黃 贏

(南寧學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣西 南寧 530200)

1 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制的基本理論

統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(Statistical Process Control，SPC)是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)對(duì)過(guò)程中的各階段進(jìn)行評(píng)估和監(jiān)控，發(fā)現(xiàn)異常并報(bào)警，管理工作人員會(huì)根據(jù)報(bào)警情況采取對(duì)應(yīng)措施，從而消除異常，以達(dá)到提高和控制產(chǎn)品質(zhì)量的目的[1]。在制造生產(chǎn)過(guò)程中，過(guò)程數(shù)據(jù)經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)，波動(dòng)的因素有系統(tǒng)設(shè)備本身因素和外界因素。根據(jù)波動(dòng)因素的不同，過(guò)程波動(dòng)一般可以分為正常波動(dòng)和異常波動(dòng)。正常波動(dòng)是由普通因素引起的，它具有偶然性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，對(duì)生產(chǎn)過(guò)程數(shù)據(jù)影響小，可以忽略。異常波動(dòng)是由系統(tǒng)本身因素造成，對(duì)過(guò)程數(shù)據(jù)的影響巨大，但是異常波動(dòng)沒(méi)有隨機(jī)性，可以采取相應(yīng)的措施消除異常波動(dòng)帶來(lái)的影響。

統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制的目的就是使正常波動(dòng)在正常合理的水平之上波動(dòng)，能夠?qū)Ξ惓２▌?dòng)進(jìn)行數(shù)據(jù)監(jiān)控，及時(shí)發(fā)現(xiàn)異常波動(dòng)并消除，從而滿足生產(chǎn)需要，達(dá)到產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。

2 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制圖

1924年,美國(guó)休哈特博士第一次提出了控制圖。控制圖是過(guò)程控制的基本工具，能及時(shí)觀察是否有正常波動(dòng)和異常波動(dòng)的存在，判斷生產(chǎn)過(guò)程是否處于受控狀態(tài)，監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的參數(shù)變化[2]，是使生產(chǎn)過(guò)程保持正常的有效工具。自休哈特控制圖應(yīng)用于過(guò)程變化監(jiān)控領(lǐng)域以來(lái)，以休哈特控制圖為基礎(chǔ)不斷有成熟的控制圖相繼提出。但是目前休哈特控制圖仍被認(rèn)為是監(jiān)測(cè)過(guò)程變化和偏移的有效工具，休哈特控制圖相對(duì)比較簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)的過(guò)程觀測(cè)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布。

休哈特控制如圖1所示，由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)與3條控制線組成。橫坐標(biāo)為采樣時(shí)間，縱坐標(biāo)是質(zhì)量屬性值?？刂葡薹謩e為中心線CL，控制上限UCL和控制下限LCL。當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程處于受控狀態(tài)時(shí)，總體的質(zhì)量特性數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。

休哈特控制圖的基本原理就是利用3σ法則控制過(guò)程[3]，即控制上限確定為μ+3σ，控制下限確定為μ-3σ，中心限為μ，根據(jù)3σ原理，樣本點(diǎn)落在控制限以外的概率僅為0.27%。這樣確定好的控制極限可以以監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)是否處于控制極限之內(nèi)來(lái)判斷生產(chǎn)過(guò)程是否處于受控狀態(tài)。

控制圖常常會(huì)發(fā)生兩類錯(cuò)誤，即虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤和漏發(fā)報(bào)警的錯(cuò)誤，兩類錯(cuò)誤的具體分析如下：

(1)虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤。這種虛發(fā)報(bào)警的錯(cuò)誤是指點(diǎn)子在生產(chǎn)系統(tǒng)處于正常運(yùn)行的情況下，超出了控制極限，根據(jù)控制圖的基本原理，點(diǎn)子超出控制極限則認(rèn)為是生產(chǎn)過(guò)程失控，將進(jìn)行報(bào)警，但是系統(tǒng)仍處于受控狀態(tài)，這種錯(cuò)誤稱為虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤。虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤會(huì)產(chǎn)生查找不存在的異常因素的麻煩。

(2)漏發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤。在生產(chǎn)過(guò)程失控的情況下，質(zhì)量特性值的分布與其典型分布發(fā)生了偏移，但是在上、下控制界限內(nèi)總存在一部分質(zhì)量特性值。如果在抽樣檢驗(yàn)時(shí)，正好抽到這部分產(chǎn)品，若樣本點(diǎn)沒(méi)有超出控制限即判斷生產(chǎn)過(guò)程穩(wěn)定就犯漏發(fā)報(bào)警的錯(cuò)誤，這類錯(cuò)誤的概率通常記為β。漏發(fā)報(bào)警將造成產(chǎn)品中次品率上升的損失。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制對(duì)控制圖的應(yīng)用可知，控制上下限的確定是利用控制圖進(jìn)行過(guò)程控制的關(guān)鍵。確定合理的控制上下限可以有效地減少虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤和漏發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤發(fā)生的概率，若上限與下限的間距過(guò)大，則發(fā)生虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤的概率α減少，發(fā)生漏發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤的概率β增大，若上限與下限的間距過(guò)小，則發(fā)生虛發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤的概率α增加，發(fā)生漏發(fā)報(bào)警錯(cuò)誤的概率β減少，所以無(wú)論上限與下限如何調(diào)整，兩類錯(cuò)誤發(fā)生的概率都會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，不可避免。所以確定上限與下限時(shí)要結(jié)合犯兩類錯(cuò)誤的總概率最小來(lái)確定?？刂茍D的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)表明休哈特控制圖采用的3σ方式使控制過(guò)程犯兩類錯(cuò)誤的總概率最小。

圖1 休哈特控制圖基本結(jié)構(gòu)

控制圖作為監(jiān)控工具使生產(chǎn)過(guò)程處于受控狀態(tài)，僅在隨機(jī)因素的影響下運(yùn)行。過(guò)程數(shù)據(jù)的分布曲線隨時(shí)間的輸出基本不發(fā)生變化且在要求范圍內(nèi)稱為受控狀態(tài)，反之稱為失控狀態(tài)，控制圖可以通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理來(lái)判斷這兩種狀態(tài)。生產(chǎn)管理人員根據(jù)控制圖來(lái)判斷生產(chǎn)是否處于正常狀態(tài)，否則采取措施使之恢復(fù)正常，使生產(chǎn)過(guò)程保持穩(wěn)定。

3 單變量統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制在蒸汽管網(wǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)監(jiān)控中的應(yīng)用

3.1 基于正態(tài)分布控制極限的確定方法

假設(shè)待觀測(cè)的多變量系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)矩陣為X∈Rn,X=(x1,x2,x3,…,xn)，其中n為測(cè)量樣本的個(gè)數(shù)，X為被測(cè)樣本總體，X中的每一個(gè)元素為被測(cè)變量的一個(gè)樣本，每個(gè)樣本之間相互獨(dú)立，則極差為：

R(x)=max(X)-min(X)

(1)

如果樣本容量足夠大，根據(jù)等距原則可以將極差R(X)分為N個(gè)小區(qū)間，用c代表每個(gè)區(qū)間，則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度：

(2)

這樣就將該列數(shù)據(jù)矩陣分成N組，其中對(duì)應(yīng)的每個(gè)小區(qū)間分別記為c1,c2,…,cn，矩陣X中的每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都屬于其中的一個(gè)區(qū)間。

統(tǒng)計(jì)采樣值落入每個(gè)小區(qū)間的樣本數(shù)占樣本容量的百分比可表示如下：

(3)

其中，νr為落在該小區(qū)間的樣本的個(gè)數(shù)，r=1,2,…N。

由于每個(gè)樣本數(shù)值之間是相互獨(dú)立的，根據(jù)統(tǒng)計(jì)概率的定義可知，每個(gè)區(qū)間，樣本落入的概率為：

Pr{Xi∈cr}≈fr

(4)

則監(jiān)測(cè)值落入每個(gè)區(qū)間的平均概率密度為：

(5)

由此，以平均概率密度Pr為高，以小區(qū)間的長(zhǎng)度為底做矩形，得到直方圖即為X的經(jīng)驗(yàn)分布。當(dāng)樣本容量n區(qū)間個(gè)數(shù)N足夠大時(shí)所得到的直方圖就會(huì)更加接近X的總體概率的密度分布。

根據(jù)中心極限定理[4]：設(shè)均值為μ、方差為σ2(有限)的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布，根據(jù)這個(gè)定理，當(dāng)系統(tǒng)只存在一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，被測(cè)變量隨樣本容量的增大，趨向服從于正態(tài)分布。

當(dāng)X服從正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)正態(tài)分布理論可知其分布函數(shù)為：

(6)

如圖2所示，當(dāng)被監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)處在μ±3σ的概率為99.73%，把控制極限設(shè)定在這個(gè)范圍內(nèi)，當(dāng)所采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)超出這個(gè)范圍，則認(rèn)為該數(shù)據(jù)異常，應(yīng)該采取相應(yīng)措施。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度分布

根據(jù)3σ原則，在實(shí)際生產(chǎn)中將監(jiān)測(cè)數(shù)值點(diǎn)處在μ±3σ之外的0.27%的概率對(duì)應(yīng)的區(qū)間定義為報(bào)警區(qū)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間值設(shè)為上上限和下下限，如果采集點(diǎn)超出這個(gè)范圍則進(jìn)行報(bào)警。將2σ點(diǎn)5%左右的概率定義為正常工作區(qū)，處在報(bào)警區(qū)和正常工作區(qū)之間的區(qū)間定義為調(diào)節(jié)工作區(qū)，正常工作區(qū)和調(diào)節(jié)工作區(qū)的界限點(diǎn)的值設(shè)為控制上限與控制下限。

在蒸汽管網(wǎng)流量監(jiān)控中，當(dāng)監(jiān)控流量的樣本容量和樣本確定之后，由于系統(tǒng)因素，在取樣的時(shí)間段內(nèi)所采取的流量值可能會(huì)發(fā)生異常波動(dòng)，從而使得到的經(jīng)驗(yàn)分布不服從正態(tài)分布，在這樣的情況下，通?？梢圆捎谜龖B(tài)分布擬合的方法來(lái)獲得對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布和對(duì)應(yīng)的控制極限，但是，這樣擬合會(huì)產(chǎn)生非常大的誤差，設(shè)定的控制極限也是均勻?qū)ΨQ的，容易引起虛報(bào)或者漏報(bào)的情況。

3.2 基于經(jīng)驗(yàn)分布的單變量控制極限的確定

(1)假設(shè)蒸汽管網(wǎng)監(jiān)測(cè)某一變量X的上上限為Z1，則其滿足的條件為：

P(X≥Z1)=0.13%

(7)

按照經(jīng)驗(yàn)概率分布的劃定標(biāo)準(zhǔn)可以寫成：

(8)

式中，rz1是Z1所在小區(qū)間中的序號(hào)，若統(tǒng)計(jì)區(qū)間分得足夠細(xì)，則單個(gè)小區(qū)間的概率會(huì)很小，所以令該區(qū)間的控制上限或者控制下限定為Z1誤差都很小，在這里取rz1區(qū)間的下限。

(2)假設(shè)蒸汽管網(wǎng)監(jiān)測(cè)某一變量X的上限為Z2，則其滿足的條件為：

P(X≥Z2)=2.5%

(9)

按照經(jīng)驗(yàn)概率分布的劃定標(biāo)準(zhǔn)可以寫成：

(10)

式中，rz2是Z2所在小區(qū)間中的序號(hào)，Z2取rz2區(qū)間的下限。

(3)假設(shè)蒸汽管網(wǎng)監(jiān)測(cè)某一變量X的下限為Z3，則其滿足的條件為：

P(X≥Z3)=2.5%

(11)

按照經(jīng)驗(yàn)概率分布的劃定標(biāo)準(zhǔn)可以寫成：

(12)

式中，rz3是Z3所在小區(qū)間中的序號(hào)，Z3取rz3區(qū)間的上限。

(4)假設(shè)蒸汽管網(wǎng)監(jiān)測(cè)某一變量X的下下限為Z4，則其滿足的條件為：

(13)

式中，rz4是Z4所在小區(qū)間中的序號(hào)，Z4取rz4區(qū)間的上限。

根據(jù)上面4步控制極限的劃定可得到對(duì)應(yīng)的報(bào)警控制極限，分別為控制上上限Z1、上限Z2、下限Z3、下下限Z4，確定極限時(shí)先劃分區(qū)間，形成對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，然后從r=1往上求和搜索，達(dá)到預(yù)定概率點(diǎn)的對(duì)應(yīng)區(qū)間的序號(hào)，然后按照(1)～(4)確定相應(yīng)的控制極限。

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)，按人工設(shè)定的控制極限，按正態(tài)分布擬合設(shè)定的控制極限和按經(jīng)驗(yàn)分布模型設(shè)定的控制極限對(duì)比如表1所示。

表1 3種方法確定的控制極限的對(duì)比

續(xù)表1

從表1中可以看出,采用正態(tài)分布、經(jīng)驗(yàn)分布、人工設(shè)定的方法確定的控制極限都符合控制圖的基本原理，樣本點(diǎn)落在控制限以外的概率僅為0.27%，發(fā)生兩類錯(cuò)誤的總概率很小。而采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛦巫兞靠刂茦O限的方法確定的極限中，上限加下限并不等于上上限加下下限，人工設(shè)定的控制極限也出現(xiàn)了同樣的情況，而采用正態(tài)分布的方法確定的控制極限是對(duì)稱的[5]。從數(shù)據(jù)來(lái)看，相對(duì)于采用正態(tài)分布的方法來(lái)確定控制極限，采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣澏ǖ目刂茦O限與人工劃定的控制極限值更為接近，比較符合實(shí)際生產(chǎn)情況。因此，采用經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)確定的控制極限值更精確，更符合生產(chǎn)需要。

4 結(jié)語(yǔ)

蒸汽管網(wǎng)流量數(shù)據(jù)監(jiān)控主要利用單變量統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制的方法。確定控制極限是本章研究的核心問(wèn)題。針對(duì)單變量控制極限的問(wèn)題，本文主要根據(jù)流量的歷史數(shù)據(jù)，得到該流量數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布，最后再按照正態(tài)分布“3δ”原理定義的控制極限的對(duì)應(yīng)概率，在經(jīng)驗(yàn)分布中尋找與該概率對(duì)應(yīng)的變量的取值，形成對(duì)應(yīng)的控制極限。這種確定控制極限的方法是以數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的原理作為基礎(chǔ)，劃分出的控制極限并不對(duì)稱，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，這種控制極限的方法比采用經(jīng)典的正態(tài)分布“3δ”原則得到的控制極限的方法更符合工藝與安全要求。

按本文確定控制極限的方法,運(yùn)用單變量統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制對(duì)蒸汽管網(wǎng)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控，監(jiān)控效果表明，本章研究的方法能明確地對(duì)蒸汽管網(wǎng)異常數(shù)據(jù)給出明確的報(bào)警信號(hào)，起到了很好的監(jiān)控效果。