謝祥云, 李春燕, 趙云平

(五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

若一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(S,·)滿足結(jié)合律,即(xy)z=x(yz),?x,y,z∈S[1],則稱(S,·)為半群.若(S,·)是一個(gè)半群,(S,≤)是偏序集且對(duì)于任意給定的a,b,c∈S,有a≤b?ac≤bc,ca≤cb,?c∈S，則稱(S,·,≤)為一個(gè)序半群[2].

序半群理論在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、碼論、形式語(yǔ)言等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,理想論是研究半群代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)非常理想的途徑,大量的文獻(xiàn)涉及理想論的思想[1, 3-6].1962年,Wallace在半群上首次引入相對(duì)理想(H-理想)的概念,并在1963年繼續(xù)發(fā)文研究相對(duì)理想的拓?fù)湫再|(zhì)[7-8].1967年,Hrmova進(jìn)一步研究了相對(duì)理想的性質(zhì),并根據(jù)相對(duì)理想引入了Green關(guān)系[9],2020年Khan等將相對(duì)理想的概念進(jìn)一步推廣到序半群上,研究了序半群上理想、素理想、雙理想和擬理想的性質(zhì)并對(duì)半群進(jìn)行了刻畫(huà)[10-11].

1934年,法國(guó)數(shù)學(xué)家F.Marty提出了超結(jié)構(gòu)[12]的概念,作為經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的泛化, 在超結(jié)構(gòu)中兩個(gè)元素的運(yùn)算是一個(gè)集合.真正地將半群代數(shù)理論與超結(jié)構(gòu)完美結(jié)合的是印度數(shù)學(xué)家M.K.Sen,他研究了模糊超半群的相關(guān)理論[13].從1999年以來(lái),伊朗數(shù)學(xué)家B.Davvaz等在建立超半群的基本理論方面做了一些基礎(chǔ)工作,如超半群上的正則二元關(guān)系、超半群的超理想[14]、超半群上的同余[15-22]等.

在此基礎(chǔ)上,本文將半群上的相對(duì)理想概念推廣到了序超理想, 給出了相對(duì)超理想的基本性質(zhì).作為特例,文獻(xiàn)[10-11]的相關(guān)結(jié)論是本文的推論, 在論證過(guò)程中指出了文獻(xiàn)[10-11]中的相關(guān)錯(cuò)誤.

定義1[14]稱映射°:S×S→P*(S)為S上的一個(gè)超運(yùn)算,其中S是非空集,P*(S)是S的非空冪集, 稱(S,°)為一個(gè)超群胚.

令(S,≤)為一個(gè)偏序集,若a≤b蘊(yùn)含a°c≤b°c且c°a≤c°b,?c∈S，則稱(S,°,≤)[19]是一個(gè)序超半群.當(dāng)A,B是S的非空子集時(shí),我們定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)(?a∈A)(?b∈B)a≤b.為了方便，以下也常稱為序超半群S.

若序超半群S的一個(gè)非空子集I滿足

(ⅰ)S°I?I,I°S?I，

(ⅱ)若a∈I,b≤a,b∈S,則b∈I，

則稱I為超理想;類似地,我們可以引入序超半群的超左理想、超右理想等.

本文用到的基本概念和術(shù)語(yǔ)如果沒(méi)有說(shuō)明可參考文獻(xiàn)[1,12].

2 相對(duì)超理想

定義3設(shè)S為一個(gè)序超半群,A,T為S的任意非空子集.若由A°T?A和Tx≤y∈A可得x∈A，則稱A為S的右T-超理想.類似可定義S的左T-超理想.若A既是S的左T-超理想, 又是S的右T-超理想，則稱A為S的T-超理想.若T=S, 則S的左T-超理想(右T-超理想,T-超理想)與S的左超理想(右超理想、超理想)一致.

注1序超半群S的一個(gè)超理想A對(duì)S的任意非空子集T是一個(gè)T-超理想, 反之不然.

例1設(shè)S=Z,對(duì)任意m,n∈Z, 定義S上的超運(yùn)算m°n={n,m}，則(S,°,≤)是S上關(guān)于一般序關(guān)系的序超半群.令T={2},A=2Z,則T°A=2Z?A，但S°A=S≠A.

例2設(shè)S=Z,則(S,·)在S上關(guān)于一般意義上的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.對(duì)任意m,n∈Z, 定義m°n={x∈Z|x≤mn}，則(S,°,≤)是一個(gè)序超半群, 其中“≤”是S上的一般序關(guān)系.設(shè)A=2Z, 則

因此,A不是S的超理想.令T={2}, 則

T°A=A°T={x∈Z|x≤4n,n∈Z}=Z，

從而A不是S的T-超理想.令A(yù)={1,2,3,4,5,6},則A不是S的超理想.若T={1}, 則T°A=A°T=A.因此,A是S的T-超理想.

定義4令A(yù)和T為序超半群S的任意非空子集, 稱集合

(A]T∶={t∈T|t≤a,a∈A}

為A相對(duì)于T的下凸集.

引理1令S為序超半群, 則下列命題成立：

(ⅰ)對(duì)所有的A?T,有A?(A]T；(ⅱ)若A?B?T,則(A]T?(B]T；(ⅲ)若T為S的子超半群,則(A]T(B]T?

(AB]T；(ⅳ)對(duì)每一個(gè)T-理想A?T, 有(A]T=A；(ⅴ)((A]T]T=(A]T；(ⅵ)若T,A是S的非空子集,則A∩T?(A]T.

證明引理1中大部分命題容易驗(yàn)證,我們僅證明(ⅲ)和(ⅴ).

(ⅲ) 設(shè)t∈(A]T(B]T, 存在a∈(A]T,b∈(B]T, 使得a≤x,b≤y,x∈A,y∈B，t∈a°b≤x°y?AB.因?yàn)門為子超半群, 所以a°b?T, 從而t∈(AB]T.

(ⅴ)若x∈((A]T]T,則存在t∈(A]T使得x≤t.因?yàn)閠∈(A]T,存在a∈A使得t≤a,所以x≤a,從而x∈(A]T.

反之,若x∈(A]T,則對(duì)于一些a∈A,存在x∈T,使得x≤a.因?yàn)閤≤x∈(A]T,x∈T,所以x∈((A]T]T,從而(A]T?((A]T]T.設(shè)x∈((A]T]T,則存在y∈(A]T使得x≤y, 所以x∈(A]T. 反之顯然.

性質(zhì)1(ⅰ) 設(shè)(S,°,≤)是序超半群,T是S的子超半群.若A,B是S關(guān)于T的超理想,則(AB]T,A∩B均為S中的T-超理想.

(ⅱ) 設(shè)(S,°,≤)是一個(gè)序超半群,若T是S的子超半群,則對(duì)任意a∈S,(T°a°T]T是S中關(guān)于T的超理想.

證明(ⅰ) 若A,B是S中關(guān)于T的超理想,對(duì)于任意t∈T,x∈(A°B]T,存在a∈A,b∈B使得x≤a°b,則

t°x≤t°(a°b)=(t°a)°b?A°B.

因?yàn)門是S的子超半群,所以t°x?T,從而t°x?(A°B]T.易知,若a≤b∈(A°B]T,a∈T,則a∈(A°B]T.類似于上面的證法,我們可以證明x°t?T.因此(AB]T是S中關(guān)于T的超理想.

由T°(A∩B)=T°A∩T°B?A∩B,(A∩B)°T=A°T∩B°T?A∩B以及a≤b∈A∩B,a∈T可知a∈A∩B,從而A∩B均為S中關(guān)于T的超理想.

(ⅱ)若T是S的子超半群,對(duì)于任意t∈T,x∈(T°a°T]T,存在t1,t2∈T使得x≤t1°a°t2,則t°x≤(t°t1)°a°t2?T°a°T.因?yàn)門是S的子超半群,所以t°x?T,t°x?(T°a°T]T.類似地,可以證明x°t?(T°a°T]T.若c∈T,c≤b∈(T°a°T]T,則c∈(T°a°T]T.

注2由于序半群是序超半群的特例,在性質(zhì)1的證明中我們同時(shí)改正了文獻(xiàn)[10]引理2.3中的一些錯(cuò)誤.

下面我們進(jìn)一步推廣相對(duì)超理想.

定義5令S為一個(gè)序超半群,A1,A2是S的任意非空子集.若S的一個(gè)非空子集A滿足A1°A?A,A°A2?A且對(duì)y∈A,A1∪A2x≤y, 有x∈A，則稱A為S的一個(gè)(A1,A2)-超理想或(A1,A2)-相對(duì)超理想.若A1=?或A2=?, 則S的(A1,A2)-超理想為單邊相對(duì)超理想.

我們將S的所有(A1,A2)-超理想表示為I(A1,A2).由S的(A1,A2)-超理想的定義易知(A1,A2)-超理想是左T-超理想、右T-超理想和雙邊T-超理想的推廣.

例3設(shè)集合S={a,b,c,d},帶有超運(yùn)算“°”(表1)和序“≤”關(guān)系：

表1 S上的超運(yùn)算(例3)

≤∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,d),(a,c),(d,c),(a,b),(d,b)}.

(1)

我們給出S的哈斯圖(圖1).

圖1 序關(guān)系(1)的哈斯圖(例3)

容易驗(yàn)證(S,°,≤)是一個(gè)有序超半群.令A(yù)1={a},A2=l55rr5b,A={a,d}, 則A1°A?A;A°A2?A.對(duì)y∈A,A1∪A2x≤y,有x∈A.從而A是S的一個(gè)(A1,A2)-超理想.S°A={a,d}且?x∈S, 若對(duì)y∈A, 有x≤y, 則x∈A.因此A是S的左超理想.由于S是交換的,同理,A是S的右超理想.

若在例3中令序關(guān)系如下：

≤1∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,b),(d,a)},

(2)

圖2 偏序關(guān)系(2)的哈斯圖

下列性質(zhì)容易證得.

性質(zhì)2設(shè)S是一個(gè)序超半群, 則下列命題成立:

(ⅰ)若A1?A′1,A2?A′2,則I(A′1,A′2)?

I(A1,A2);

(ⅱ)I(A1,A2)=I(A1,?)∩I(?,A2).

定理1設(shè)S是一個(gè)序超半群,H1,H2是S的序子超半群，則下列命題成立:

(ⅰ)(H1°a]H1∈I(H1,?),a∈S;

(ⅱ)(a°H2]H2∈I(?,H2),a∈S;

(ⅲ)(H1°a°H2]H∈I(H1,H2),a∈S,H=H1∪H2?H1°H2;

(ⅳ)若L∈L(H1,?),R∈I(?,H2),則

(L°R]H∈I(H1,H2),H=H1∪H2?H1°H2;

(ⅴ)若A,B∈I(H1,H2)使得A∩B≠?, 則

(A°B]H,A∩B∈I(H1,H2),H=H1∪H2?H1°H2.

證明(ⅰ)因?yàn)?H1°a]H1={t∈H1|(?k∈H1°a)t≤k}, 所以

對(duì)任意x∈h°j?H1(H1°a]H1(j∈(H1°a]H1), 因?yàn)镠1是子超半群, 所以x∈h°j?H1.由于h°t≤h°k, 存在y∈h°k使得x≤y, 又因?yàn)镠1是子超半群,所以y∈h°k?h°(H1°a)?H1°a.又x∈H1,x∈(H1°a]H1，所以H1°(H1°a]H1?(H1°a]H1.

若x≤y,x∈H1,y∈(H1°a]H1,則存在z∈H1°a使得x≤y≤z, 所以x≤z, 從而x∈(H1a]H1.由以上證明可得(H1a]H1∈I(H1,?).

(ⅱ)證明過(guò)程與(ⅰ)類似.

h°k≤h°l?h°(H1°a°H2)?(H1°a°H2).

由于h°k≤h°l, 存在y∈h°l使得x≤y,從而有x∈H,x∈(H1°a°H2]H.所以H1°(H1°a°H2]H?(H1°a°H2]H.同理可證(H1°a°H2]H°H2?

(H1°a°H2]H.

若x≤y,x∈H,y∈(H1°a°H2]H,則存在z∈H1°a°H2使得x≤y≤z, 從而x≤z，所以x∈(H1°a°H2]H.由以上證明可得(H1°a°H2]H∈I(H1,H2),a∈S.

若x≤y,x∈H,y∈(L°R]H, 則y∈H且存在z∈L°R, 使得x≤y≤z.因此,x≤z,x∈(L°R]H.

(ⅴ) 若A,B∈I(H1,H2),A∩B≠?, 則由(ⅳ)可得(A°B]H∈I(H1,H2). 因?yàn)?/p>

H1°(A∩B)=H1°A∩H1°B?A∩B，

(A∩B)°H2=A°H2∩B°H2?A∩B，

且Hx≤y,y∈A∩B, 所以x∈A,x∈B.

例4令S={a,b,c,d}且在S上有超運(yùn)算“°”(表2)和序關(guān)系“≤”:

表2 S上的超運(yùn)算(例4)

≤∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(d,b),(d,c),(a,b)}.

圖3 覆蓋關(guān)系(3)的哈斯圖

∶={(a,b),(a,c),(d,b),(d,c)}.

(3)

令H1=,H2=hnzlxpf, 則H1,H2是S的子超半群.但H1∪H2不是S的子超半群, 因?yàn)閎°d={a,d}?H1∪H2(H1°H2?H1∪H2).令H=H1∪H2, 則

(H1°c°H2]H=((b°c)°d]H=

({a,c,d}°d]H=({a,d}]H=ntrfzrx.

因?yàn)镠1°(H1°c°H2]H=H1°jpbxjnt=b°d={a,d}?(H1°c°H2]H, 所以(H1°c°H2]H?I(H1,?), 當(dāng)然 (H1°c°H2]H?I(H1,H2).

注3通過(guò)定理1和例4,我們改正了文獻(xiàn)[10]引理2.10中的一些條件錯(cuò)誤.

定理3令S是序超半群,H1,H2是S的子超半群,H=H1∪H2是S的子超半群且A?H1,B?H2.若A∈I(H1,?),B∈I(?,H2)且C∈Im(H1,H2),則對(duì)于任意c∈C,有C=(A°c°B]H.

證明因?yàn)锳∈I(H1,?),B∈I(H2,?),根據(jù)引理1(ⅲ)可得

H1°(A°c°B]H?(H1]H°(A°c°B]H?

(H1°A°c°B]H?(A°c°B]H.

類似地,可得(A°c°B]H°H2?(A°c°B]H.

令x∈H,x≤y∈(A°c°B]H,則存在a∈A,b∈B,使得x≤y∈a°c°b,從而x∈(A°c°B]H.

另一方面,因?yàn)?A°c°B]H?(A°C°B]H?(H1°C°H2]H?(C]H=C且C∈Im(H1,H2),所以C=(A°c°B]H.

若A=H1,B=H2,則可得以下結(jié)論.

推論1令S是序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若A∈Im(H1,H2),則對(duì)于任意a∈A,有A=(H1°a°H2]H.

例5令S={a,b,c,d},定義S上的一個(gè)超運(yùn)算“°”(表3)和一個(gè)序關(guān)系“≤”：

表3 S上的超運(yùn)算(例5)

≤∶={(a,a)(b,b)(c,c)(d,d)(a,b)}，

則(S,°,≤)是S中的一個(gè)序超半群.令H1={a,b,c},H2={a,c},則H1,H2和H1∪H2是S的子超半群.令A(yù)={a,b}?H1,B={a}?H2,易證A∈I(H1,?),B∈I(?,H2),C={a,b}∈Im(H1,H2)以及C=(A°a°B]H=(A°b°B]H.

類似于定理3的證明,易得以下兩個(gè)定理.

定理4令S是序超半群,H1,H2是S的子超半群.若A∈Im(?,H2)(A∈Im(H1,?)), 則對(duì)于任意h2∈H2有(A°h2]H2∈Im(?,H2)(對(duì)于任意h1∈H1有(h1°A]H1∈Im(H1，?)).

定理5令S是序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若A∈Im(H1,?)且A?H1,B∈Im(?,H2)且B?H2,則對(duì)于任意c∈S,有(A°c°B]H∈Im(H1,H2).

定理6令S是交換序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若B?H=H1∪H2且A∈I(H1,H2), 則

(A∶B)={x∈S|b°x?A,?b∈B}

證明令x∈(A∶B),h1∈H1,h2∈H2,則對(duì)任意b∈B,有

b°(h1°x)=h1°(b°x)?h1°A?A,b°(x°h2)=(b°x)°h2?A°h2?A.

因此h1°x,x°h2?(A∶B).令b∈B,y∈(A∶B),若存在h滿足h≤y,則對(duì)于任意b∈B,有b°h≤b°y.因?yàn)閎°y?A,b°h?H,所以b°h?A，從而h∈(A∶B).

定義7設(shè)S為一個(gè)序超半群.若對(duì)于任意a∈S,存在x∈S,使得a≤x°a2(a≤a2°x)，則稱S為左(右)正則的.若對(duì)于任意a∈S,存在x∈S,使得a≤a°x°a，則稱S為正則的.

對(duì)偶地,我們可以證明B也是S的右超理想.

3 展望

一般半群上相對(duì)理想的提出已超過(guò)了半個(gè)世紀(jì),其研究者不多,近期印度學(xué)者將它們推廣到序半群上并給出序半群相對(duì)理想的概念及其一系列性質(zhì),其中有很多問(wèn)題都出現(xiàn)在序結(jié)構(gòu)上.本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上將相對(duì)理想推廣到序超半群，給出了序超半群上相對(duì)超理想的基本性質(zhì).這是一個(gè)大的飛躍,但還有很多問(wèn)題需要進(jìn)一步討論,例如，相對(duì)超理想的序結(jié)構(gòu)如何定義,會(huì)有幾種方式等,將在未來(lái)的工作中進(jìn)一步研究.