王 芳，溫林枝，陰良魁

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.中國科學(xué)院科技創(chuàng)新發(fā)展中心，北京 100190)

0 引言

高超聲速飛行器是飛行速度超過5倍聲速的有翼或無翼飛行器。隨著科學(xué)與軍事領(lǐng)域的發(fā)展，高超聲速飛行器的跟蹤控制研究已成為航空航天領(lǐng)域研究的熱點問題之一。飛行環(huán)境復(fù)雜多變，導(dǎo)致高超聲速飛行器具有強不確定性、強耦合性、強非線性和快時變等特性[1-2]。這些復(fù)雜特性導(dǎo)致高超聲速飛行器控制的研究面臨諸多難題。目前，基于高超聲速飛行器縱向模型的控制方法主要有自適應(yīng)反步控制[3]、滑?？刂芠4]和模糊控制[5]等方法，然而現(xiàn)有的控制方法仍然存在一些不足。因此，高超聲速飛行器的控制研究是十分有意義的。

目前，針對高超聲速飛行器受到的不確定問題，基于自適應(yīng)技術(shù)的控制策略被提出[6-8]。文獻[9]針對參數(shù)不確定，基于輸入輸出線性化理論，設(shè)計了模糊邏輯系統(tǒng)處理不確定問題。但這種方法處理不確定問題時一般需要比較復(fù)雜的計算過程，并且需要滿足輸入輸出線性化的條件。此外，跟蹤微分器也被用于處理高超聲速飛行器的不確定問題[10]，然而這種跟蹤微分器是二階微分方程，且設(shè)計過程較復(fù)雜。上述方法雖然獲得了良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，但沒有考慮誤差約束或狀態(tài)約束等性能受限問題。事實上，實際系統(tǒng)對于性能約束有更高的要求。因此，設(shè)計性能受限下的控制策略可以確保系統(tǒng)滿足預(yù)先設(shè)定的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能要求。

目前實現(xiàn)暫態(tài)性能約束的主要控制方法有三類：預(yù)定性能函數(shù)(prescribed performance function,PPF)、障礙Lyapunov函數(shù)(barrier Lyapunov function,BLF)和狀態(tài)變換函數(shù)?；赑PF的控制方法的主要思想是構(gòu)造預(yù)定性能函數(shù)，將誤差約束問題轉(zhuǎn)化為無誤差約束問題。文獻[11]針對速度子系統(tǒng)設(shè)計了指數(shù)型性能函數(shù)。文獻[12]針對不確定和未知干擾影響下的高超聲速飛行器，設(shè)計性能函數(shù)和輸出誤差變換，確保輸出誤差滿足預(yù)定性能要求。文獻[13]采用誤差變換函數(shù)解決了未知初始誤差問題。此外，基于BLF的控制方法的主要思想是構(gòu)造關(guān)于誤差信號的BLF，然后根據(jù)BLF關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)設(shè)計控制器。文獻[14]設(shè)計了BLF處理非線性系統(tǒng)的輸出誤差約束問題。對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)[15-16]被廣泛應(yīng)用于解決非線性系統(tǒng)的性能約束問題。文獻[17]利用對數(shù)障礙Lyapunov函數(shù)解決了高超聲速飛行器的狀態(tài)受限問題，并設(shè)計了基于固定時間干擾觀測器的預(yù)定性能反步控制策略。文獻[18]設(shè)計正切障礙Lyapunov函數(shù)(tangent barrier Lyapunov function,TBLF) 解決了非線性系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的性能約束問題。文獻[19]提出了改進的TBLF，但輸出誤差約束的邊界是對稱的。文獻[20]為了處理輸出誤差約束問題，提出了非對稱TBLF，可以解決非對稱的輸出誤差約束。狀態(tài)變換函數(shù)方法的思想是構(gòu)造與狀態(tài)相關(guān)的非線性函數(shù)，將狀態(tài)約束問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)無約束問題。無論是PPF方法還是BLF方法，改進方向都是設(shè)計新的函數(shù)，以確保約束效果更精確更靈活。因此，采用BLF方法實現(xiàn)對高超聲速飛行器輸出誤差和所有狀態(tài)誤差的非對稱約束是本文研究的重點之一。

此外，輸入飽和是非線性系統(tǒng)的特性之一。如果輸入飽和沒有得到有效的處理，系統(tǒng)的控制性能會被迫減弱，甚至?xí)a(chǎn)生系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象[21]。由于高超聲速飛行器的飛行環(huán)境復(fù)雜，未知氣流會引發(fā)致動器飽和。所以在高超聲速飛行器控制器設(shè)計中，輸入飽和是不容忽視的問題。目前，通過在控制器設(shè)計的初始階段考慮執(zhí)行器幅值約束的方法可以用來解決執(zhí)行器飽和問題[22-24]。然而，該方法保證了系統(tǒng)在執(zhí)行器飽和影響下的穩(wěn)定性，卻犧牲了閉環(huán)系統(tǒng)的全局性能。輔助系統(tǒng)有效處理了輸入飽和問題[25-26]。文獻[27]利用高階跟蹤微分器，基于輔助誤差構(gòu)造了抗飽和自適應(yīng)神經(jīng)控制器，消除了執(zhí)行器飽和的影響。但文獻[27]在高度子系統(tǒng)中設(shè)計的輔助系統(tǒng)是三階系統(tǒng)，這無疑會加大計算的復(fù)雜度。文獻[28]在文獻[27]的基礎(chǔ)上，進一步改進輔助系統(tǒng)，所設(shè)計的輔助系統(tǒng)是有界的，且在有限時間內(nèi)可以收斂到零。針對彈性吸氣式高超聲速飛行器的執(zhí)行器飽和問題，文獻[29]提出了抗飽和固定時間補償器。此外，文獻[30]結(jié)合雙曲正切函數(shù)和輔助系統(tǒng)設(shè)計了抗飽和控制器，解決了高超聲速飛行器輸入飽和問題。文獻[31]針對輸入飽和問題，引入非線性增益函數(shù)提高了系統(tǒng)對輸入飽和的抑制能力。文獻[32]基于輔助系統(tǒng)設(shè)計了自適應(yīng)容錯控制器，解決了輸入飽和問題。輸入飽和以及性能約束是高超聲速飛行器控制研究中不容忽視的兩個問題。因此，針對不確定、性能約束和輸入飽和綜合影響下的高超聲速飛行器控制器設(shè)計是本文的研究重點。

基于上述分析，本文的主要創(chuàng)新如下：

1) 基于非對稱正切障礙Lyapunov函數(shù)，分別為速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)設(shè)計自適應(yīng)障礙控制器和自適應(yīng)障礙反步控制器，確保系統(tǒng)在不確定和輸入飽和影響下，仍能使速度和高度跟蹤誤差以及狀態(tài)誤差滿足約束的要求。

2) 采用輔助系統(tǒng)處理輸入飽和問題，當(dāng)發(fā)生飽和現(xiàn)象時，補償器可以產(chǎn)生輔助變量，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，快速擺脫飽和區(qū)域。當(dāng)不發(fā)生飽和時，輔助變量自動收斂，不會影響系統(tǒng)的控制性能，有效解決了輸入飽和問題。

3) 結(jié)合非對稱正切障礙Lyapunov函數(shù)和輔助系統(tǒng)設(shè)計自適應(yīng)律，在性能約束和輸入飽和情形下，有效解決系統(tǒng)中的不確定問題。

1 高超聲速飛行器模型

本文基于高超聲速飛行器縱向模型，進行跟蹤控制的研究。相比于高超聲速飛行器橫側(cè)向平面和六自由度軌跡跟蹤控制研究，縱向動力學(xué)的特性更為豐富，研究方法也更具有代表性。高超聲速飛行器縱向動力學(xué)模型為[33-35]

(1)

其中，V、h、γ、α、Q分別為速度、高度、航跡角、攻角和俯仰角速率，ηi為彈性變量(i=1,2,3)，Iyy、m、g分別為俯仰轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量和重力加速度，T、D、L、Myy分別表示發(fā)動機推力、空氣阻力、升力、俯仰力矩。力和力矩的近似值與文獻[35]相同，由曲線擬合得到的氣動力系數(shù)、力矩系數(shù)和廣義力系數(shù)的表達式為

(2)

其中，

2 問題描述

本文的主要目的是為系統(tǒng)(1)設(shè)計控制器。首先為便于控制器設(shè)計，將縱向動力學(xué)模型式(1)改寫為面向控制模型[36]，針對速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)分別設(shè)計輔助系統(tǒng)，解決輸入飽和問題。其次，為解決誤差約束問題，利用障礙Lyapunov函數(shù)確保輸出誤差和狀態(tài)誤差滿足給定的性能要求。在高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計中，利用濾波器避免了反步法存在的“計算爆炸”問題。

高超聲速飛行器面向控制模型為

(3)

為滿足預(yù)定性能對輸出跟蹤誤差和狀態(tài)誤差的約束要求，本文利用非對稱TBLF[20]

(4)

其中，ωi(t)=ωi0e-ζit+ωi∞，ωi0、ζi、ωi∞均為正常數(shù)，i=V,h,γ,α,Q。

(5)

其中，μi1和μi2是正常數(shù)。

(6)

其中，ci1>0為待設(shè)計參數(shù)，

注1針對不確定問題，與文獻[17]提出的非線性干擾觀測器不同，本文在考慮預(yù)定性能和輸入飽和的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)方法對不確定的上界進行估計。所涉及的參數(shù)較少，計算更加簡潔。

3 控制器設(shè)計

由面向控制模型式(3)可知，速度主要受燃料當(dāng)量比的影響，而升降舵偏轉(zhuǎn)對高度的貢獻占主導(dǎo)地位。因此，式(3)可合理地分解為速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)。3.1節(jié)給出基于輔助系統(tǒng)的速度子系統(tǒng)抗飽和預(yù)定性能動態(tài)逆控制器設(shè)計過程；3.2節(jié)給出基于輔助系統(tǒng)的高度子系統(tǒng)抗飽和自適應(yīng)反步控制器設(shè)計過程。

3.1 速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

在考慮控制輸入φ飽和的情況下，通過設(shè)計帶有輔助系統(tǒng)的控制器，有效補償輸入飽和。基于式(4)，針對速度子系統(tǒng)和輔助系統(tǒng)，設(shè)計關(guān)于速度跟蹤誤差的非對稱TBLF，保證在飛行過程中速度跟蹤誤差不超過預(yù)設(shè)邊界。

速度子系統(tǒng)動態(tài)方程為

(7)

考慮控制輸入φ飽和

(8)

其中，φm、φM分別為φ的最小值和最大值。

為補償控制輸入飽和，設(shè)計輔助系統(tǒng)[25]

(9)

其中，Δφ=φ-φc，k0為正常數(shù)。

定義速度跟蹤誤差為

zV=V-Vd

(10)

其中，Vd為速度參考指令，對zV求導(dǎo)可得

(11)

設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)

(12)

其中，kfV>0為常數(shù)。

由式(6)和式(11)可得YV關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(13)

設(shè)計如下控制輸入

(14)

其中，kV為正常數(shù)。

(15)

其中，kfV,σV>0為常數(shù)。

將式(14)和(15)代入式(13)，并利用楊氏不等式可得

(16)

注4與文獻[21,25-26]相比，本文在考慮預(yù)定性能情況下處理輸入飽和問題。對速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)分別設(shè)計輔助系統(tǒng)解決輸入飽和問題。

3.2 高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

在考慮控制輸入δe飽和的情況下，基于抗飽和輔助系統(tǒng)和非對稱TBLF設(shè)計自適應(yīng)反步控制器，保證在飛行過程中高度跟蹤誤差zh和狀態(tài)誤差zγ、zα、zQ不超過預(yù)設(shè)邊界。

由于高超聲速飛行器巡航段航跡角的變化較小，所以sinγ≈γ。高度子系統(tǒng)動態(tài)方程可以寫為

(17)

其中，

考慮高度子系統(tǒng)控制輸入δe飽和

(18)

其中，δem,δeM分別為δe的最小值和最大值。

為補償控制輸入飽和，設(shè)計輔助系統(tǒng)為

(19)

其中，Δδe=δe-δec,ke為正常數(shù)。

步驟1高度跟蹤誤差為

zh=h-hd

(20)

zh關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(21)

設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)，保證高度跟蹤誤差始終保持在預(yù)定范圍之內(nèi)

(22)

根據(jù)式(6)和式(21)，對Yh求導(dǎo)可得

(23)

設(shè)計虛擬控制輸入γc

(24)

其中，kh為正常數(shù)。將式(24)代入式(23)得

(25)

為避免虛擬控制輸入多次求導(dǎo)產(chǎn)生“計算爆炸”問題，設(shè)計一階濾波器

(26)

其中，τγ為正常數(shù)，濾波器誤差為yγ=γd-γc。

步驟2航跡角誤差為

zγ=γ-γd，

(27)

zγ關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(28)

設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)，保證航跡角誤差始終保持在預(yù)定范圍之內(nèi)

(29)

其中，kfγ為正常數(shù)。

由式(6)和式(28)可得Yγ關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(30)

設(shè)計虛擬控制輸入

(31)

其中，kγ為正常數(shù)。

設(shè)計如下自適應(yīng)律

(32)

其中，σγ>0是正常數(shù)。

將式(31)和(32)代入式(30)，并利用楊氏不等式得

(33)

設(shè)計如下一階濾波器

(34)

其中，τα為正常數(shù)，濾波器誤差為yα=αd-αc。

步驟3攻角誤差為

zα=α-αd

(35)

zα關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(36)

設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)，保證攻角誤差始終保持在預(yù)定范圍之內(nèi)

(37)

由式(6)和式(36)可得Yα關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(38)

設(shè)計虛擬控制輸入

(39)

其中，kα為正常數(shù)。

設(shè)計如下自適應(yīng)律

(40)

其中，σα>0是正常數(shù)。

將式(39)和(40)代入式(38)，利用楊氏不等式得

(41)

設(shè)計如下一階濾波器

(42)

其中，τQ為正常數(shù)，濾波器誤差為yQ=Qd-Qc。

步驟4俯仰角速率誤差為

zQ=Q-Qd

(43)

(44)

設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)，保證俯仰角速率誤差始終保持在預(yù)定范圍之內(nèi)

(45)

由式(6)和式(44)可得YQ關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(46)

設(shè)計控制輸入

(47)

其中，kQ為正常數(shù)。

(48)

其中，σQ>0是正常數(shù)。

將式(47)和(48)代入式(46)，并利用楊氏不等式得

(49)

4 穩(wěn)定性分析

基于上述控制器的設(shè)計，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論分析其穩(wěn)定性。

定理1考慮系統(tǒng)(1)，在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，設(shè)計控制輸入式(14)和式(47)以及自適應(yīng)律式(15)和式(48)。則系統(tǒng)輸出跟蹤誤差zV,zh和狀態(tài)誤差zγ,zα,zQ滿足預(yù)先設(shè)定的約束條件。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

Y=YV+Yh+Yγ+Yα+YQ+Yy

(50)

由一階濾波器(26)、(34)和(42)可得

(51)

基于式(16)、(25)、(33)、(41)、(49)和(51)，式(50)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

(52)

進一步可得

(53)

由(53)可得

Y≤Y(0)e-cmt+c0/cm

(54)

進一步可得輸出速度跟蹤誤差zV、高度跟蹤誤差zh以及各狀態(tài)誤差zγ,zα,zQ有界

由式(4)和(5)可知

因此，所提控制策略能夠保證系統(tǒng)跟蹤誤差及各狀態(tài)誤差是有界穩(wěn)定的，且滿足預(yù)先設(shè)定的性能要求-μi2ωi(t)

5 仿真分析

為了驗證速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)自適應(yīng)控制器的有效性，以高超聲速飛行器的非線性縱向動力學(xué)模型(1)為仿真對象。仿真時參數(shù)的不確定性為+20%。飛行器速度和高度的階躍信號分別為30.48 m/s和609.6 m。飛行器初始條件如表1所示。所設(shè)計控制器的參數(shù)如表2所示。控制輸入飽和的最大最小值分別為φm=0.1,φM=0.5和δem=-0.12 rad,δeM=0.12 rad。

表1 狀態(tài)初始值Tab.1 Initial flight condition

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Controller parameters

為驗證所提出的控制策略的有效性，針對如下四種情形進行對比仿真：

情形1考慮不確定、輸入飽和與預(yù)定性能。

情形2只考慮輸入飽和與預(yù)定性能。

情形3考慮不確定與預(yù)定性能。

情形4考慮不確定、輸入飽和與預(yù)定性能。

利用如下對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)[17]保證系統(tǒng)滿足預(yù)定性能要求：

其中，ρV(t)=(ωi0-ωi∞)e-lVt+ωi∞,i=V,h,γ,α,Q,ωV0=7,ζV=4,ωV∞=1,ωh0=6,ζh=4,ωh∞=0.6,其余參數(shù)同表2。

圖1～圖3為情形1與情形2下的對比結(jié)果。通過圖1(a)和(b)可以看出，兩種情形下，速度曲線V和高度曲線h都能穩(wěn)定跟蹤其期望軌跡Vd和hd，并且速度跟蹤誤差zV和高度跟蹤誤差zh都在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)(-0.5ωV,0.6ωV),(-0.5ωh,0.6ωh)。由圖2(a)～(c)可知兩種情形下，航跡角γ、攻角α和俯仰角速率Q實現(xiàn)了對各自期望信號的穩(wěn)定跟蹤，且誤差在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)(-0.5ωγ,0.6ωγ),(-0.5ωα,0.6ωα),(-0.5ωQ,0.6ωQ)。圖3為控制輸入φ和δe在情形1和情形2下的對比曲線。在所設(shè)計的預(yù)定性能控制策略下，燃油定量比φ和升降舵偏角δe均趨于穩(wěn)定。

圖1 情形1與情形2的輸出誤差曲線Fig.1 Error curve of output in case 1 and case 2

圖2 情形1與情形2的狀態(tài)誤差曲線Fig.2 Error curve of states in case 1 and case 2

圖3 情形1與情形2的控制輸入曲線Fig.3 Curve of control input in case 1 and case 2

圖4～圖5為情形1與情形3的對比結(jié)果。通過圖4可以看出，在兩種情形下，速度V和高度h都能穩(wěn)定跟蹤其期望軌跡Vd和hd，并且速度跟蹤誤差zV和高度跟蹤誤差zh都在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)(-0.5ωV,0.6ωV),(-0.5ωh,0.6ωh)。由圖5可知，在兩種情形下，航跡角γ、攻角α和俯仰角速率Q實現(xiàn)了對各自期望信號的穩(wěn)定跟蹤，且誤差在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)(-0.5ωγ,0.6ωγ),(-0.5ωα,0.6ωα),(-0.5ωQ,0.6ωQ)。

圖4 情形1與情形3的輸出誤差曲線Fig.4 Error curve of output in case 1 and case 3

圖5 情形1與情形3的狀態(tài)誤差曲線Fig.5 Error curve of states in case 1 and case 3

圖6為控制輸入φ和δe在情形1與情形3的對比曲線。在情形3下，燃油定量比φ和升降舵偏角δe分別在(0,0.2)s和(0,0.1)s內(nèi)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。分別超出約束φ∈[0.2,0.5]和δe∈[-0.12,0.12]rad，并在0.7 s后趨于穩(wěn)定。通過對比可以得出所設(shè)計的控制策略可以有效補償控制輸入飽和，并且比不考慮飽和的情形使系統(tǒng)具有更良好的穩(wěn)定性。

圖6 情形1與情形3的控制輸入曲線Fig.6 Curve of control input in case 1 and case 3

圖7為情形1與情形4的速度跟蹤誤差曲線和高度跟蹤誤差曲線。通過圖7可知，在兩種情形下，速度跟蹤誤差zV都在約束邊界內(nèi)且區(qū)別較小。此外，利用非對稱TBLF時的高度跟蹤誤差zh在(0,2)s內(nèi)小于利用對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)時的高度跟蹤誤差。這表明非對稱TBLF比一般的對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)具有更強的約束性。并且非對稱TBLF對誤差的約束邊界既可以是對稱的又可以不對稱的，這優(yōu)于只能保證對稱約束邊界的對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)。

圖7 情形1與情形4的輸出誤差曲線Fig.7 Error curve of output in case 1 and case 4

6 結(jié)論

1) 本文利用非對稱TBLF實現(xiàn)了對輸出跟蹤誤差和狀態(tài)誤差的非對稱約束，且約束效果優(yōu)于對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)。

2) 針對高超聲速飛行器的速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)，分別設(shè)計具有抗飽和作用的輔助系統(tǒng)。在保證輸出誤差和狀態(tài)誤差滿足性能約束的條件下，所設(shè)計的輔助系統(tǒng)解決了輸入飽和問題。

3) 針對系統(tǒng)不確定，在非對稱TBLF和輔助系統(tǒng)的基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)律估計不確定的上界，并利用一階低通濾波器解決了反步控制策略存在的“計算爆炸”問題。