雷虎軍，李書斌，黃炳坤

（福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福建 福州 350118）

引言

斜拉橋剛度大、跨越能力強、造型美觀，是大跨鐵路橋梁的首選。截止到2021年12月，我國高速鐵路運營里程已突破4萬km，其中大跨斜拉橋得到了廣泛應(yīng)用。研究表明，地震在威脅高速鐵路橋梁安全［1－2］的同時，還會誘發(fā)顯著的行車安全問題［3－4］。因此，如何確保地震時大跨鐵路斜拉橋的行車安全，是該類橋型應(yīng)用中面臨的一大難題。

針對該問題，目前主要的解決思路是將地震作為外部激勵，采用車橋耦合振動理論進行仿真計算，以此來評估地震時橋上列車的行車安全性。韓艷等［5］將27個自由度的多剛體車輛模型與模態(tài)綜合法建立的橋梁模型耦合，求解了某斜拉橋在地震作用下的車橋耦合振動響應(yīng)；熊建珍等［6］針對天興洲長江大橋主橋，采用自編的地震－車－橋分析程序分別研究了貨車、中速旅客列車和高速旅客列車過橋時的行車安全性。在上述研究中，地震動輸入全部采用一致激勵。然而，對于大跨斜拉橋，不同支撐點的場地差異可能較大，地震動的空間變異性不容忽視。張楠等［7］采用大質(zhì)量法在車橋系統(tǒng)中實現(xiàn)了非一致地震激勵的輸入，研究了不同地震動強度下高速列車通過某鋼桁梁斜拉橋時的行車安全性；范晨陽等［8］以千米級大跨度公鐵兩用斜拉橋為例，研究了行波和相干效應(yīng)對橋梁的影響，結(jié)果表明一致激勵法會低估結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。然而，目前關(guān)于地震動空間變異性對大跨鐵路斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)影響的研究還十分有限，其影響規(guī)律還未達成共識。

文中基于功率譜密度函數(shù)矩陣合成空間相關(guān)的多點地震動，并利用MATLAB編制合成程序。在此基礎(chǔ)上，以某主跨432 m的大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋為例，系統(tǒng)研究了地震動空間變異性中行波效應(yīng)、場地效應(yīng)和失相干效應(yīng)對該高速鐵路斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，研究結(jié)論可為同類大跨高速鐵路斜拉橋的設(shè)計提供參考。

1 空間相關(guān)地震動的合成與驗證

Hao等［9］首先基于隨機過程理論，提出了空間相關(guān)地震動的合成思路。文中在此基礎(chǔ)上，充分考慮不同支撐點的場地差異，基于譜方法合成空間相關(guān)的多點地震動，并利用MATLAB編制合成程序。

1.1 空間相關(guān)地震動的合成

根據(jù)隨機振動理論，空間任意點間的相關(guān)性可通過互功率譜和自功率譜來表達。因此，橋梁各支撐點間的相關(guān)性可統(tǒng)一用功率譜密度函數(shù)矩陣表示為：

式中：n為支撐點數(shù)；Skk(iω)為k點的自功率譜密度函數(shù)；Skl(iω)為k點和l點的互功率譜密度函數(shù)。

自功率譜密度函數(shù)采用Clough－Penzien模型［10］，如式（2）所示：

式中：ωg、ξg、ωf和ξf為場地土參數(shù)；S0為譜強度因子。根據(jù)參考文獻［11］可得不同場地、不同地震動強度下的場地土參數(shù)和譜強度因子。

空間任意兩點k和l的互功率譜密度函數(shù)Skl(iω)可按式（3）計算：

式中：Sk(ω)和Sl(ω)分別為兩點的自功率譜密度函數(shù)，表征不同點之間的場地效應(yīng)；ρkl(ω,d)為相干函數(shù)，表征不同點的相干效應(yīng)；exp( -iωdkl/va(ω))反應(yīng)了地震波的行波效應(yīng)，dkl為兩點之間的距離；va(ω)表示視波速。相干函數(shù)模型可采用屈鐵軍模型［12］：

式中：α(ω)=α1ω2+α2，b(ω)=b1ω2+b2，α1=0.167 8×104，α2=0.121 9×102，b1=-0.005 5，b2=0.767 4。

根據(jù)式（1）～式（4）和場地土參數(shù)即可組集功率譜密度函數(shù)矩陣，在此基礎(chǔ)上可將功率譜密度函數(shù)矩陣進行Cholesky分解：

此時，不同支點k，l間ωk頻率分量的幅值和相位角分別為：

采用三角函數(shù)疊加法，將強度包絡(luò)函數(shù)與雙求和余弦函數(shù)相乘即可得到不同點的非平穩(wěn)地震動加速度時程：

式中：j=1～T，T=3n表示地震波的總條數(shù)；M為頻率離散點個數(shù)；ψmk為[ 0,2π]上相互獨立的隨機相位角；fj(t)為強度包絡(luò)函數(shù)，可參考文獻［13］進行取值。

在此基礎(chǔ)上，對生成的加速度時程進行校正并逐步積分即可得到不同點的速度時程和位移時程。

1.2 合成實例及驗證

根據(jù)上述方法，采用MATLAB編制了合成程序。以后續(xù)大跨高速鐵路斜拉橋的場地條件為例，生成空間相關(guān)的多點地震動，假設(shè)地震波從左往右傳播，依次標記為支點1～支點6。以3.1節(jié)表1中工況4為例，圖1給出了生成的加速度時程，圖2對比了各點失相干損失與經(jīng)驗函數(shù)失相干損失。由圖2可得，相關(guān)函數(shù)擬合程度均較好，驗證了文中所編程序的正確性。

圖1 加速度曲線Fig.1 Acceleration curve

圖2 人工模擬地震波失相干損失與經(jīng)驗函數(shù)對比圖Fig.2 Incoherency loss comparison between simulated ground motions and empirical function

2 地震激勵下車－軌－橋耦合振動模型

非一致地震激勵下的車－軌－橋耦合振動模型主要包含車輛模型、軌道模型和橋梁模型。其中，車輛由車體、轉(zhuǎn)向架和輪對共7個剛體構(gòu)成，每個剛體考慮橫移、沉浮、側(cè)滾、點頭和搖頭5個自由度，每輛車35個自由度；軌道模型采用有砟軌道模型，由鋼軌、軌枕和道床組成；橋梁模型采用桿系單元模擬。根據(jù)上述模型，分別采用D′Alembert原理、解析法和有限單元法等即可推導(dǎo)地震激勵下車－軌－橋耦合系統(tǒng)的運動方程：

式中：下標v、t、b分別代表列車、軌道和橋梁子系統(tǒng)；M、C、K分別表示質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u分別表示位移、速度和加速度列向量；Ptv和Pvt表示車輛與軌道間的輪軌相互作用力，由輪軌關(guān)系模型確定，文中采用新型輪軌關(guān)系假設(shè)、允許輪軌瞬時脫離［14］；Pbt和Ptb表示軌道與橋梁間的橋軌相互作用力，由橋軌關(guān)系模型確定；Pgt和Pgb表示地基作用于左右側(cè)路基支撐點和橋梁的地震力，由地震力邊界確定，文中采用非一致激勵模式輸入地震力。

基于上述模型，文獻［15］詳細推導(dǎo)了各個方程的具體表達式。在此基礎(chǔ)上，采用Fortran 95編制了TTBSAS程序用于非一致地震激勵下的車－軌－橋系統(tǒng)耦合振動仿真計算，并進行了有效性驗證。

3 數(shù)值計算與結(jié)果分析

3.1 計算參數(shù)

以某主跨432 m的雙塔雙索面半漂浮體系鋼桁梁鐵路斜拉橋為例進行仿真計算，跨徑布置為（81+135+432+135+81）m，設(shè)計車速為250 km/h，結(jié)構(gòu)總體布置見圖3所示。主桁為N形平行弦鋼桁梁，桁距18 m、桁高14 m、節(jié)間長13.5 m；橋面為正交異性鋼橋面板；橋塔為H型橋塔；斜拉索采用φ7鍍鋅鋼絲，標準強度為1 670 MPa，彈性模量為1.95 GPa，每側(cè)橋塔按扇形布置28對。主梁與橋塔、輔助墩、邊墩、橋臺采用球形支座連接。文中采用梁格模型進行仿真計算。其中，鋼橋面板通過梁格法簡化，橫向采用單主梁，順橋向的橫梁布置與實橋一致，簡化方法參考文獻［16］。

圖3 主跨432 m鐵路斜拉橋（單位：m）Fig.3 Railway cable-stayed bridge with main span of 432 m（Unit：m）

為驗證梁格模型的正確性，另外建立了板梁組合模型作為對比。在板梁組合模型中，鋼橋面板采用板單元模擬，其他部分與梁格模型完全一致。利用Midas Civil 2019分別建立上述2種模型，首先對比恒載作用下2種模型主桁的豎向位移和斜拉索索力。恒載作用包括結(jié)構(gòu)自重、二期恒載以及配重，二期恒載為192.8 kN/m。左半幅結(jié)構(gòu)的主梁分為32個節(jié)段，主桁下弦桿節(jié)點從左往右記為E0～E32，斜拉索從左往右編號為BS14～BS1以及ZS1～ZS14，恒載作用下2種模型的主桁豎向位移和斜拉索索力對比分別見圖4和圖5。

圖4 主桁豎向位移對比Fig.4 Comparison of vertical displacement of main truss

圖5 斜拉索索力對比Fig.5 Comparison of cable forces of cable-stayed cables

由圖4和圖5可見：（1）恒載作用下2種模型的豎向位移曲線基本吻合，且梁格模型的跨中位移最大值比板梁組合模型略大，梁格模型的最大值為87.8 mm，板梁組合模型為85.3 mm；（2）恒載作用下，2種模型的索力分布一致，最大偏差為6.5%，出現(xiàn)在ZS6處。由此可見，梁格模型與板梁組合模型的質(zhì)量和剛度分布較為接近，在此基礎(chǔ)上進一步對比2種模型的自振特性，見表1所示。

表1 振型特征對比Table 1 Comparison of vibration mode characteristics

從表1可見，梁格模型和板梁組合模型的前6階振型完全一致，且自振頻率均較為接近，最大相差1.8%。由此可驗證文中所建立的梁格模型的正確性，將其導(dǎo)入TTBSAS程序即可得到車橋耦合振動分析的橋梁模型。

該橋所在場地按8度設(shè)防，文中共設(shè)置10種地震分析工況，見表2所示。其中：工況1為無震；工況2為地震一致激勵，場地類型為Ⅰ類；工況3～6僅考慮行波效應(yīng)；工況7～10綜合考慮局部場地效應(yīng)、行波效應(yīng)及相干損失。利用編制的合成程序生成工況1～工況10的地震波時程，將其輸入TTBSAS程序即可進行地震作用下的車橋耦合振動仿真計算。計算中，列車采用我國的高速列車模型，假設(shè)地震從左往右傳播，地震發(fā)生時刻與列車上橋時刻相同并同時輸入橫向和豎向地震波，列車過橋車速為250 km/h，時域積分步長取0.1 ms。

表2 地震工況Table 2 Earthquake conditions

3.2 行波效應(yīng)的影響

首先研究行波效應(yīng)對大跨鐵路斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。分別考察工況2～6（行波速度分別為無窮大、250、500、1 000、1 500 m/s）車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)，圖6對比了不同工況下斜拉橋跨中的橫向位移時程及歸一化功率譜。

圖6 不同行波波速下跨中橫向位移對比Fig.6 Comparison of mid-span transverse displacement under different traveling wave velocities

由圖6可得：（1）考慮行波效應(yīng)后斜拉橋的橫向位移出現(xiàn)了明顯的滯后現(xiàn)象。行波速度為250 m/s時的橫向位移時程相比其它波速更平緩，而行波速度為500、1 000、1 500 m/s時的橫向位移時程波形相似，但幅值有差異；（2）考慮行波效應(yīng)后，行波速度為500、1 000、1 500 m/s時的功率譜密度函數(shù)與一致激勵相似，有2個峰值點，分別在0.115、0.346 Hz處，而行波速度為250 m/s時僅在0.115 Hz處有1個峰值點；（3）隨著行波速度的增大，橫向位移的波形和功率譜越接近一致激勵。不同行波速度下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)幅值對比見表3所示。

表3 不同行波速度下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)幅值對比Table 3 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system with different traveling wave velocities

由表3可得：（1）在行波速度為500 m/s時橋梁的豎向位移最大，而橋梁的橫向位移隨行波速度的增大而增大；（2）當行波速度為250 m/s時，列車的各項動力響應(yīng)幅值最大，且行車安全性指標隨行波速度的增大而減小。由此可見，行波效應(yīng)對大跨鐵路斜拉橋車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響很大，不考慮行波效應(yīng)會高估橋上列車的行車安全性。

3.3 場地效應(yīng)的影響

對比工況7～10，考察場地效應(yīng)的影響。圖7對比了不同場地類型下斜拉橋跨中的橫向位移時程以及橫向位移的歸一化功率譜。

圖7 不同場地類型下跨中橫向位移對比Fig.7 Comparison of mid-span lateral displacement in different fields

由圖7可得：（1）隨著斜拉橋橋塔所處的場地類型由I類變化至IV類，橋塔場地越松軟，斜拉橋跨中橫向位移峰值會急劇增大；（2）當斜拉橋位于不同場地時，其跨中橫向位移的功率譜峰值頻率一致，但隨著場地變得松軟，其功率譜峰值會增大，尤其是I類與II、III、IV類場地相差較大。由此可見，場地效應(yīng)會顯著影響斜拉橋的橫向位移響應(yīng)。進一步考察不同場地類型下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)幅值，見表4所示。

表4 不同場地類型下車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)幅值對比Table 4 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system in different fields

由表4可得：（1）對于橋梁子系統(tǒng)，其豎向位移和橫向位移幅值均隨場地類型的增加明顯增大，當場地類型由I類變化至II類時位移和加速度響應(yīng)的增幅最大；（2）對于車輛子系統(tǒng)，各項動力響應(yīng)幅值均隨場地類型的增加有增大的趨勢。由此可見，場地效應(yīng)對大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋的車橋耦合振動響應(yīng)有明顯影響，不考慮場地效應(yīng)會低估列車的行車安全性指標。

3.4 失相干效應(yīng)的影響

為研究失相干效應(yīng)對大跨高速鐵路斜拉橋車橋耦合振動響應(yīng)的影響，對比工況4（不考慮失相干損失）和工況7（考慮失相干損失）下的車橋耦合響應(yīng)，圖8對比了是否考慮失相干效應(yīng)時斜拉橋跨中的橫向位移時程及歸一化功率譜。

圖8 失相干效應(yīng)影響對比Fig.8 Comparison of the influence of de-coherence effect

由圖8可得：（1）考慮失相干效應(yīng)后斜拉橋跨中的橫向位移峰值比不考慮時??；（2）不考慮失相干效應(yīng)時，斜拉橋跨中橫向位移的功率譜密度函數(shù)有2個峰值點，分別位于0.115、0.346 Hz處，而考慮失相干效應(yīng)后僅在0.346 Hz處有一個峰值點。這是由于失相干效應(yīng)改變了地震的激振頻率，其動力響應(yīng)幅值對比見表5所示，表中誤差指相對誤差。

表5 失相干效應(yīng)對車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)幅值的影響Table 5 De-coherence effect on dynamic response amplitude of train－bridge system

由表5可得：（1）考慮失相干效應(yīng)后，橋梁的動力響應(yīng)幅值均減小，其中橋梁的豎向位移和橫向位移減幅分別達8.9%和31%；（2）對于車輛子系統(tǒng)，考慮失相干效應(yīng)后，列車的3項行車安全性指標分別減小了2.4%、4.1%和4.3%，車體的豎、橫向加速度分別減小了40.8%和40.2%。由此可見，對于文中所研究的大跨度斜拉橋，考慮失相干效應(yīng)會降低耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)幅值。

3.5 完全空間變異性的影響

綜合對比工況2和工況7，考察地震動完全空間變異性對大跨高速鐵路斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。圖9對比了2種工況下斜拉橋跨中的橫向位移、橫向加速度和車體質(zhì)心橫向加速度的時程。

圖9 2種工況下斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)對比Fig.9 Comparison of dynamic response of train-bridge system of cable-stayed bridge under two working conditions

由圖9可得：（1）考慮地震動的完全空間變異性后，斜拉橋跨中的橫向位移幅值、橫向加速度幅值比一致激勵工況小；（2）非一致地震激勵下車體質(zhì)心的橫向加速度幅值比一致激勵下略大，且波形變化也較大；（3）采用同樣的方法，對上述橋梁橫向位移、橫向加速度和車體加速度進行頻譜分析可以發(fā)現(xiàn)：地震動空間變異性對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的頻譜分布有較大影響。

分析原因可知，文中所研究的大跨斜拉橋為對稱結(jié)構(gòu)，當?shù)卣鹧貦M橋向按一致激勵模式輸入時，相當于對稱加載，而按非一致激勵模式輸入時，屬非對稱加載。對于橋梁的位移和加速度響應(yīng)，對稱荷載作用于對稱結(jié)構(gòu)的響應(yīng)比非對稱荷載作用下大。其次，考慮地震完全空間變異性后，非一致激勵地震在傳播過程中會發(fā)生強度衰減，而一致激勵下各個支撐點輸入的地震動完全相同，也會使一致激勵工況的橋梁響應(yīng)大于非一致激勵工況。而對于車體的加速度響應(yīng)，受輪軌作用力的影響較大。進一步對比非一致激勵工況與一致激勵工況下車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)幅值，見表6所示。

表6 不同工況下車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)幅值對比Table 6 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system under different working conditions

由表6可得：（1）對于文中所研究的大跨鐵路斜拉橋，考慮地震動的完全空間變異性后，非一致激勵工況下橋梁的豎向動力響應(yīng)增大，而橫向動力響應(yīng)均減小。其中，橫向位移和橫向加速度減幅分別為34.4%和27.0%；（2）地震動空間變異性會增大列車的行車安全性指標，其中：非一致激勵工況相比一致激勵工況的脫軌系數(shù)、輪重減載率和輪軸橫向力分別增大了13.4%、13.9%和8.3%；（3）地震動空間變異性會大大降低車輛的豎向和橫向加速度幅值，對于文中的計算條件，降幅分別達42.1%和40.9%。由此可見，地震動空間變異性對大跨高速鐵路斜拉橋車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)影響顯著，且影響因素復(fù)雜。因此，在進行仿真計算時，需綜合考慮各方面的影響因素，建議采用完全非一致地震輸入模式。

4 結(jié)論

（1）行波效應(yīng)對大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)影響顯著。對于文中的計算條件，橋梁的橫向位移隨行波速度的增大而增大，而列車行車安全性指標隨行波速度的增大而減小，當研究橋上列車的行車安全性時，其最不利行波速度為250 m/s。

（2）場地效應(yīng)會顯著影響大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)。對于文中的計算條件，橋梁的豎向位移、橫向位移以及列車的行車安全性指標均隨橋塔場地類型的增加急劇增大，IV類場地相比I類場地的脫軌系數(shù)、輪重減載率和輪軸橫向力分別增加了9.5%、10.3%和13.4%。

（3）失相干效應(yīng)會降低大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)，且失相干效應(yīng)對車體質(zhì)心加速度的影響最大?？紤]失相干效應(yīng)后列車的脫軌系數(shù)、輪重減載率、輪軸橫向力分別減小了2.4%、4.1%和4.3%，而車體質(zhì)心的豎、橫向加速度分別減小了40.8%和40.2%。

（4）地震動完全空間變異性對大跨高速鐵路鋼桁梁斜拉橋車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響規(guī)律復(fù)雜。其中，列車的行車安全性指標會增大，而車體的質(zhì)心加速度會大大降低，列車的脫軌系數(shù)、輪重減載率和輪軸橫向力分別增大了13.4%、13.9%和8.3%。建議在進行大跨斜拉橋的車橋耦合振動仿真計算時采用完全非一致模式輸入地震激勵。