范樂賢，劉淑杰，張洪潮，2

(1.大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.德克薩斯理工大學(xué)工業(yè)工程系，美國 德克薩斯 盧伯克 79409)

0 引言

滾動軸承是機械設(shè)備的關(guān)鍵部件之一，廣泛應(yīng)用于各種設(shè)備中，它的退化或失效將直接影響設(shè)備的性能和可靠性，這使得盡早檢測和預(yù)測任何類型的潛在異常和故障并實施實時容錯操作以最小化性能降級和避免危險情況成為必要[1]。RUL預(yù)測作為預(yù)后與健康管理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，近年來有大量的學(xué)者研究。目前主流的RUL預(yù)測方法主要有三類：基于物理原理的方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法和混合方法[2]。其中，有限的失效機理研究、復(fù)雜的物理模型和實時的參數(shù)估計方法限制了基于物理原理方法的進一步應(yīng)用。數(shù)據(jù)驅(qū)動方法可分為兩類：人工智能方法和基于退化趨勢的方法[2]。前者從大量同類設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(condition monitoring，CM)數(shù)據(jù)中提取深層特征，使用智能算法學(xué)習(xí)深層特征和使用壽命之間聯(lián)系，進一步實現(xiàn)RUL預(yù)測[3-4]。后者從監(jiān)測信號中提取健康指標(biāo)(Health Indicator，HI)，根據(jù)服役環(huán)境、退化過程、專家知識和可用數(shù)據(jù)對退化趨勢進行建模，實現(xiàn)對退化趨勢的預(yù)測[5-6]，預(yù)測結(jié)果可以表示為隨機、概率或確定性變量，近年來基于退化趨勢的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法在滾動軸承RUL預(yù)測中得到了廣泛的應(yīng)用。

隨著故障程度的發(fā)展，軸承的HI一般呈現(xiàn)出變化的退化趨勢，單一的退化模型很難描述隨時間變化的退化過程。因此，有必要在RUL預(yù)測之前根據(jù)趨勢變化將退化過程劃分為不同階段并建立對應(yīng)的退化模型[7]。Lim等使用三個動態(tài)模型描述軸承的三種退化過程，并通過貝葉斯算法計算不同模型的概率劃分退化階段[8]。Cui等用三個多項式函數(shù)表示軸承的正常、緩慢退化和加速退化，通過設(shè)置相對誤差閾值和計算狀態(tài)概率判斷退化階段[9]。Wang等將退化過程分為正常和退化階段，分別用不同的函數(shù)形式描述退化階段，并用基于3σ區(qū)間的檢驗方法確定退化起始[10]。Ahmad等使用線性和二次動態(tài)回歸模型描述健康指標(biāo)的兩種趨勢，并用警報界限技術(shù)確定退化起始點[11]。此外，HI的退化趨勢不僅具備多階段的特點，往往還受制作工藝、服役時間和工況環(huán)境等因素的影響，導(dǎo)致每個階段的退化路徑具備不確定性變化，因此對退化路徑不確定度進行有效管理同樣是廣泛關(guān)注的問題。Hu等建立了退化速度隨運行時間和外部因素變化的線性維納模型[12]。Lei等建立一種同時考慮退化時變性、個體差異性、非線性可變性和測量可變性四種不確定性源的隨機過程模型[13]。Wen等在冪函數(shù)模型中引入導(dǎo)致退化路徑不確定性的三種因素[14]。Gao等提出一種能夠擬合多級線性退化同時考慮個體差異的隨機模型[15]。

綜合以上基于退化趨勢的軸承RUL預(yù)測方法，可以發(fā)現(xiàn)考慮多階段退化和趨勢不確定性的預(yù)測方法是相互獨立的。然而，根據(jù)軸承的實際退化情況，HI趨勢是同時具備多階段和多種不確定性特征的綜合過程，目前還沒有將這兩種特征結(jié)合的預(yù)測方法。因此，本文提出一種能夠擬合多階段退化趨勢，同時考慮趨勢多不確定性的RUL預(yù)測方法。

1 退化建模和RUL預(yù)測

1.1 退化建模

軸承時域振動信號由隨機噪聲和周期性波動組成。在振動數(shù)據(jù)的時域分析中，可以提取具有良好演化趨勢的時域特征作為HI，而均方根(Root Mean Square，RMS)是具有良好上升趨勢特征的代表，因此本文采用RMS作為HI表示軸承的性能退化。根據(jù)文獻[7]的分析，軸承在全壽命周期會依次經(jīng)歷健康、緩慢退化和加速退化三個階段，如圖1所示。

圖1 滾動軸承的退化過程

因此基于維納過程采用常數(shù)、線性和非線性形式描述三個階段HI的變化。即：

x(t)=x0+σB(t)

(1)

x(t)=x0+ηt+σB(t)

(2)

(3)

式中，η是漂移系數(shù)，表示軸承的退化率；σ是擴散系數(shù)，表示同類軸承的共同特性；x0是每個階段的初始狀態(tài)；Λ(t；θ)是非線性退化函數(shù)，本文采用冪函數(shù)形式Λ(t；θ)=tθ。

y(t)=x(t)+ε

(4)

實際中，CM數(shù)據(jù)通常為離散形式Y(jié)1：k={y1，y2，…，yk}。同樣地，X1：k={x1，x2，…，xk}表示對應(yīng)CM數(shù)據(jù)的退化狀態(tài)。因此，基于上述多階段退化過程及不確定性的定義，建立具有三種不確定性的隨機退化模型。

常數(shù)模型：

(5)

式中，zk=[xk]，A=[1]，Q～N(0，σ2)，H=[1]，R～N(0，δ2)。

線性和非線性模型：

(6)

1.2 RUL預(yù)測

在工程應(yīng)用中，將軸承HI首次超過失效閾值的使用時間視為有效壽命是很自然的，則軸承RUL可以看作是當(dāng)前時間和首達時之間的時間間隔，其中，首達時是隨機過程首次達到某值的時刻。根據(jù)有效壽命定義和首達時的概念，tk時刻的RULLk表示如下：

Lk=inf{x(l+tk)≥ω|x(tx)<ω}

(7)

則上文提出的退化模型對應(yīng)的RUL的條件概率密度函數(shù)(Probability density function，PDF)為：

(8)

Γk=Π(lk+tk;θ)-Π(tk;θ)，Π(t;θ)為HI退化形式。上式詳細證明參見文獻[18-19]，此處省略。然而，利用上述分布在線預(yù)測RUL時，不僅需要失效閾值ω，還需要估計狀態(tài)zk|k的期望、方差以及SSM中的相關(guān)參數(shù)。

2 自適應(yīng)參數(shù)估計和階段劃分

2.1 參數(shù)估計

然后構(gòu)造參數(shù)向量Θ的聯(lián)合似然函數(shù)關(guān)于CM數(shù)據(jù)集Y和狀態(tài)集Z的條件期望：

[(yi-Hzi|k)(yi-Hzi|k)T]}

(9)

(10)

假設(shè)(10)式中

(11)

2.2 階段劃分

SPC是一種利用數(shù)理統(tǒng)計控制過程和減少波動的統(tǒng)計技術(shù)，可以實現(xiàn)對過程進行及時有效的調(diào)整和決策。由于退化過程的不穩(wěn)定性，CM數(shù)據(jù)偶爾會出現(xiàn)偏離正常范圍的“奇異值”，這種現(xiàn)象會對階段劃分產(chǎn)生一定的干擾，從而導(dǎo)致階段的錯誤估計。為了準確識別退化階段，避免“奇異值”引發(fā)階段錯誤估計，提出基于SPC的階段劃分方法，通過監(jiān)測殘差變化識別退化階段。

由于退化時變和測量噪聲等不確定性因素的存在，即使在同一階段內(nèi)，退化狀態(tài)和HI也并不保持恒定，而是在一定范圍內(nèi)波動。這里將殘差定義為退化狀態(tài)的期望E(x1：k)和HIY1：k之間的差值，即k=yk-E(xk)。通過對建立的退化模型分析可知，殘差k應(yīng)服從則使用EWMA控制圖監(jiān)測k的動態(tài)變化，其上下控制限(Up/Low control limit，UCL/LCL)為：

(12)

式中，K為控制限寬度；λ為EWMA權(quán)重；μ為EWMA統(tǒng)計量的均值。

若Ei在控制限內(nèi)，則認為退化階段不發(fā)生變化是合理的。否則，有理由判斷退化階段發(fā)生改變。然而，僅用一個超過控制限的殘差進行階段劃分仍然是不準確的。因此，根據(jù)統(tǒng)計過程控制的判穩(wěn)準則，計算不同控制限下的最小采樣次數(shù)，如表1所示。

表1 不同控制限下滿足穩(wěn)定判據(jù)的最小采樣次數(shù)

3 實例研究

圖2 軸承生命周期的振動數(shù)據(jù)

為了驗證該方法的有效性，本節(jié)給出一個滾動軸承的實例，CM數(shù)據(jù)來自XJTU-SY軸承數(shù)據(jù)集[20]的Bearing3_1。圖2顯示出了所采集的全壽命振動信號，本文從500min開始對軸承進行狀態(tài)監(jiān)測，并使用相對法確定軸承失效閾值[20]。

在整個監(jiān)測過程中，從CM數(shù)據(jù)提取的RMS變化如圖3中的左小圖曲線所示。將提取的RMS帶入退化模型估計退化狀態(tài)，結(jié)果如圖3所示。圖3左側(cè)子圖為t=1000～1500min的局部放大圖，圖3右側(cè)子圖為2300min后的局部放大圖。從數(shù)據(jù)的總體趨勢來看，前2300min軸承處于健康階段，估計狀態(tài)在一定范圍內(nèi)波動，沒有明顯的退化趨勢。2300min后，軸承進入退化階段，估計狀態(tài)在2340～2450min間呈現(xiàn)線性退化趨勢，在2450min后呈現(xiàn)非線性退化趨勢。當(dāng)軸承運行到2490min時，退化狀態(tài)首次達到失效閾值，其壽命被認為終止。在500～2490min監(jiān)測期間共采集1990組CM數(shù)據(jù)，使用提出的參數(shù)估計方法根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計不同階段下的參數(shù)向量θ，如圖4所示。

圖3 基于RMS的狀態(tài)估計結(jié)果

使用提出的參數(shù)估計方法在每個CM點獲取參數(shù)向量θ。為保證模型參數(shù)預(yù)測精度，待處理數(shù)據(jù)累積到5組再進行估計，然后每次采樣新數(shù)據(jù)后更新估計結(jié)果。不同階段的估計結(jié)果如圖4所示，圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)分別為健康階段、緩慢退化階段和加速退化階段的結(jié)果。從圖4(a)、圖4(b)可以看出，隨著CM數(shù)據(jù)的積累，模型參數(shù)可以快速收斂并保持穩(wěn)定。在每個階段結(jié)束時(t=2342min和t=2462min)，模型參數(shù)都發(fā)生一定程度的變化，這與相應(yīng)時刻發(fā)生階段變化的實際情況一致。從圖4(c)可以看出，估計參數(shù)在一定范圍內(nèi)波動，這也符合加速退化階段內(nèi)軸承退化嚴重、運行狀態(tài)不穩(wěn)定的實際情況。這些結(jié)果表明了本文提出的參數(shù)估計方法具有自適應(yīng)估計能力。

圖4 每個階段的參數(shù)估計過程

圖5 階段劃分結(jié)果

計算估計狀態(tài)和RMS的殘差，得到每個監(jiān)測點EWMA統(tǒng)計量Ei，結(jié)果如圖5實線所示，其中(a)、(b)分別表示健康階段和退化階段，虛線為控制限K=3求得的上下控制限。

圖5中的統(tǒng)計量Ei大部分在控制限內(nèi)，少數(shù)(小圓圈)發(fā)生“越界”，由穩(wěn)定判據(jù)可知上述“越界點”是該階段內(nèi)的奇異值，表明建立的模型符合退化階段的實際情況。但在t=2342min和t=2462min后，短時間內(nèi)出現(xiàn)大量的“越界點”，相鄰“越界點”間的距離不足穩(wěn)定判據(jù)中規(guī)定的最小采樣次數(shù)，此時有充分的理由認為退化階段發(fā)生了變化。將改變點后的監(jiān)測數(shù)據(jù)帶入相應(yīng)的隨機退化模型中，統(tǒng)計量Ei又恢復(fù)到控制限內(nèi)，說明所建模型又符合變化后的退化情況。上述現(xiàn)象表明，所提階段劃分方法可以有效劃分不同階段的監(jiān)測數(shù)據(jù)，并及時確定階段變化點。

圖6 退化階段估計RUL的PDF

基于上述狀態(tài)、參數(shù)及階段估計結(jié)果，根據(jù)(8)式計算退化階段內(nèi)各監(jiān)測點的RUL分布，結(jié)果如圖6所示。在每個退化階段初期，由于缺少足夠的監(jiān)測數(shù)據(jù)，估計參數(shù)不確定性較大。因此，PDF曲線多為“扁平”形狀，可能的RUL范圍較廣，但PDF分布仍覆蓋了真實的RUL。隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的積累，特別是在估計參數(shù)收斂后，PDF曲線越來越“尖銳”，可能的RUL范圍變窄，這表明預(yù)測結(jié)果的不確定性降低，可以為后續(xù)決策提供有效的信息。

以PDF最大值代表各時刻的預(yù)測RUL，預(yù)測結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯觯嘶跗贑M數(shù)據(jù)較少，導(dǎo)致估計參數(shù)不確定性較大，預(yù)測結(jié)果誤差較大。隨著CM數(shù)據(jù)的不斷積累，估計參數(shù)逐漸收斂并接近真實值，RUL預(yù)測結(jié)果也逐漸趨于穩(wěn)定，預(yù)測精度上升。但此時根據(jù)CM數(shù)據(jù)只能判斷出軸承具有線性退化趨勢，不能預(yù)測未來的非線性退化趨勢。因此只能預(yù)測緩慢退化對應(yīng)的RUL，如圖7(a)虛線所示，導(dǎo)致真實RUL和預(yù)測RUL有一定的差別。倘若只考慮軸承緩慢退化，即只考慮軸承線性退化部分，如文獻[9]。圖8中顯示了只考慮軸承線性退化時，文獻[9]和本文預(yù)測的均方根誤差比較。

圖7 退化階段的預(yù)測RUL

可以看出，如果只考慮軸承線性退化部分，本文預(yù)測的均方根誤差與文獻[9]相比更小，表明該方法的預(yù)測精度比文獻[9]有所提高。此時，文獻[9]認為軸承失效，而根據(jù)“相對法”設(shè)定的失效閾值更接近真實失效閾值。因此，本文進一步預(yù)測下一個時期的RUL，結(jié)果如圖7(b)所示?？梢钥闯霎?dāng)軸承進入最后的加速退化階段，由于退化階段不再發(fā)生變化，根據(jù)CM數(shù)據(jù)預(yù)測的退化趨勢即是最終趨勢，因此預(yù)測精度大大提高，預(yù)測RUL皆在30%的誤差限度內(nèi)。隨著CM數(shù)據(jù)的積累，模型參數(shù)逐漸收斂，RUL預(yù)測也進一步靠近真實值。這些結(jié)果表明，所提方法在預(yù)定失效閾值下，能夠預(yù)測全壽命周期內(nèi)的RUL。

圖8 只考慮軸承緩慢退化時預(yù)測RUL的均方根誤差

4 結(jié)論

為了描述軸承健康指標(biāo)的退化趨勢同時具有多階段變化和多不確定性的特點，本文提出一種新的隨機退化模型，該模型同時考慮個體差異性、退化時變性、測量可變性和多階段退化。為了準確劃分退化階段，提出一種基于EWMA控制圖的階段劃分方法，用于自適應(yīng)切換退化模型。同時，在缺少同類軸承先驗信息的情況下利用基于EM算法的參數(shù)估計方法在線更新模型參數(shù)。最后，通過對仿真數(shù)據(jù)和XJTU-SY數(shù)據(jù)集的實證研究，驗證該方法的有效性。結(jié)果表明，該方法能夠準確劃分滾動軸承的不同階段，并根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)提供不同退化階段的RUL預(yù)測。