)化效率較低，無(wú)法適用于高實(shí)時(shí)性的數(shù)字孿生場(chǎng)景中。GA 雖對(duì)節(jié)點(diǎn)向量組有一定程度上的優(yōu)化效果，但無(wú)論在效率上還是精度上相比其他3 種優(yōu)化算法都無(wú)突出優(yōu)勢(shì)。

由于算法機(jī)制不同，不同算法的單位耗時(shí)也有所差異。為進(jìn)一步探究上述4 種算法的優(yōu)化效率，本文統(tǒng)計(jì)了6 個(gè)截面曲線運(yùn)用上述4 種優(yōu)化算法的總耗時(shí)，實(shí)驗(yàn)條件為80 個(gè)控制點(diǎn)、迭代200 次。此外，為驗(yàn)證數(shù)字孿生等工業(yè)應(yīng)用場(chǎng)景下的曲線擬合效率，本文設(shè)定目標(biāo)精度為0.005 mm，統(tǒng)計(jì)了4 種優(yōu)化算法達(dá)到目標(biāo)精度時(shí)的耗時(shí)情況。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2 所示，由于GA 在迭代結(jié)束時(shí)均未達(dá)到目標(biāo)精度0.005 mm，因此該部分?jǐn)?shù)據(jù)為空。

表2 不同算法下在曲線逼近上的總耗時(shí)和達(dá)到目標(biāo)精度耗時(shí)對(duì)比Table 2 Comparison of total time spent on curve approximation and time spent on reaching target accuracy under different algorithms 單位：ms

在總耗時(shí)上，改進(jìn)SSA與PSO顯示出了明顯優(yōu)勢(shì)。以曲線輪廓3 為例，改進(jìn)SSA 的運(yùn)行總耗時(shí)較PSO、GA和原SSA分別縮短了2.3%、89%和60%；改進(jìn)SSA較PSO縮短了95.6%的目標(biāo)精度耗時(shí)，這說(shuō)明當(dāng)目標(biāo)精度在SSA 的快速收斂區(qū)域內(nèi)時(shí)，SSA 比PSO 具有更強(qiáng)的收斂能力；改進(jìn)SSA 較原SSA 縮短了60%的目標(biāo)精度耗時(shí)，這體現(xiàn)了SSA 的有效改進(jìn)，說(shuō)明改進(jìn)SSA 效率的提高源于單次迭代的運(yùn)算復(fù)雜度降低。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片建模為背景，針對(duì)葉片壓力面和吸力面的曲線建模問(wèn)題，提出一種基于改進(jìn)SSA 的B 樣條曲線擬合方法。通過(guò)耦合SSA 解決內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量配置問(wèn)題，改進(jìn)SSA 的位置更新函數(shù)，以提高曲線擬合精度和算法全局搜索能力。為提高內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量迭代配置的魯棒性，給出節(jié)點(diǎn)向量更新范圍，并利用最小二乘法求解最優(yōu)控制點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，提出二分搜索方法提高算法搜索最少控制點(diǎn)的效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能有效地建模葉片的壓力面與吸力面曲線，縮短搜索最少控制點(diǎn)的耗時(shí)，相比傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)向量定義法，具有更好的魯棒性和更高的擬合精度，相比其他傳統(tǒng)自適應(yīng)算法，改進(jìn)SSA在精度、效率、穩(wěn)定性上都有較大的提升。本文方法保證了葉片前后緣與壓力面吸力面曲線的光滑連接，達(dá)到了航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片工業(yè)加工場(chǎng)景中的高精度、實(shí)時(shí)性要求。由于葉片前后緣曲率變化較快，需要大量控制點(diǎn)進(jìn)行擬合，控制點(diǎn)數(shù)量的驟增會(huì)降低算法效率，因此提高多控制點(diǎn)數(shù)量下的算法效率是下一步研究的方向。