邱康，褚道余，王穎，李乾，熊振宇，李基偉，崔強(qiáng)

（中石化海洋石油工程有限公司，上海 200120）

井壁失穩(wěn)一直是困擾鉆完井施工的難題之一，自上世紀(jì)四十年代開始即被廣泛研究，相關(guān)研究重點針對井筒應(yīng)力分布、巖石本構(gòu)關(guān)系及彈塑性破壞準(zhǔn)則、流體與巖石相互作用、井眼形態(tài)對井壁穩(wěn)定影響等方面。井筒尺寸等宏觀幾何特征對井壁穩(wěn)定影響關(guān)注較少，從鉆井實踐來看，同樣地層隨著井眼尺寸的增加，井壁是趨向于更不穩(wěn)定，具有明顯的尺寸效應(yīng)，根本原因是不同井眼揭露的井壁上的缺陷不盡相同。

對于巖石尺寸效應(yīng)，淺層巖石力學(xué)或者混凝土等類巖石材料相關(guān)專業(yè)研究較多，從目前研究結(jié)果來看，普遍認(rèn)為巖石等準(zhǔn)脆性材料具有明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，即巖石的力學(xué)參數(shù)，如單軸強(qiáng)度、內(nèi)黏聚力、摩擦角、斷裂能、斷裂韌度以及臨界應(yīng)變能釋放率等并非常數(shù)，而是隨著幾何尺寸的不同而發(fā)生改變，原因主要在巖石內(nèi)部裂紋、節(jié)理及弱面等缺陷導(dǎo)致的非均質(zhì)性[1]，但不能簡單理解為隨著巖石尺寸的減小，所含缺陷越少，從而強(qiáng)度越大[2]。巖石非均質(zhì)性復(fù)雜程度導(dǎo)致嚴(yán)格按照實際進(jìn)行微觀結(jié)構(gòu)描述是不可能實現(xiàn)的。因此目前針對巖石等準(zhǔn)脆性材料尺寸效應(yīng)的理論有非常多，包括Weibull統(tǒng)計理論、Bazant基于能量釋放的尺寸效應(yīng)律、基于分形損傷力學(xué)的尺寸效應(yīng)等[3-5]。這些理論大多需要對比一個假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸下的強(qiáng)度參考量，工程應(yīng)用的適用性有待于進(jìn)一步拓展；同時通過巖心樣本強(qiáng)度實驗來擬合巖石強(qiáng)度與幾何特征關(guān)系的研究也開展的比較多，巖樣的幾何特征主要包括直徑、長徑比等，模型準(zhǔn)確性受巖樣本身強(qiáng)度離散性以及樣本數(shù)量等影響較大，其中，劉寶琛等基于國內(nèi)外巖石抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)實驗結(jié)果建立的經(jīng)驗公式更符合對尺寸效應(yīng)的一般認(rèn)識[6]。引用實驗建立的巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)擬合模型，劉書杰、陳朝偉等建立了針對小井眼的考慮尺寸效應(yīng)的井壁穩(wěn)定模型[7-8]，劉書杰等采用了強(qiáng)度尺寸效應(yīng)指數(shù)模型建立的模型并沒有考慮內(nèi)摩擦角本身的尺寸效應(yīng)[7]，陳朝偉等采用了劉寶琛等建立的強(qiáng)度尺寸效應(yīng)擬合模型，但簡單的采用了井徑來代替小巖樣的尺寸也是不合理的，強(qiáng)度模型中的巖體強(qiáng)度、無缺陷強(qiáng)度獲取難度大。

1 考慮巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)的脆性地層井壁坍塌壓統(tǒng)計模型

巖石尺寸效應(yīng)主要在于其非均質(zhì)性，其內(nèi)部存在裂紋、節(jié)理及弱面等缺陷，材料內(nèi)部的缺陷決定于微觀結(jié)構(gòu)及其失效，其分布決定了材料局部的宏觀強(qiáng)度，這是統(tǒng)計方法的物理基礎(chǔ)。這種研究方法，避開嚴(yán)格地對材料微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的困難，通過對微觀結(jié)構(gòu)中一些影響強(qiáng)度的主要因素做某些簡化假設(shè)，用概率統(tǒng)計的方法來研究微觀結(jié)構(gòu)的綜合作用，從而求得宏觀的強(qiáng)度值是可行的[5]。設(shè)單位體積的巖石材料在應(yīng)力 σ附近的缺陷密度函數(shù)為n(σ)，則在單位體積中，累計的缺陷數(shù)目為：

體積V的材料中的缺陷數(shù)為：

假設(shè)材料的微觀力學(xué)性能服從Weibull 分布，其概率密度函數(shù)為[9]：

式中：〈·〉為McCauley 括號；σ0為強(qiáng)度參考尺度；m為 Weibull 模量，表征材料的均質(zhì)性，m＞1，m越大表示材料越均勻。

由最弱環(huán)理論，體積V的巖石中含N(σ)個缺陷破壞的概率為[10]：

巖石破壞的平均應(yīng)力可以表示為：

將式（4）帶入式（5），巖石的平均強(qiáng)度用Gamma函數(shù)表示為：

式中：Γ(·)為Gamma 函數(shù)。

在極坐標(biāo)下，井周微元可以表示為：

對照式（6）、式（7），巖石的平均強(qiáng)度，即單軸抗壓強(qiáng)度可以近似表示為：

對于脆性地層，井周圍巖的剪切破壞滿足庫倫準(zhǔn)則：

式中：σ1、σ3為最大、最小有效主應(yīng)力，MPa；為巖石的壓拉比。

對于直井而言，按照平面應(yīng)變理論，井周圍巖的剪切破壞一般首先發(fā)生在井壁上井周角或者處，在不考慮滲流作用時，該處周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力分別為最大和最小主應(yīng)力[11]：

式中：σr、σθ分別為井周徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力，MPa；σH、σh分別為最大、最小水平地應(yīng)力，MPa；Pp為地層壓力，MPa；pi為井筒內(nèi)壓力，MPa。

將式（8）、式（10）、式（11）帶入式（9），可以求得維持井周圍巖不發(fā)生剪切破壞的最小井內(nèi)壓力，即坍塌壓力：

考慮井周彈性模量修正[11]，坍塌壓力改寫為：

式中：η為非線性修正系數(shù)，一般取0.95。

對于鉆井工程，一般習(xí)慣用當(dāng)量密度來表示坍塌壓力，即：

式中：H為井深，m。

2 模型參數(shù)確定及影響因素分析

式（14）在求解過程中，存在三個難點，分別是不均勻系數(shù)m、標(biāo)尺強(qiáng)度 σ0和壓拉比n。不均勻系數(shù)m與井周裂隙、節(jié)理分布密度等有直接的關(guān)系，無法直接用測井?dāng)?shù)據(jù)評價得到，假設(shè)巖樣的表征和井周圍巖是一致的，可以通過三組不同長度的單軸強(qiáng)度室內(nèi)實驗，利用式（6）得到。對于標(biāo)尺強(qiáng)度 σ0，在室內(nèi)實驗巖樣中，可以選取標(biāo)尺尺寸的巖樣后求得，即令V0=V，帶入式（6）后，標(biāo)尺強(qiáng)度可以表示為[5]：

在獲得標(biāo)尺尺寸的巖樣單軸抗壓強(qiáng)度后，即可獲得標(biāo)尺強(qiáng)度 σ0，但是這個標(biāo)尺強(qiáng)度受到形狀差異的影響，并不能直接用于式（14），在實際應(yīng)用的過程中，可以選定現(xiàn)場常用的某一井眼尺寸作為標(biāo)尺尺寸R0，通過現(xiàn)場實踐得到的維持井壁穩(wěn)定的當(dāng)量密度，由式（14）反算該井眼對應(yīng)的標(biāo)尺強(qiáng)度，即：

對于壓拉比n，認(rèn)為巖石抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)是一致的，也可以通過室內(nèi)實驗獲取，對于砂巖而言，一般為7～39[12]。

以東海盆地某井參數(shù)為例[13]，H=3 000 m，σH=61.3 MPa，σh=55.7 MPa，Pp=30.3 MPa，α 、η均取0.95，標(biāo)尺井徑取6″，標(biāo)尺強(qiáng)度σ0=25.6 MPa，壓拉比n取9。圖1為不同不均勻系數(shù)條件下，坍塌壓力隨井徑變化規(guī)律，可以明顯看出，隨著井徑增加，坍塌壓力隨之增加，符合一般鉆井施工認(rèn)知規(guī)律，并且隨著井徑增加，坍塌壓力增加幅度有所下降，表明隨著井徑增大，井徑對坍塌壓力影響程度有所下降。

圖1 不同不均勻系數(shù)條件下坍塌壓力隨井徑變化規(guī)律Fig.1 Variation of collapse pressure with well diameter under different inhomogeneity coefficients

結(jié)合圖2，可以看出不均勻系數(shù)在井徑對坍塌壓力中起到了關(guān)鍵作用，隨著不均勻系數(shù)增加，巖石區(qū)域更加均勻，坍塌壓力受到井徑影響明顯減弱，根據(jù)式（8）可知，在非均勻系數(shù)無限大的條件下，巖體強(qiáng)度趨向于均勻巖石強(qiáng)度，坍塌壓力不再受到井徑影響，表明在巖石均勻程度較高情況下，井眼尺寸對坍塌壓力的影響相對較小，裂隙等缺陷較為發(fā)育的地層，井眼尺寸對坍塌壓力的影響不應(yīng)該被忽略。

圖2 不同井徑條件下坍塌壓力隨不均勻系數(shù)變化規(guī)律Fig.2 Variation of collapse pressure with inhomogeneity coefficient under different diameters

壓拉比作為一個比較直觀的代表巖石強(qiáng)度參數(shù)，實際上也包含了巖石非均勻系數(shù)的影響。圖3給出了在井徑為9-1/2″，不均勻系數(shù)為3 時，不同壓拉比對坍塌壓力的影響。可以看出隨著壓拉比的增加，坍塌壓力降低明顯。

圖3 壓拉比對坍塌壓力的影響Fig.3 Influence of compression and tension ratio on collapse pressure

3 結(jié)論與認(rèn)識

在基于統(tǒng)計巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)模型討論的基礎(chǔ)上，建立考慮巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)的坍塌壓力模型，探索模型參數(shù)確定方法，并且利用實例討論關(guān)鍵參數(shù)對模型的影響，主要結(jié)論如下：

（1）基于統(tǒng)計的巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)模型建立的坍塌壓力模型，能夠描述井眼尺寸對坍塌壓力的影響，算例結(jié)果表明隨著井眼尺寸增加坍塌壓力增加，但增加幅度有所下降，符合一般鉆井施工認(rèn)知。

（2）本文采用相對簡單的以壓力比和單軸抗壓強(qiáng)度為主要強(qiáng)度參數(shù)庫倫準(zhǔn)則，沒有考慮實際條件下的三維應(yīng)力條件，從目前研究來看，內(nèi)摩擦角和黏聚力等強(qiáng)度參數(shù)也具有明顯尺寸效應(yīng)，但僅能通過實驗數(shù)據(jù)回歸簡單的模型來描述，很難通過理論方法建立模型，相關(guān)研究仍需要進(jìn)一步開展。