王 璐，李 麗

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110034)

0 引言

最初科學(xué)家D.J.ko-rteweg和他的博士學(xué)生提出的非線性水波方程-KdV方程,是用于研究水波現(xiàn)象.后來(lái)隨著科學(xué)的發(fā)展，KdV方程逐漸被用于解決光學(xué)、激光物理、化學(xué)、海洋學(xué)等一系列科學(xué)問(wèn)題.1895年，KdV方程被提出之后，科學(xué)界對(duì)此進(jìn)行了廣泛的研究，在非線性科學(xué)領(lǐng)域又出現(xiàn)了非線性方程.1968年，Miura發(fā)現(xiàn)了與KdV方程之間存在一個(gè)Miura變換的方程——mKdV方程,其中mKdV方程的解可以通過(guò)Miura變換轉(zhuǎn)化成KdV方程的解，但是反之不行.除此之外還有KP方程、mKP方程、NLS方程、離散KdV方程等非線性方程出現(xiàn).

非線性方程不斷出現(xiàn)，探索非線性方程精確解變成了一個(gè)非常重要的問(wèn)題.求解非線性方程的方法有很多種，例如反散射法[1]、Hirota雙線性法[2]、Darboux變換法[3]、tanh函數(shù)法[4]、齊次平衡法[5]等.筆者將主要運(yùn)用齊次平衡法求解非線性偏微分方程.當(dāng)微分次數(shù)是整數(shù)時(shí)，計(jì)算方程的解比較簡(jiǎn)單，當(dāng)微分次數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，計(jì)算方程的解就比較復(fù)雜.

1730年Euler闡明了微分次數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形，1812年Laplace給出了一種分?jǐn)?shù)階微分情況，這里分?jǐn)?shù)階除了可以是有理分?jǐn)?shù)，也可以是無(wú)理數(shù)和復(fù)數(shù)的復(fù)雜情況.分?jǐn)?shù)階的誕生給薛定諤方程的研究帶來(lái)很大的震動(dòng)，例如Naber 將Caputo型時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入經(jīng)典的薛定諤方程中，得到時(shí)間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程，形式如下：

Laskin等人修正了Feynman提出的薛定諤方程中的路徑積分原理，進(jìn)而得到空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程，形式如下：

分?jǐn)?shù)階情況的產(chǎn)生為量子力學(xué)提供了新的研究思路與理論支撐，補(bǔ)足了原本不能準(zhǔn)確描述的一些復(fù)雜力學(xué)行為，引起許多學(xué)者的研究興趣.分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程在數(shù)學(xué)、黏彈性力學(xué)理論、化學(xué)、流體力學(xué)和圖像處理等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用.可以將分?jǐn)?shù)階偏微分方程大致分為三類(lèi)：空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程、時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程和時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程.目前，對(duì)于求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程有很多方法，比如首次積分法[6]、Kudryashov方法[7]、差分方法[8]等.

時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程是由KdV-mKdV方程推廣產(chǎn)生，相同點(diǎn)在于二者均具有線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)，雖然時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程在積分后可能不會(huì)產(chǎn)生非線性項(xiàng)，但依舊可以通過(guò)齊次平衡法確定平衡階數(shù)，進(jìn)而確定單變?cè)瘮?shù)求出方程的精確解.

筆者先利用齊次平衡法求解KdV-mKdV方程，進(jìn)一步推廣到利用齊次平衡法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程.

1 齊次平衡法求解組合KdV-mKdV方程

齊次平衡法主要通過(guò)以下幾個(gè)步驟求解偏微分方程：對(duì)于給定的非線性偏微分方程而言，首先平衡方程中非線性項(xiàng)和最高階線性項(xiàng)，確定方程的平衡階數(shù)；其次確定是否含有單變?cè)瘮?shù)f=f(φ),φ=φ(x,t)；然后導(dǎo)出φ(x,t)偏導(dǎo)數(shù)的最高次冪的所有項(xiàng)，使其為零，進(jìn)而求出f(φ)；最后令φ(x,t)的偏導(dǎo)數(shù)的其他次冪的項(xiàng)也為零，帶回原方程，可求出其精確解.

下面主要考慮KdV-mKdV方程：

ut+(αu+βu2)ux+γuxxx=0,α,β,γ≠0,
u=u(x,t) .

(1)

為平衡非線性項(xiàng)u2ux與最高階線性項(xiàng)uxxx，于是令3n+1=n+3,即n=1.設(shè)

(2)

因此得到

(3)

(4)

將式(2)、(3)、(4)代入方程(1)得到

(5)

令β(f′)2f″+γf(4)=0,f=Alnφ,則

(6)

(7)

將方程(7)代入方程(5)整理得

(8)

根據(jù)齊次平衡法，可得

(9)

(10)

φxt+αcφxx+βc2φxx+γφxxxx=0 .

(11)

令φ=1+emx+nt，于是得到

(12)

再將方程(12)代入方程(11)可以得到n=-αcm-βc2m-γm3.根據(jù)齊次平衡法，可以得到方程(1)的孤子解

(13)

2 一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

定義1[9]函數(shù)f[0,∞)→R的α階一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[10]設(shè)α∈(0,1]且f,g是α階可導(dǎo)的，則下列結(jié)論成立：

1)Tα(af+bg)=aTα(f)+bTα(g),?a,b∈R;

2)Tα(tp)=ptp-α,?p∈R;

3)Tα(fg)=fTα(g)+gTα(f);

5)Tα(f)(t)=t1-αf′(t) .

引理2[11]設(shè)f,g(0,∞)→R是α階一致可導(dǎo)函數(shù)，其中α∈(0,1),再設(shè)g在t處可導(dǎo)，f在g(t)處可導(dǎo)，則

Tα(f°g)(t)=t1-αg(t)α-1g′(t)Tα(f)(g(t)) .

根據(jù)上述定義和引理可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)與整數(shù)階求導(dǎo)的最大差異是求導(dǎo)后的冪次不同，分?jǐn)?shù)階為1-α次冪，而整數(shù)階為α-1次冪，因此在接下來(lái)求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程時(shí)要注意時(shí)間t的冪次.

3 齊次平衡法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程

考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程[12-13]：

(14)

其中：0<α≤1;t>0;β,γ為任意常數(shù).對(duì)方程(14)做行波變換[14]:

(15)

其中:k,l為待定系數(shù).將方程(15)代入方程(14)，得到

-lu′+αkuu′+βku2u′+γk3u?=0 .

(16)

設(shè)方程(14)的解為

(17)

Q′(ξ)=Q(ξ)(Q(ξ)-1)lna.

(18)

于是對(duì)方程(16)進(jìn)行積分得

(19)

可以發(fā)現(xiàn)方程(19)中沒(méi)有非線性項(xiàng)，因此平衡方程(19)中的最高階線性項(xiàng)和次高階線性項(xiàng)，得到N=M+1，令M=1,則N=2，根據(jù)式(17)解的形式，于是令

(20)

通過(guò)計(jì)算，易求出u2,u3,u″關(guān)于Q的表達(dá)形式，如下所示：

u″=[2a2b1Q6ln2a+PQ5ln2a+N2Q4ln2a+
M2Q3ln2a+L2Q2ln2a+KQln2a]/[(b0+b1Q)3] .

然后將u2,u3,u″代入方程(19)，合并Q的同冪次項(xiàng)并令各次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，可得到關(guān)于變量a0,a1,a2,b0,b1,k,l的代數(shù)方程，求解該方程組可得到下列幾組解：

1)當(dāng)a0=0,a1=0時(shí)，得到

根據(jù)齊次平衡法，得到時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程(14)的孤子解,如下所示：

(21)

2)當(dāng)a0=0,a2=0時(shí)，得到

于是根據(jù)齊次平衡法，得到如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程(14)的孤子解：

(22)

3)當(dāng)a1=0,a2=0時(shí)，得到

根據(jù)齊次平衡法，得到如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程(14)的孤子解：

(23)

4)當(dāng)a0=0,b0=0時(shí)，得到

根據(jù)齊次平衡法，得到如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程(14)的孤子解：

(24)

5)當(dāng)a2=0,b1=0時(shí)，得到

根據(jù)齊次平衡法，得到如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程(14)的孤子解：

(25)

4 結(jié)論

筆者運(yùn)用齊次平衡法求解整數(shù)階非線性偏微分方程，得到了KdV-mKdV方程(1)的孤子解，然后進(jìn)一步將其推廣到求解分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程.利用一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和齊次平衡法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程，得到一些新穎的時(shí)間分?jǐn)?shù)階精確解.該方法可以推廣到其他的非線性演化方程.