四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 謝志強(qiáng) 楊 志 四川省什邡中學(xué) (618499) 紀(jì)定春

1 試題呈現(xiàn)

2 試題多解

2.1 問題(1)的多解

解法1：(柯西不等式法)高中數(shù)學(xué)選修4-5定義了柯西不等式，若a1，a2，b1，b2都是實(shí)數(shù)，則(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1a2+b1b2+a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi時(shí)等號成立.由柯西不等式有(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2.因?yàn)閍2+b2+4c2=3，所以a+b+2c≤3.

解法3：(構(gòu)造函數(shù)法)考慮構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=(a2+b2+4c2)x2+2(a+b+2c)x+3，顯然可得f(x)=(ax+1)2+(bx+1)2+(2c+1)2≥0.由于這個(gè)二次函數(shù)大于等于零恒成立，所以判別式△≤0，故△=4(a+b+2c)2-4(a2+b2+4c2)·3≤0，化簡后可得a+b+2c≤3.

解法4：(二元均值不等式法)因?yàn)?a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2ab+4ac+4bc=3+2ab+4ac+4bc，由二元均值不等式可知a2+b2≥2ab，a2+4c2≥4ac，b2+4c2≥4bc.因此，(a+b+2c)2≤3(a2+b2+4c2)=9，故a+b+2c≤3.

解法5：(作差法)考慮將不等式兩邊同時(shí)平方后再作差，問題化為證明9-(a+b+2c)2≥0成立.因?yàn)?-(a+b+2c)2=3(a2+b2+4c2)-(a+b+2c)2=2a2+2b2+8c2-2ab-4ac-4bc=(a-b)2+(b-2c)2+(2c-a)2≥0，即a+b+2c≤3.

解法11：(判別式法)令a+b+2c=t，a2+b2+4c2=3，聯(lián)立可得a2+b2+(t-a-b)2=3，展開后整理可得2a2+a(2b-2t)+2b2+t2-2tb-3=0.由于方程有解，故△1=-3b2+2bt-t2+6≥0，即-3b2+2bt-t2+6≥0.再由△2=(2t)2-4×(-3)·(6-t2)≥0，可得t2≤9，故t≤3，即a+b+2c≤3成立.

2.2 對問題(2)的多解

3 試題的推廣

3.1 對問題(1)的推廣

評注：該推廣是將原問題中的3推廣為m，證明方法同解法1.

推廣2已知a，b，c均為正數(shù)，且a3+b3+(2c)3=3，證明：a+b+2c≤3.

評注：此推廣將原問題中字母次數(shù)推廣，即2次推廣為3次，證明方法同解法7.

評注：此推廣是將條件中的2次，推廣為3次，常數(shù)3推廣為m，證明同解法7、8.

評注：此推廣是將原問題中的常數(shù)3推廣為m，且字母由原來的2次，推廣為n次.

評注：該推廣將條件中元的個(gè)數(shù)推廣為n個(gè)，證明方法同解法1.

評注：該推廣將條件中元的個(gè)數(shù)推廣為n個(gè)，次數(shù)也推廣為n次，證明方法同解法7和解法8.

3.2 對問題(2)的推廣

評注：該推廣是將條件中的次數(shù)推廣為3次，證明方法，可以運(yùn)用權(quán)方和不等式.

評注：該推廣是將條件中的次數(shù)推廣為n次,其證明方法還是可以運(yùn)用權(quán)方和不等式.

評注：該推廣是推廣2中元的個(gè)數(shù)由2元推廣到n元.

評注：該推廣是將問題2中次數(shù)推廣到3次.

評注：該推廣是將推廣4中的次數(shù)推廣到n次.

需要注意的是，上述推廣內(nèi)容，不一定全部適用于高中學(xué)生，而是需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有選擇性的將上述推廣納入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)使用.