噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂?/h1>
2023-01-08 14:09:36石銘杰高國琴方志明
軟件導(dǎo)刊 2022年10期
石銘杰，高國琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
現(xiàn)對于鋼箱梁的除銹多采用人工手持噴槍進(jìn)行噴砂除銹作業(yè)，存在安全性不佳、噴涂質(zhì)量和效率不高等問題［1］，因而用機(jī)器人取代人工作業(yè)具有重要意義。Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種典型的六自由度運(yùn)動平臺，具有剛度大、位置精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)研制了一種噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人。
并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)其高速度、高精度運(yùn)動控制的基礎(chǔ)［2］。本文研究的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有典型的空間閉鏈機(jī)構(gòu)，末端由多條支鏈進(jìn)行約束。在運(yùn)行過程中，機(jī)構(gòu)的靜平臺會隨移動小車和升降機(jī)構(gòu)發(fā)生位置變化，動平臺會受一個時變的負(fù)載作用力的影響。同時，外界環(huán)境的影響不可忽略。
若采用傳統(tǒng)的動力學(xué)建模方法，如Lagrange 法、Newton-Euler 法、Kane法等，模型計(jì)算推導(dǎo)過程復(fù)雜，且難以獲得準(zhǔn)確的動力學(xué)模型參數(shù)［3-7］，因此難以建立既能全面反映動力學(xué)特性、又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型。為此，本文提出一種Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的時延估計(jì)方法，以實(shí)時在線獲取其動力學(xué)模型。但是，時延估計(jì)技術(shù)只能估計(jì)出連續(xù)或分段連續(xù)的非線性函數(shù)［8］，部分不確定項(xiàng)如哥式、向心項(xiàng)以及重力項(xiàng)、粘性摩擦力項(xiàng)等可被有效地進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償。庫倫摩擦力是一種具有快速變化特性的不連續(xù)函數(shù)，在機(jī)器人系統(tǒng)中約占最大電機(jī)轉(zhuǎn)矩的30%［9］。當(dāng)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行噴涂作業(yè)時，由于主動關(guān)節(jié)進(jìn)行伸縮運(yùn)動，庫倫摩擦力會發(fā)生方向的變化［10-11］。此外，由于在電動缸進(jìn)行伸縮運(yùn)動的同時，末端噴槍存在射流反推力的干擾，電動缸受到的庫侖摩擦力在產(chǎn)生方向變化的同時還會產(chǎn)生幅值變化。具有復(fù)雜變化情況的庫倫摩擦力以及加速度項(xiàng)作為不連續(xù)的不確定項(xiàng)，會使系統(tǒng)產(chǎn)生脈沖型時延誤差，將影響系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［12］針對一種二自由度平面機(jī)器人，設(shè)計(jì)一種結(jié)合非線性阻尼和非奇異終端滑模的時延控制器，采用非線性阻尼抑制脈沖型時延誤差，并采用非奇異終端滑模進(jìn)一步提升系統(tǒng)的控制性能。滑?？刂茖τ诓淮_定因素具有不敏感性。文獻(xiàn)［13］針對一種三自由度PUMA 型機(jī)械手，采用時延估計(jì)技術(shù)估計(jì)與補(bǔ)償機(jī)器人動力學(xué)中的連續(xù)非線性項(xiàng)，利用積分滑模面構(gòu)造模糊邏輯系統(tǒng)以抑制脈沖型時延誤差。相比于線性滑模控制方法，非奇異終端滑模控制采用非線性的滑模面，在平衡點(diǎn)附近具有更快的收斂速度［14］。文獻(xiàn)［15］同時針對二自由度平面機(jī)器人和三自由度PUMA 型機(jī)器人，設(shè)計(jì)一種基于時延估計(jì)技術(shù)的非奇異終端滑模控制器，在無需系統(tǒng)動力學(xué)先驗(yàn)知識的情況下，利用非奇異終端滑模抑制不連續(xù)庫倫摩擦力引起的脈沖型時延誤差。
上述方法在采用時延估計(jì)技術(shù)估計(jì)系統(tǒng)模型時，連續(xù)的不確定項(xiàng)可被進(jìn)行有效估計(jì)與補(bǔ)償，而不連續(xù)的不確定項(xiàng)不能被有效估計(jì)，從而被轉(zhuǎn)換成脈沖型時延誤差。由于非奇異終端滑?？刂品椒▽ο到y(tǒng)中存在的有界不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，并且可以實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，脈沖型時延誤差是有界的［9，16］，因此非奇異終端滑?？刂品椒梢越鉀Q不確定性問題。但是，傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面指數(shù)冪項(xiàng)只能是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，限制了終端滑模面參數(shù)的取值范圍。為解決此問題，本文將終端滑模面參數(shù)的指數(shù)冪項(xiàng)推廣到實(shí)數(shù)冪，設(shè)計(jì)一種實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模面。此外，噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人在實(shí)際工作時，若所受庫侖摩擦力方向和幅值同時發(fā)生變化，符號與上一時刻值的符號相反，且絕對值遠(yuǎn)大于上一時刻的絕對值，此時庫倫摩擦力的估計(jì)誤差相比僅發(fā)生方向變化時庫倫摩擦力的估計(jì)誤差更大，其作為時延誤差中的主要部分，會導(dǎo)致時延誤差在此時發(fā)生幅值更大的脈沖型變化。當(dāng)庫倫摩擦力只在某些時刻發(fā)生變化時，脈沖型時延誤差也只在某些時刻產(chǎn)生?，F(xiàn)有的非奇異終端滑?？刂品椒ㄟx取固定的切換增益，為有效解決脈沖型時延誤差問題，需要保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益［11］，易引起嚴(yán)重的滑?？刂贫墩?，破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，嚴(yán)重時甚至?xí)p壞機(jī)械部件。為解決此問題，本文設(shè)計(jì)一種當(dāng)時延誤差發(fā)生脈沖型變化時可實(shí)時快速調(diào)節(jié)切換增益的自適應(yīng)律，通過滑動變量體現(xiàn)庫倫摩擦力變化情況。當(dāng)滑動變量變化時，使自適應(yīng)律實(shí)現(xiàn)滑模切換增益調(diào)整的快速適應(yīng)性，從而削弱滑?？刂贫墩瘛Ｔ摕o模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒捎行аa(bǔ)償噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定項(xiàng)，同時削弱滑?？刂贫墩?。
綜上所述，針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，本文提出一種無模型自適應(yīng)非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂品椒ǎ越鉀Q傳統(tǒng)建模方法難以建立既能全面反映動力學(xué)特性，又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的動力學(xué)模型問題，以及噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定性問題和滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，從而實(shí)現(xiàn)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤控制。
1 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人由Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)、升降機(jī)構(gòu)、移動平臺等構(gòu)成，具有剛度高、承載能力強(qiáng)、可移動性好等優(yōu)點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)任意移動、自由升降以及六自由度位姿精確運(yùn)動操作等。機(jī)器人樣機(jī)如圖1 所示。其中，Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制性能將直接影響噴砂除銹質(zhì)量，為此，本文將Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為主要研究對象。
Fig.1 Model of sand blasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)
Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺，以及6 個電動缸、12 個虎克鉸和動平臺組成。在靜平臺中心Og建立靜坐標(biāo)系OgXgYgZg，在動平臺中心Op建立動坐標(biāo)系OpXpYpZp。設(shè)動平臺、靜平臺上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1，…，6)，靜平臺與動平臺之間用虎克鉸和電動缸連接，通過電動缸的伸縮運(yùn)動使動平臺進(jìn)行六自由度的俯仰運(yùn)動：變量x、y、z分別表示動平臺沿動坐標(biāo)系X、Y、Z軸移動；歐拉角α、β、χ分別表示動平臺繞動坐標(biāo)系X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動。
Fig.2 Diagram of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖
2 時延估計(jì)動力學(xué)模型
對于所研制的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其動力學(xué)方程可表示為：
式中，q=[x，y，z，α，β，χ]T為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的實(shí)際位姿為動平臺的實(shí)際速度和實(shí)際加速度，M(q)為質(zhì)量矩陣，為哥氏、向心項(xiàng)系數(shù)矩陣，G(q)為重力項(xiàng)矩陣，F(xiàn)c為突變的庫倫摩擦力，F(xiàn)v為粘性摩擦力，τd為外界干擾項(xiàng)，τ(t)為控制力矩。
引入一個常數(shù)矩陣Mˉ，式（1）的另一種表達(dá)式為：
式中，是一個正定對角矩陣，是Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性動力學(xué)、非線性摩擦力和外界干擾的總和，可表示為：
式中，τ(t-L)為時延估計(jì)項(xiàng)，其中L)可通過二階后向差分算法2L) +q(t-3L))/L2得到。當(dāng)L足夠小時，時延誤差整體趨近于0，可表示為：
3 無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂破?/h2>3.1 控制器設(shè)計(jì)
本文設(shè)計(jì)的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制器原理框圖如圖3所示。
非奇異終端滑模可實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，更適用于高速、高精度控制［18-19］。進(jìn)一步，為放寬滑模面參數(shù)取值范圍，本文設(shè)計(jì)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模面：
選取快速終端滑模型趨近律：
式中，k1、k2是常數(shù)矩陣，0 ＜b＜1，K(s)是控制器切換增益。-k1s-k2sig(s)b部分用于保證高控制精度和快速動態(tài)響應(yīng)，-K(s)sgn(s)部分用于保證魯棒性。為克服脈沖型時延誤差，固定選取大于時延誤差上界的切換增益。但是，過大的切換增益會引起滑?？刂贫墩?。
為此，設(shè)計(jì)滑?？刂破髑袚Q增益自適應(yīng)規(guī)則：
Fig.3 Schematic diagram of control system圖3 控制系統(tǒng)原理框圖
式中，p、m是系數(shù)向量，Kmax是K(s) 的上界值，i=1，2，3，4，5，6。
從式（12）可以看到，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)規(guī)則是滑動變量s與控制器切換增益K(s)的函數(shù)，并且利用上一時刻的切換增益起引導(dǎo)作用。當(dāng)庫倫摩擦力變化時，滑動變量s遠(yuǎn)離滑模面，pi|s|i立即變大為上一時刻的較小值，，控制器切換增益K(s)迅速變大；當(dāng)庫倫摩擦力變化結(jié)束時，滑動變量s靠近滑模面，pi|s|i變小為上一時刻的較大值，控制器切換增益K(s)迅速變小。通過調(diào)整參數(shù)pi以調(diào)節(jié)控制器切換增益K(s)的變化響應(yīng)速度，并調(diào)整參數(shù)mi以進(jìn)一步控制調(diào)節(jié)速度，避免控制器切換增益K(s)過估計(jì)。同時，給定控制器切換增益K(s)的上界值Kmax_i，削弱由于時延誤差初始階段較大，固定選取過大切換增益導(dǎo)致的滑模控制抖振。該自適應(yīng)規(guī)則的設(shè)計(jì)可在初始階段以及庫倫摩擦力發(fā)生變化的階段快速選取合適的切換增益K(s)，以削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
最后，可得到無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制器：
本文提出的控制器由3 部分組成：實(shí)數(shù)冪NTSM 誤差動力學(xué)項(xiàng)、自適應(yīng)切換增益項(xiàng)和時延估計(jì)項(xiàng)。其不僅可提高系統(tǒng)的魯棒性，而且可有效削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
3.2 穩(wěn)定性證明
引理1 對于3 個實(shí)數(shù)a、b、c，當(dāng)滿足a+b=c，存在h≥0.5，使得［20］：
引理2如果式（10）中控制器慣性增益的選取滿足如下條件：
對于所有的t＞0，‖q(t) -q(t-L) ‖→0，L→0，時延誤差是有界的［9］，且滿足為常數(shù)。
引理3關(guān)于系統(tǒng)，假設(shè)下列不等式（16）對于連續(xù)函數(shù)V(x) 成立，λ＞0，0 ＜μ＜1，0 ＜ω＜∞，使得［20］：
進(jìn)一步，到達(dá)式（17）所需時間為：
所設(shè)計(jì)自適應(yīng)非奇異終端滑模控制器穩(wěn)定性證明如下：
證明：定義脈沖型時延誤差ε為：
定義Lyapunov 函數(shù)為：
對式（20）求導(dǎo)，并將式（21）代入可得：
選取Kii足夠大，可滿足Kii-|εi|≥0，得到：
式（25）為式（23）的特殊情況，針對式（23），滿足：
基于式（30）、式（31），可得如下不等式：
根據(jù)引理3，系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)收斂至以下鄰域：
4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析
Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1所示。為驗(yàn)證所提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制算法的有效性，以包含摩擦力、外界干擾集總擾動的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為被控對象，分別對無模型PD 控制（TDE+PD）、無模型非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和本文提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）進(jìn)行MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)。
Table 1 Parameters of Stewart parallel machanism表1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)
設(shè)動平臺期望軌跡為x(t)=0.1sin(πt)，位姿初始誤差為x(0)=0.02m；選擇摩擦力模型為，其中，F(xiàn)v=Fc=50N·m；加入外部干擾為sin(1.5t)；采用四階Runge-Kutta 法求解系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，仿真步長取0.001s。
（1）進(jìn)行無模型PD 控制（TDE+PD），控制器輸出為τ=時延誤差可表示為通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為：此時，得到時延誤差如圖4所示。
Fig.4 Pulse-type time delay error圖4 脈沖型時延誤差
圖4 表明，在0～6s 內(nèi)，時延誤差大部分時間趨近于0。但是，由于電動缸伸縮運(yùn)動時過零速，同時動平臺受到射流反推力影響，庫倫摩擦力發(fā)生了方向和幅值變化，時延估計(jì)技術(shù)不能對其進(jìn)行有效估計(jì)，使得時延誤差在某些時刻會發(fā)生脈沖型變化。通過其他結(jié)合時延估計(jì)技術(shù)的控制算法進(jìn)行分析也可得到相同結(jié)論。
（2）分別進(jìn)行無模型非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為：L=0.001s，diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)。此時，得到動平臺x 軸跟蹤誤差如圖5 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖6所示（彩圖掃OSID 碼可見，下同）。圖5、圖6 表明，當(dāng)時延誤差產(chǎn)生脈沖型突變時，相應(yīng)時刻的跟蹤誤差也會產(chǎn)生突變，所提出的無模型實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒軌蚴筍tewart 并聯(lián)機(jī)器人在產(chǎn)生脈沖型時延誤差時具有更高的位置跟蹤精度。
Fig.5 X axis trajectory tracking error of motion platform圖5 動平臺x軸跟蹤誤差
圖7 為無模型非奇異終端滑?？刂疲═DE+NTSM）各主動關(guān)節(jié)輸出力矩。
Fig.6 X axis trajectory tracking of motion platform圖6 動平臺x軸軌跡跟蹤
Fig.7 TDE+NTSM active joints driving force圖7 TDE+NTSM 各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩
圖7 表明，為有效克服脈沖型時延誤差，保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益，引起了嚴(yán)重的滑?？刂贫墩瘛?/p>
（3）分別進(jìn)行無模型自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）、無模型非奇異終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)，p=8 000，m=0.014。此時，自適應(yīng)切換增益如圖8 所示。圖8 表明，在初始階段，由于TDE 算法自身存在的不確定性導(dǎo)致的時延誤差較大，切換增益取到給定上限值。在庫侖摩擦力發(fā)生方向、幅值變化的階段，切換增益根據(jù)滑動變量s實(shí)時調(diào)節(jié)大小，以確保時延誤差發(fā)生脈沖型變化時的軌跡跟蹤精度。
動平臺x 軸跟蹤誤差如圖9 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖10 所示，無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）各主動關(guān)節(jié)輸出力矩如圖11 所示。由圖9-圖11 可知，本文提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異滑?？刂品椒ǎ═DE+ANTSM）可有效解決脈沖型時延誤差問題，實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤控制，同時可削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
Fig.8 Adaptive switch gain圖8 自適應(yīng)切換增益
Fig.9 X axis trajectory tracking error of motion platform圖9 動平臺x軸跟蹤誤差
Fig.10 X axis trajectory tracking of motion platform圖10 動平臺x軸軌跡跟蹤
5 結(jié)語
Fig.11 TDE+ANTSM active joints driving force圖11 TDE+ANTSM 各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩
本文提出一種Stewart 機(jī)構(gòu)無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒?，引入一個常數(shù)矩陣將Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程簡化，然后利用時延信息在線估計(jì)方程中的非線性項(xiàng)，獲取既能全面反映動力學(xué)特性，又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型；將非奇異終端滑模面參數(shù)的指數(shù)冪由分?jǐn)?shù)冪推廣到實(shí)數(shù)冪，只需調(diào)整一個實(shí)數(shù)參數(shù)，放寬了取值范圍，并實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，以提升Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制的魯棒性；設(shè)計(jì)一種基于滑模變量s的自適應(yīng)規(guī)則，使得切換增益可在時延誤差發(fā)生脈沖型變化時實(shí)時進(jìn)行快速調(diào)節(jié)，從而提高系統(tǒng)對主動關(guān)節(jié)伸縮運(yùn)動和負(fù)載作用力變化的自適應(yīng)性。
本文將所提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行仿真對比實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)一步應(yīng)用于樣機(jī)實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明：該控制方法有效解決了噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定性問題，同時削弱滑?？刂贫墩瘢軌?qū)崿F(xiàn)基于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤控制。在后續(xù)研究中將考慮改進(jìn)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制方法，進(jìn)一步提升系統(tǒng)收斂性能。
猜你喜歡
“實(shí)數(shù)”實(shí)戰(zhàn)操練中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2023年3期)2023-03-21 00:45:16 面向掃砂工藝的鋼板表面噴砂處理特性試驗(yàn)造船技術(shù)(2022年2期)2022-07-19 02:12:38 『摩擦力』知識鞏固中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2022年3期)2022-03-16 05:55:12 理順摩擦力中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2022年3期)2022-03-16 05:55:04 一種鋼管內(nèi)外表面同時噴砂處理裝置鋼管(2021年4期)2021-12-25 23:37:41 透析摩擦力中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2021年3期)2021-07-22 03:19:00 鋼結(jié)構(gòu)半封閉空間噴砂用設(shè)備電鍍與涂飾(2021年12期)2021-07-17 00:59:22 認(rèn)識實(shí)數(shù)中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2018年3期)2018-05-30 06:58:13 1.1 實(shí)數(shù)中學(xué)生數(shù)理化·中考版(2017年3期)2017-11-09 02:07:30 比較實(shí)數(shù)的大小中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2016年2期)2016-05-30 21:20:57
石銘杰，高國琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
現(xiàn)對于鋼箱梁的除銹多采用人工手持噴槍進(jìn)行噴砂除銹作業(yè)，存在安全性不佳、噴涂質(zhì)量和效率不高等問題［1］，因而用機(jī)器人取代人工作業(yè)具有重要意義。Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種典型的六自由度運(yùn)動平臺，具有剛度大、位置精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)研制了一種噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人。
并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)其高速度、高精度運(yùn)動控制的基礎(chǔ)［2］。本文研究的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有典型的空間閉鏈機(jī)構(gòu)，末端由多條支鏈進(jìn)行約束。在運(yùn)行過程中，機(jī)構(gòu)的靜平臺會隨移動小車和升降機(jī)構(gòu)發(fā)生位置變化，動平臺會受一個時變的負(fù)載作用力的影響。同時，外界環(huán)境的影響不可忽略。
若采用傳統(tǒng)的動力學(xué)建模方法，如Lagrange 法、Newton-Euler 法、Kane法等，模型計(jì)算推導(dǎo)過程復(fù)雜，且難以獲得準(zhǔn)確的動力學(xué)模型參數(shù)［3-7］，因此難以建立既能全面反映動力學(xué)特性、又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型。為此，本文提出一種Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的時延估計(jì)方法，以實(shí)時在線獲取其動力學(xué)模型。但是，時延估計(jì)技術(shù)只能估計(jì)出連續(xù)或分段連續(xù)的非線性函數(shù)［8］，部分不確定項(xiàng)如哥式、向心項(xiàng)以及重力項(xiàng)、粘性摩擦力項(xiàng)等可被有效地進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償。庫倫摩擦力是一種具有快速變化特性的不連續(xù)函數(shù)，在機(jī)器人系統(tǒng)中約占最大電機(jī)轉(zhuǎn)矩的30%［9］。當(dāng)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行噴涂作業(yè)時，由于主動關(guān)節(jié)進(jìn)行伸縮運(yùn)動，庫倫摩擦力會發(fā)生方向的變化［10-11］。此外，由于在電動缸進(jìn)行伸縮運(yùn)動的同時，末端噴槍存在射流反推力的干擾，電動缸受到的庫侖摩擦力在產(chǎn)生方向變化的同時還會產(chǎn)生幅值變化。具有復(fù)雜變化情況的庫倫摩擦力以及加速度項(xiàng)作為不連續(xù)的不確定項(xiàng)，會使系統(tǒng)產(chǎn)生脈沖型時延誤差，將影響系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［12］針對一種二自由度平面機(jī)器人，設(shè)計(jì)一種結(jié)合非線性阻尼和非奇異終端滑模的時延控制器，采用非線性阻尼抑制脈沖型時延誤差，并采用非奇異終端滑模進(jìn)一步提升系統(tǒng)的控制性能。滑?？刂茖τ诓淮_定因素具有不敏感性。文獻(xiàn)［13］針對一種三自由度PUMA 型機(jī)械手，采用時延估計(jì)技術(shù)估計(jì)與補(bǔ)償機(jī)器人動力學(xué)中的連續(xù)非線性項(xiàng)，利用積分滑模面構(gòu)造模糊邏輯系統(tǒng)以抑制脈沖型時延誤差。相比于線性滑模控制方法，非奇異終端滑模控制采用非線性的滑模面，在平衡點(diǎn)附近具有更快的收斂速度［14］。文獻(xiàn)［15］同時針對二自由度平面機(jī)器人和三自由度PUMA 型機(jī)器人，設(shè)計(jì)一種基于時延估計(jì)技術(shù)的非奇異終端滑模控制器，在無需系統(tǒng)動力學(xué)先驗(yàn)知識的情況下，利用非奇異終端滑模抑制不連續(xù)庫倫摩擦力引起的脈沖型時延誤差。
上述方法在采用時延估計(jì)技術(shù)估計(jì)系統(tǒng)模型時，連續(xù)的不確定項(xiàng)可被進(jìn)行有效估計(jì)與補(bǔ)償，而不連續(xù)的不確定項(xiàng)不能被有效估計(jì)，從而被轉(zhuǎn)換成脈沖型時延誤差。由于非奇異終端滑?？刂品椒▽ο到y(tǒng)中存在的有界不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，并且可以實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，脈沖型時延誤差是有界的［9，16］，因此非奇異終端滑?？刂品椒梢越鉀Q不確定性問題。但是，傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面指數(shù)冪項(xiàng)只能是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，限制了終端滑模面參數(shù)的取值范圍。為解決此問題，本文將終端滑模面參數(shù)的指數(shù)冪項(xiàng)推廣到實(shí)數(shù)冪，設(shè)計(jì)一種實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模面。此外，噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人在實(shí)際工作時，若所受庫侖摩擦力方向和幅值同時發(fā)生變化，符號與上一時刻值的符號相反，且絕對值遠(yuǎn)大于上一時刻的絕對值，此時庫倫摩擦力的估計(jì)誤差相比僅發(fā)生方向變化時庫倫摩擦力的估計(jì)誤差更大，其作為時延誤差中的主要部分，會導(dǎo)致時延誤差在此時發(fā)生幅值更大的脈沖型變化。當(dāng)庫倫摩擦力只在某些時刻發(fā)生變化時，脈沖型時延誤差也只在某些時刻產(chǎn)生?，F(xiàn)有的非奇異終端滑?？刂品椒ㄟx取固定的切換增益，為有效解決脈沖型時延誤差問題，需要保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益［11］，易引起嚴(yán)重的滑?？刂贫墩?，破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，嚴(yán)重時甚至?xí)p壞機(jī)械部件。為解決此問題，本文設(shè)計(jì)一種當(dāng)時延誤差發(fā)生脈沖型變化時可實(shí)時快速調(diào)節(jié)切換增益的自適應(yīng)律，通過滑動變量體現(xiàn)庫倫摩擦力變化情況。當(dāng)滑動變量變化時，使自適應(yīng)律實(shí)現(xiàn)滑模切換增益調(diào)整的快速適應(yīng)性，從而削弱滑?？刂贫墩瘛Ｔ摕o模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒捎行аa(bǔ)償噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定項(xiàng)，同時削弱滑?？刂贫墩?。
綜上所述，針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，本文提出一種無模型自適應(yīng)非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂品椒ǎ越鉀Q傳統(tǒng)建模方法難以建立既能全面反映動力學(xué)特性，又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的動力學(xué)模型問題，以及噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定性問題和滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，從而實(shí)現(xiàn)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤控制。
1 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人由Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)、升降機(jī)構(gòu)、移動平臺等構(gòu)成，具有剛度高、承載能力強(qiáng)、可移動性好等優(yōu)點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)任意移動、自由升降以及六自由度位姿精確運(yùn)動操作等。機(jī)器人樣機(jī)如圖1 所示。其中，Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制性能將直接影響噴砂除銹質(zhì)量，為此，本文將Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為主要研究對象。
Fig.1 Model of sand blasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)
Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺，以及6 個電動缸、12 個虎克鉸和動平臺組成。在靜平臺中心Og建立靜坐標(biāo)系OgXgYgZg，在動平臺中心Op建立動坐標(biāo)系OpXpYpZp。設(shè)動平臺、靜平臺上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1，…，6)，靜平臺與動平臺之間用虎克鉸和電動缸連接，通過電動缸的伸縮運(yùn)動使動平臺進(jìn)行六自由度的俯仰運(yùn)動：變量x、y、z分別表示動平臺沿動坐標(biāo)系X、Y、Z軸移動；歐拉角α、β、χ分別表示動平臺繞動坐標(biāo)系X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動。
Fig.2 Diagram of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖
2 時延估計(jì)動力學(xué)模型
對于所研制的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其動力學(xué)方程可表示為：
式中，q=[x，y，z，α，β，χ]T為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的實(shí)際位姿為動平臺的實(shí)際速度和實(shí)際加速度，M(q)為質(zhì)量矩陣，為哥氏、向心項(xiàng)系數(shù)矩陣，G(q)為重力項(xiàng)矩陣，F(xiàn)c為突變的庫倫摩擦力，F(xiàn)v為粘性摩擦力，τd為外界干擾項(xiàng)，τ(t)為控制力矩。
引入一個常數(shù)矩陣Mˉ，式（1）的另一種表達(dá)式為：
式中，是一個正定對角矩陣，是Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性動力學(xué)、非線性摩擦力和外界干擾的總和，可表示為：
式中，τ(t-L)為時延估計(jì)項(xiàng)，其中L)可通過二階后向差分算法2L) +q(t-3L))/L2得到。當(dāng)L足夠小時，時延誤差整體趨近于0，可表示為：
3 無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂破?/h2>3.1 控制器設(shè)計(jì)
本文設(shè)計(jì)的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制器原理框圖如圖3所示。
非奇異終端滑模可實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，更適用于高速、高精度控制［18-19］。進(jìn)一步，為放寬滑模面參數(shù)取值范圍，本文設(shè)計(jì)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模面：
選取快速終端滑模型趨近律：
式中，k1、k2是常數(shù)矩陣，0 ＜b＜1，K(s)是控制器切換增益。-k1s-k2sig(s)b部分用于保證高控制精度和快速動態(tài)響應(yīng)，-K(s)sgn(s)部分用于保證魯棒性。為克服脈沖型時延誤差，固定選取大于時延誤差上界的切換增益。但是，過大的切換增益會引起滑?？刂贫墩?。
為此，設(shè)計(jì)滑?？刂破髑袚Q增益自適應(yīng)規(guī)則：
Fig.3 Schematic diagram of control system圖3 控制系統(tǒng)原理框圖
式中，p、m是系數(shù)向量，Kmax是K(s) 的上界值，i=1，2，3，4，5，6。
從式（12）可以看到，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)規(guī)則是滑動變量s與控制器切換增益K(s)的函數(shù)，并且利用上一時刻的切換增益起引導(dǎo)作用。當(dāng)庫倫摩擦力變化時，滑動變量s遠(yuǎn)離滑模面，pi|s|i立即變大為上一時刻的較小值，，控制器切換增益K(s)迅速變大；當(dāng)庫倫摩擦力變化結(jié)束時，滑動變量s靠近滑模面，pi|s|i變小為上一時刻的較大值，控制器切換增益K(s)迅速變小。通過調(diào)整參數(shù)pi以調(diào)節(jié)控制器切換增益K(s)的變化響應(yīng)速度，并調(diào)整參數(shù)mi以進(jìn)一步控制調(diào)節(jié)速度，避免控制器切換增益K(s)過估計(jì)。同時，給定控制器切換增益K(s)的上界值Kmax_i，削弱由于時延誤差初始階段較大，固定選取過大切換增益導(dǎo)致的滑模控制抖振。該自適應(yīng)規(guī)則的設(shè)計(jì)可在初始階段以及庫倫摩擦力發(fā)生變化的階段快速選取合適的切換增益K(s)，以削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
最后，可得到無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制器：
本文提出的控制器由3 部分組成：實(shí)數(shù)冪NTSM 誤差動力學(xué)項(xiàng)、自適應(yīng)切換增益項(xiàng)和時延估計(jì)項(xiàng)。其不僅可提高系統(tǒng)的魯棒性，而且可有效削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
3.2 穩(wěn)定性證明
引理1 對于3 個實(shí)數(shù)a、b、c，當(dāng)滿足a+b=c，存在h≥0.5，使得［20］：
引理2如果式（10）中控制器慣性增益的選取滿足如下條件：
對于所有的t＞0，‖q(t) -q(t-L) ‖→0，L→0，時延誤差是有界的［9］，且滿足為常數(shù)。
引理3關(guān)于系統(tǒng)，假設(shè)下列不等式（16）對于連續(xù)函數(shù)V(x) 成立，λ＞0，0 ＜μ＜1，0 ＜ω＜∞，使得［20］：
進(jìn)一步，到達(dá)式（17）所需時間為：
所設(shè)計(jì)自適應(yīng)非奇異終端滑模控制器穩(wěn)定性證明如下：
證明：定義脈沖型時延誤差ε為：
定義Lyapunov 函數(shù)為：
對式（20）求導(dǎo)，并將式（21）代入可得：
選取Kii足夠大，可滿足Kii-|εi|≥0，得到：
式（25）為式（23）的特殊情況，針對式（23），滿足：
基于式（30）、式（31），可得如下不等式：
根據(jù)引理3，系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)收斂至以下鄰域：
4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析
Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1所示。為驗(yàn)證所提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制算法的有效性，以包含摩擦力、外界干擾集總擾動的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為被控對象，分別對無模型PD 控制（TDE+PD）、無模型非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和本文提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）進(jìn)行MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)。
Table 1 Parameters of Stewart parallel machanism表1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)
設(shè)動平臺期望軌跡為x(t)=0.1sin(πt)，位姿初始誤差為x(0)=0.02m；選擇摩擦力模型為，其中，F(xiàn)v=Fc=50N·m；加入外部干擾為sin(1.5t)；采用四階Runge-Kutta 法求解系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，仿真步長取0.001s。
（1）進(jìn)行無模型PD 控制（TDE+PD），控制器輸出為τ=時延誤差可表示為通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為：此時，得到時延誤差如圖4所示。
Fig.4 Pulse-type time delay error圖4 脈沖型時延誤差
圖4 表明，在0～6s 內(nèi)，時延誤差大部分時間趨近于0。但是，由于電動缸伸縮運(yùn)動時過零速，同時動平臺受到射流反推力影響，庫倫摩擦力發(fā)生了方向和幅值變化，時延估計(jì)技術(shù)不能對其進(jìn)行有效估計(jì)，使得時延誤差在某些時刻會發(fā)生脈沖型變化。通過其他結(jié)合時延估計(jì)技術(shù)的控制算法進(jìn)行分析也可得到相同結(jié)論。
（2）分別進(jìn)行無模型非奇異實(shí)數(shù)冪終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為：L=0.001s，diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)。此時，得到動平臺x 軸跟蹤誤差如圖5 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖6所示（彩圖掃OSID 碼可見，下同）。圖5、圖6 表明，當(dāng)時延誤差產(chǎn)生脈沖型突變時，相應(yīng)時刻的跟蹤誤差也會產(chǎn)生突變，所提出的無模型實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒軌蚴筍tewart 并聯(lián)機(jī)器人在產(chǎn)生脈沖型時延誤差時具有更高的位置跟蹤精度。
Fig.5 X axis trajectory tracking error of motion platform圖5 動平臺x軸跟蹤誤差
圖7 為無模型非奇異終端滑?？刂疲═DE+NTSM）各主動關(guān)節(jié)輸出力矩。
Fig.6 X axis trajectory tracking of motion platform圖6 動平臺x軸軌跡跟蹤
Fig.7 TDE+NTSM active joints driving force圖7 TDE+NTSM 各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩
圖7 表明，為有效克服脈沖型時延誤差，保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益，引起了嚴(yán)重的滑?？刂贫墩瘛?/p>
（3）分別進(jìn)行無模型自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）、無模型非奇異終端滑?？刂疲═DE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調(diào)試，得到最優(yōu)參數(shù)為diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)，p=8 000，m=0.014。此時，自適應(yīng)切換增益如圖8 所示。圖8 表明，在初始階段，由于TDE 算法自身存在的不確定性導(dǎo)致的時延誤差較大，切換增益取到給定上限值。在庫侖摩擦力發(fā)生方向、幅值變化的階段，切換增益根據(jù)滑動變量s實(shí)時調(diào)節(jié)大小，以確保時延誤差發(fā)生脈沖型變化時的軌跡跟蹤精度。
動平臺x 軸跟蹤誤差如圖9 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖10 所示，無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂疲═DE+ANTSM）各主動關(guān)節(jié)輸出力矩如圖11 所示。由圖9-圖11 可知，本文提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異滑?？刂品椒ǎ═DE+ANTSM）可有效解決脈沖型時延誤差問題，實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤控制，同時可削弱滑?？刂贫墩瘛?/p>
Fig.8 Adaptive switch gain圖8 自適應(yīng)切換增益
Fig.9 X axis trajectory tracking error of motion platform圖9 動平臺x軸跟蹤誤差
Fig.10 X axis trajectory tracking of motion platform圖10 動平臺x軸軌跡跟蹤
5 結(jié)語
Fig.11 TDE+ANTSM active joints driving force圖11 TDE+ANTSM 各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩
本文提出一種Stewart 機(jī)構(gòu)無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒?，引入一個常數(shù)矩陣將Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程簡化，然后利用時延信息在線估計(jì)方程中的非線性項(xiàng)，獲取既能全面反映動力學(xué)特性，又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型；將非奇異終端滑模面參數(shù)的指數(shù)冪由分?jǐn)?shù)冪推廣到實(shí)數(shù)冪，只需調(diào)整一個實(shí)數(shù)參數(shù)，放寬了取值范圍，并實(shí)現(xiàn)有限時間內(nèi)收斂，以提升Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制的魯棒性；設(shè)計(jì)一種基于滑模變量s的自適應(yīng)規(guī)則，使得切換增益可在時延誤差發(fā)生脈沖型變化時實(shí)時進(jìn)行快速調(diào)節(jié)，從而提高系統(tǒng)對主動關(guān)節(jié)伸縮運(yùn)動和負(fù)載作用力變化的自適應(yīng)性。
本文將所提出的無模型自適應(yīng)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行仿真對比實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)一步應(yīng)用于樣機(jī)實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明：該控制方法有效解決了噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的不確定性問題，同時削弱滑?？刂贫墩瘢軌?qū)崿F(xiàn)基于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤控制。在后續(xù)研究中將考慮改進(jìn)實(shí)數(shù)冪非奇異終端滑模控制方法，進(jìn)一步提升系統(tǒng)收斂性能。
猜你喜歡
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2023年3期)2023-03-21 00:45:16
造船技術(shù)(2022年2期)2022-07-19 02:12:38
中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2022年3期)2022-03-16 05:55:12
中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2022年3期)2022-03-16 05:55:04
鋼管(2021年4期)2021-12-25 23:37:41
中學(xué)生數(shù)理化·八年級物理人教版(2021年3期)2021-07-22 03:19:00
電鍍與涂飾(2021年12期)2021-07-17 00:59:22
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2018年3期)2018-05-30 06:58:13
中學(xué)生數(shù)理化·中考版(2017年3期)2017-11-09 02:07:30
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2016年2期)2016-05-30 21:20:57
