王澤陽，趙顥博,2，王怡菲

(1.沈陽航空航天大學(xué) 國際工程師學(xué)院，沈陽 110136；2.美國南伊利諾伊大學(xué) 航空學(xué)院，卡本代爾 62901)

0 引言

自行車計(jì)時(shí)賽中，選手既需要足夠的爆發(fā)力來進(jìn)行短時(shí)間的沖刺，也需具有騎行數(shù)小時(shí)的耐力。騎行能力可以用功率曲線來描述，表示運(yùn)動員在每個(gè)持續(xù)時(shí)間內(nèi)所能維持的最大能量，獲得功率曲線，對指導(dǎo)訓(xùn)練和比賽具有重要意義。

為描述給定時(shí)間段內(nèi)的最大平均功率，引入了MMP(mean maximal power output)概念來描述功率曲線，但其中存在著數(shù)據(jù)集較大[1]、測試時(shí)間不一致且不便于比較[2]的問題。提出采用MMP數(shù)據(jù)集、借用較少的參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，對功率曲線進(jìn)行擬合的方法。

被用于功率曲線擬合的數(shù)學(xué)模型主要有雙參數(shù)臨界功率(2P-CP)模型、三參數(shù)臨界功率(3P-CP)模型和OmPD模型[2]。其中，雙參數(shù)臨界功率(2P-CP, two-parameter critical power )模型是研究最深入的[3]，其描述了輸出功率與力竭時(shí)間之間的雙曲線關(guān)系，引入臨界功率CP和無氧運(yùn)動能力作為描述模型的參數(shù)。該模型表達(dá)結(jié)構(gòu)簡單，但存在適用運(yùn)動時(shí)間范圍較窄的局限性[2]。Poole等提出了三參數(shù)臨界功率(3P-CP)模型，用于擬合運(yùn)動員較短持續(xù)時(shí)間內(nèi)的功率曲線[3]，但該模型高估了較長運(yùn)動時(shí)間下的功率輸出能力。Michael等提出了OmPD(omni power duration model)模型，用于擬合所有運(yùn)動持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)的功率曲線[4]。

地形因素是自行車個(gè)人計(jì)時(shí)賽中的重要影響因素，選手在上坡、下坡和平地這三種地形的功率分配方式將對比賽成績產(chǎn)生顯著影響。目前，關(guān)于通過建立功率曲線模型來分析不同地形下功率最佳分配方式的文獻(xiàn)較少，相應(yīng)方法對于實(shí)際比賽缺乏指導(dǎo)意義。本研究采用OmPD模型建立功率曲線，為運(yùn)動員在不同地形下的功率分配方式提出建議。

1 功率曲線模型的建立

OmPD模型考慮了運(yùn)動員不能以臨界功率無限地運(yùn)動下去，故而引入了對數(shù)衰減項(xiàng)來描述較長運(yùn)動時(shí)間下的功率輸出。根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]，OmPD模型功率曲線可表示為：

CP;t≤TCPmax

(1)

(2)

式中，CP為臨界功率，W′為無氧工作能力，表示超過臨界功率后的運(yùn)動能力。Pmax為1 s內(nèi)的峰值功率，A為描述輸出功率隨時(shí)間下降的固定常數(shù)，TCPmax為以CP運(yùn)動的最長持續(xù)時(shí)間，參考文獻(xiàn)[1]取1 800 s。采用Valenzuela等對男性職業(yè)自行車運(yùn)動員的MMP值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[5]進(jìn)行模型擬合，得到的模型參數(shù)如表1所示，運(yùn)動員的功率曲線如圖1所示。可以發(fā)現(xiàn)，擬合出的功率曲線與實(shí)驗(yàn)測量得到的MMP符合較好，因此認(rèn)為建立的功率曲線模型準(zhǔn)確可靠。

表1 OmPD模型參數(shù)Tab.1 OmPD model parameters

圖1 OmPD模型功率曲線Fig.1 OmPD model power curve

2 各地形功率分配模型

2.1 最佳功率分配方式的理論分析

為給出在復(fù)合地形賽道下的最佳功率分配方式，需建立在不同地形下的功率輸出模型。在忽略風(fēng)力影響和加速度影響的情況下，可以認(rèn)為運(yùn)動員在比賽中的輸出功率與騎行速度、騎行阻力和地形坡度有關(guān)：

P=cv3+mgv(μ+s)

(3)

式中，v為運(yùn)動員騎行速度，c為空氣阻力系數(shù)，μ為摩擦系數(shù)，s為賽道地形坡度(坡面夾角的正弦值)，m為運(yùn)動員自身體重和自行車重量之和，g為重力加速度。運(yùn)動員在整個(gè)比賽中所消耗的無氧功滿足：

(4)

式中，x為賽道路段長度。對于具有恒定坡度的路段，當(dāng)騎行速度恒定時(shí)，通過該路段的用時(shí)最短[6]，式(4)可以化為：

(5)

式中，下標(biāo)i代指一段坡度相同的賽道路段。運(yùn)動員完成比賽的用時(shí)可表示為：

(6)

為在無氧工作能力W′固定的約束下選取合適的vi，使完成比賽的用時(shí)T最小，采用Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行計(jì)算：

(7)

式中，展開可表示為：

(8)

消去乘數(shù)λ，發(fā)現(xiàn)當(dāng)各段賽道的騎行速度vi相同時(shí)，完成比賽的用時(shí)最短。

2.2 功率分配方式實(shí)例

以2021年東京奧運(yùn)會男子公路自行車個(gè)人計(jì)時(shí)賽賽道為例，計(jì)算了運(yùn)動員在各段賽道的最佳輸出功率。根據(jù)實(shí)際比賽賽道地形進(jìn)行合理的簡化，簡化后的賽道地形如圖2所示，各段坡長和坡度的正弦值如表2所示。

圖2 簡化和的賽道地形圖Fig.2 Simplified and topographic map of the track

表2 各段地形坡長和坡度正弦值Tab.2 Slope length and slope sine of each section of terrain

計(jì)算過程取運(yùn)動員體重為平均值69.5 kg[5]，自行車車重為8 kg，重力加速度g=9.8 m/s2，空氣阻力c=0.17 kg/m，摩擦系數(shù)μ=0.003[6]?？紤]到實(shí)際比賽過程中運(yùn)動員不會因?yàn)檩敵龉β蔖i小于CP而恢復(fù)無氧工作能力W′，故各路段下應(yīng)滿足約束條件：

Pm=CP

(9)

確定各路段下運(yùn)動員輸出功率和騎行速度的計(jì)算流程如圖3所示。計(jì)算得到各路段下的最佳輸出功率和騎行速度如圖4所示。

圖3 功率分配流程圖Fig.3 Flow chart of power distribution

圖4 各路段最佳輸出功率與騎行速度Fig.4 Optimal output power and riding speed for each road section

結(jié)合圖2與圖4可知，對于存在上坡、下坡與平地的復(fù)雜地形，在上坡時(shí)應(yīng)以較高的功率騎行，且隨著坡度增大，騎行輸出功率應(yīng)越高，以保證在所有上坡段的騎行速度相等，最終得到騎行過程中的最大輸出功率Pm=412.72 W。對于平地和下坡段賽道，在Pi,min=CP的約束條件下，應(yīng)以CP大小的輸出功率騎行，因此坡度的絕對值越大，運(yùn)動員騎行速度應(yīng)越大。

2.3 偏離最佳輸出功率對完賽時(shí)間的影響

實(shí)際比賽中，完全按照最佳輸出功率完成比賽是十分困難的，而比賽前期過高的功率輸出會導(dǎo)致后期做功能力不足。為研究偏離最佳輸出功率對完賽時(shí)間的影響，采取對最佳輸出功率設(shè)置隨機(jī)偏差值的方法，模擬偏離最佳功率的情況，并對此進(jìn)行了2 000次數(shù)值模擬。

圖5為數(shù)值模擬流程的偽代碼，圖6為通過數(shù)值模擬得到的完賽時(shí)間。

圖5 數(shù)值模擬流程偽代碼Fig.5 Numerical simulation process pseudo-code

圖6 偏離最佳功率情況下的完賽時(shí)間Fig.6 Finish time in case of deviation from optimal power

從圖6可以看出，輸出功率偏離最佳功率會導(dǎo)致完賽用時(shí)延長。在輸出功率波動范圍為±(Pm-CP)的情況下，2 000次模擬下的平均完賽時(shí)間比最佳功率下的完賽時(shí)間長31 s；偏差最嚴(yán)重的情況下，完賽時(shí)間相比最佳功率下的完賽時(shí)間慢118 s；偏差最小的情況下，完賽時(shí)間與最佳功率下的完賽時(shí)間接近。這同時(shí)也驗(yàn)證了采取最佳功率分配方式的正確性。

3 結(jié)論

采用OmPD模型建立自行車運(yùn)動員的功率輸出曲線，確定了其在不同地形下的的最佳功率分配方式。結(jié)論如下：

理論情況下選擇合適的輸出功率，令運(yùn)動員在各路段下的vi相等，完賽時(shí)間最短。對于存在上坡、下坡與平地的復(fù)雜地形，應(yīng)在上坡處以較高輸出功率騎行，并保證各段上坡路段的騎行速度相等，坡處則應(yīng)以CP大小的輸出功率騎行。