劉博，李詩堯，陳嘉禹，程啟豪，時曉天,*

1.中國航天空氣動力技術(shù)研究院，北京 100074

2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動力學(xué)國家重點實驗室，北京 100190

3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

4.天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072

5.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300350

6.天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350

隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展，計算流體力學(xué)(CFD)逐漸成為研究各類復(fù)雜氣體流動問題的主要手段，而計算機科技的進步為數(shù)值模擬提供了更廣闊的前景。針對有強非線性效應(yīng)的物理問題(諸如激波問題)，使用擁有良好頻譜性的線性格式計算會出現(xiàn)非物理振蕩，嚴(yán)重時甚至?xí)褂嬎惆l(fā)散，即使加密網(wǎng)格也不會減弱振蕩[1]，為解決此類問題需要發(fā)展非線性格式。TVD(Total Variation Diminishing)格式[2]具有良好的分辨率和穩(wěn)定性,但是精度較低。DG(Discontinous Galerkin)[3]、FR(Flux Reconstruction)[4]等有限元方法雖然可以適應(yīng)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，但在捕捉間斷方面仍有待完善。Harten[5]和Shu[6]等把TVD格式要求降低為滿足總變差有界TVB(Total Variation Bounded)的條件，提出了ENO(Essentially Non-Oscillatory scheme)格式。在此基礎(chǔ)上，Liu等[7]首次提出WENO(Weighted Essentially Non-Oscillatory scheme)思想，Jiang和Shu[8]隨后提出光滑因子和加權(quán)系數(shù)具體的表達(dá)式，并提出了三階和五階的WENO格式，此格式適合處理含有間斷的問題，被廣泛使用[9-14]。然而WENO-JS格式在極值點處的精度會降低，Henrick等[15]分析了其原因并通過引入映射函數(shù)重構(gòu)加權(quán)系數(shù)，提出了WENO-M格式，Borges[16]和Castro[17]等對光滑因子進行改進，形成WENO-Z格式，克服了極值點降階的缺陷。隨后有研究者提出一系列針對WENO-Z的改進方案[18-20]，但仍然改進不了耗散較大的缺陷。Wu等[21]通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)指出WENO-Z格式在高階極值點處會降階。為了減少耗散，F(xiàn)an[22]提出WENO-η格式，Ha等[23]提出WENO-NS格式。另有研究人員基于Henrick的思想，構(gòu)造新的映射函數(shù)，例如Feng等[24]將WENO-M格式推廣到更高階情形，提出WENO-IM格式，隨后Feng等[25]又提出在端點處應(yīng)接近ENO性質(zhì)，改進得到WENO-PM格式。Li[26]和劉朋欣[27]等則認(rèn)為在端點處應(yīng)逼近恒等映射，提出WENO-PPM格式。Wang等[28]通過大量實驗發(fā)現(xiàn)映射函數(shù)在右端點處的導(dǎo)數(shù)影響微小，從而改進出振蕩更小的WENO-RM格式。Vevek等[29]提出基于變化因子λ的WENO-AIM格式。

基于映射函數(shù)思想重構(gòu)加權(quán)因子，大多數(shù)已有的映射函數(shù)都是多項式型函數(shù)，為了提高函數(shù)在端點處的收斂速度與理想權(quán)重值處穩(wěn)定性，以指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)構(gòu)造分段映射函數(shù)WENO-Pe(Piecewise exponential mapping function)，使其匹配常用WENO格式，并以五階為例通過若干經(jīng)典算例驗證，與其他格式對比來驗證新格式的性能。

1 問題描述與數(shù)值離散

1.1 標(biāo)量方程

一維對流方程是最簡單的雙曲線偏微分方程，該方程可分為線性與非線性兩類：

(1)

(2)

1.2 矢量方程

無黏性流體動力學(xué)中最重要的基本方程，即Euler方程組，是指對無黏性流體微團應(yīng)用牛頓第二定律得到的運動微分方程。以一維守恒的情形為例:

(3)

式中：

(4)

其中：ρ、u和p分別代表流體密度、速度與壓強；E為單位體積流體的總能量，其表達(dá)式為

(5)

式中：γ為氣體常數(shù)。

1.3 數(shù)值離散

在對Euler方程組離散時，采取Steger-Warming流通矢量分裂法，通量F分解為正負(fù)兩部分分別參與運算：

F=F++F-

(6)

(7)

再對時間導(dǎo)數(shù)項進行離散，為了與空間項精度匹配，所用的五階格式均采用三階精度的Runge-Kutta格式[30]：

(8)

2 通量重構(gòu)

2.1 WENO格式思想

(9)

該函數(shù)是通過每個子模板上使用Lagrange插值多項式得到代數(shù)多項式，正負(fù)通量模板如圖1(a)和圖1(b)所示。

圖1 WENO5總模板與子模板

(10)

(11)

并要求非線性權(quán)在光滑區(qū)域充分接近理想權(quán)重，在間斷附近退化為ENO格式，以保證減小振蕩，因此構(gòu)造合適的非線性權(quán)成為關(guān)鍵問題。

2.2 各類非線性權(quán)

2.2.1 WENO-JS格式

(12)

并提出一種非線性權(quán)構(gòu)造方案：

(13)

式中:p為≥2的正整數(shù);ε為防止分母為0的充分小正數(shù)，通常取10-6。

2.2.2 WENO-M格式

(14)

再將新得到的函數(shù)值重構(gòu)為權(quán)重系數(shù)：

(15)

注意到該映射函數(shù)在(0,1)區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，同時還應(yīng)當(dāng)滿足如下性質(zhì)：

(16)

通過將ωM,k表達(dá)式在Ck點做Taylor展開可以證明：

ωM,k=Ck+O(Δx3)

(17)

2.2.3 WENO-PPM格式

Li等[26]認(rèn)為映射函數(shù)應(yīng)經(jīng)過映射以后的非線性權(quán)在定義域邊界處應(yīng)盡快地收斂到0或者1，于是提出分段多項式函數(shù)作為映射函數(shù)：

(18)

其重構(gòu)加權(quán)因子為

(19)

2.2.4 WENO-PM格式

Feng等[25]注意到，Henrick等提出的映射函數(shù)(14)在端點處導(dǎo)數(shù)值偏大:

(20)

這樣會使靠近端點處的權(quán)重被放大，出現(xiàn)較大誤差，為了修正此問題，F(xiàn)eng等在式(16)基礎(chǔ)上對映射函數(shù)補充了新要求，即端點處函數(shù)的趨近速度：

g′(0)=g′(1)=0

(21)

并設(shè)計出新的映射函數(shù)：

gPM(ω)=

(22)

使用五階WENO格式時推薦參數(shù)n=4，重構(gòu)權(quán)重系數(shù)為

(23)

2.2.5 WENO-RM格式

Wang等[28]認(rèn)為分段函數(shù)的全局光滑性不足，應(yīng)使用全局高階連續(xù)函數(shù)克服來自不光滑模板的影響，故提出新的映射函數(shù)：

(24)

(25)

函數(shù)(24)仍然具備如下性質(zhì)：

(26)

2.2.6 WENO-Pe格式

總結(jié)以上的研究，一個好的映射函數(shù)應(yīng)具有如下特點：

1) 在(0,1)區(qū)間內(nèi)具有良好的光滑性。

2) 在各階極值點處精度不下降。

3) 有較強的克服不光滑模板的能力。

4) 在g(0)處平緩收斂到0。

5) 在g(1)處接近恒等映射。

多項式函數(shù)在固定區(qū)間的增長速率依賴次數(shù)與系數(shù)，故考慮使用其他類型函數(shù)替代，而指數(shù)函數(shù)具有無窮次可導(dǎo)且增長率較大的良好性質(zhì)，可考慮使用其構(gòu)造映射函數(shù)，使該函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(27)

2.3 構(gòu)造WENO-Pe格式的非線性權(quán)

以Ck為分界點，將[0,1]區(qū)間分為[0,Ck)和[Ck,1]，在左半端內(nèi)設(shè)

(28)

(29)

在右半段內(nèi)設(shè)

(30)

αR,mR+1tRn+mR+1)+Ck

(31)

式中：AL和AR為正實數(shù)；mL、mR、n是正整數(shù)(n≥m≥2)；αL,i和αR,i是由AL、AR、mL、mR和n確定的系數(shù)，對于五階WENO而言，取n=5，mL=mR=2(一般情況下取mL=mR，以下簡稱m)，并且AL=AR即可。易證

(32)

為使在左端點處表現(xiàn)為ENO性質(zhì)，需滿足

(33)

則αL,i應(yīng)滿足：

(34)

同樣，為使右端點滿足WENO性質(zhì)，需滿足：

(35)

αR,i應(yīng)滿足

(36)

式中：

(37)

因此整體有

(38)

(39)

圖2是AL=AR=15時，五階WENO-Pe格式關(guān)于3個理想權(quán)重的映射函數(shù)圖像。

圖2 WENO5-Pe的映射函數(shù)

圖3是映射函數(shù)gPe同其他映射函數(shù)(按其文獻中推薦的最佳參數(shù))圖像對比，其中各函數(shù)的具體參數(shù)如下：

(40)

圖3 WENO5格式中第2個模板的Pe格式的映射函數(shù)與M、IM、PPM、RM和PM函數(shù)的對比

如果應(yīng)用于(2r-1)階WENO格式，可取n=r+2,m=r-1，相應(yīng)的系數(shù)為

P(n+m;n,i,m-i)

(41)

式中：i=0,1,…,m；αR,0和αR,mR+1表達(dá)式同式(36)；P(n;q1,q2,…,qk)為多重全排列：

(42)

3 格式性能分析

3.1 截斷誤差

(43)

將光滑函數(shù)IS在xj處做Taylor展開

(44)

Henrick等[16]指出在f的一階極值點x0處，即x→x0時有

f′(x)～O(Δx)

(45)

(46)

根據(jù)映射函數(shù)重構(gòu)的權(quán)重系數(shù)，在ω=Ck處進行Taylor展開有

(47)

即有

(48)

只要n取不小于2的正整數(shù), 該格式就能在極值點處達(dá)到空間上的五階精度。

3.2 頻譜性

WENO是非線性格式，其頻譜性分析與線性格式Fourier頻譜分析類似，可以使用Pirozzol提出的近似法色散關(guān)系(ADR)。令fj=eikxj，其中i為虛數(shù)單位，則

fj+n=eikxj+n=fjeikxn

(49)

由此可以推出修正波數(shù)：

K=Re(k)+iIm(k)

(50)

具體可參照文獻[32-33]。其中,實部Re(k)代表色散誤差，虛部Im(k)代表耗散誤差。圖4是格式WENO-Pe與其他格式的頻譜性對比，系數(shù)同式(34)和式(35)，其中WENO-AIM系數(shù)選擇k=4，m=2，C=104。

從圖4可見，WENO-Pe格式的色散誤差與數(shù)值耗散性均小于其他格式。

4 數(shù)值實驗

無特殊說明，本文的算例均采用無量綱形式的方程。

4.1 精度驗證

4.1.1 定常問題

下面驗證WENO5-Pe格式捕捉高階極值點的性能，仿照文獻[34]，構(gòu)造如下函數(shù)族：

u0(x)=ea(x+1)xn+1

(51)

式中：a= 0.5；n為非負(fù)整數(shù)，當(dāng)n=0時，該函數(shù)在[-1,1]上無極值點；當(dāng)n= 1時，在此區(qū)間上只有唯一的一階極值點0；當(dāng)n> 1時，僅有唯一的一階、二階極值點0。設(shè)N為網(wǎng)格數(shù)，分別使用WENO5-Pe、WENO5-PPM、WENO5-RM和WENO5-IM格式，具體格式參數(shù)同式(40)，在不同網(wǎng)格下計算其一階導(dǎo)數(shù)，選取n= 0、1、2時的函數(shù)，統(tǒng)計數(shù)值解在x= 0處與真實值的誤差并計算誤差階，結(jié)果如表1所示，關(guān)于WENO5-Z在極值點處降階可參考文獻[21]。由表1可見，WENO5-PPM格式在無極值點或僅有一階極值點情況下能達(dá)到五階，但有二階極值點時，明顯下降到三階左右；WENO5-RM和WENO5-IM在一階極值點處就會降階到三階，有二階極值點時甚至降到更低的二階；而WENO5-Pe格式無論有無二階極值點均能保持在五階左右精度，且在相同網(wǎng)格下，WENO5-Pe格式的誤差更小，這表明提出的格式具備更高的精度。

表1 4種數(shù)值格式計算結(jié)果對比(定常問題)

4.1.2 非定常問題

本節(jié)驗證一維線性對流方程，該算例選自文獻[15]：

(52)

此問題存在精確解：

(53)

顯然，這是一個周期為2的函數(shù)，且存在2個一階極值點和一個二階極值點，無三階極值點。選取時間步長為Δt=h5/3(匹配精度)。分別使用WENO5-Pe、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Z格式計算到時間t=2.2和t=3(均無量綱，下文同)，統(tǒng)計L2誤差及精度階，如表2所示。

(54)

由表2可以看出，WENO5-Pe、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Z格式均能達(dá)到預(yù)期精度，但WENO5-Pe的精度要優(yōu)于其他4種格式。

4.2 耗散驗證

為了驗證WENO5-Pe格式長時間計算的穩(wěn)定性，選取如下一維對流方程：

(55)

式中:取C=10 000，a=-0.5;分別使用WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式計算到時間t=100，計算域為[-1,1]，選取網(wǎng)格N=100、N=200、CFL=0.5，得到計算結(jié)果如圖5所示。

由圖5可見，使用同階格式時，WENO5-PPM與WENO5-RM效果相似，其耗散均小于WENO5-IM，WENO5-IM在網(wǎng)格加密后會出現(xiàn)較大非物理振蕩，而WENO5-Pe更接近于真實值，比其他4個格式的耗散更小，能夠更精確地捕捉高階極值點。

表2 5種數(shù)值格式計算的結(jié)果對比(非定常問題)

圖5 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式長時間計算的穩(wěn)定性

4.3 Sod激波管

該算例的初始條件為[35]

(56)

圖6 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式模擬Sod激波管

設(shè)置兩邊界為流邊界，網(wǎng)格數(shù)J=200，計算時間為t=0.18，CFL=0.4, 并將WENO5-JS在2 000個網(wǎng)格下的計算結(jié)果作為準(zhǔn)精確解，分別使用WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM、WENO5-RM和WENO5-Pe格式，得到密度曲線如圖6所示。由文獻[16,24,26,28]的數(shù)值實驗可知，WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM和WENO5-RM均比WENO5-Z計算效果好，而從圖6可見，WENO5-Pe的捕捉間斷能力相較于以上格式有明顯提升。

4.4 Lax激波管

此算例[36]描述的流場中同時包含有激波、接觸間斷、膨脹波和平滑區(qū)域，其初始條件為

(ρ,u,p)=

(57)

網(wǎng)格數(shù)J=200、CFL=0.2，計算終止到t=0.16，并將WENO5-JS在2 000個網(wǎng)格下的計算結(jié)果作為準(zhǔn)精確解，分別使用WENO-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM、 WENO5-RM和WENO5-Pe格式，得到密度曲線如圖7所示。由圖7(a)～圖7(c)可見，WENO5-Pe更接近于真實解，產(chǎn)生的非物理振蕩更小，在間斷處的識別更加敏感，魯棒性更強。

圖7 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式模擬Lax激波管

4.5 Osher-Shu問題

該問題[37]描述一道馬赫數(shù)3 的右行激波與熵波的相互作用，熵波在激波作用下被壓縮，并向下游傳播方向生成一系列聲波。此算例可以檢驗數(shù)值格式的間斷識別能力、穩(wěn)定性和分辨率，其初始條件為

(58)

選取網(wǎng)格點J= 240、CFL = 0.4，計算終止時間為t= 1.8，分別使用WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM、WENO5-RM和WENO5-Pe格式計算該問題, 選取WENO5-JS格式在2 000個網(wǎng)格下計算結(jié)果為準(zhǔn)精確解，得到密度曲線如圖8所示，統(tǒng)計計算所用時間如表3所示。

由圖8可見，在同樣網(wǎng)格下WENO5-Pe格式具備更好的分辨率，而且比其他4個格式計算出的函數(shù)極值點偏移量明顯的小，而WENO5-Z的分辨率要略差于其他4種基于函數(shù)映射的WENO格式，說明WENO5-Pe的色散誤差更小。

圖8 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式模擬Shu-Osher問題

表3 指定網(wǎng)格下各格式計算耗時

另一方面，使用網(wǎng)格N= 360的WENO5-Z格式，與N= 240的WENO5-Pe格式計算結(jié)果對比，可見在CPU耗時接近的情況下，240網(wǎng)格數(shù)的WENO5-Pe計算效果依舊優(yōu)于360網(wǎng)格數(shù)的WENO5-Z計算效果。

從以上一維的算例中不難看出，WENO5-IM與WENO5-PPM在精度與分辨率的表現(xiàn)上都優(yōu)于WENO5--RM和WENO5-Z，而WENO5-Pe對極值點捕捉位置、識別間斷的敏感性、數(shù)值精度以及計算的魯棒性都要優(yōu)于其他4個格式。

4.6 二維格式性能驗證

二維歐拉方程的控制方程為

(59)

式中：

(60)

通量F與G的離散與分裂形式與一維情形一致。下面分別選取對流問題與定常問題分別驗證格式精度與收斂性。

4.6.1 精度驗證

二維對流問題：

(61)

該問題存在精確解：

u(x,y,t)=sin(x+y-2t)+1.200

(62)

且不需要通量分裂，可以更好地檢驗格式精度，分別使用WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM、WENO5-RM和WENO5-Pe在不同網(wǎng)格下計算到t= 0.2和t= 1.2時刻，統(tǒng)計L2誤差并計算誤差階，結(jié)果如表4所示。通過表4可見，5種格式在達(dá)到理論精度階的同時，WENO5-Pe的精度要略優(yōu)于WENO5-PPM、WENO5-IM和WENO5-RM，而它們均優(yōu)于WENO5-Z。

4.6.2 平板激波反射問題

有一道與x方向成29°角的激波射向平面上一壁面，并與壁面碰撞進而發(fā)生反射，形成入射波和反射波[38]，如圖9(a)所示。當(dāng)流動達(dá)到穩(wěn)定后，該問題存在精確解，如圖9(b)所示，該問題屬于無黏流動，可以用Euler方程描述該過程。該問題的計算域為[0,4]×[0,1]的矩形區(qū)域，當(dāng)t= 0時，使激波剛好與底部壁面相遇，具體初始條件可以根據(jù)激波前后密度、壓強等相關(guān)公式計算，其左側(cè)初始條件：

(63)

頂部初始條件：

[1.699 97,2.619 34,-0.506 32,1.528 19]

(64)

表4 5種數(shù)值格式在二維算例下精度對比

圖9 二維平板激波反射示意圖

式中：右側(cè)邊界為自由流出條件，底部邊界為反射條件。分別使用WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-IM、WENO5-RM和WENO5-Pe在200×50的網(wǎng)格下計算該流動，終止時間為t=4.5，CFL=0.5。將計算獲得的結(jié)果與精確解對比，結(jié)果如圖10所示，并統(tǒng)計L2誤差如表5所示。

另外，比較相同網(wǎng)格下不同格式的L2誤差隨迭代步數(shù)發(fā)展的關(guān)系曲線如圖10(e)和圖10(f)所示，從而對比其收斂速度，計算網(wǎng)格仍然為200×50。在相同網(wǎng)格，相同物理時間下，從圖10(a)～圖10(c)可見，WENO5-Pe的分辨率更高，穩(wěn)定性更好，捕捉激波的位置更準(zhǔn)確，非物理振蕩更小，而WENO5-Z對激波初始位置的捕捉誤差較大，WENO5-IM出現(xiàn)了較明顯的非物理振蕩；通過表5可見，計算到相同時刻WENO5-Pe的精度高于其他五階格式；通過圖10(e)和圖10(f)可見，相同網(wǎng)格和耗時的情況下，WENO5-Pe相較于其他格式計算到收斂的耗時更短，而最終收斂時的精度也更高。

圖10 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式模擬平板激波反射問題

表5 5種WENO格式計算二維激波反射到t=4.5時刻得到的結(jié)果對比

4.7 二維Riemann問題

該問題選自Liu等的數(shù)值實驗[39]，初始時刻4個計算子區(qū)域內(nèi)流體有不同的初值，當(dāng)瞬間除去4個計算子區(qū)域內(nèi)膜后，在計算區(qū)域形成激波、渦和接觸間斷相互作用的復(fù)雜流動。該問題求解域為[0,2]×[0,2]，初始條件為

(65)

4條邊界均為自由輸出邊界，即在每一條邊界上，都有

(66)

使用400×400均勻網(wǎng)格，計算終止時間t=0.8,條件數(shù)CFL=0.5,分別使用五階的WENO5-IM、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-Z和WENO5-Pe計算其流場變化。圖11(a)～圖11(e)是從0.2～1.7的30條密度等值線。

觀察圖11(a)～圖11(e)可見，WENO5-RM和WENO5-PPM比WENO5-Z的分辨率更高，同時WENO5-IM比WENO5-RM和WENO5-PPM的分辨率稍高，而WENO5-Pe比WENO5-IM的分辨率更明顯，可以觀察到更多的渦結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，密度的分界線輪廓也更精準(zhǔn)，由此可見其捕捉流場細(xì)節(jié)能力更強。

4.8 Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性問題

該算例描述初始流場中存在兩種密度不同的流體，在重力場作用下，位于上方的密度較大的流體加速進入下方的密度較小的流體的失穩(wěn)過程，最終形成復(fù)雜的流場[40]。其計算域為[0,0.25]×[0,1]，計算初始條件為在控制方程式(59)和式(60)右側(cè)添加源項以模擬重力影響。

(67)

S=[0,0,ρ,ρv]T

(68)

氣體指數(shù)取γ=5/3，設(shè)置左右邊界為反射壁面，上下邊界設(shè)為常值。

(69)

計算網(wǎng)格為240×960，計算終止時間t= 1.95，CFL = 0.5, 圖12(a)～圖12(e)給出的是5種WENO格式的計算結(jié)果，密度等值線為0.965 0～2.1481之間15等份。

圖12 WENO5-Z、WENO5-PPM、WENO5-RM、WENO5-IM和WENO5-Pe格式計算Rayleigh-Taylor問題得到的密度等值線

由圖12可見，同樣網(wǎng)格下WENO5-Z分辨率最低，甚至在y= 0.5附無法識別渦結(jié)構(gòu)，WENO5-RM的分辨率略高于WENO5-PPM和WENO5-IM，而WENO5-Pe的分辨率更好，能夠在擴散界面捕捉到更多流場結(jié)構(gòu)。

4.9 雙Mach反射問題

強激波雙Mach反射問題[41]是測試數(shù)值格式分辨率的經(jīng)典算例之一。本算例的計算域為[0,4]×[0,1], 初始條件為一道與x軸正方向成60°，Ma= 10的右行斜激波在x= 1/6處與下壁面相遇，激波一直延伸至上壁面，其右側(cè)參數(shù)[ρ,u,v,p]為[1.4,0,0,1.0]，左側(cè)參數(shù)為[8.0,7.144 7,-4.125,116.5]。上邊界條件按激波傳播精確解給出，左邊界與x≤1/6的下邊界按流入條件給出，右邊界為流出條件，x>1/6的下邊界部分為壁面條件。計算網(wǎng)格為960×240，終止時間為t=0.2，CFL = 0.5，圖13(a)～圖13(e)為最終時刻尾部區(qū)域5種WENO格式計算的密度2～22的40條等值線圖。

圖13 WENO5-PPM、WENO5-IM、WENO5-RM、WENO5-Z和WENO5-Pe格式計算雙馬赫反射問題得到的密度等值線

由圖13可見，WENO5-Z、WENO5-PPM和WENO5-RM格式的計算結(jié)果相似，三者的分辨率略低于WENO5-IM，而WENO5-Pe的分辨率又高于WENO5-IM，其計算結(jié)果顯示的激波更清晰，滑移線上卷起的渦結(jié)構(gòu)也更豐富。

5 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)WENO格式在極值點處精度降低的情況，本文基于對權(quán)重系數(shù)重構(gòu)的思想，設(shè)計出一族以WENO-JS格式的權(quán)重系數(shù)為自變量的映射函數(shù)，從而得到新格式WENO-Pe，克服了一階和高階極值點處降階的缺陷，且可以推廣到高階格式，并通過數(shù)值實驗與其他格式對比驗證了WENO-Pe格式的性能：

1) WENO-Pe格式的色散誤差與數(shù)值耗散均小于WENO-JS、WENO-Z、WENO-M以及列舉的其他映射函數(shù)型格式。

2) 對比WENO-IM和WENO-RM格式，WENO-Pe在一階極值點處能夠保持理論精度。對比WENO-PPM格式，WENO-Pe在二階極值點處也基本保持精度不下降。

3) 在相同精度情況下，本文WENO-Pe格式擁有更良好的分辨率，在Riemann問題和雙馬赫反射問題中，明顯可見其計算結(jié)果能捕捉更多的間斷、渦結(jié)構(gòu)等流場細(xì)節(jié)。