戈忠義，岳殿武，李光輝，魏思悅，蘇雨苗

(大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

隨著無(wú)線通信技術(shù)的快速發(fā)展，移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于傳輸速率的需求不斷提高，發(fā)展高頻大規(guī)模天線陣列技術(shù)迫在眉睫。由于在毫米波(Millimeter-Wave,mmWave)頻率下波長(zhǎng)較短，可以在更小空間內(nèi)封裝更多的天線[1]，且大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)技術(shù)與毫米波系統(tǒng)搭配在一起可形成特定方向的光束，利用高空間復(fù)用增益雖可以實(shí)現(xiàn)更高的傳輸速率，但這種定向性也使得毫米波通信更容易受到遮擋物的影響而不能正常通信，這種問(wèn)題在高密度城市集群中更加明顯[2]。

最近出現(xiàn)的智能反射面技術(shù)能夠通過(guò)重新配置無(wú)線傳播環(huán)境以達(dá)到更好的通信質(zhì)量[3]，有望用來(lái)解決上述阻塞問(wèn)題。智能反射面是由大量成本低廉的被動(dòng)反射元件構(gòu)成，每個(gè)元件都能獨(dú)立調(diào)整信號(hào)相移[4]。業(yè)內(nèi)人士普遍認(rèn)為智能反射面將會(huì)在5G末期甚至未來(lái)6G通信網(wǎng)絡(luò)中扮演極其重要的角色[5-6]。

在智能反射面輔助下行通信系統(tǒng)中，為了優(yōu)化系統(tǒng)性能，常見的一個(gè)問(wèn)題是需要協(xié)同優(yōu)化基站端預(yù)編碼矩陣和反射面的反射系數(shù)。例如，在利用反射面提高數(shù)據(jù)傳輸速率時(shí)，反射面相位必須與基站端的主動(dòng)波束形成權(quán)重，然后再進(jìn)行優(yōu)化[7]。另外，為了提高信號(hào)接收強(qiáng)度和數(shù)據(jù)吞吐量，用戶端搭載多個(gè)天線以同時(shí)接收多條數(shù)據(jù)流。在現(xiàn)有的研究中，文獻(xiàn)[8]提出了一種交叉熵算法，通過(guò)隨機(jī)相位求原始速率，在其中選出較好的速率值，然后基于較好的速率值更新下次選擇更優(yōu)相位的概率，迭代多次后選出對(duì)應(yīng)最好速率的相移矩陣，然而這種優(yōu)化處理方案會(huì)造成嚴(yán)重的性能損失。文獻(xiàn)[9]采用交替優(yōu)化算法進(jìn)行和速率性能的優(yōu)化，這種方法通過(guò)固定其他優(yōu)化參數(shù)，按順序迭代優(yōu)化一個(gè)參數(shù)，雖然實(shí)現(xiàn)了不錯(cuò)的性能，但在實(shí)際系統(tǒng)中其過(guò)高的復(fù)雜度是難以被接受的。

最近，針對(duì)智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[10]采用了一種基于最小均方誤差算法的方案，但這種方案得到的奇異值(幅度)通常小于基于流形優(yōu)化方案所獲得的奇異值(幅度)，而且基于流形優(yōu)化方案可以獲得更加平衡、分布更均勻的奇異值[7]。在文獻(xiàn)[11]中，作者雖采用了復(fù)雜度較低的流形優(yōu)化算法方案進(jìn)行了優(yōu)化處理，但只考慮了單用戶場(chǎng)景。鑒于此，本文考慮了多用戶場(chǎng)景下毫米波MIMO下行系統(tǒng)的流形優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)是通過(guò)協(xié)同優(yōu)化智能反射面的反射系數(shù)、預(yù)編碼矩陣、合并矩陣以及功率分配來(lái)最大化多用戶的和速率，研究重點(diǎn)是利用毫米波信道的內(nèi)在結(jié)構(gòu)解決智能反射面的相移優(yōu)化問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，通過(guò)流形優(yōu)化技術(shù)處理可以顯著提升多用戶和速率，且與文獻(xiàn)[10]中的最小均方誤差方案相比，性能提升更明顯。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮了一個(gè)毫米波MIMO下行系統(tǒng)。假定直連鏈路被阻塞，在基站和用戶之間部署一個(gè)智能反射面協(xié)助通信，如圖1所示。

圖1 智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)

基站配備Nt個(gè)天線同時(shí)服務(wù)K個(gè)用戶，且每個(gè)用戶搭載Nr個(gè)天線。為了提高數(shù)據(jù)吞吐量，基站至反射面再到用戶一側(cè)發(fā)送Ns條數(shù)據(jù)流，且反射面由N個(gè)無(wú)源反射元件組成。由于文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)討論了多種信道估計(jì)方法，因此假設(shè)基站和反射面都可以獲得完美的信道狀態(tài)信息。G∈N×Nt，Hr,k∈Nr×N分別表示基站至反射面和反射面至第k個(gè)用戶的毫米波信道。采用傳統(tǒng)的Saleh-Valenzuela(SV)模型捕獲毫米波信道的特征[12]，且假設(shè)基站和用戶端的天線陣列采用均勻線性陣列(Uniform Linear Array,ULA),反射面的天線陣列采用均勻平面陣列(Uniform Plannar Array,UPA)。這樣信道矩陣G和Hr,k可表示為如下形式：

(1)

(2)

(3)

式中：λ代表信號(hào)波長(zhǎng)，d代表天線間距，且為了實(shí)現(xiàn)天線間的獨(dú)立性，一般情況下設(shè)置d=λ/2。對(duì)于采用均勻平面陣列分布且元件數(shù)為N的歸一化陣列響應(yīng)向量如下：

(4)

式中：N=Ny×Nz。另外，本文也考慮到了視線路徑以及非視線路徑的路徑損耗，具體表達(dá)式和數(shù)值設(shè)定將在第3節(jié)中給出。

在基站端，基帶預(yù)編碼矩陣表示為F=[f1,f2,…,fK]∈Nt×KNs且是發(fā)送功率。發(fā)送信號(hào)s=[s1,s2…,sK]T∈KNs×1且滿足定義第k個(gè)用戶的等效信道如下：

Hk=Hr,kΘG。

(5)

第k個(gè)用戶接收到的信號(hào)可表示如下：

(6)

式中：wk∈Nr×Ns是第k個(gè)用戶的合并向量且滿足表示反射面的無(wú)源波束成形矩陣且θn代表第n個(gè)反射元素的相移；表示用戶k處的加性高斯白噪聲，即服從均值為0、方差為的復(fù)高斯分布。下行鏈路的第k個(gè)用戶的信干噪比(Signal-to-Interference plus Noise Ratio,SINR)可表示如下：

(7)

式中：fkns(wkns)表示第k個(gè)用戶第ns條數(shù)據(jù)流的預(yù)編碼向量(合并向量)且kns=(k-1)Ns+ns[13]。因此，可達(dá)到的和速率表達(dá)如下：

(8)

2 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

2.1 描述問(wèn)題

(9a)

(9b)

(9c)

Θ=diag(ejθ1,ejθ2,…,ejθN)。

(9d)

為了簡(jiǎn)化上述問(wèn)題，可以在解決一個(gè)矩陣問(wèn)題的同時(shí)固定其他矩陣，然后在每次迭代中交替更新所有矩陣。對(duì)于給定Θ時(shí)，采用奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法求解預(yù)編碼矩陣F和合并矩陣W，且利用注水功率分配法求解最優(yōu)功率分配。對(duì)于有效信道Hk的奇異值分解如下：

Hk=UΣVH=[U1…Uk…UK]·

(10)

式中：U是一個(gè)Nr×Y的酉矩陣；Σ是一個(gè)Y×Y的奇異值對(duì)角矩陣；V是一個(gè)Nt×Y的酉矩陣，其中Y=rank(Hk)；矩陣Σk是一個(gè)Ns×Ns的矩陣,本文中我們?cè)O(shè)置Ns?min{Nt,Nr,Y}；Vk是一個(gè)Nt×Ns的矩陣。若給出固定的Θ，那么問(wèn)題(9)的最優(yōu)解決方案如下：

(11)

Wopt=Uk。

(12)

式中：

Γ=diag(P1,P2,…,PNs)，

(13)

將Fopt和Wopt代入公式(9)，就可以得到一個(gè)只考慮優(yōu)化無(wú)源波束成形矩陣Θ的問(wèn)題：

(14a)

s.t.Θ=diag(ejθ1,ejθ2,…,ejθN)。

(14b)

2.2 基于流形優(yōu)化算法的方案

展開Hk=Hr,kΘG，并重新表示如下：

Hk=Hr,kΘG=

(15)

式中：ATBS、ARUE和E(n,m,k)表示如下：

(16)

(17)

(18)

并且公式(18)中的enmk再展開如下：

vHgnmk。

(19)

式中：v=diag(ΘH)；gnmk中的°代表哈達(dá)瑪(Hadamard)積；enmk表示與第(k,m,n)條從基站至反射面再到用戶端復(fù)合路徑有關(guān)的無(wú)源被動(dòng)波束成形增益。

對(duì)于搭配M個(gè)天線的均勻線性陣列分布，可知

|aH(ηm)a(ηn)|→0,M→∞,且任意sin(ηm)≠sin(ηn)。

(20)

(21a)

s.t.E(ns,ns,k)=αnsβns,kensnsk，

(21b)

?ns∈{1,2,…,Ns},?k∈{1,2,…,K},

(21c)

ensnsk=vHgnsnsk,

(21d)

v=[ejθ1,ejθ2,…,ejθN]H。

(21e)

這樣，可以通過(guò)求解(21)等效地求解問(wèn)題(14)。

接下來(lái)，將式(18)代入式(21)中，表達(dá)如下：

(22a)

s.t.v=[ejθ1,ejθ2,…,ejθN]H。

(22b)

問(wèn)題(22)搜索空間可認(rèn)為是N個(gè)復(fù)圓乘積，如下：

(23)

式中：xi是向量x的第i個(gè)元素且每個(gè)復(fù)圓S={x∈:x*x=Re{x}2+Im{x}2=1}是的一個(gè)子圓。本文的流形優(yōu)化方案主要思想是基于(23)定義的流形空間的梯度下降算法[7]，算法中的切空間是由在點(diǎn)vt至的所有切向量組成的集合[15]，表達(dá)式如下：

(24)

在所有的切向量中，類似于歐氏空間，其中與負(fù)黎曼梯度相關(guān)的方向代表目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向[17]。要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)如下：

(25)

對(duì)于復(fù)圓流形，f(v)在vt點(diǎn)的黎曼梯度是一個(gè)切向量grad(f(vt))[15]，表達(dá)式如下：

(26)

(27)

求解上述歐幾里得梯度會(huì)涉及到關(guān)于復(fù)值矩陣求解導(dǎo)數(shù)的方法，具體細(xì)節(jié)可以參見文獻(xiàn)[18]。然后，根據(jù)每一個(gè)步長(zhǎng)τt更新vt，表達(dá)式如下：

(28)

(29)

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

基于流形優(yōu)化算法方案的復(fù)雜度主要來(lái)自于求解歐幾里得梯度(28)，復(fù)雜度的量級(jí)為O(N)，則求解v的復(fù)雜度為O(NIite)，其中Iite為迭代次數(shù)。另外，計(jì)算Hk的奇異值分解時(shí)復(fù)雜度為O(N)，所以流形優(yōu)化算法方案的整體復(fù)雜度為O(N2Iite)。然而最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)算法的復(fù)雜度為O(N3+IinN2)Iout，其中Iin和Iopt分別表示內(nèi)部和外部循環(huán)迭代次數(shù)[7]。不難看出，基于流形優(yōu)化算法的復(fù)雜度明顯低于基于MMSE算法的復(fù)雜度。

基于智能反射面的流形優(yōu)化算法步驟如下：

1 初始化v0并且設(shè)置一個(gè)預(yù)定義的閾值ε。

2 開始循環(huán)：

4 使用式(26)計(jì)算黎曼梯度grad(f(vt))；

5 設(shè)置一個(gè)合適的Armijo步長(zhǎng)τt；

7 使用式(29)更新vt+1；

8 直到兩次迭代之間的目標(biāo)函數(shù)值之小于預(yù)先設(shè)定的閾值ε，結(jié)束循環(huán)。

9 輸出最優(yōu)的v*。

3 仿真結(jié)果分析

在多用戶(K=4)情況下，本文通過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比流形優(yōu)化方案、文獻(xiàn)[10]中的最小均方誤差方案以及隨機(jī)相位方案的性能。在仿真中，采用三維坐標(biāo)表示基站、反射面以及用戶的位置，單位為m?；竞头瓷涿娴淖鴺?biāo)分別設(shè)置為(3,0,10)m和(0,100,10)m，4個(gè)用戶的坐標(biāo)分別設(shè)置為(3,150,1.8)m、(4,150,1.8)m、(5,150,1.8)m以及(6,150,1.8)m。由于要考慮發(fā)射和接收天線增益，所以多用戶的信道重新表達(dá)如下[11]：

Hk=GtGrHr,kΘG。

(30)

式中：Gt和Gr分別表示發(fā)射和接收天線增益，且設(shè)置Gt=Gr=21 dB。基站至反射面的信道G和反射面至多用戶的信道Hr,k表示如下：

(31)

(32)

(33)

圖2展示了多用戶和速率與發(fā)射天線個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，其中設(shè)置接收天線個(gè)數(shù)Nr=15、反射面元素個(gè)數(shù)N=100以及發(fā)射功率P=30 dBm。從圖2中可以看出，在三種方案對(duì)應(yīng)的多用戶和速率性能方面，隨著發(fā)射天線個(gè)數(shù)的不斷增加，基于流形優(yōu)化方案明顯好于基于最小均方誤差方案和隨機(jī)相位方案，而且可以發(fā)現(xiàn)基于流形優(yōu)化方案實(shí)現(xiàn)的和速率大小是基于隨機(jī)相位方案的1.5倍左右。

圖2 智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)多用戶和速率與發(fā)射天線個(gè)數(shù)之間的關(guān)系

圖3展示了多用戶和速率與發(fā)射功率之間的關(guān)系，其中設(shè)置發(fā)射和接收天線個(gè)數(shù)分別為Nt=20、Nr=15以及反射面元素個(gè)數(shù)N=100。從圖3中不難看出，在多用戶和速率性能方面，隨著發(fā)射功率的不斷增加，三種方案對(duì)應(yīng)的多用戶和速率性能都在持續(xù)提高，但基于流形優(yōu)化方案一直都好于基于最小均方誤差方案和隨機(jī)相位方案。另外，隨機(jī)相位方案發(fā)射功率達(dá)到30 dBm時(shí)，與流形優(yōu)化方案發(fā)射功率為21 dBm接近，這也從側(cè)面說(shuō)明了優(yōu)化算法對(duì)于智能反射面的重要作用。

圖3 智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)多用戶和速率與發(fā)射功率之間的關(guān)系

圖4 智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)多用戶和速率與反射面元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系

4 結(jié) 論

本文考慮了一個(gè)基于智能反射面輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)，優(yōu)化目的是通過(guò)協(xié)同優(yōu)化智能反射面的無(wú)源波束成形、功率分配、預(yù)編碼矩陣以及合并矩陣來(lái)最大化多用戶和速率。當(dāng)基站至用戶的直連鏈路被阻塞時(shí)，采用了一種基于智能反射面的流形優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。仿真結(jié)果表明，與最小均方誤差方案以及隨機(jī)相位方案相比，本文所采用的流形優(yōu)化算法方案在多種情況下都能明顯獲得更好的性能，而且計(jì)算復(fù)雜度也相較于最小均方誤差方案更低。