文／吳琨

縱觀每年各地中考試卷，二次函數(shù)一直是壓軸題的主力軍。那么，為什么二次函數(shù)在壓軸題中占比很大呢？中考?jí)狠S題一般考查大家綜合運(yùn)用的能力，而二次函數(shù)具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活等特點(diǎn)。下面以2022年江蘇省鹽城市中考?jí)狠S題為例加以說(shuō)明。

【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律。

圖1

【提出問(wèn)題】小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖像上。

【分析問(wèn)題】小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示。當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為 。

圖2

【解決問(wèn)題】請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立。

【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P（0，m），m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上。若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由。

【解析】

【分析問(wèn)題】根據(jù)題意，可知所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐標(biāo)y=5-1=4。

所以點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）或（3，4）。

【解決問(wèn)題】小明的猜想成立。

解法1：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1的交點(diǎn)為P（x，n-1）。

因?yàn)镺P=n，

所以x2+（n-1）2=n2，即x2=2n-1。

所以點(diǎn)P在拋物線上。小明的猜想成立。

解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1交點(diǎn)為P（x，n-1）。

因?yàn)镺P=n，

所以x2+（n-1）2=n2，

所以點(diǎn)P在拋物線上。小明的猜想成立。

解法3：根據(jù)圖中點(diǎn)的位置，猜想拋物線的對(duì)稱軸是y軸，所以設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+c。

所 以P（2n-1，n-1）在 拋 物線上。

同理，P（-2n-1，n-1）也在拋物線上。

所以點(diǎn)P在拋物線上。小明的猜想成立。

【深度思考】

存在所描的點(diǎn)在⊙M上。理由：

又因?yàn)閙、n都是正整數(shù)，

所以n-1=1。

所以m=1+2+1=4。

所以存在所描的點(diǎn)在⊙M上，m的值是4。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及與圓有關(guān)的位置關(guān)系。解題的關(guān)鍵是：【分析問(wèn)題】利用勾股定理，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；【解決問(wèn)題】根據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，找出點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代數(shù)式表示出m的值。

任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)換思想。初中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換思想主要包括由未知轉(zhuǎn)向已知，由復(fù)雜轉(zhuǎn)向簡(jiǎn)單。而作為中考?jí)狠S題，其更注重不同知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換。一道中考?jí)狠S題一般是融多種知識(shí)點(diǎn)于一體的綜合性問(wèn)題，轉(zhuǎn)換思路在其中的運(yùn)用顯得更為重要。

同時(shí)，我們?cè)谧鰤狠S題時(shí)，如果解不出來(lái)，無(wú)從下手，首先要消除恐懼感，將整道題目的解題思路轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的得分點(diǎn)。中考數(shù)學(xué)壓軸題一般會(huì)設(shè)置兩至三個(gè)小題，難易程度是第1小題較易，大部分同學(xué)都能拿到分?jǐn)?shù)；第2小題中等，起到承上啟下的作用；第3小題偏難，不過(guò)也是建立在1、2兩小題的基礎(chǔ)之上。因此，我們?cè)诮獯饡r(shí)要確保第1小題的分?jǐn)?shù)，力爭(zhēng)第2小題的分?jǐn)?shù)，竭盡全力拿到第3小題的分?jǐn)?shù)，這樣就能大大提高獲得中考數(shù)學(xué)高分的可能性。對(duì)于數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題，我們應(yīng)最大限度地發(fā)揮出自己的水平，勇攀高“分”。