李小妮

(陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 通識(shí)學(xué)院，陜西 西安 712046)

在大數(shù)據(jù)背景下,計(jì)算機(jī)已經(jīng)應(yīng)用于很多領(lǐng)域，成了人類不可或缺的工具.計(jì)算機(jī)在給人們生活帶來便利的同時(shí)，也給人們的生活帶來了一些危害.例如，計(jì)算機(jī)病毒.計(jì)算機(jī)病毒的暴發(fā)，使人們生活引發(fā)混沌，使人類經(jīng)濟(jì)遭受重創(chuàng)[1-2].因此，及時(shí)有效地對(duì)計(jì)算機(jī)病毒防控尤為重要.建立數(shù)學(xué)模型研究計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)律，預(yù)測(cè)病毒發(fā)展情況，可以為防控工作者提供科學(xué)的理論依據(jù)[3-5].在計(jì)算機(jī)病毒暴發(fā)初期，由于缺乏相應(yīng)的殺毒軟件，政府的信息安全宣傳是防護(hù)計(jì)算機(jī)病毒傳播的主要方式[3-4].信息安全宣傳可以提高民眾安全防護(hù)觀念，是一種及時(shí)有效的防控措施.

此外，使用殺毒軟件作為一種更加直接有效的計(jì)算機(jī)病毒防控措施，可以在很大程度上遏制計(jì)算機(jī)病毒的大規(guī)模流行，通常與信息安全宣傳措施結(jié)合使用.

在病毒防治過程中，過度的信息安全宣傳和過量的使用殺毒軟件不僅會(huì)給人們的身心健康產(chǎn)生負(fù)面影響，也會(huì)浪費(fèi)有限的社會(huì)資源.所以，制定有效的防控措施尤為重要.在數(shù)學(xué)建模過程中，將控制策略作為決策變量建立最優(yōu)控制模型，可以求得相應(yīng)的最優(yōu)控制變量[3-6].因此，越來越多的學(xué)者考慮將信息安全宣傳、使用殺毒軟件作為控制變量研究最優(yōu)控制問題[3-4].在實(shí)際生活中，由于計(jì)算機(jī)病毒有一定的潛伏期，所以將時(shí)滯引入數(shù)學(xué)模型中，可以更貼近實(shí)際.因此，很多學(xué)者致力于研究帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型[7-9].

本文將信息安全宣傳與殺毒軟件使用作為控制變量運(yùn)用到計(jì)算機(jī)病毒模型中，研究基于信息安全宣傳和殺毒軟件使用的混合時(shí)滯計(jì)算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制問題.

1 模型的建立

為了描述計(jì)算機(jī)病毒，提出了如下計(jì)算機(jī)病毒模型，

(1)

其中，S,E,I,R表示易感節(jié)點(diǎn)、暴露節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)節(jié)點(diǎn)，φ,Λ,r,λ,η表示從暴露節(jié)點(diǎn)到確診節(jié)點(diǎn)的比率、易感節(jié)點(diǎn)輸入率和感染節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)率、感染系數(shù)、死亡率，α1表示飽和常數(shù).

將信息安全宣傳和殺毒軟件的使用作為控制變量引入計(jì)算機(jī)病毒模型 (1) 中，得到新的混合時(shí)滯的最優(yōu)控制模型，

(2)

其中，u1(t)表示信息安全宣傳強(qiáng)度，u2(t)為殺毒軟件的使用強(qiáng)度，α2為飽和常數(shù).

本文的目標(biāo)是尋求最優(yōu)控制量(u1(t),u2(t))，使得感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量降低.為此，定義如下形式的目標(biāo)函數(shù)，

2 最優(yōu)控制的存在性及其刻畫

首先證明最優(yōu)控制的存在性，然后對(duì)其進(jìn)行刻畫.

2.1 最優(yōu)控制的存在性

首先，令x=(S,E,I,R)T,u(t)=(u1(t),u2(t))T∈U，然后，給出最優(yōu)控制的存在性.

(3)

證明分三個(gè)部分證明最優(yōu)控制的存在性[10].

(ii)控制集U為凸緊集.

2.2 最優(yōu)控制的刻畫

對(duì)最優(yōu)控制 (2) 進(jìn)行刻畫.構(gòu)造Hamilton 函數(shù)，

(4)

將(4)代入上式可得方程(2)的伴隨方程，

其中，λi(T)=0，(i=1,2,3,4)為橫截條件.

(5)

其中，

(6)

由Hamilton 表達(dá)式可得，

(7)

化簡(jiǎn)方程(7)可得，

由于ui(t)，(i=1,2)是有界得，所以方程(5)成立.因此，可得控制函數(shù)對(duì)u1(t),u2(t)的最優(yōu)解.證畢.

3 數(shù)值模擬

將對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬.模型(2)的參數(shù)取值如下，

T=200,Δ=0.01,τ=1.5,Λ=0.1,η=5.48×10-5,λ=0.0014,α1=1,α2=1,

權(quán)重A1=1.5×10-6,A2=2.5×10-7,B1=1,B2=3.1×10-5,C1=1,C2=0.1.模型(2)的初始值S(0)=10000,I(0)=50,R(0)=10,Z=1.

表1 最優(yōu)控制實(shí)現(xiàn)算法

數(shù)值算例結(jié)果如圖1所示.圖1中(a)和(c) 給出了兩種情況(無控制、有兩種控制措施)下，暴露節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)的時(shí)間序列圖.圖 1(b) 給出了控制變量u1,u2的取值.由圖1(a)和(c) 知，采取混合控制措施后，E(t),I(t)的值大幅下降.由圖 1(a) 知，在時(shí)間段60≤t≤100之間，E(t)下降速度快，后期雖有小幅上升，但最終E(t)得到控制.由圖 1(c) 知，在時(shí)間段60≤t≤120之間，I(t)下降速度快.因此可得，在計(jì)算機(jī)病毒暴發(fā)后，采取混合控制措施可以大幅減少感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量，對(duì)計(jì)算機(jī)病毒防控具有重要意義.

圖1 最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)控制

4 結(jié) 論

本文研究了一類混合時(shí)滯計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的最優(yōu)控制問題.將信息安全宣傳和殺毒軟件使用作為干預(yù)措施引入計(jì)算機(jī)病毒模型，得到了新的混合時(shí)滯計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，借助最優(yōu)控制理論，給出了最優(yōu)控制函數(shù).最后，數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果.由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得， 兩種干預(yù)措施可以有效控制感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量，對(duì)計(jì)算機(jī)病毒防控具有更好的效果.