文／周艷

求矩形面積的最值問題是我們比較常見的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是什么？如何建立函數(shù)模型解決此類問題？希望本文中的例子，能讓同學(xué)們體會(huì)到如何在變化的條件中尋找到不變的方法。

問題1用一根長(zhǎng)22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？

【分析】此題是蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第24頁的問題1，通過建立兩個(gè)一元二次方程，從能否解出實(shí)數(shù)根的角度來解決。現(xiàn)在，學(xué)過了二次函數(shù)的知識(shí)，我們不妨換個(gè)思路，嘗試通過函數(shù)模型解決此類問題。矩形的面積（y）會(huì)隨著矩形一邊（x）的變化而變化。

解：設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的長(zhǎng)是xcm，則寬為（11-x）cm，矩形的面積為ycm2。

根據(jù)題意，得0＜x＜11。

∵a=-1＜0，∴函數(shù)圖像開口向下。

又∵0＜x＜11，

∴當(dāng)時(shí)

∴能圍成面積是30cm2的矩形。

∴不能圍成面積是32cm2的矩形。

【總結(jié)】本題中存在兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：矩形周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬）①，矩形的面積=長(zhǎng)×寬②。在設(shè)長(zhǎng)為x后，可以先利用①表示出寬，再利用②表示出面積，建構(gòu)函數(shù)模型，得到二次函數(shù)表達(dá)式，隨后利用配方法求出面積最值，最后結(jié)合自變量的變化范圍得到面積變化范圍，由此判斷圍成的面積是否在范圍內(nèi)。

此方法對(duì)比利用方程的方法，可以減少構(gòu)建一元二次方程的個(gè)數(shù)，也較為容易理解。此方法的難點(diǎn)在于同學(xué)們能否通過問題情境感知到一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，從而選擇從函數(shù)角度來解決問題。

例題如圖1，一個(gè)矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長(zhǎng)為60m且MN≥AD，另外三邊用總長(zhǎng)100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖1

【分析】此題的變化有：增加了一面墻，將原矩形的四邊長(zhǎng)度之和變?yōu)槿呴L(zhǎng)度之和；自變量的取值范圍要作出適當(dāng)調(diào)整，AB長(zhǎng)度的2倍小于籬笆總長(zhǎng)，AD（BC）的長(zhǎng)度不超過墻的長(zhǎng)度。

解：設(shè)AB=xm，則BC=（100-2x）m。

解得20≤x＜50。

設(shè)矩形的面積為Sm2。

S=x（100-2x）=-2（x-25）2+1250。

∵a=-2＜0，∴函數(shù)圖像開口向下。

又∵20≤x＜50，

∴當(dāng)x=25時(shí)，S最大值=1250。

∴矩形菜園ABCD面積S的最大值為1250m2。

【變式1】如圖2，利用舊墻和籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長(zhǎng)為60m且MN≥AD，籬笆總長(zhǎng)100m。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖2

【分析】本題增加了一條邊EF，利用例題中的方法，將BC的長(zhǎng)度和自變量x的取值范圍作出適當(dāng)調(diào)整即可。

解：設(shè)AB=xm，則BC=（100-3x）m。

設(shè)矩形的面積為Scm2。

∵a=-3＜0，∴函數(shù)圖像開口向下。

又∵

∴當(dāng)時(shí)

∴矩形菜園ABCD面積S的最大值為

【變式2】如圖3，一個(gè)矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長(zhǎng)為40m且MN≥AD，一邊BC上留有一個(gè)2m的門，另外三邊用總長(zhǎng)100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖3

【分析】本題做了兩個(gè)改變：（1）增加了一個(gè)2m的門，有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為，門占了籬笆的長(zhǎng)度，籬笆變成了98m。其實(shí)，籬笆的長(zhǎng)度100m沒有任何改變，因?yàn)榧恿碎T，矩形菜園的三邊之和變?yōu)锳B+BC+CD=（100+2）m。（2）墻的長(zhǎng)度由60m變?yōu)?0m，影響自變量x的取值范圍。

解：設(shè)AB=xm，則BC=（100+2-2x）m。

解得31≤x＜51。

設(shè)矩形的面積為Scm2。

∵a=-2＜0，∴函數(shù)圖像開口向下。

∵當(dāng)31≤x＜51時(shí)，S隨x的增大而減小。

∴當(dāng)x=31時(shí)，S最大值=1240。

【總結(jié)】本題中二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x不在x的取值范圍31≤x＜51中，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不是本題的最大值。我們可以利用表達(dá)式畫出草圖（如圖4）來思考，在求出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)后，直接得出最值。

如圖4，當(dāng)x=31時(shí)，S最大值=1240。

圖4

【變式3】如圖5，一個(gè)矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長(zhǎng)為am且MN≥AD，另外三邊用總長(zhǎng)100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖5

【分析】此題將墻的長(zhǎng)度由具體的60、40轉(zhuǎn)變成了字母，體現(xiàn)從特殊到一般。通過以上題目的訓(xùn)練，同學(xué)們應(yīng)該能感受到墻的長(zhǎng)度主要影響的是自變量x的取值范圍，從而明確了最值的情況不外乎有兩種：①頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，則可將頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)直接作為本題最大值；②頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，則需要根據(jù)函數(shù)的增減性（或結(jié)合圖像）來判斷最值情況。

解：設(shè)AB=xm，則BC=（100-2x）m。

設(shè)矩形的面積為Scm2。

∵a=-2＜0，∴函數(shù)圖像開口向下。

①當(dāng)，即a≥50時(shí)，取x=25，S最大值=1250。

②當(dāng)，即0＜a＜50時(shí)，因 為隨x的增大而減小，所以取x=

綜上所述：當(dāng)a≥50時(shí)，S最大值=1250；當(dāng)0＜a＜50時(shí)

【歸納總結(jié)】通過以上幾題，同學(xué)們應(yīng)能發(fā)現(xiàn)解決此類問題需要抓住的主要步驟為：根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定自變量，再表示出矩形的面積（應(yīng)變量），建立二次函數(shù)表達(dá)式。在整個(gè)過程中，我們一定要養(yǎng)成寫出自變量取值范圍的好習(xí)慣。就本類題型而言，主要考慮垂直于墻和平行于墻的兩條線段的實(shí)際意義，列出不等式組，確定自變量的范圍。最后，我們?cè)俳Y(jié)合自變量的取值范圍，看二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量取值范圍內(nèi)，得到正確的最值。