劉解放，楊蓉蓉

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300222）

在實(shí)際生產(chǎn)生活中，人們經(jīng)常會面對決策問題，決策問題大都帶有多屬性的特征，因此多屬性決策問題求解方法成為了研究的熱點(diǎn)[1-12]。求解多屬性決策問題，經(jīng)常使用TOPSIS（technique for order preference）方法，該方法利用備擇方案與理想方案之間的距離作為依據(jù)，距離越小，則說明備擇方案與理想方案越接近，備擇方案越好。近年來，隨著研究的深入，有學(xué)者構(gòu)造了負(fù)理想方案，決策時(shí)同時(shí)考慮備擇方案與負(fù)理想方案之間的距離，距離越大，則說明備擇方案與理想方案越接近，備擇方案越優(yōu)，從而可以同時(shí)考慮備擇方案與正負(fù)理想方案之間的距離，該方法更加有效地利用了備擇方案隱含的有效信息。但是，TOPSIS方法僅從距離的角度考慮決策方案的優(yōu)劣，無法體現(xiàn)備擇方案與理想方案之間的幾何相似性。

灰色關(guān)聯(lián)算法從序列的幾何相似程度上考慮備擇方案的優(yōu)劣，備擇方案與理想方案在幾何上越相似，灰色關(guān)聯(lián)度越大，則備擇方案越優(yōu)。蔣詩泉等[13]基于矩估計(jì)理論構(gòu)建了一般灰數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)決策模型；劉勇等[14]針對屬性值為區(qū)間直覺模糊數(shù)且屬性權(quán)重未知的一類決策問題，構(gòu)建了一種動態(tài)區(qū)間直覺模糊數(shù)多屬性決策方法；劉中俠等[15]針對指標(biāo)值為區(qū)間灰數(shù)且權(quán)重屬性部分已知、部分未知的決策問題，提出一種新的決策方法；蔣詩泉等[16]構(gòu)建了新的灰色關(guān)聯(lián)度公式；鄧聚龍教授[17]提出灰靶決策方法，構(gòu)建了一個(gè)球形灰靶，以最優(yōu)方案為靶心，以靶心距的大小作為衡量方案好壞的依據(jù)，近年來得到了廣泛的應(yīng)用。劉小弟等[18]構(gòu)建了基于多維關(guān)聯(lián)抽樣的區(qū)間數(shù)灰靶決策模型；羅黨[19]考慮實(shí)際決策環(huán)境的不確定性和復(fù)雜性，提出一種新的灰靶決策模型；郭三黨等[20]考慮了決策者的心理行為，提出一種基于后悔理論的多目標(biāo)灰靶決策方法?，F(xiàn)有的研究大都從距離的角度或者幾何相似性的角度考慮備擇方案的優(yōu)劣，針對方案信息為區(qū)間數(shù)的情形，從這個(gè)方面考慮的文獻(xiàn)還比較少見。基于此，本文提出了基于灰色關(guān)聯(lián)度和靶心距的多屬性決策模型，給出了模型的建模步驟和計(jì)算方法，通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和實(shí)用性。

1 基于灰色關(guān)聯(lián)度的多屬性決策模型

1.1 區(qū)間數(shù)的距離與區(qū)間數(shù)的加權(quán)關(guān)聯(lián)度

定義1設(shè)A=[aL，aU]，aL≤aU，B=[bL，bU]，bL≤bU，為2個(gè)區(qū)間數(shù)，稱D（a，b）為區(qū)間數(shù)A與B之間的距離。

定義2設(shè)系統(tǒng)行為區(qū)間數(shù)序列為

系統(tǒng)行為區(qū)間數(shù)序列X（0），X（1），…，X（m）的權(quán)重向量為（ω0，ω1，…，ωm），稱ξ0i（k）為X（0）與X（i）在k時(shí)刻的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)。

式中：D0i（k）為（x0L（k），x0U（k））與（xiL（k），xiU（k））之間的加權(quán)距離；ρ為分辨系數(shù)，ρ∈[0，1]。

定義3稱γ0i為區(qū)間數(shù)X（0）與X（i）的加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)度。

1.2 基于區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)決策模型

假設(shè)要評價(jià)的對象為A1，A2，…，Am，評價(jià)指標(biāo)為C1，C2，…，Cn，則稱決策方案集為{A1，A2，…，Am}，評價(jià)指標(biāo)集為{C1，C2，…，Cn}；方案Ai對指標(biāo)Cj的屬性值為區(qū)間數(shù)[xijL，xijU]，i=（1，…，m），j=（1，…，n）。則評價(jià)方案集對評價(jià)指標(biāo)集的決策矩陣為

1.2.1 決策矩陣的規(guī)范化處理

為了消除指標(biāo)的量綱，對數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理。

定義4設(shè)X=（[xL（1），xU（1）]，[xL（2），xU（2）]，…，[xL（n），xU（n）]）為區(qū)間數(shù)向量，則稱‖X‖max=max（|xL（1）|，|xU（1）|，|xL（2）|，|xU（2）|，…，|xL（n）|，|xU（n）|）為區(qū)間數(shù)向量的極大范數(shù)；稱‖X‖min=min|xL（1）|，|xU（1）|，|xL（2）|，|xU（2）|，…，|xL（n）|，|xU（n）|）為區(qū)間數(shù)向量的極小范數(shù)；則對區(qū)間數(shù)指標(biāo)做如下規(guī)范化處理

若Aj為效益型指標(biāo)，則

若Aj為成本型指標(biāo)，則

從而得到規(guī)范化決策矩陣

很明顯，rijL，rijU∈[0，1]，i=（1，…，m），j=（1，…，n）。

1.2.2 灰色關(guān)聯(lián)決策分析

經(jīng)過規(guī)范化處理的決策矩陣X，已經(jīng)消除了量綱，且均已經(jīng)轉(zhuǎn)化為效益型的變量，即“越大越好”。因此，只需選取區(qū)間數(shù)中最大的變量作為理想變量，選取區(qū)間數(shù)中最小的變量作為負(fù)理想變量。

定義5設(shè)ri0j=[ri0jL，ri0jU]=[max（rijL，1≤i≤m），max（rijU，1≤i≤m）]，稱

S+=ri0j={[ri01L，ri01U]，[ri02L，ri02U]，…，[ri0nL，ri0nU]}為區(qū)間數(shù)正理想方案。

定義6設(shè)ri0j=[ri0jL，ri0jU]=[min（rijL，1≤i≤m），min（rijU，1≤i≤m）]，稱

S-=ri0j={[ri01L，ri01U]，[ri02L，ri02U]，…，[ri0nL，ri0nU]}為區(qū)間數(shù)負(fù)理想方案。

由式（3）可計(jì)算得到，方案Ai與S+關(guān)于指標(biāo)Cj的區(qū)間數(shù)加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)ξij+（k），進(jìn)而求得區(qū)間數(shù)X（0）與S+的加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)方案Ai與S-關(guān)于指標(biāo)Cj的區(qū)間數(shù)加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)ξij-（k），進(jìn)而求得區(qū)間數(shù)X（0）與S-的加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)度為

評價(jià)方案的優(yōu)劣，不僅要考慮備擇方案與正理想方案的接近程度，還要考慮備擇方案與負(fù)理想方案的遠(yuǎn)離程度。假設(shè)設(shè)計(jì)方案Ai以關(guān)聯(lián)度pi從屬于S+，那么，Ai即以1-pi從屬于S-。定義求解綜合關(guān)聯(lián)度pi的方法為

pi越大，設(shè)計(jì)方案Ai越好。

2 基于正負(fù)靶心的灰靶決策模型

灰靶決策的基本思想是在一組序列中，找出最靠近目標(biāo)值的序列，稱為靶心，各序列與靶心的距離稱為靶心距，靶心距越小，則該序列越接近目標(biāo)值。依據(jù)該思想可以將最劣方案定義為負(fù)靶心，將各方案與負(fù)靶心的距離定義為負(fù)靶心距，同時(shí)考慮正負(fù)靶心距對方案進(jìn)行決策分析。

定義7設(shè)xj+=max{（xijL+xijU）/2|1≤i≤m|}（j=1，2，…，n），稱Xj+={x1+，x2+，…，xn+}={[x1L++x1U+]，[x2L++x2U+]，…，[xnL++xnU+]}為正靶心。

定義8設(shè)xj-=min{（xijL+xijU）/2|1≤i≤m|}（j=1，2，…，n），稱

Xj-={x1-，x2-，…，xn-}={[x1L-+x1U-]，[x2L-+x2U-]，…，[xnL-+xnU-]}為負(fù)靶心。

記方案A（i）=（[xiL（1），xiU（1）]，[xiL（2），xiU（2）]，…，[xiL（n），xiU（n）]）的正靶心距為

負(fù)靶心距為

假設(shè)設(shè)計(jì)方案Ai與正靶心的貼近度為qi，則Ai與負(fù)靶心的貼近度為1-qi。為了確定綜合貼近度qi，定義如下求解qi，為

qi越大，設(shè)計(jì)方案Ai越好。

3 綜合考慮灰色關(guān)聯(lián)度和靶心距的決策模型

灰色關(guān)聯(lián)度可以從幾何形狀上描述方案Ai與理想方案的相似性，而靶心距可以從距離尺度上描述方案Ai與靶心的接近性，二者互相補(bǔ)充，可以更好地描述方案Ai的優(yōu)劣，本文將關(guān)聯(lián)度和靶心距相結(jié)合，構(gòu)造出一種新的多屬性決策模型，具體算法如下：

（1）確定方案集{A1，A2，…，Am}，評價(jià)指標(biāo)集{C1，C2，…，Cn}以及各指標(biāo)的權(quán)重向量（ω0，ω1，…，ωm），求得方案集A對指標(biāo)集C的決策矩陣X。

（2）對決策矩陣X進(jìn)行規(guī)范化處理，結(jié)合權(quán)重，得到規(guī)范化決策矩陣R。

（3）確定正負(fù)理想方案S+和S-正負(fù)靶心Xj+、Xj-。

（4）計(jì)算備擇方案Ai與正理想方案的關(guān)聯(lián)度γi+，與負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)度γi-。

（5）計(jì)算備擇方案與正靶心的距離di+，與負(fù)靶心的距離di-。

（6）計(jì)算Ai的綜合關(guān)聯(lián)度pi，求得綜合貼近度qi。

（7）計(jì)算方案Ai的綜合優(yōu)屬度fi

其中，α反映了決策者對于形狀相似性的偏愛程度。

（8）按照綜合優(yōu)屬度的大小對方案進(jìn)行排序。綜合優(yōu)屬度越大，方案越優(yōu)；綜合優(yōu)屬度越小，方案越劣。

4 應(yīng)用舉例

某投資銀行欲對本市4家企業(yè)A1、A2、A3、A4進(jìn)行投資，為了對不同的企業(yè)進(jìn)行評估，選取4項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行投資決策。指標(biāo)C1為投資凈產(chǎn)值率，C2為投資利稅率，C3為內(nèi)部收益率，C4為環(huán)境污染程度。

區(qū)間數(shù)決策矩陣如表1所示。其中，指標(biāo)A1、A2、A3為效益型指標(biāo)，A4為成本型指標(biāo)。各指標(biāo)的權(quán)重設(shè)為（0.2，0.2，0.35，0.25）。

表1 區(qū)間數(shù)決策矩陣

（1）根據(jù)問題描述，可得方案集A={A1，A2，A3，A4}，指標(biāo)集C={C1，C2，C3，C4}，方案集A對指標(biāo)集C的決策矩陣X

（2）計(jì)算加權(quán)規(guī)范化決策矩陣R

（3）分別確定正負(fù)理想方案S+、S-

（4）計(jì)算方案Ai與正理想方案的關(guān)聯(lián)度γi+，Ai與負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)度γi-，得到方案Ai與正理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣

因此，方案Ai與正理想方案的關(guān)聯(lián)度γi+=[0.498 7，0.696 4，0.716 9，0.583 2]。

方案Ai與負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣

那么，方案Ai與負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)度γi-=[0.7052，0.685 2，0.579 0，0.547 9]。

（5）確定正負(fù)靶心Xj+、Xj-

（6）計(jì)算方案Ai與正靶心的距離di+，與負(fù)靶心的距離di-

根據(jù)式（5），得到綜合關(guān)聯(lián)度pi=[0.333 4，0.508 0，0.605 2，0.531 2]；根據(jù)式（6），得到綜合貼近度qi=[0.173 4，0.539 4，0.645 8，0.493 0]。

（7）計(jì)算方案Ai的綜合優(yōu)屬度fi=αpi+（1-α）qi，fi=[0.253 4，0.523 7，0.625 5，0.512 1]

其中，為了平衡考慮決策者對于幾何形狀相似性和距離接近相似性的偏好程度，此處取α=0.5。

（8）按照綜合優(yōu)屬度的大小對方案進(jìn)行排序，從計(jì)算結(jié)果可以得到：f3＞f2＞f4＞f1，則A3?A2?A4?A1，那么方案A3為最優(yōu)方案。若α取不同的值，會得到不同的排序結(jié)果，不同偏好下排序結(jié)果對比如表2所示。

表2 不同偏好下排序結(jié)果對比

5 結(jié)語

針對指標(biāo)值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，建立了基于灰色關(guān)聯(lián)度和靶心距的決策模型，首先計(jì)算正負(fù)理想方案和正負(fù)靶心，然后分別計(jì)算方案Ai的綜合優(yōu)屬度和綜合貼近度，最終計(jì)算得到方案Ai的綜合優(yōu)屬度，按照綜合優(yōu)屬度的大小對方案進(jìn)行排序，綜合優(yōu)屬度越大，方案越優(yōu)；綜合優(yōu)屬度越小，方案越劣。新模型綜合考慮了備擇方案和理想方案在幾何形狀和距離上的接近性，可以有效彌補(bǔ)灰色關(guān)聯(lián)決策模型和灰靶決策模型的不足。該方法的物理意義明確，操作簡便，分析問題更加客觀，為指標(biāo)值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題的解決提供了一種新的方法。