陳 軍

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

火箭燃氣是高溫高壓混合物[1],但目前對其輸運系數(shù)(黏性系數(shù)、導熱系數(shù)、擴散系數(shù)、普朗特數(shù)、施密特數(shù)和路易斯數(shù))的計算主要集中于低壓單一組分或雙組分,許多學者提出了很多理論模型和計算方法[2-7]。而對于高壓條件下的燃氣輸運特性,尤其是高壓混合物,相關研究很少,且目前還缺乏充足的數(shù)據(jù)支持目前很少的研究結論。因此,火箭燃氣輸運系數(shù)的計算與驗證非常困難[1,8]。文獻[1]從大量的成熟研究結論中,尋找并總結出了最可能滿足火箭燃氣特征的黏性系數(shù)(動力黏性系數(shù))、導熱系數(shù)及普朗特數(shù)的計算方法。本文試圖沿著該方法尋找并總結出同樣滿足火箭燃氣特征的擴散系數(shù)、施密特數(shù)和路易斯數(shù)的計算方法。由于缺乏高溫高壓混合燃氣的實驗數(shù)據(jù),本文主要以單組分和雙組分的數(shù)據(jù)進行驗證。

1 高溫高壓下復雜燃氣擴散系數(shù)計算的理論模型

考慮分子彈性模型,計算輸運系數(shù)目前廣泛采用了利用倫納德-瓊斯(Lennard-Jones)勢修正得到的恩斯克-查普曼(Enskog-Chapman,簡稱E-C)公式,其中擴散系數(shù)計算公式為

(1)

式中:ΩD為擴散系數(shù)的倫納德-瓊斯參數(shù),稱為碰撞積分;M為摩爾質量,kg/kmol;T為溫度,K;p為壓強,MPa;σ為碰撞直徑,10-10m。倫納德-瓊斯參數(shù)ΩD與特性對比溫度T*=T/(ε/k°)有關,其中ε/k°為彈性分子的特征參數(shù),是溫度的量綱,ε分子勢,k°玻爾茲曼常數(shù)。

E-C公式一般只適用于低壓條件下單原子分子的單一組分。對于高溫高壓下復雜燃氣系統(tǒng),需要進行修正,主要考慮如下因素:多原子分子,極性與非極性,混合物,和高壓。

①低壓非極性多原子單一組分

對于低壓非極性多原子單一組分,E-C公式計算擴散系數(shù)的誤差較大。本文選用了兩種計算模型,一是富勒(Fuller)模型,二是威爾克-李(Wilke-Lee)修正模型,兩者的適用溫度不同。富勒模型的溫度適用范圍為80～1 500 K。當超出該溫度范圍,或富勒模型缺乏相關數(shù)據(jù)(指分子擴散體積)時,可改用威爾克-李修正模型[5]。

富勒模型的計算公式為

(2)

式中:Σv為組分的分子擴散體積。原子及簡單分子(包括部分極性組分)的擴散體積見表1。

表1 原子及簡單分子的擴散體積Table 1 Diffusion volume of atoms and simple molecules

威爾克-李修正公式為

(3)

式中:σ和ε/k°按下述條件計算

(4)

式中:Tb為標準沸點,K;Vb為標準沸點的摩爾體積,cm3/mol,可從相關物性參數(shù)工程表查詢,或按Tyn-Calus公式計算:

(5)

式中:VC為組分的臨界體積,cm3/mol。

②低壓極性多原子單一組分

對于極性組分的擴散系數(shù),本文選用布羅考(Brokaw)修正方法:仍然利用式(1)計算擴散系數(shù),但是倫納德-瓊斯參數(shù)需要修正為

(6)

T*=T/(ε/k°)

(7)

(8)

式中:μp為極性分子的偶極矩。式(6)計算ΩD時,取

(9)

③低壓混合物

擴散系數(shù)以雙組分擴散為基礎。非極性組分仍然采用富勒模型或威爾克-李修正模型計算,組分i和組分j的相互擴散系數(shù)分別為

(10)

或

(11)

其中的參數(shù)按如下規(guī)則合成

(12)

極性組分仍采用布羅考方法修正,即以E-C公式(1)為基礎,但倫納德-瓊斯參數(shù)ΩD按式(6)計算。這時參數(shù)的合成與式(12)的合成方法不同,對相互擴散的雙組分參數(shù)均采用幾何平均合成方法,即

(13)

多組分混合物擴散問題十分復雜。在火箭發(fā)動機流動計算中,常使用某一組分i相對于其余組分的擴散系數(shù)(Dim),即將除組分i以外的所有其余組分看作一種組分,使其簡化成雙組元擴散問題,稱為布蘭科(Blanc)定律,即

(14)

式中:N為混合物組分數(shù),Xi為i組分的摩爾分數(shù)?？梢?只要計算得到雙組分擴散系數(shù)Dij,利用布蘭科定律即可方便地計算Dim。

④高壓修正

本文對擴散系數(shù)的高壓修正均采用DKK(Dawson-Khoury-Kobayashi)修正模型,即

(15)

式中:ρ為密度;ρr=ρ/ρC=VC/Vm為對比密度,ρC為組分的臨界密度,Vm為實際氣體的摩爾體積;(Dρ)0為相同溫度T時低壓條件下的值。實際上,結合實際氣體在高壓下的壓縮因子Z,有

(16)

式中:(Dp)0為相同溫度T時低壓條件下的值。本文采用李-凱斯勒(Lee-Kesler)模型求解實際氣體的壓縮因子,即

(17)

式中:Z0、ZR分別為簡單流體和參考流體的壓縮因子;ω為極性組分的偏心因子。得到壓縮因子Z后,實際氣體的摩爾體積Vm為

(18)

式中:R0為摩爾氣體常數(shù)。

⑤高壓混合物

總體上,與低壓混合物類似,高壓混合物的輸運系數(shù)可以由前述高壓單一組分的輸運系數(shù)通過一定規(guī)律合成而得到,也可以對低壓混合物通過高壓修正得到。本文高壓混合物的擴散系數(shù)由低壓混合物通過DKK高壓修正得到。

計算擴散系數(shù)所采用的模型匯總于表2中。

表2 擴散系數(shù)計算模型Table 2 Calculation models of diffusion coefficient

2 輸運相似準則數(shù)和密度的計算

輸運相似準則數(shù)包括普朗特數(shù)Pr、施密特數(shù)Sc和路易斯數(shù)Le。普朗特數(shù)Pr定義為

(19)

計算出黏性系數(shù)μ和導熱系數(shù)κ后即可計算[1]。

施密特數(shù)Sc定義為

(20)

計算黏性系數(shù)μ和擴散系數(shù)D后,還要計算密度ρ。由式(18)計算出摩爾體積Vm后,密度即為

ρ=M/Vm

(21)

式中:M為摩爾質量。

路易斯數(shù)Le定義為

(22)

計算出導熱系數(shù)κ[1]和擴散系數(shù)D后即可計算。

實際上,在計算出普朗特數(shù)和施密特數(shù)后,路易斯數(shù)即可由下式計算

(23)

上述過程可計算純組分的相似準則數(shù)和密度,混合物的相似準則數(shù)和密度需要按一定的混合規(guī)則。

混合物的輸運相似準則數(shù)按Kay規(guī)則混合各個組分的輸運相似準則數(shù),即

(24)

(25)

在計算出普朗特數(shù)和施密特數(shù)后,混合物的路易斯數(shù)Lem同樣由下式計算:

(26)

3 計算模型的驗證

高溫高壓氣體及其多組分混合物的實驗非常困難,缺乏足夠的實驗數(shù)據(jù)對計算模型的正確性進行驗證。為此,本文主要檢驗組成火箭高溫高壓復雜燃氣的雙組分或三組分混合物的計算結果。

忽略金屬添加物的情況下,火箭燃氣的主要組分包括:CO2、CO、H2O、H2、N2、HCl、SO2、NO等,都是多原子組分,其中非極性組分為CO2、H2、N2等,極性組分為CO、H2O、HCl、SO2、NO等。組分H2O、HCl、SO2為強極性組分,組分H2為輕質組分,這些組分在混合物輸運性質的理論模型中很難準確計算[1]。

上述模型對于低壓單一組分的驗證已經(jīng)十分充分[2-14],這里只給出混合物在高溫高壓下的驗證。

①擴散系數(shù)的計算檢驗

與固體火箭發(fā)動機燃氣相關的混合物的擴散系數(shù)計算與實驗數(shù)據(jù)比較如表3所示,高壓氣體的實驗數(shù)據(jù)及計算結果如表4所示。

表3 低壓混合物的擴散系數(shù)Table 3 Diffusion coefficient of low pressure mixture

上述數(shù)據(jù)表明,擴散系數(shù)的計算模型在低壓和高壓下均具有較好的精度,但高溫下含H2O混合物(如煙氣)的計算誤差較大。針對同時具有高溫和高壓燃氣的實驗數(shù)據(jù),表4提供了文獻中為數(shù)不多的實驗數(shù)據(jù)。其中混合物CH4-C2H6采用本文篩選的模型的計算誤差為18.4%,而文獻[4]引用的模型的計算誤差達30%,精度明顯改善。

表4 高壓組分的擴散系數(shù)Table 4 Diffusion coefficient of high pressure components

②輸運相似準則數(shù)與密度的計算檢驗

由于缺乏混合物的相關實驗數(shù)據(jù),表5只給出了與固體火箭發(fā)動機燃氣相關單一組分的輸運相似準則數(shù)及密度計算與實驗數(shù)據(jù)[6,7,10,13,14],它們均具有較高的精度。

表5 單一組分的相似準則數(shù)與密度對比(T=273.15 K,p=0.101 325 MPa)Table 5 Comparison of similarity criteria number and density of single components(T=273.15 K,p=0.101 325 MPa)

4 火箭高溫高壓復雜燃氣的擴散系數(shù)和輸運準則數(shù)

本節(jié)主要給出不考慮金屬添加物的固體推進劑的燃氣特征,主要包括雙基推進劑(DB)、復合改性雙基推進劑(CMDB)和復合推進劑(CP)。溫度和壓強按火箭發(fā)動機的典型工作范圍取值。

①典型雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)

雙基推進劑燃氣的工作溫度取1 500～2 200 K,工作壓強取8～20 MPa,典型燃氣組分為:CO,CO2,H2,H2O,N2,對應的摩爾分數(shù)分別為0.47、0.07、0.2、0.15和0.11。

在典型工作壓強下(p=10 MPa),溫度對雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表6所示。

表6 典型雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(p=10 MPa)Table 6 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical double base propellant gas(p=10 MPa)

在典型溫度(T=2 200 K)下,壓強對雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表7所示。

表7 典型雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(T=2 200 K)Table 7 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical double base propellant gas(T=2 200 K)

②典型復合改性雙基推進劑燃氣的輸運系數(shù)及相似準則數(shù)

復合改性雙基推進劑工作的溫度取2 600～3 800 K,工作壓強取8～20 MPa,典型燃氣組分為:HCl,CO,CO2,H2,H2O,N2,對應的摩爾分數(shù)分別為0.1、0.21、0.2、0.05、0.32和0.12。

在典型工作壓強(p=10 MPa)下,溫度對典型復合改性雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表8所示。

表8 典型復合改性雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(p=10 MPa)Table 8 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical composite modified double base propellant gas

在典型溫度(T=3 000 K)下,壓強對典型復合改性雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表9所示。

表9 典型復合改性雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(T=3 000 K)Table 9 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical composite modified double base propellant gas(T=3 000 K)

③典型AP復合推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)

AP復合推進劑工作的溫度取2 600～3 800 K,工作壓強取8～20 MPa,典型燃氣組分為:HCl,CO,CO2,H2,H2O,N2,對應的摩爾分數(shù)分別為0.13、0.25、0.03、0.2、0.24和0.15。

在典型工作壓強(p=10 MPa)下,溫度對典型AP復合推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表10所示。

表10 典型AP復合推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(p=10 MPa)Table 10 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical AP composite propellant gas(p=10 MPa)

在典型溫度(T=3 200 K)下,壓強對典型復合推進劑燃氣的擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的影響如表11所示。

表11 典型AP復合推進劑燃氣的擴散系數(shù)及相似準則數(shù)(T=3 200 K)Table 11 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical AP composite propellant gas(T=3 200 K)

5 火箭高溫高壓復雜燃氣擴散系數(shù)及相似準則數(shù)的分析

為便于觀察火箭燃氣輸運系數(shù)的變化規(guī)律,將表6～表11的數(shù)據(jù)用曲線圖1～圖6所示。

由于混合物的擴散存在組分間的復雜擴散關系,這里只給出燃氣混合物總體的自擴散系數(shù)以便于觀察其變化規(guī)律。固體火箭發(fā)動機燃氣自擴散系數(shù)隨溫度的變化如圖1所示,隨壓強的變化如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn):擴散系數(shù)隨溫度的升高而升高,這與一般氣體擴散系數(shù)的變化規(guī)律一致;雙基推進劑的擴散系數(shù)其變化趨勢略高于復合改性雙基推進劑與復合推進劑;復合改性雙基推進劑與復合推進劑燃氣擴散系數(shù)的變化趨近高度一致。圖2表明,固體火箭發(fā)動機燃氣擴散系數(shù)隨壓強變化明顯,這體現(xiàn)在E-C公式的壓強項中。

圖1 固體火箭發(fā)動機燃氣自擴散系數(shù)隨溫度變化(p=10 MPa)Fig.1 Variation of gas self diffusion coefficient of solid rocket motor with temperature(p=10 MPa)

圖2 固體火箭發(fā)動機燃氣自擴散系數(shù)隨壓強變化Fig.2 Variation of gas self diffusion coefficient of solid rocket motor with pressure

與黏性系數(shù)和導熱系數(shù)主要受溫度影響而壓強影響較小相比,擴散系數(shù)既受溫度明顯影響,又受壓強明顯影響。

通過數(shù)據(jù)擬合,可得雙基推進劑燃氣擴散系數(shù)在p=10 MPa下隨溫度的變化函數(shù)為

(27)

式中:Tref=1 500 K,Dref=0.072 1×10-4m2/s。擬合最大相對誤差為0.026%。

考慮溫度和壓強對擴散系數(shù)的影響,將式(1)變形為相對擴散系數(shù)隨溫度和壓強的變化關系,即

(28)

式中:帶下標“ref”的參數(shù)表示參考狀態(tài)下的值?？梢奅-C公式中壓強對擴散系數(shù)的影響指數(shù)為-1;溫度對擴散系數(shù)的影響指數(shù)為1.5,而式(27)給出固體火箭發(fā)動機燃氣擴散系數(shù)的影響指數(shù)為1.646 55。

通過類比數(shù)據(jù)分析,可以得出考慮溫度和壓強綜合因素下的固體火箭發(fā)動機雙基推進劑燃氣擴散系數(shù)為

(29)

式中:Tref=1 500 K,pref=10 MPa,Dref=0.072 1×10-4m2/s。最大相對誤差為1.8%,平均相對誤差為0.7%。

圖1表明復合改性雙基推進劑與復合推進劑的燃氣擴散系數(shù)變化趨近一致。通過數(shù)據(jù)擬合,可得復合改性雙基推進劑與復合推進劑燃氣擴散系數(shù)在p=10 MPa下隨溫度的變化函數(shù)為

(30)

式中:Tref=2 600 K,Dref=0.159×10-4m2/s。擬合最大相對誤差為0.005%。

類似地分析,可以得出考慮溫度和壓強綜合因素下的固體火箭發(fā)動機復合改性雙基推進劑和復合推進劑燃氣擴散系數(shù)為

(31)

式中:Tref=2 600 K,pref=10 MPa,Dref=0.159×10-4m2/s。最大相對誤差為2.6%,平均相對誤差為1.3%。

文獻[1]已給出了固體火箭發(fā)動機燃氣普朗特數(shù)的變化規(guī)律和典型推進劑燃氣的普朗特數(shù),即雙基推進劑燃氣的普朗特數(shù)為0.85,復合改性雙基推進劑燃氣的普朗特數(shù)為0.75,復合推進劑燃氣的普朗特數(shù)為0.89。

固體火箭發(fā)動機燃氣施密特數(shù)的變化如圖3和圖4所示?？梢园l(fā)現(xiàn):施密特數(shù)隨溫度仍然呈現(xiàn)微弱變化,隨壓強變化也很小。雙基推進劑燃氣施密特數(shù)隨溫度的最大變化為2.56%;復合改性雙基推進劑燃氣施密特數(shù)隨溫度的最大變化為3.25%;復合推進劑燃氣施密特數(shù)隨溫度的最大變化為0.02%。因此,施密特數(shù)可以近似處理為常數(shù),按平均處理,可得雙基推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.772,復合改性雙基推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.675,復合推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.74。

圖3 固體火箭發(fā)動機燃氣施密特數(shù)隨溫度變化(p=10 MPa)Fig.3 Variation of Schmidt number of solid rocket motor gas with temperature(p=10 MPa)

圖4 固體火箭發(fā)動機燃氣施密特數(shù)隨壓強變化Fig.4 Variation of Schmidt number of solid rocket motor gas with pressure

固體火箭發(fā)動機燃氣路易斯數(shù)的變化如圖5和圖6所示。可以發(fā)現(xiàn):路易斯數(shù)隨溫度呈現(xiàn)微弱變化,隨壓強變化也很小。雙基推進劑燃氣路易斯數(shù)隨溫度的最大變化為7.18%,復合改性雙基推進劑燃氣路易斯數(shù)隨溫度的最大變化為4.44%,復合推進劑燃氣路易斯數(shù)隨溫度的最大變化為1.89%。因此,路易斯數(shù)可以近似處理為常數(shù),按平均處理,可得雙基推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.91,復合改性雙基推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.9,復合推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.83。

圖5 固體火箭發(fā)動機燃氣路易斯數(shù)隨溫度變化(p=10 MPa)Fig.5 Variation of Lewis number of solid rocket motor gas with temperature(p=10 MPa)

圖6 固體火箭發(fā)動機燃氣路易斯數(shù)隨壓強變化Fig.6 Variation of Lewis number of solid rocket motor gas with pressure

通過對三種典型固體推進劑燃氣的擴散系數(shù)及其相似準則數(shù)的計算與分析,得出其經(jīng)驗公式和典型相似準則數(shù),匯總于表12中。

表12 固體火箭發(fā)動機燃氣的典型擴散系數(shù)經(jīng)驗公式和典型相似準則數(shù)匯總表Table 12 Summary of empirical formula of typical diffusion coefficient and typical similarity criterion number of solid rocket motor gas

6 結論

通過對3種主要不含金屬添加物的固體推進劑(雙基推進劑、改性雙基推進劑和復合推進劑)燃氣的擴散系數(shù)及其相似準則數(shù)的計算與分析,可以得出如下主要結論:

①典型雙基推進劑燃氣的擴散系數(shù)隨溫度變化的冪指數(shù)為1.646 55(適于溫度1 500～2 500 K),典型復合改性雙基推進劑和典型復合推進劑為1.629 52(適于溫度2 600～3 800 K)。而經(jīng)典E-C公式相應冪指數(shù)為1.5。

②在壓強為8～20 MPa范圍內,火箭燃氣的擴散系數(shù)隨壓強變化的冪指數(shù)仍然為-1,與E-C公式相應冪指數(shù)相同。

③火箭燃氣的施密特數(shù)隨溫度和壓強呈現(xiàn)微弱變化,施密特數(shù)可以近似處理為常數(shù),典型雙基推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.772,典型復合改性雙基推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.675,典型復合推進劑燃氣的施密特數(shù)為0.74。

④火箭燃氣的路易斯數(shù)隨溫度和壓強同樣呈現(xiàn)微弱變化,因此路易斯數(shù)也可以近似處理為常數(shù),典型雙基推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.91,典型復合改性雙基推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.9,典型復合推進劑燃氣的路易斯數(shù)為0.83。

上述分析與結論給出了火箭高溫高壓復雜燃氣擴散系數(shù)和相似準則數(shù)的估算方法與取值范圍,由于很難從實驗上進行驗證,故只有在以后不斷的理論實踐中分析其合理性并不斷改進。同時,沒有考慮凝聚相對輸運性質的作用,也有待進一步深入研究。