韓曉偉，段國林，王世杰，韓 碩，馬 碩，楊 杰

（河北工業(yè)大學機械工程學院，天津 300401）

功能梯度材料（functionally graded material,FGM）是一種可實現(xiàn)某些特殊功能的新型非均質(zhì)材料[1]，其從內(nèi)部組分、結構到物理特性和化學特性等方面均呈現(xiàn)連續(xù)的變化。與傳統(tǒng)單一材質(zhì)材料相比，功能梯度材料具備很多特殊的優(yōu)點：既可解決非均質(zhì)材料的界面應力問題，又能保持材料的復合特性[2]。功能梯度材料最早應用于航空、機械領域中需耐高溫、腐蝕和磨損的結構[3]，現(xiàn)已擴展到核、生物、熱電或熱離子轉(zhuǎn)換、醫(yī)學和電磁等領域[4]。在功能梯度材料的制備過程中，最重要的是采取合適的措施來確保材料在組成、結構上的梯度變化，其制備過程通常結合材料復合技術、計算機輔助材料設計和制造技術[5]。功能梯度材料可通過利用物理或化學方法將金屬、高分子聚合物以及陶瓷等結合的方式來制備。傳統(tǒng)的制備方法有物理化學氣相沉積法、粉末冶金法、等離子噴涂法和自蔓延高溫合成法等[6]。功能梯度材料在各類對材料有特殊要求的領域中有廣闊的應用前景[7]。

功能梯度材料建模是其制備過程中的關鍵環(huán)節(jié)。但是，傳統(tǒng)的三維CAD（computer aided design，計算機輔助設計）建模方法對實體模型的表示主要基于構造表示和邊界表示[8]，且將模型內(nèi)部視作單一均質(zhì)材料來處理，只能表示實體外表面的基本信息，而難以表示其內(nèi)部的材料結構和組織信息。因此，需要設計可實現(xiàn)模型幾何信息與材料信息有效結合的方法，以滿足功能梯度材料建模的要求。

為此，吳曉軍等[9]提出了基于八叉樹的體素化建模方法，即采用幾何運算方法體素化三維網(wǎng)格模型，該方法可建立材料分布不均勻的模型，但只能通過體素根據(jù)一定的分辨率逼近實體，導致模型的精度較低，且儲存體素需要大量空間。Biswas等[10]提出了一種基于距離場的建模方法，通過精確或近似于材料特征的距離對空間進行參數(shù)化，該方法適用于大多數(shù)尺寸、形狀和拓撲結構等材料特征，缺點是計算過程繁瑣。Jackson等[11]提出將幾何信息與材料信息賦予有限元網(wǎng)格節(jié)點的建模方法，但基于有限元網(wǎng)格建立的模型由于被細分成小四面體單元，使得后續(xù)的切片等數(shù)據(jù)處理復雜化。張賀等[12]提出了利用等值面表示材料信息的建模方法，通過對不同層的等值面進行處理，可以實現(xiàn)不同幾何形狀和不同材料分布的功能梯度材料的建模，但該方法只限于材料分布呈等值面均勻分布的情況。葛正浩等[13]提出了基于控制點的建模方法，該方法假設幾何空間由空間點組成，利用梯度源方法將材料信息附著于空間點，以實現(xiàn)材料信息的映射，該方法適用于構建簡單模型或回轉(zhuǎn)體模型，但建模過程繁瑣，對材料分布復雜的零件處理困難，且大量的點會占用較多的儲存空間。Yang等[14]提出了一種基于B樣條的建模方法，通過異質(zhì)材料放樣構建異質(zhì)體模型，該方法不需要設置控制點網(wǎng)格，而是直接通過配置模型材料特征來設計材料分布和幾何形狀。

綜上所述，功能梯度材料建模需要建立幾何空間和材料空間并將其有效結合。其中，幾何空間可通過建模軟件直接構建，材料空間的構建可通過功能梯度材料結構設計來完成[15]。傳統(tǒng)的功能梯度材料建模方法通常先將幾何模型離散成體素或四面體，而后將材料信息導入離散的體素或四面體[16]。離散重組的方法雖然簡化了建模過程，但通過一定分辨率逼近實體的方法會大大降低模型的精度，且隨著分辨率的增大，所需儲存空間增大，導致后續(xù)處理變得復雜。為方便幾何信息與材料信息的結合，筆者提出一種新的基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法，通過基于坐標變換的映射方法來避免傳統(tǒng)功能梯度材料建模精度低的弊端。

1 功能梯度材料建模設計

功能梯度材料建模時，首先要定義模型幾何空間，然后設計模型材料分布以得到所需的梯度變化，從而確定材料空間和映射關系，最后基于映射關系將材料模型從材料空間映射到幾何空間，以構建功能梯度材料模型。通過空間映射建模的核心是確定材料空間到幾何空間的映射關系，即定義功能梯度材料的材料組分變化規(guī)律，這個變化規(guī)律用關于幾何空間坐標的函數(shù)表示。當存在多個映射關系時，映射關系具有嚴格的作用區(qū)間，即在從材料空間向幾何空間映射的過程中，不同區(qū)間對應不同的映射函數(shù)。

定義歐幾里得空間為E3，功能梯度材料建?？臻gB=G3×M，其中G3表示三維幾何空間，G3?E3，M表示材料空間，n表示功能梯度材料所含材料的種類（n≥1），則功能梯度材料模型可表示為：

式中：(x,y,z)為幾何空間坐標；γi為某點處第i種材料（i=1,2,…,n） 的占比，0≤γi≤1，γi=0表示該點不含第i種材料，γi=1表示該點只含第i種材料。

將材料空間中的材料分布情況按照映射關系映射到幾何空間中，得到各材料相在幾何空間中的空間分布情況，而后將各材料相的分布組合起來，即可得到功能梯度材料模型。以包含3種材料（m1、m2、m3）的功能梯度材料模型為例，其幾何空間到材料空間的映射關系如圖1所示。

圖1 某功能梯度材料模型幾何空間與材料空間的映射關系Fig.1 Mapping relationship between geometric space and material space of a functionally graded material model

根據(jù)材料變化的復雜程度，將基于空間映射的功能梯度材料建模大致分為3種情況。

1）材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型。

材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型大多屬于幾何形狀簡單的模型。如圖2所示，某一預打印條塊由2種材料（m1、m2）組成，其中材料m1、m2的體積分數(shù)分別用函數(shù)f1、f2表示，則圖2所示的材料m1的梯度變化規(guī)律分別為：f1(x)=x，f1(y)=y，f1(x)=x2-x+1，f1(x,y)=0.25xy+0.5x-0.5y。相對應的，材料m2的梯度變化規(guī)律f2=1-f1。函數(shù)f1與f2即構成該預打印條塊的材料分布函數(shù)F。對于材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型，材料空間到幾何空間的映射只有一個映射規(guī)律，在這種情況下，材料分布函數(shù)與映射關系一致。

圖2 材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型Fig.2 Functionally graded material model of material composition changing with single function law

2）材料組分以多個函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型。

如圖3所示，對于材料變化規(guī)律比單一函數(shù)復雜的功能梯度材料模型，其往往需要多個映射關系來確定。

圖3 材料組分以多個函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型Fig.3 Functional gradient material model of material composition changing with multiple function laws

對于圖3所示情況，一般認為材料是多個方向變化的且每個方向滿足一定的映射關系。在不同的材料變化區(qū)域，分別確定相應的映射關系Φ1,Φ2,…,Φj,…,Φq，如式(2)所示：

式中：Mj為材料空間的某一區(qū)域；Fj為區(qū)域Mj的材料分布函數(shù)；Φj為材料空間到幾何空間的映射關系。

當材料組分以多個函數(shù)規(guī)律變化時，功能梯度材料建模要解決多個梯度源下材料接觸區(qū)域材料過渡時的平滑性以及連續(xù)性。在這種情況下，多個映射關系對應多個梯度變化規(guī)律。以多個函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型的映射關系如圖4所示。

圖4 材料組分以多個函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型的映射示意Fig.4 Mapping schematic of functionally graded material model of material composition changing with multiple function laws

3）無映射規(guī)律的功能梯度材料模型。

在實際應用中，往往存在材料變化規(guī)律較為復雜的功能梯度材料模型，這些模型一般不存在映射規(guī)律。對于無映射規(guī)律的功能梯度材料模型，通常采用點云法、體素法或切片處理法進行建模。其中，體素法是將幾何模型離散成體素點，并將材料信息添加至每一個體素點來完成建模的，將材料信息加到每一個體素點即可認為是一種映射?；隗w素法的功能梯度材料模型的空間映射如圖5所示。

圖5 基于體素法的功能梯度材料建模映射示意Fig.5 Mapping schematic of functional gradient material modeling

通過以上分析，除第3種情況外，均可根據(jù)實際需要設計功能梯度材料從材料空間到幾何空間的映射關系，而第3種情況雖然沒有具體的映射規(guī)律，但可以根據(jù)轉(zhuǎn)換算法得到材料梯度信息，即第3種情況也可以認為具有多個映射關系。因此，可以統(tǒng)一用材料分布函數(shù)來表達功能梯度材料中的材料組分體積占比信息，即功能梯度材料模型的每一個映射關系對應一個材料分布函數(shù)。

2 功能梯度材料建模表示

2.1 基于梯度源法的材料空間建立

本文采用梯度源法來表示功能梯度材料的材料分布，以建立材料空間。選取功能梯度材料模型中的一些特征作為參考特征（即梯度源），以模型上任意一點到梯度源的歐氏距離作為自變量來設計材料分布函數(shù)。為方便材料分布函數(shù)的計算，通常選取特殊的特征作為梯度源。

2.1.1 單梯度源法

如圖6所示，對于僅含單個梯度源的功能梯度材料模型，通常選取圓心、球心、軸心線或底面等作為梯度源，較為復雜的也可選取表面輪廓作為梯度源。

圖6 點、線、面單梯度源功能梯度材料模型Fig.6 Functionally graded material model based on single point,line and plane gradient source

對于單梯度源功能梯度材料模型，其材料分布函數(shù)F(x,y,z)是一個由一組材料組分梯度變化規(guī)律函數(shù)構成的向量：

式中：fi(x,y,z)表示第i種材料組分在(x,y,z)處的分布規(guī)律，各個材料在空間某一點處的體積分數(shù)之和等于 1，即。

材料分布函數(shù)可以為線性或非線性，根據(jù)不同材料分布函數(shù)建立不同維度的材料空間。圖7所示為由2種材料構成的一維、二維、三維材料空間，其材料分布函數(shù)分別表示為：

圖7 不同維度的材料空間示意Fig.7 Material space of different dimensions

式中：L為正方形邊長；r為圓形半徑；R為球體半徑。

選取不同的梯度源可以得到不同的梯度變化規(guī)律，通過修改幾何形狀、梯度源和材料分布函數(shù)，可得到所需的功能梯度材料模型。

2.1.2 多梯度源法

在實際的功能梯度材料建模設計中，材料變化往往不是單一材料的簡單變化，而是多種材料的復雜變化，則會出現(xiàn)多個梯度源。多個梯度源的情況可分為2種：非交叉梯度源和交叉梯度源。

1）非交叉梯度源。

當同一模型中出現(xiàn)2個或多個梯度源時，功能梯度分級區(qū)域之間會發(fā)生交集。圖8所示為具有2個梯度源（G1和G2）的功能梯度材料模型，其從材料m1變?yōu)椴牧蟤2和從材料m2變?yōu)椴牧蟤3的2個梯度變化區(qū)域之間不相交，將這種不同梯度變化區(qū)域共存而互不干擾的梯度源稱為非交叉梯度源。

圖8 非交叉梯度源功能梯度材料模型Fig.8 Functionally graded material model of non-cross gradient source

對于2個非交叉梯度源的梯度變化區(qū)域，分別根據(jù)空間點與梯度源G1、G2之間的歐式距離d1、d2來定義梯度變化區(qū)域的材料組成。若空間點更接近梯度源G1（即d1＜d2），則根據(jù)梯度源G1計算材料組成，反之亦然；若空間點與2個梯度源的距離相等（d1=d2），則根據(jù)任意梯度源計算材料組成。對于含多個非交叉梯度源的功能梯度材料模型，可以此類推。

2）交叉梯度源。

若圖8所示的2個梯度變化區(qū)域相交時，該相交區(qū)域的材料組成利用相交算子“?”根據(jù)用戶定義的權重比進行求和。

式中：k1、k2分別為不同梯度源的權重比；F1、F2分別為不同梯度源的材料分布函數(shù)。

式(4)表明，通過控制梯度源的權重比即可實現(xiàn)對不同交叉梯度源的控制。對于具有更為復雜材料分布的功能梯度材料模型，其可能含有2個以上的交叉梯度源。當存在多個交叉梯度源時，相交區(qū)域的材料組成可用式(5)計算：

式中：m為梯度源個數(shù)。

與單梯度源功能梯度材料模型一樣，多梯度源功能梯度材料模型中各個材料在空間某一點處的體積分數(shù)之和也等于1，即：

式中：Fti為第t個梯度源中第i種材料的材料分布函數(shù)。

2.2 材料空間到幾何空間的映射

根據(jù)已建立的材料空間，確定從材料空間映射到幾何空間的映射函數(shù)。在大部分情況下，幾何空間與材料空間的坐標系不重合，導致空間映射無法進行。因此，實現(xiàn)2個空間坐標系的重合為實現(xiàn)幾何信息和材料信息有效結合的關鍵，即需要找到一個映射矩陣以實現(xiàn)材料空間到幾何空間的映射。利用坐標變換法，即通過平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影等一系列坐標變換可實現(xiàn)材料空間與幾何空間的坐標系重合。本文以平移變換和旋轉(zhuǎn)變換為例，說明材料空間到幾何空間的映射流程。平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可分別表示為：

式中：tx、ty、tz為3個方向的平移距離；θ為旋轉(zhuǎn)角度。

圖9所示為基于坐標平移變換的材料空間到幾何空間的映射流程（以球形材料空間映射到正方體幾何空間為例）。

圖9 基于坐標平移變換的材料空間到幾何空間的映射流程Fig.9 Mapping process from material space to geometric space based on coordinate translation transformation

圖9所示材料空間中的材料分布函數(shù)可表示為：

鑒于只需平移即可將材料空間映射到幾何空間，根據(jù)F′(x,y,z)=ΦF(x,y,z)，可得映射后的材料分布函數(shù)F′(x,y,z)：

由此可得，最終功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)為：

圖10所示為基于坐標旋轉(zhuǎn)變換的材料空間到幾何空間的映射流程（以橫向圓柱形材料空間映射到縱向圓柱形幾何空間為例）。

圖10 基于坐標旋轉(zhuǎn)變換的材料空間到幾何空間的映射流程Fig.10 Mapping process from material space to geometric space based on coordinate rotation transformation

圖10所示材料空間中的材料分布函數(shù)可表示為：

式中：H為圓柱的高度。

鑒于圖10所示是將材料空間沿x軸旋轉(zhuǎn)θ=90°后映射到幾何空間，則可得：

由此可得，最終功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)為：

其中：

式中：r1為圓柱的底面半徑。

3 實例建模及OpenGL可視化分析

根據(jù)上述基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法，在Visual Studio 2019軟件與OpenGL編程語言下，分別對單梯度源和多梯度源功能梯度材料進行建模。

3.1 基于單梯度源的實例建模

基于圖9所示的坐標變換方法，對尺寸為100 mm×100 mm×100 mm的正方體功能梯度材料模型進行實例建模。利用式(7)和式(9)計算得到加入材料信息后功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)。同時，通過OpenGL可視化分析顯示最終的功能梯度材料模型，如圖11所示。在OpenGL程序中，用R（紅）、G（綠）、B（藍）表示不同的材料。

圖11 單梯度源正方體功能梯度材料模型的可視化結果Fig.11 Visualization results of cube functionally graded material model with single gradient source

3.2 基于多梯度源的實例建模

錐齒輪可以傳遞2個不平行軸之間的運動和動力，具有傳動效率高、傳動比準確和使用壽命長等優(yōu)點，在實際生產(chǎn)中被廣泛應用。但在一些特殊場合下，錐齒輪各個位置的磨損有所不同，則要求其不同位置處材料的硬度應有所區(qū)別，為典型的多梯度源。下文將針對未加工齒的功能梯度材料錐齒輪毛坯件進行建模分析。

假設錐齒輪毛坯件內(nèi)部有2種材料變化規(guī)律，如圖12所示，其中一種是從軸線到外表面的徑向梯度變化，另一種是從底面到頂面的軸向梯度變化，可分別建立2個梯度源G1和G2。

圖12 錐齒輪毛坯件的材料空間分解示意Fig.12 Material space decomposition of bevel gear blank

圖12(b)所示的梯度源G1的分配數(shù)據(jù)如下：

1）材料梯度變化方式為沿圓柱中心軸向外擴散；

2）參考特征為圓柱中心軸；

4）權重比k1=0.5。

圖12(c)所示的梯度源G2的分配數(shù)據(jù)如下：

1）材料梯度變化方式為沿圓柱底面向上擴散；

2）參考特征為圓柱底面；

4）權重比k2=0.5。

鑒于梯度源G1和梯度源G2為交叉梯度源，根據(jù)權重比k1和k2，利用相交算子“?”對2種不同的梯度源進行求和，最終得到的材料分布函數(shù)為：

由此得到的功能梯度材料模型具有如圖12(a)所示的2個方向的材料分級。對于未加工齒的功能梯度材料錐齒輪毛坯件（大端圓的直徑為100 mm），其材料空間到幾何空間的映射流程如圖13所示。

圖13 錐齒輪毛坯件材料空間到幾何空間的映射流程Fig.13 Mapping process from material space to geometric space of bevel gear blank

由圖13可知，要使兩坐標系重合，需要進行的坐標變換如下：1）繞x軸順時針旋轉(zhuǎn)90°；2）沿x軸平移50 mm；3）沿z軸平移50 mm。由此可得，最終錐齒輪毛坯件的材料分布函數(shù)為：

代入具體參數(shù)的數(shù)值并簡化，可得：

由此可得，映射關系為：

通過OpenGL可視化分析可得多梯度源功能梯度材料錐齒輪毛坯件的模型，如圖14所示。

圖14 多梯度源功能梯度材料錐齒輪毛坯件模型的可視化結果Fig.14 Visualization results of functionally gradient material bevel gear blank model with multiple gradient sources

上述建模實例的結果表明，本文所提出的建模方法有助于避免某些不同材料組成連接處材料的急劇變化，因此可以抑制材料界面區(qū)域的嚴重應力集中和熱失配。

在利用基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法處理交叉梯度源模型時，可根據(jù)人為設定的權重比，較容易地實現(xiàn)對材料空間中材料信息的修改，且利用坐標變換進行映射可大大縮短建模時間。表1所示為本文坐標變換算法與估值建模中普通體素化算法以及非估值建模中顯式函數(shù)算法的建模時間對比。

表1 坐標變換算法與其他算法的建模時間對比Table 1 Comparison of modeling time between coordinate transformation algorithm and other algorithms單位：s

4 結論

針對功能梯度材料建模研究，提出了一種基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法，即通過坐標變換將幾何空間與材料空間有效結合起來，進而建立所需的功能梯度材料模型。該方法較其他方法有如下優(yōu)點。

1）基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法通過坐標變換有效地結合了幾何信息與材料信息，可通過映射函數(shù)將材料分布映射至幾何模型，建立所需的功能梯度材料模型。同時，通過OpenGL可視化分析，利用RGB顏色顯現(xiàn)，可以清晰表示所建立的模型。

2）通過建模實例與建模時間比較可知，基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法大大縮短了建模時間，從根本上解決了一些算法造成的儲存空間不足和建模過程繁瑣等問題，使得功能梯度材料模型的設計變得直觀且具有靈活性。

然而，本文提出的基于坐標變換的功能梯度材料空間映射建模方法還有一定的局限性。當建立具有復雜幾何形狀或者具有多種材料分布的功能梯度材料模型時，表示幾何信息或者材料信息的解析函數(shù)也會變得非常復雜，使得某些部分的計算變得困難，而且通過非估值建模方法建立的模型在進行材料查詢時并不方便。今后有必要開展材料分布函數(shù)簡化研究，以簡化具有多個材料分布的模型材料空間的坐標變換過程，并優(yōu)化相應程序，使得材料查詢更加方便。