李信卿，趙清海,2,*，龍凱，張洪信

1. 青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，青島 266071

2. 青島大學(xué) 電動汽車智能化動力集成技術(shù)國家地方聯(lián)合工程研究中心，青島 266071

3. 華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，北京 102206

近年來，具有高效傳熱性能的周期多材料結(jié)構(gòu)在航空航天、汽車工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1]，通過采用不同種導(dǎo)熱材料，尋求最佳的傳熱路徑，在實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計的同時達(dá)到結(jié)構(gòu)的性能最優(yōu)。因此，考慮周期性約束的多材料傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題逐漸成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

自Sigmund等[2-3]首次通過逆均勻化法獲得極具力學(xué)性能的周期性材料微結(jié)構(gòu)以來，周期結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究得到了快速發(fā)展，文獻(xiàn)[4-7]給出了其在不同發(fā)展階段的研究方法和理論。作為兼具裝配簡單、易于模塊化加工等特征的周期性傳熱結(jié)構(gòu)，其設(shè)計優(yōu)化具有重要的研究意義和工程價值。賈嬌等[8]基于固體各向同性材料懲罰法 (Solid Isotropic Material with Penalization,SIMP)的周期性材料插值模型，驗證宏觀導(dǎo)熱性能的周期性材料設(shè)計的有效性。趙清海等[9]探究了周期性約束下結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。Yan等[10]考慮溫度場和流場的周期性，計算了雙周期纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的有效橫向?qū)嵯禂?shù)。

以上文獻(xiàn)基于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)控制方程開展研究，然而在實(shí)踐中導(dǎo)熱問題本質(zhì)上為瞬態(tài)狀態(tài)，熱負(fù)荷大都具有周期性和短時特征，溫度分布隨時間和空間變化的瞬態(tài)效應(yīng)明顯[11]。目前，考慮瞬態(tài)效應(yīng)對熱傳導(dǎo)問題影響的周期傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究日益凸顯。Turteltaub[12]最先擴(kuò)展用于瞬態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的SIMP方法，實(shí)現(xiàn)熱柔順度實(shí)際值與期望值之間的差異最小化。此后，均勻化法、水平集法等相繼被用于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題研究[13-14]。Zhuang和Xiong[15]提出全局熱柔順度指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化過程中峰值熱柔順度最小化。Wu等[16-17]引入?yún)^(qū)域溫度控制函數(shù)搭建瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，提出一種基于瞬態(tài)散熱效率的熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。上述考慮瞬態(tài)效應(yīng)影響的拓?fù)鋬?yōu)化研究極大推動了時變熱負(fù)荷下傳熱結(jié)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計優(yōu)化，為傳熱結(jié)構(gòu)在工程上的應(yīng)用提供了理論支撐。然而受限于材料屬性的影響，單材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化往往難以實(shí)現(xiàn)性能綜合最優(yōu)。在此背景下，增材制造技術(shù)[18]的出現(xiàn)為多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究提供了技術(shù)支撐。Zuo和Saitou[19]通過引入尺度系數(shù)和平移系數(shù)，利用歸一化密度變量插值多種材料的彈性模量求解多材料拓?fù)鋬?yōu)化問題。龍凱等[20]提出了以結(jié)構(gòu)總重最小化為目標(biāo)和給定特征值為約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型，以實(shí)現(xiàn)基于多相材料的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計。Li等[21]針對載荷不確定的功能梯度結(jié)構(gòu)，開展周期性多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

綜上所述，未考慮瞬態(tài)效應(yīng)的周期性傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化存在設(shè)計局限性，且研究多以單材料結(jié)構(gòu)為研究對象。因此，本文針對瞬態(tài)熱傳導(dǎo)目標(biāo)響應(yīng)最大值最小化問題，建立了基于有序有理近似材料屬性法(Ordered Rational Approximation of Material Properties, Ordered-RAMP)的周期性多材料拓?fù)鋬?yōu)化模型。以傳熱結(jié)構(gòu)最高溫度最小化和最高散熱耗能最小化為設(shè)計目標(biāo)，直觀展現(xiàn)了所提方法的工程應(yīng)用價值。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用伴隨向量法進(jìn)行靈敏度推導(dǎo)，借助偏微分方程過濾法處理數(shù)值不穩(wěn)定問題，并選取移動漸近線法對設(shè)計變量進(jìn)行迭代更新。最后通過數(shù)值算例證明所提方法的有效性。

1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題分析

1.1 考慮瞬態(tài)效應(yīng)的多材料傳熱結(jié)構(gòu)

考慮瞬態(tài)效應(yīng)的傳熱結(jié)構(gòu)如圖1表示。由熱源P(t)、空洞、恒溫邊界Г1、絕熱邊界Г2以及導(dǎo)熱材料Mat-1、Mat-2和 Mat-3組成。

圖1 三材料瞬態(tài)傳熱結(jié)構(gòu)

設(shè)計域內(nèi)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的表達(dá)式為

(1)

(2)

(3)

1.2 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析

基于有限元法，二維溫度場的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題控制方程可轉(zhuǎn)化為

(4)

(5)

式中：Δt=tz+1-tz，tz為第z個時刻；Tz和Tz+1分別為第z時刻和第z+1時刻的溫度向量，O(Δt)為插值余項。

針對溫度場和載荷向量，利用θ-時間差分法[22]求解

Tz+θ=θTz+1+(1-θ)Tz

(6)

Qz+θ=θQz+1+(1-θ)Qz

(7)

式中：θ為算法參數(shù)，當(dāng)θ=0時，為向前差分法；當(dāng)θ=1，為向后差分法；Qz為第z時刻熱負(fù)荷向量。

將式(5)～式(7)代入式(4)，得到溫度離散迭代格式：

(C+θΔtK)Tz+1=[C-(1-θ)ΔtK]Tz+

Δt[θQz+1+(1-θ)Qz]

(8)

2 周期性多材料結(jié)構(gòu)建模方法

2.1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于變密度理論，考慮瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題中瞬態(tài)響應(yīng)最大值最小化設(shè)計數(shù)學(xué)模型表示為

(9)

式中：xi為單元相對密度，代表設(shè)計變量；Ne為設(shè)計區(qū)域單元總數(shù)；vi為單元體積；ζ和V0分別為設(shè)計域的體積比和初始體積；xmax和xmin分別為單元密度的上下限；f(T(t),x)為目標(biāo)函數(shù)。

針對f(T(t),x)展開研究，考慮如下兩種設(shè)計目標(biāo)。

目標(biāo)I節(jié)點(diǎn)溫度

f(T(t),x)=Ttarget=LTT(t)

(10)

式中：L為列向量，在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)處值為1(有可能不止一個目標(biāo)點(diǎn))，其他為0;Ttarget為目標(biāo)溫度向量。

目標(biāo)II散熱耗能

(11)

2.2 Ordered-RAMP多材料插值模型

RAMP法的數(shù)學(xué)模型描述如下

(12)

式中：ψ為插值后的熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱容系數(shù)；ψ0為初始熱傳導(dǎo)和熱容系數(shù)；β為懲罰因子。

針對多材料傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，將各導(dǎo)熱材料的密度值、熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱容系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，變換材料屬性的絕對值為無量綱的相對值關(guān)系，數(shù)學(xué)模描述為

(13)

引入比例系數(shù)Aψ和平移系數(shù)Bψ，構(gòu)建基于Ordered-RAMP法的多材料插值模型為

(14)

(15)

圖2 基于Ordered-RAMP的多材料插值模型

定義單元多材料熱傳導(dǎo)矩陣和熱容矩陣為

ki=[λmin+ψλ(λmax-λmin)]k0

(16)

ci=[γmin+ψγ(γmax-γmin)]c0

(17)

式中：k0和c0分別為單元熱傳導(dǎo)矩陣和單元熱容矩陣；ψλ和ψγ分別為插值后的熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱容系數(shù)；ki和ci分別為單元多材料熱傳導(dǎo)矩陣和熱容矩陣；λmin和γmin分別為基板熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱容系數(shù)的最小值。

2.3 靈敏度推導(dǎo)

在瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化研究中可能存在設(shè)計變量的最大瞬態(tài)響應(yīng)不可微的情況[23]。因此，通過引入聚合函數(shù)，將原始分析方程在時域離散，之后根據(jù)聚合函數(shù)的離散形式進(jìn)行靈敏度分析。借助聚合函數(shù)φ代替原目標(biāo)函數(shù)，定義為

(18)

式中：tf為時間分段數(shù)；a為常量；當(dāng)a→+∞時φ→max{f(T(t),x)}；f為f(T(t),x)的簡寫。

引入伴隨向量?，構(gòu)建新的目標(biāo)函數(shù)

(19)

對于任一設(shè)計變量xi的靈敏度計算得到

(20)

式中：

(21)

(22)

考慮?|tf=0，則式(22)可簡化為

(23)

將式(23)代入式(20)中，得到

(24)

式中：Λ為溫度靈敏度項。

不考慮載荷設(shè)計相關(guān)性影響，為消除溫度靈敏度項Λ，可得

(25)

相應(yīng)地，目標(biāo)函數(shù)靈敏度方程為

(26)

伴隨向量?計算公式為

(27)

根據(jù)式(16)和式(17)，整體熱傳導(dǎo)和熱容剛度矩陣相對于xi的導(dǎo)數(shù)為

(28)

(29)

針對兩種設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)信息如式(30)和式(31)所示。

目標(biāo)I節(jié)點(diǎn)溫度

(30)

目標(biāo)II散熱耗能

(31)

2.4 靈敏度過濾和設(shè)計變量更新

針對優(yōu)化結(jié)果中難以避免的棋盤格、網(wǎng)格依賴性、局部極值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象[24]，借助基于Helmholtz方程的偏微分過濾方法[25]處理數(shù)值不穩(wěn)定問題，其過濾方程組為

(32)

(33)

(34)

目前常用的優(yōu)化求解算法包括數(shù)學(xué)規(guī)劃法和優(yōu)化準(zhǔn)則法。移動漸近線法[26](Method of Moving Asymptotes，MMA)在迭代過程中，可用梯度類算法求解優(yōu)化問題以獲取新的設(shè)計變量，對具有復(fù)雜目標(biāo)和多約束拓?fù)鋬?yōu)化問題，具有更好的適用性，故選取MMA進(jìn)行瞬態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計求解。

2.5 周期性設(shè)置

為了獲得考慮瞬態(tài)響應(yīng)的周期性多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化形式，使得時間歷程下不同子區(qū)域在相同位置處的單元具有相同的材料屬性。將設(shè)計區(qū)域劃分為Mx×My個相同的子區(qū)域，其中Mx和My分別代表x與y軸方向的子區(qū)域數(shù)?？偟臅r間歷程tf，熱負(fù)荷作用時間為t1,t2,…,tz,…,tf。周期性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型可以描述為

(35)

時間歷程下通過重新分配過濾后的單元目標(biāo)函數(shù)基值，使子區(qū)域上任意單元基值為全部子區(qū)域?qū)?yīng)單元的平均值，即

圖3 周期性多材料結(jié)構(gòu)示意圖

(36)

2.6 算法求解步驟

考慮瞬態(tài)效應(yīng)的影響，基于Ordered-RAMP多材料插值模型，進(jìn)行傳熱結(jié)構(gòu)周期性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計研究，具體流程如下。

步驟1定義傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計域、材料屬性、邊界條件與熱負(fù)荷工作時間以及周期約束等參數(shù)。

步驟2初始化材料設(shè)計變量、溫度邊界和熱負(fù)荷。通過有限元法離散設(shè)計域，獲得單元熱傳導(dǎo)矩陣和熱容矩陣。

步驟3計算整體熱傳導(dǎo)矩陣和熱容矩陣。初始化時間變量，并通過向后差分法計算溫度場和載荷向量。

步驟4得到瞬態(tài)熱響應(yīng)。疊加目標(biāo)函數(shù)，并計算相對于設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)。

步驟5采用偏微分方程過濾方法進(jìn)行靈敏度過濾。并進(jìn)行周期性約束設(shè)置。

步驟6借助移動漸近線法對多材料設(shè)計變量進(jìn)行迭代更新，判斷優(yōu)化結(jié)果是否收斂，若是，則輸出最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型；若不是，則返回步驟3，重復(fù)上述步驟，直至輸出最優(yōu)結(jié)果。

3 數(shù)值算例

針對瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，考慮周期性結(jié)構(gòu)的子區(qū)域個數(shù)和熱負(fù)荷工作時間，給出二維和三維3個數(shù)值算例。定義傳熱背景區(qū)域的導(dǎo)熱系數(shù)λmin=1 W/(m·K)，熱容為γmin=105J/(K·m3)。在區(qū)域的中心點(diǎn)施加熱源并布置導(dǎo)熱材料，最高導(dǎo)熱和熱容材料的導(dǎo)熱系數(shù)為100 W/(m·K)，熱容為106J/(K·m3)。體積分?jǐn)?shù)ζ=0.2，懲罰因子βλ=9、βγ=6。整個時間歷程tf，步長Δt=tf/100，參數(shù)θ定義為1。

3.1 二維算例1

選取幾何尺寸為0.6 mm×0.6 mm×0.01 mm的方形結(jié)構(gòu)，將其離散為180×180個方形單元。設(shè)計域如圖4所示，在中心點(diǎn)施加強(qiáng)度為P(t)=0.01 W的熱源，四角點(diǎn)溫度恒為0 ℃，其余邊界絕熱，總時間歷程tf=0.01 s，過濾半徑rmin=1.2。選取3種材料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，材料參數(shù)歸一化值如表1所示。

針對不同的設(shè)計目標(biāo)(目標(biāo)I——節(jié)點(diǎn)溫度；目標(biāo)II——散熱耗能)進(jìn)行優(yōu)化，周期設(shè)置Mx×My分別為1×1、3×3與6×6?？紤]熱負(fù)荷作用時間t=0.000 4，0.001 0，0.004 0，0.008 0，0.010 0 s，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型、目標(biāo)I最高溫度Tmax和目標(biāo)II最高散熱耗能Pmax如表2所示。圖5為熱負(fù)荷工作0.001 0 s時，目標(biāo)I、II在周期設(shè)置下目標(biāo)函數(shù)隨迭代步數(shù)變化曲線。

圖4 2D結(jié)構(gòu)設(shè)計域

表1 3種材料參數(shù)設(shè)置

由表2可知，所提方法可實(shí)現(xiàn)基于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的周期性傳熱結(jié)構(gòu)多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。不同熱負(fù)荷作用時間下所得的拓?fù)錁?gòu)型有較大差異。當(dāng)周期為奇數(shù)設(shè)置時，如1×1、3×3，隨著作用時間的增加，結(jié)構(gòu)會呈現(xiàn)×形變化趨勢，即從加熱中心點(diǎn)向0 ℃溫度點(diǎn)延伸的變化，體現(xiàn)出尋求最短散熱路徑的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)加熱點(diǎn)為最高溫度點(diǎn)。當(dāng)周期為偶數(shù)設(shè)置時，如6×6，結(jié)構(gòu)子區(qū)域則呈現(xiàn)框形。從材料布局角度看，傳熱結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)由中心位置處導(dǎo)熱和熱容系數(shù)較大材料向四周較小導(dǎo)熱和熱容系數(shù)的材料延伸的分布，這說明所提方法具有處理多材料布局優(yōu)化的能力。

同時，隨著熱負(fù)荷作用時間和子區(qū)域劃分個 數(shù)的增加，目標(biāo)I的最高溫度和目標(biāo)II的最高散熱耗能都呈現(xiàn)一種逐漸升高的趨勢，這同實(shí)際物理現(xiàn)象相符。子區(qū)域數(shù)目增多，其優(yōu)化自由度會相應(yīng)地減少，結(jié)構(gòu)散熱性能降低，節(jié)點(diǎn)溫度、散熱耗能升高。

周期設(shè)置為3×3、加熱時間為0.01 s條件下，周期性傳熱結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)和子區(qū)域隨迭代步數(shù)的變化如圖5所示。迭代過程中，目標(biāo)函數(shù)能快速收斂到最優(yōu)解且收斂過程中無較明顯波動，證明該算法具有較好的穩(wěn)定性。

3.2 二維算例2

研究了多熱源工況對周期性傳熱結(jié)構(gòu)的宏觀構(gòu)型、子區(qū)域構(gòu)型以及目標(biāo)性能的影響。定義幾何尺寸為10 mm×10 mm×10 mm的四熱源傳熱結(jié)構(gòu)，將其離散為160×160個方形單元，設(shè)計域如圖6所示。其中紅色區(qū)域為施加熱源，黑色區(qū)域為熱骨架(即非設(shè)計域)，該區(qū)域在優(yōu)化結(jié)果中顯示為白色，單元厚度h=10 mm，邊界絕熱，總時間歷程tf=104s，過濾半徑rmin=1.2，材料參數(shù)設(shè)置同二維算例1(3.1節(jié))。

圖7為熱源發(fā)熱功率隨時間變化曲線，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(37)

表2 不同熱負(fù)荷作用時間下的周期性拓?fù)錁?gòu)型、最高溫度和散熱耗能值

圖5 目標(biāo)函數(shù)隨迭代步數(shù)變化曲線

圖6 宏觀設(shè)計域

圖7 熱源發(fā)熱功率

針對設(shè)計目標(biāo)I和目標(biāo)II進(jìn)行優(yōu)化，周期設(shè)置Mx×My分別為1×1、5×5與8×8?？紤]兩個熱負(fù)荷作用時間400、5 000 s，周期設(shè)置為Mx×My=1×1，即非周期設(shè)置時，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型如圖8、圖9所示。可見不同設(shè)計目標(biāo)下優(yōu)化構(gòu)型具有較大差異，材料分布呈現(xiàn)從熱骨架所在方形區(qū)域向邊界擴(kuò)展的趨勢。

圖8 目標(biāo)I非周期優(yōu)化構(gòu)型

圖9 目標(biāo)II非周期優(yōu)化構(gòu)型

周期設(shè)置Mx×My為5×5、8×8時結(jié)構(gòu)宏觀拓?fù)錁?gòu)型和子區(qū)域構(gòu)型如表3所示。圖10為熱負(fù)荷作用5 000 s時，目標(biāo)I、II在周期設(shè)置下目標(biāo)函數(shù)隨迭代步數(shù)變化曲線。

表3 不同熱負(fù)荷作用時間下周期性結(jié)構(gòu)宏觀拓?fù)錁?gòu)型和子區(qū)域構(gòu)型

圖10 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代步數(shù)變化曲線

由表3可知，不同設(shè)計邊界、多熱源工況下仍可獲得材料分布合理、邊界清晰的周期性宏觀拓?fù)錁?gòu)型及其子區(qū)域構(gòu)型，進(jìn)一步證明了該方法的有效性。周期性約束會對拓?fù)錁?gòu)型產(chǎn)生較大影響，結(jié)合圖10可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化目標(biāo)總體上隨子區(qū)域數(shù)目增加而變差。同時從迭代曲線可以看出其收斂過程較為平穩(wěn)，進(jìn)一步證明該算法的穩(wěn)定性。

3.3 三維算例

考慮三維數(shù)值算例，選取幾何尺寸為60 mm×60 mm×12 mm的設(shè)計區(qū)域開展研究，并將其離散為60×60×12個八節(jié)點(diǎn)正方體單元。設(shè)計域如圖11所示，在設(shè)計域中心點(diǎn)施加強(qiáng)度為P(t)=1 W的恒定熱源，8個頂點(diǎn)處溫度恒為0 ℃，其余邊界絕熱，總時間歷程tf=1 000 s，過濾半徑rmin=1.8。材料Mat-1、Mat-2和 Mat-3顏色分別設(shè)置為綠、紅、藍(lán)。

圖11 3D結(jié)構(gòu)設(shè)計域

針對三維結(jié)構(gòu)圍繞目標(biāo)I和目標(biāo)II進(jìn)行設(shè)計優(yōu)化研究。周期設(shè)置Mx×My×Mz分別設(shè)置為1×1×1、2×2×1、3×3×1，熱負(fù)荷作用時間取800 s進(jìn)行分析。拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型、節(jié)點(diǎn)最高溫度和最高散熱耗能如表4所示。

由表4可知，所提方法可實(shí)現(xiàn)基于三維的周期性結(jié)構(gòu)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，且拓?fù)錁?gòu)型能與二維對應(yīng)，證明該設(shè)計的可行性。當(dāng)周期設(shè)置為1×1×1時，目標(biāo)I拓?fù)錁?gòu)型呈現(xiàn)從加熱點(diǎn)到8個頂點(diǎn)擴(kuò)散的立體×形，這在周期設(shè)置3×3×1子區(qū)域中效果明顯，而目標(biāo)II拓?fù)錁?gòu)型則呈現(xiàn)向頂點(diǎn)連接處擴(kuò)散的花形，這同結(jié)構(gòu)的設(shè)計目標(biāo)和熱負(fù)荷作用時間相關(guān)。對于周期結(jié)構(gòu)，隨著子區(qū)域數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的散熱性能變?nèi)?，兩種設(shè)計目標(biāo)函數(shù)值呈增加趨勢，這體現(xiàn)尺寸效應(yīng)對優(yōu)化性能的影響，與二維算例相同。

表4 不同目標(biāo)下周期性拓?fù)錁?gòu)型、最高溫度和散熱耗能值

圖12 最高溫度和最高散熱耗能隨迭代步數(shù)變化曲線

周期設(shè)置3×3×1下目標(biāo)I、II的子區(qū)域構(gòu)型、最高溫度值和最高散熱耗能值隨迭代步數(shù)變化曲線如圖12所示。不難看出目標(biāo)函數(shù)能快速達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，且迭代過程中未出現(xiàn)波動現(xiàn)象。優(yōu)化結(jié)果中材料Mat-1占比最大，材料Mat-2、Mat-3，即具有較高導(dǎo)熱和熱容系數(shù)材料，多集中在中間點(diǎn)和頂點(diǎn)位置，且材料分布呈向四周擴(kuò)展的趨勢，這主要受宏觀結(jié)構(gòu)體積約束的限制。結(jié)合表4可以發(fā)現(xiàn)目標(biāo)I的最高溫度迭代曲線低于目標(biāo)II，目標(biāo)II的最高散熱耗能迭代曲線低于目標(biāo)I，這是由不同設(shè)計目標(biāo)造成的。

4 結(jié) 論

1) 建立了考慮瞬態(tài)效應(yīng)的周期性多材料傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，對比分析了不同設(shè)計目標(biāo)下的優(yōu)化構(gòu)型，通過二維與三維數(shù)值算例驗證該方法的有效性。

2) 基于Ordered-RAMP插值模型的多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化參數(shù)設(shè)置簡便，原理易于理解，可充分發(fā)揮各材料的性能優(yōu)勢。

3) 所獲的周期性多材料傳熱結(jié)構(gòu)，材料分配合理、布局清晰，周期性明顯，具有較好的工程應(yīng)用前景。

4) 優(yōu)化結(jié)果表明，不同設(shè)計目標(biāo)和熱負(fù)荷作用時間下均可得到周期性拓?fù)錁?gòu)型，且宏觀構(gòu)型、子區(qū)域構(gòu)型存在差異性；周期性約束會對拓?fù)錁?gòu)型產(chǎn)生影響，子區(qū)域數(shù)目越多優(yōu)化目標(biāo)越差。