王常宇，徐可君，秦海勤，馬中原，謝靜，謝鎮(zhèn)波

海軍航空大學(xué) 青島校區(qū)，青島 266041

航空發(fā)動(dòng)機(jī)的熱端部件受載情況頗為極端和復(fù)雜，因此，作為結(jié)構(gòu)完整性研究的基石，描述高溫合金材料力學(xué)行為的本構(gòu)關(guān)系尤為重要。在復(fù)雜載荷下，經(jīng)典彈塑性理論和蠕變理論[1]由于無法預(yù)測(cè)后繼屈服面、強(qiáng)行區(qū)分時(shí)間無關(guān)的塑性和時(shí)間相關(guān)的蠕變以及每步計(jì)算都須判斷屈服面等問題導(dǎo)致誤差較大。于是，一些基于細(xì)觀過程的、唯象的內(nèi)變量黏塑性統(tǒng)一本構(gòu)理論逐漸興起，典型代表如帶屈服面的Chaboche模型[2]、Waller模型[3]和無屈服面的Bodner-Partom模型[4]、Miller模型[5]等。其中，被認(rèn)為是“力學(xué)里程碑式”的Bodner-Partom本構(gòu)理論(B-P模型)直接從位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)出發(fā)，繞開了傳統(tǒng)屈服面概念，認(rèn)為各種力學(xué)行為特性耦合于全形變過程，都由基于微觀機(jī)理而演化的內(nèi)部狀態(tài)變量控制。該模型在表征能力、微觀機(jī)制支持和數(shù)值計(jì)算便利性等方面具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)勢(shì)，故而應(yīng)用廣泛[6-10]。

幾十年來，相關(guān)學(xué)者在B-P理論基礎(chǔ)上進(jìn)行著探索，以追求力學(xué)行為的完美表述以及本構(gòu)方程的簡(jiǎn)約。Khen和Rubin[11]假設(shè)硬化系數(shù)是各向同性和各向異性變量的函數(shù)，改進(jìn)的模型更為滿足復(fù)雜循環(huán)加載下的響應(yīng)特征；周益春和段祝平[12]通過引入損傷變量，修正了Mises準(zhǔn)則帶來的非彈性體應(yīng)變率為零的不合理結(jié)果；Shi等[8]提出了內(nèi)變量具有不同硬化趨勢(shì)的假設(shè)，由此發(fā)展出的新內(nèi)變量演化模型可改善對(duì)單調(diào)拉伸和循環(huán)硬化的模擬精度；Sun等[13]將新的損傷演化方程引入B-P模型，新模型的應(yīng)變率敏感性、損傷演化以及卸載特性表明應(yīng)變軟化等動(dòng)態(tài)行為的建模得到了優(yōu)化。

盡管B-P模型在模擬材料的率相關(guān)非彈性功硬化特性方面精度可觀，且能夠模擬某些循環(huán)蠕變[14-15]，但尚面臨一些問題[6,16-19]沒有解決：① 在描述循環(huán)硬化/軟化等特征時(shí)滯回曲線存在“過方”(Oversquare)和飽和過快現(xiàn)象；②以Mises流動(dòng)法則作為基本假定。這可能限制了對(duì)材料黏塑性的描繪能力，比如循環(huán)應(yīng)力松弛、平均應(yīng)變循環(huán)蠕變(又稱棘輪，Ratcheting)等現(xiàn)象。顯然，發(fā)展能夠解決上述問題、更全面和精確地反映材料的率相關(guān)黏塑性行為而又控制數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)難度的黏塑性本構(gòu)方程，對(duì)于高溫材料壽命與可靠性分析具有重要的應(yīng)用意義。

基于以上，本文的工作是：以B-P統(tǒng)一黏塑性本構(gòu)理論為基本框架，利用率相關(guān)的屈服勢(shì)函數(shù)直接由黏塑性應(yīng)變流動(dòng)的正交法則導(dǎo)出本構(gòu)關(guān)系；在運(yùn)動(dòng)硬化演化方程中引入黏塑性應(yīng)變率修正項(xiàng)并考慮動(dòng)態(tài)恢復(fù)的非線性特征，發(fā)展了新的硬化準(zhǔn)則，從而構(gòu)建了一種廣義的B-P本構(gòu)模型。利用鎳基粉末高溫合金FGH96(航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤材料)在使役條件下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)廣義B-P模型的有效性和適用性進(jìn)行了與原始B-P模型的對(duì)比驗(yàn)證。

1 廣義B-P統(tǒng)一黏塑性本構(gòu)理論

(1)

彈性部分服從廣義Hooke定律：

(2)

1.1 流動(dòng)法則和運(yùn)動(dòng)方程

一般情況下，表達(dá)方向性硬化效應(yīng)的黏塑性形式流動(dòng)法則為

(3)

式中：λijkl為表達(dá)方向性硬化的四階張量乘子；Skl為應(yīng)力偏量。

B-P模型以Mises材料為基本假定，此時(shí)式(3)簡(jiǎn)化為Prandtl-Reuss流動(dòng)理論的各向同性形式[21]：

(4)

將式(4)兩端二次自點(diǎn)積，得

(5)

(6)

(7)

Bodner、Partom等根據(jù)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)理論給出控制塑性應(yīng)變的運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

式中：D0為極限剪切應(yīng)變率；n為材料應(yīng)變率敏感性常數(shù)，與載荷歷史無關(guān)；Z為載荷歷史相關(guān)的內(nèi)部狀態(tài)變量，體現(xiàn)材料抵抗塑性流動(dòng)的硬化狀態(tài)。

聯(lián)立式(6)～式(8)，可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(11)代入式(15)，得

(16)

于是，有

(17)

下面可推廣至包含內(nèi)變量Zi的一般情況。若定義屈服勢(shì)函數(shù)Φ為

(18)

則由正交法則：

(19)

(20)

流動(dòng)法則即得到確定。

1.2 內(nèi)變量演化方程

B-P模型的內(nèi)變量Z由各向同性分量ZI與運(yùn)動(dòng)硬化分量ZD組成：

Z=ZI+ZD

(21)

式中：

ZD(t)=βij(t)uij(t)

(22)

標(biāo)量ZD是硬化張量βij對(duì)表示應(yīng)力方向的基張量uij的變換結(jié)果，所以材料運(yùn)動(dòng)硬化的演化特性由βij表達(dá)。將演化方程由(原B-P模型)：

(23)

改寫成：

(24)

上述修正的原因和意義在于：

1) 統(tǒng)一黏塑性本構(gòu)理論一般認(rèn)為率相關(guān)的力學(xué)行為由某一個(gè)主導(dǎo)的應(yīng)變率因子表達(dá)即可，其他因子影響可忽略，B-P模型的演化方程即是基于硬化速率方向與塑性變形速率相同的假設(shè)[21]。而在微觀尺度上，障礙物處位錯(cuò)的熱激活主導(dǎo)著塑性動(dòng)力學(xué)。由于動(dòng)態(tài)恢復(fù)現(xiàn)象，應(yīng)變硬化在很大程度上取決于進(jìn)程的溫度和應(yīng)變速率。當(dāng)演化方程由多項(xiàng)組成時(shí)，內(nèi)部變量不完全依賴于演化方向[22]，因此拓展不同的硬化/恢復(fù)演變方向有利于揭示屈服和飽和應(yīng)力附近的重要行為，Kocks和Mecking[23-24]的研究也佐證了這一點(diǎn)。

2) 研究[25-26]發(fā)現(xiàn)材料在塑性變形過程中，屈服面會(huì)改變形狀(沿局部法向)。B-P理論是“無屈服面”的，或從另一個(gè)角度可以說它的屈服面是由變量控制而動(dòng)態(tài)變化的。對(duì)于原始B-P模型，演化方程的硬化方向即σ方向、恢復(fù)方向即β方向。這意味著后繼屈服面在應(yīng)力空間的相似放縮和平移是被考慮的而翹曲(帶角度)是被忽略的，這是Mises屈服準(zhǔn)則帶來的限制。同時(shí)，非彈性應(yīng)變隨循環(huán)而不斷累積的行為沒有被考慮，這是現(xiàn)有模型不能很好地描述棘輪現(xiàn)象[27-29]的原因之一。另外，在演化方程中引入塑性變形歷史作為尺度利于描述包辛格效應(yīng)。

比例加載與非比例加載下，各向同性硬化分量的演化方程分別為

(25)

(26)

(27)

2 計(jì)算方法

廣義B-P模型包含18個(gè)材料參數(shù)：E,D0,Z0,Z1,Z2,Z3,Z4,m1,m2,n,A1,A2,r1,r2,r3,r4,r5,f1，非比例加載時(shí)還包括Y1。

一般可取A=A1=A2；r1=r2；Z0=Z2，應(yīng)變速率小于10 s-1。這些參數(shù)可以通過材料的單軸拉伸試驗(yàn)、控制應(yīng)變的對(duì)稱循環(huán)試驗(yàn)、蠕變?cè)囼?yàn)和控制應(yīng)變的非對(duì)稱循環(huán)試驗(yàn)，結(jié)合一定的優(yōu)化算法(如Levenberg-Marquadt方法)得到。

統(tǒng)一黏塑性本構(gòu)方程大多以率形式給出，通常采用徑向回歸法[9,30-31]以恰當(dāng)?shù)姆e分運(yùn)算將率形式轉(zhuǎn)化為增量形式。計(jì)算的核心問題是由微過程的增量應(yīng)變分別求出彈性和非彈性的增量應(yīng)變dεe和dεin，進(jìn)而求出增量應(yīng)力dσ。在下列推導(dǎo)中，如無特殊說明，所有的量均指t+dt時(shí)刻。

將式(2)隱式積分并寫成偏張量形式：

(28)

(29)

在徑向回歸過程中有：

(30)

上標(biāo)tr表示試探值。將式(29)積分后代入式(28)，可得

(31)

兩邊二次自點(diǎn)積，得

(32)

(33)

對(duì)于本文模型，由式(2)、式(19)、式 (20)，有增量方程如下：

圖1 UMAT流程圖

(34)

(35)

dσ=M:(dε-dεp)

(36)

由內(nèi)外狀態(tài)量σ、Z解得dt的增量應(yīng)變dε后，通過式(36)解出dλ、dεp和dσ。內(nèi)變量增量由演化方程給出。

3 數(shù)值分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

表1 FGH96合金主要組分

圖2 拉伸、疲勞及疲勞-蠕變?cè)嚰?/p>

見圖3，當(dāng)變形進(jìn)入塑性應(yīng)變率主導(dǎo)階段時(shí)，應(yīng)變率效應(yīng)逐漸顯著，此時(shí)B-P模型響應(yīng)較為滯后，出現(xiàn)偏離。相較之下，新模型由于對(duì)材料的硬化演化趨勢(shì)的包容度更高，所以曲線后半段的模擬精度更高。圖4中的對(duì)比顯示了新的內(nèi)變量演化方程在循環(huán)累積下的松弛能力，即表達(dá)平均應(yīng)力循環(huán)松弛的能力。圖5和圖6表明模型顯著改善了對(duì)應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線的模擬效果，因?yàn)椤斑^方”和飽和過快現(xiàn)象消失了。對(duì)FGH96合金非彈性變形特征的建模驗(yàn)證了本文模型的優(yōu)化效果。

圖3 改進(jìn)B-P模型對(duì)單調(diào)拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線的模擬

圖4 平均應(yīng)力循環(huán)松弛曲線模擬

圖5 穩(wěn)態(tài)滯回環(huán)模擬(950 MPa)

圖6 穩(wěn)態(tài)滯回環(huán)模擬(850 MPa)

4 結(jié) 論

針對(duì)Bodner-Partom本構(gòu)模型在模擬循環(huán)加載時(shí)精度有限、滯回曲線出現(xiàn)“過方”等缺陷，在其基礎(chǔ)上提出了一種廣義B-P黏塑性本構(gòu)模型：①從塑性流動(dòng)正交法則出發(fā)重塑了流動(dòng)法則，擺脫了Mises法則的局限；②在運(yùn)動(dòng)硬化方程中引入黏塑性應(yīng)變率修正項(xiàng)，拓展了描繪應(yīng)變率效應(yīng)的不同演化方向；③考慮了動(dòng)態(tài)恢復(fù)的非線性特征，豐富了硬化準(zhǔn)則的表達(dá)力。對(duì)FGH96材料高溫非彈性變形特征的模擬以及試驗(yàn)驗(yàn)證表明，新模型相較B-P模型改善了模擬單調(diào)拉伸和循環(huán)硬化時(shí)的精度，初步獲得了描述高溫非對(duì)稱循環(huán)載荷下平均應(yīng)力松弛的能力，且證明了數(shù)值計(jì)算實(shí)踐的可行性。