陳 卓，張宏光，何 俊，晏長根

(長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710061)

0 引言

隨著公路工程建設(shè)在我國的不斷發(fā)展，隧道作為穿山越嶺的主要構(gòu)造物得到了長足發(fā)展[1]。新奧法作為隧道施工的主要方法，監(jiān)控量測是其中不可或缺的一環(huán)[2]。隧道開挖破壞了開挖面附近的原始應(yīng)力平衡狀態(tài)，引起洞周各點(diǎn)產(chǎn)生位移，周圍巖體的應(yīng)力重新平衡。對(duì)于穿越斷層破碎帶或富水帶等不良地質(zhì)段的隧道，盲目開挖將造成塌方、涌水、涌泥等災(zāi)害，此時(shí)圍巖變形預(yù)測直接影響施工安全和決策。因此，利用已監(jiān)測的圍巖位移值建立數(shù)學(xué)模型對(duì)隧道圍巖變形發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，及時(shí)了解掌握圍巖的變形規(guī)律，已成為隧道工程施工中確保安全和施工質(zhì)量的關(guān)鍵且重要的工作[3-4]。

目前，用于隧道圍巖變形預(yù)測的數(shù)學(xué)模型主要有回歸分析[5]、時(shí)間序列分析[6-7]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8-11]、灰色預(yù)測模型等。每種變形預(yù)測模型各有優(yōu)劣，回歸分析適用于小波動(dòng)、趨勢明顯的序列；時(shí)間序列分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型則需要大量的原始序列樣本，難以預(yù)測少信息數(shù)據(jù)。由于隧道位移監(jiān)測信息只是圍巖變形過程中的部分信息，屬于少信息、貧信息的位移序列，采用灰色預(yù)測模型可避免相關(guān)位移序列信息不足的缺陷，灰色預(yù)測模型已被證明是一種簡單、快速、有效的隧道位移時(shí)序預(yù)測方法。但是隧道圍巖變形趨勢和力學(xué)行為具有隨機(jī)性和不確定性，導(dǎo)致傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的相對(duì)誤差較大、精度降低，因此需要對(duì)傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型進(jìn)行分析優(yōu)化。目前對(duì)于傳統(tǒng)GM(1，1)模型的優(yōu)化改進(jìn)主要體現(xiàn)于原始序列和邊界條件優(yōu)化[12-14]、背景值優(yōu)化[15-16]、模型參數(shù)優(yōu)化[17-18]、與其它算法結(jié)合優(yōu)化[19-21]。這些優(yōu)化方法在一定程度上提升了模型預(yù)測精度，但其大多單一地對(duì)原始序列進(jìn)行平移、指數(shù)、對(duì)數(shù)變換等預(yù)處理來改善序列的光滑性，缺乏理論依據(jù)，對(duì)模型預(yù)測精度的提升有限。

為減小圍巖變形序列中奇異點(diǎn)和數(shù)據(jù)不穩(wěn)定對(duì)模型精度的影響，減小傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的預(yù)測誤差，提高灰色預(yù)測模型的有效性和適用性。本文以灰色預(yù)測理論為基礎(chǔ)，對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型背景值的求解方法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合最小相對(duì)誤差平方和準(zhǔn)則，優(yōu)化得到一種精度高穩(wěn)定性好的隧道圍巖變形預(yù)測灰色模型[NCBC-GM(1，1)]。以阿爾金山隧道圍巖變形實(shí)測值作為原始序列，建立基于背景值構(gòu)造誤差和最小相對(duì)誤差平方和準(zhǔn)則優(yōu)化的灰色預(yù)測模型，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型[22]的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果證明了本文提出的NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的可靠性和有效性。

1 灰色系統(tǒng)理論

1.1 灰色預(yù)測原理

灰色預(yù)測系統(tǒng)是一種信息半揭露的系統(tǒng)，即系統(tǒng)信息不明晰、邏輯結(jié)構(gòu)不明了、系統(tǒng)理論不確定。灰色系統(tǒng)以結(jié)果信息包容消化一切為核心，科學(xué)揭示系統(tǒng)內(nèi)部各事物間更深刻的廣泛聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、行為邏輯的有效追蹤。灰色系統(tǒng)理論就是通過強(qiáng)化原始序列數(shù)據(jù)的規(guī)律性，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上、建模機(jī)制上使系統(tǒng)白度逐漸增加，從表象離亂的數(shù)據(jù)中，挖掘利用內(nèi)在邏輯，增強(qiáng)序列規(guī)律的確定性，進(jìn)而在不充分條件中建立廣義的因果邏輯?；疑Ｐ屯?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 灰色模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

1.2 灰色理論GM(1，1)模型

GM(1，1)模型的白化方程為：

(1)

Y=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T

(2)

2 GM(1，1)優(yōu)化模型的構(gòu)建

傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型是基于齊次指數(shù)序列推導(dǎo)而來，適用于數(shù)據(jù)少、波動(dòng)小的時(shí)間序列；但隧道圍巖變形原始序列具有波動(dòng)性和復(fù)雜性，地質(zhì)條件和施工作業(yè)等因素導(dǎo)致變形影響因子難以量化，并非齊次指數(shù)序列[23]，故傳統(tǒng)GM(1，1)模型對(duì)隧道圍巖變形的預(yù)測效果有一定的偏差。本文以灰色預(yù)測理論為基礎(chǔ)，對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型背景值的求解方法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合最小相對(duì)誤差平方和準(zhǔn)則，優(yōu)化得到一種預(yù)測精度更高的隧道圍巖變形預(yù)測灰色模型[NCBC-GM(1，1)]，如圖2所示。

圖2 NCBC-GM(1，1)模型建模流程

2.1 GM(1，1)模型背景值的優(yōu)化

傳統(tǒng)GM(1，1)灰色模型的背景值構(gòu)造通常采用公式：

(3)

(4)

(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)

(5)

k=2，3，…，n-1

(6)

以k-1、k、k+1、k+2作為插值節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造三次牛頓插值多項(xiàng)式，則x(1)(t)的三次牛頓插值多項(xiàng)式為

N3(t)=x(1)(k-1)+x(1)[k-1，k](t-k+1)+

x(1)[k-1，k，k+1](t-k+1)(t-k)+

x(1)[k-1，k，k+1，k+2](t-k+1)(t-k)×

(t-k-1)，k=2，3，…n

(7)

2.2 GM(1，1)模型邊界優(yōu)化

ce-β1t-ce-β1(t-1)=ce-β1t(1-eβ1)

(8)

采用最小二乘法，并依據(jù)相對(duì)誤差平方和最小準(zhǔn)則求解參數(shù)c：

(9)

令：

(10)

令:

(11)

3 工程實(shí)例分析

3.1 工程概況

柳格國高阿爾金山隧道地處甘肅省阿克塞哈薩克族自治縣西南部，地質(zhì)鉆探資料表明阿爾金山隧道地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，節(jié)理裂隙較發(fā)育，對(duì)隧道圍巖的整體穩(wěn)定性有較大影響。隧道采用雙洞分離式設(shè)計(jì)，單洞長7 527 m，隧底海拔約3 500 m，最大埋深530 m，屬高寒高海拔特長石質(zhì)隧道。其間隧道穿越斷層破碎帶和富水帶，隧道掘進(jìn)中極易發(fā)生坍塌、涌水、涌泥等災(zāi)害(見圖3)。為保證隧道施工建設(shè)的安全和質(zhì)量，在隧道建設(shè)全過程中實(shí)施了多項(xiàng)監(jiān)測措施，主要有周邊收斂、拱頂下沉、地表沉降、支護(hù)內(nèi)力、圍巖壓力等。以隧道監(jiān)控量測實(shí)測數(shù)據(jù)為原始序列對(duì)圍巖變形序列進(jìn)行預(yù)測。由監(jiān)測數(shù)據(jù)分析得出，同一斷面圍巖周邊收斂與拱頂下沉變形規(guī)律基本相似，本次選用典型斷面ZK288+730對(duì)連續(xù)20 d的收斂數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測。

圖3 隧道災(zāi)害

基于灰色預(yù)測模型特征，隧道圍巖收斂變形原始數(shù)據(jù)被劃分為前16 d的擬合集和最后4 d的檢測集。為體現(xiàn)NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的優(yōu)化作用，以及NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型對(duì)隧道圍巖收斂變形數(shù)據(jù)的預(yù)測效果，本次選取采用相同數(shù)據(jù)樣本建模的傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果，并與NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果對(duì)比分析。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1模型優(yōu)化結(jié)果分析

為表述方便，規(guī)定模型1：傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型；模型2：基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型；模型3：NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型。圖4、圖5分別為預(yù)測結(jié)果曲線和相對(duì)誤差曲線。

從圖4、圖5中可以發(fā)現(xiàn)，在相同原始數(shù)據(jù)樣本下，隧道圍巖變形實(shí)測值的發(fā)展趨勢與3種預(yù)測模型的圍巖變形預(yù)測值變化趨勢基本一致，由于下導(dǎo)開挖，變形趨勢由緩慢增長階段過渡到急劇增長階段。隧道圍巖變形初期預(yù)測值較變形實(shí)測值存在一定偏差，模型1和模型2的相對(duì)誤差變化曲線在變形預(yù)測初期有略大波動(dòng)，NCBC-GM(1，1)模型在變形預(yù)測初期的相對(duì)誤差表現(xiàn)較好，由于模型1和模型2依據(jù)新信息優(yōu)先準(zhǔn)則，取x(1)(n)為邊界條件建模，而NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型依據(jù)相對(duì)誤差平方和最小準(zhǔn)則減小了前期誤差。由于圍巖變形實(shí)測值受到各種外界因素的影響，經(jīng)由NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型計(jì)算得到個(gè)別變形預(yù)測值與實(shí)測值存在一定偏差，但NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型整體擬合度較好，NCBC-GM(1，1)模型圍巖變形預(yù)測值的相對(duì)誤差優(yōu)于另外兩種預(yù)測模型。

圖4 周邊收斂位移灰色預(yù)測結(jié)果曲線

圖5 周邊收斂位移灰色預(yù)測相對(duì)誤差曲線

為直觀反映各模型的預(yù)測效果，采用殘差(RE)、平均相對(duì)誤差(MRE)和均方根誤差(RMSE)作為模型預(yù)測精度評(píng)定指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，各模型預(yù)測精度評(píng)定如表1所示。

表1 不同預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果和預(yù)測誤差比較Table1 Comparison of prediction results and prediction errors of different prediction models時(shí)間/d模型1模型2模型3殘差/mm相對(duì)誤差/%殘差/mm相對(duì)誤差/%殘差/mm相對(duì)誤差/%17-0.67-2.14-0.30-0.95-0.19-0.61 18-2.73-8.15-0.30-0.89-0.16-0.4719-3.30-9.17-0.32-0.89-0.14-0.40 20-3.63-9.48-0.05-0.12 0.17 0.46 RMSE/mm 2.83— 0.27— 0.17—MRE/%— 7.24— 0.71— 0.48

由表1可知，傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測精度低、預(yù)測值相對(duì)誤差波動(dòng)大，不適于實(shí)際工程的變形預(yù)測；基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)模型的預(yù)測精度較傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型優(yōu)化明顯，但略遜于NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型；NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型與傳統(tǒng)GM(1，1)模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型相比，精度評(píng)定指標(biāo)最優(yōu)，其中均方根誤差分別減小2.66、0.10 mm，平均相對(duì)誤差分別減小6.76%、0.23%，證明NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的精度和穩(wěn)定性得到明顯的改善，達(dá)到了模型優(yōu)化的目的。

3.2.2模型預(yù)測精度分析

為避免單一隧道斷面的圍巖收斂數(shù)據(jù)樣本過于單薄，導(dǎo)致擬合和預(yù)測分析結(jié)果不具代表性，NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的有效性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。故結(jié)合施工進(jìn)度安排，進(jìn)一步采用相同擬合集和預(yù)測集時(shí)間的ZK288+730、Yk288+690、Yk288+810、Zk288+925共4個(gè)斷面的圍巖收斂變形數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型。為進(jìn)一步驗(yàn)證NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的隧道圍巖變形預(yù)測效果，使用傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型、基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型和NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型對(duì)4個(gè)斷面的收斂變形進(jìn)行預(yù)測，并將3種模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測值進(jìn)行對(duì)比分析得到表2、表3、表4、表5、圖6。

從表2、表3、表4、表5可以發(fā)現(xiàn)，單一利用傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型時(shí)，預(yù)測值的相對(duì)誤差較大，考慮背景值構(gòu)造誤差和隧道圍巖變形波動(dòng)性的NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型相對(duì)誤差有一定幅值的減小。3種灰色預(yù)測模型在隧道圍巖收斂變形的擬合和預(yù)測中，改進(jìn)后的NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度較傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型最大提高6.76%和0.23%，預(yù)測精度得到較明顯地優(yōu)化，預(yù)測效果更加穩(wěn)定。但是隨著時(shí)間推移，隧道變形預(yù)測精度有一定的下降趨勢，NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型更適于圍巖變形的短期趨勢預(yù)測。由圖6可知，NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型與基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果偏離較小，兩模型的預(yù)測值變化趨勢與實(shí)測值相同；NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型較傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測追蹤效果更優(yōu)，預(yù)測數(shù)據(jù)更貼合實(shí)測值。因此與其它預(yù)測模型相比，基于背景值誤差來源和最小相對(duì)誤差平方和準(zhǔn)則優(yōu)化的NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型有著更好的預(yù)測效果和穩(wěn)定性，在隧道變形趨勢的預(yù)測和施工控制中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

表2 ZK288+730斷面不同模型預(yù)測結(jié)果Table 2 Prediction results of different models for ZK288+730 section時(shí)間/d實(shí)際值/mm模型1模型2模型3預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%1731.2130.54-2.1430.91-0.9531.02-0.611833.4830.75-8.1533.18-0.8933.32-0.471935.9432.64-9.1735.62-0.8935.80-0.402038.2834.65-9.4838.23-0.1238.45 0.46平均相對(duì)誤差 — 7.24— 0.71— 0.48

表3 YK288+690斷面不同模型預(yù)測結(jié)果Table 3 Prediction results of different models for YK288+690 section時(shí)間/d實(shí)際值/mm模型1模型2模型3預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%1747.7146.54-2.4446.19-3.1946.13-3.311852.2952.760.9052.09-0.3952.02-0.521956.1759.806.4658.744.5758.664.432063.4567.786.8366.244.3966.144.25平均相對(duì)誤差/% —2.94— 1.35—1.21

表4 YK288+810斷面不同模型預(yù)測結(jié)果Table 4 Prediction results of different models for YK288+810 section時(shí)間/d實(shí)際值/mm模型1模型2模型3預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%1756.2456.790.9856.00-0.4355.97-0.481859.7761.943.6360.891.8760.851.811964.4067.564.9166.202.7966.162.742069.8273.695.5471.973.0871.943.03平均相對(duì)誤差/% —3.76— 1.83—1.78

表5 ZK288+925斷面不同模型預(yù)測結(jié)果Table 5 Prediction results of different models for YK288+925 section時(shí)間/d實(shí)際值/mm模型1模型2模型3預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%預(yù)測值/mm相對(duì)誤差/%1768.2167.79-0.6266.64-2.3066.59-2.371872.6074.833.0773.190.8173.140.741976.2182.608.3980.385.4780.325.402083.2291.199.5788.286.0888.226.00平均相對(duì)誤差/% —5.10—2.52—2.44

圖6 不同斷面不同模型預(yù)測結(jié)果

4 結(jié)論

a.依據(jù)背景值構(gòu)造誤差來源和相對(duì)誤差平方和最小準(zhǔn)則優(yōu)化的NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型，改變了傳統(tǒng)GM(1，1)灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造方法和白化方程邊界條件，均方根誤差較傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型和基于背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1，1)預(yù)測模型降低2.66 mm和0.10 mm，模型精度明顯提升。

b.NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型運(yùn)用于多個(gè)隧道斷面圍巖變形預(yù)測分析，監(jiān)測斷面變形預(yù)測值的平均相對(duì)誤差分別為0.48%、1.21%、1.78%、2.44%，證明了NCBC-GM(1，1)預(yù)測模型具有較高的穩(wěn)定性和有效性，在隧道圍巖變形趨勢預(yù)測和施工控制中具有較高的理論和應(yīng)用價(jià)值。

c.隨著時(shí)間推移，NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型的隧道變形預(yù)測精度有一定下降趨勢，預(yù)測值相對(duì)誤差略有增加，因此NCBC-GM(1，1)灰色預(yù)測模型適于圍巖變形短期趨勢預(yù)測，不適于隧道圍巖變形的長期預(yù)測。