莫泓銘，徐建林，肖萬武

(1.四川民族學(xué)院 圖書館，四川 康定 626001；2.四川民族學(xué)院 馬克思主義學(xué)院，四川 康定 626001；3.四川民族學(xué)院 體育學(xué)院，四川 康定 626001)

決策是一種常見的日?；顒?dòng)，是決策者為實(shí)現(xiàn)特定的目標(biāo)，根據(jù)主觀、客觀的可能性，在既有信息和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借用相關(guān)決策方法或工具，對(duì)影響決策目標(biāo)的諸多因素進(jìn)行分析、判斷、整理的過程。一般決策目標(biāo)所涉及到的因素即決策目標(biāo)的屬性比較多，因此決策通常指多屬性決策(Multiple attributes decision making，MADM)[1]。近年來，諸如層次分析法(AHP)[2]、逼近理想解排序法(TOPSIS)等方法用于解決MADM問題，其中各屬性的相關(guān)參數(shù)或指標(biāo)的評(píng)估信息都是必不可少的。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，獲取參數(shù)或指標(biāo)的精確評(píng)估信息比較困難。一方面，對(duì)指標(biāo)的量化可能涉及到定性信息、定量信息，甚至有的由于不方便量化而導(dǎo)致信息缺失，即出現(xiàn)不完全信息等；另一方面，決策者在決策評(píng)估時(shí)，由于自身的專業(yè)知識(shí)、興趣偏好等主客觀原因，做出的相關(guān)評(píng)價(jià)信息具有不確定性。近年來，學(xué)者們提出了模糊數(shù)學(xué)[3]、粗糙集[4]、證據(jù)理論[5，6]等方法用于解決信息不確定性問題，并取得了一定成效。

值得一提的是，證據(jù)理論作為貝葉斯概率論的推廣，最大優(yōu)勢在于不需要任何先驗(yàn)概率信息，并且將單子集推廣到冪集，表達(dá)和應(yīng)用范圍更廣。然而在運(yùn)用時(shí)，仍面臨諸多條件約束與先天不足。為解決這些問題，鄧勇教授[7]于2012年提出D數(shù)理論，作為證據(jù)理論的有效擴(kuò)展，克服了相關(guān)限制與先天不足，信息的表達(dá)與處理更加靈活。但在處理不完備信息時(shí)容易出現(xiàn)與直覺相悖的結(jié)果。基于此，本文提出一種新的D數(shù)聚集方法，將缺失的信息有效利用起來，使融合結(jié)果更加合理。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 證據(jù)理論

證據(jù)理論(Evidence theory)是Dempster[5]于1967年提出，隨后由其學(xué)生Shafer于1976年進(jìn)一步推廣、完善的一種處理不確定信息的數(shù)學(xué)工具[6]。不僅能表達(dá)不確定信息，還能表達(dá)完全不知道的信息。由于具有強(qiáng)大的信息處理能力，證據(jù)理論已被廣泛應(yīng)用于故障診斷[8]、供應(yīng)商選擇[9]、多源目標(biāo)融合[10]等領(lǐng)域，并取得較好的效果。

假設(shè)H={H1，H2，H3…，Hn}是一個(gè)非空、完全、互斥的集合，辨識(shí)框架(Framework of discernment)Ω={H1，H2，…Hn，{H1，H2}，{H1，H3}…Ω}由該集合的所有子集及其冪集組成，在該框架上的基本概率指派(Basic probability assignment，BPA)滿足：

其中，?是空集，A是集合Ω的任意子集。

Dempster組合規(guī)則是證據(jù)理論的核心，又稱為兩個(gè)BPA的正交和，即將兩個(gè)不同來源的證據(jù)進(jìn)行融合，得到一個(gè)新的證據(jù)。Dempster組合規(guī)則定義如下：

其中，k是沖突系數(shù)，反映兩個(gè)BPA的相容程度。當(dāng)k=1時(shí)，說明這兩個(gè)BPA完全一樣；k=0，則完全沖突、互斥的，即彼此互相矛盾，此時(shí)Dempster組合規(guī)則無效，證據(jù)理論不適用于此情形。Dempster組合規(guī)則滿足交換律和結(jié)合律，即m1⊕m2=m2⊕m1，(m1⊕m2)⊕m3=m1(⊕m2⊕m3)。當(dāng)存在多個(gè)BPA時(shí)，不考慮先后順序采取一對(duì)一進(jìn)行融合。

1.2 D數(shù)理論

證據(jù)理論相對(duì)傳統(tǒng)的貝葉斯概論而言，從單子集到冪集，在先驗(yàn)信息的需要與否，信息的表達(dá)與融合等方面都取得了一定成效，應(yīng)用范圍更加廣泛。但在運(yùn)用時(shí)，需滿足諸多條件：一是集合中的元素必須兩兩互斥，不能有任何交集。但實(shí)際生活中諸如“很好”“好”“一般”等語言評(píng)價(jià)集，元素之間可能沒有明確的界限，甚至相鄰的兩元素間很可能有一定交集。二是同一BPA概率分配之和必須為1，即完整性約束。但由于設(shè)備的軟、硬件原因，收集不到足夠的完整的信息，或者評(píng)估者由于知識(shí)水平不足，對(duì)評(píng)估對(duì)象缺乏足夠把握等主客觀原因，評(píng)估時(shí)很容易只給出部分信息，即只能給出部分BPA信息，導(dǎo)致BPA信息信任度之和不為1，這在現(xiàn)實(shí)生活中是允許的，也是客觀存在的，但在證據(jù)理論中是不允許的。三是Dempster組合規(guī)則的運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度高，當(dāng)證據(jù)源的數(shù)量呈線性增長時(shí)，計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度呈指數(shù)級(jí)增長，不適用于對(duì)時(shí)間性要求比較高的信息融合決策場景。四是Dempster組合規(guī)則在運(yùn)用時(shí)，要求各證據(jù)源間必須彼此完全獨(dú)立，毫無關(guān)聯(lián)，這在實(shí)際中很難完全達(dá)到。比如在評(píng)估時(shí)專家有可能受到其他專家的干擾或影響，或者查閱資料時(shí)受到歷史評(píng)估信息的影響等。五是Dempster組合規(guī)則的先天“一票否決”制，即著名的“Zadeh悖論”[11]。當(dāng)某個(gè)元素一旦被否決，即信任度被賦值0，不論后面的證據(jù)源多么強(qiáng)有力的支持，甚至100%信任，最終的融合結(jié)果也為0。

在D數(shù)理論中，元素間不強(qiáng)行要求必須互斥，允許評(píng)估者根據(jù)實(shí)際情況給出評(píng)估信息，不強(qiáng)性要求評(píng)估信息的信任度之和必須完整，即允許信息缺失，解決了證據(jù)理論的指數(shù)級(jí)計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度問題等。由于上述諸多優(yōu)勢，D數(shù)理論目前已被廣泛應(yīng)用到醫(yī)療廢物處理技術(shù)評(píng)估[12]、選址[13]、質(zhì)量目標(biāo)評(píng)估[14]、緊急決策[15]、交通可持續(xù)評(píng)估[16]、項(xiàng)目復(fù)雜性評(píng)價(jià)[17]、環(huán)境影響評(píng)估[18]、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[19]等領(lǐng)域，并與TOPSIS[20]、SWOT[21]、模糊層次分析法[1]等技術(shù)聯(lián)合運(yùn)用，取得了不錯(cuò)的效果。相關(guān)定義如下：

定義1假設(shè)Ω是一個(gè)有限非空集合，D數(shù)是一個(gè)映射，即D:Ω→[0,1]，滿足以下條件：

定義2假設(shè)Ω={d1，…di，…dn}，一種特殊形式的D數(shù)D(d1)=ν1，……D(di)=νi，…D(dn)=νn，可簡化表示為

D={(d1，ν1)…(di，νi)…(dn，νn)}

屬性1 交換不變性。假設(shè)在同一個(gè)框架上有兩個(gè)D數(shù)，D1={(d1，ν1)…(di，νi)…(dn，νn)}和D2={(dn，νn)…(di，νi)…(d1，ν1)}。若D1和D2的元素di及其對(duì)應(yīng)值νi相同，說明D1和D2完全一樣。

例1假設(shè)在同一框架上有兩個(gè)D數(shù)，分別為D1={(G,0.3)，(F,0.5)，(T,0.2)}和D2={(F,0.5)，(G,0.3)，(T,0.2)}，則D1?D2，?表示二者一樣，只是在不同的D數(shù)中，順序不一樣。若D1和D2的信任度值之和都為1，說明這兩個(gè)D數(shù)是完備的。

例2假設(shè)在同一框架上有兩個(gè)D數(shù)，分別為D1={(A,0.35)}，(B,0.55)}和D2={(B,0.55)}，(A,0.35)}，則D1?D2。但D1和D2的信任度值的和都小于1，說明這兩個(gè)D數(shù)是非完備的，這在證據(jù)理論中是不允許的，但D數(shù)理論是可以的。

屬性2 聚集性。假設(shè)存在一個(gè)特殊的離散型D數(shù)，D={(di，νi)}，(i=1，2，3…)，那么其聚集方法可表示為

(1)

需要說明的是，D數(shù)的聚集方法僅適用于特殊的離散型D數(shù)，在信息融合上充分利用可大大簡化并加快融合過程。

2 改進(jìn)的D數(shù)聚集方法

2.1 D數(shù)原始聚集方法的局限

例3假設(shè)有10名專家受邀對(duì)擬采購的設(shè)備A和B基于評(píng)估集Ω={1,2,3,4,5,6,7}進(jìn)行評(píng)估，7表示相當(dāng)好，1表示相當(dāng)差。由于大家對(duì)設(shè)備A比較熟悉，所以對(duì)其評(píng)估等級(jí)均為“5”，設(shè)備A的評(píng)估結(jié)果可D數(shù)表示為DA={(5,1.0)。當(dāng)對(duì)設(shè)備B評(píng)估時(shí)，有7位專家比較熟悉，其中2位的評(píng)估等級(jí)為6，其余為7；剩余3位專家不夠了解，沒有給出評(píng)價(jià)，則設(shè)備B的評(píng)估結(jié)果表示為DB={(6,0.2)，(7,0.5)}。根據(jù)D數(shù)原始聚集方法，兩種設(shè)備的最終評(píng)估得分分別為：

I(DA)=5×1.0=5

(2)

I(DB)=6×0.2+7×0.5=4.7

(3)

5>4.7，即設(shè)備A更優(yōu)于設(shè)備B，但熟悉B的專家認(rèn)為B更優(yōu)。一方面從評(píng)估等級(jí)來看，6>5和7>5；另一方面，雖然給出高評(píng)估等級(jí)的專家為7人，占總?cè)藬?shù)的70%，但有3人即30%的專家沒有給出信息，D數(shù)原始聚集方法將該部分信息直接視為0，導(dǎo)致與直覺不太一致。由此可知，D數(shù)原始聚集方法有一定局限，特別是在處理不完備的信息時(shí)。

2.2 基于數(shù)值比例的D數(shù)聚集方法

D數(shù)原始聚集方法造成與直覺相悖結(jié)果的主要原因在于拋棄了非完備信息的非完備部分的信息，而這部分信息也是有效信息，不能舍去。為解決這一不足，Wang等[22]提出一種基于D數(shù)數(shù)值比例的聚集方法(簡稱比例法)，如式(4)所示?；诂F(xiàn)有評(píng)估信息，將缺失的信息按比例分配給現(xiàn)有的評(píng)估信息，出發(fā)點(diǎn)在于對(duì)于認(rèn)知不完全的專家，可以參考已經(jīng)給出評(píng)估結(jié)果的專家的意見進(jìn)行分配。

(4)

比例法從一定程度上修正了D數(shù)原始聚集方法，并取得了良好效果。如表1所示，將非完備部分的信息再分配給現(xiàn)有的評(píng)估等級(jí)，從而得到充分利用。然而，比例法僅適用于非完備信息下的非單子集信息，而對(duì)于單子集信息則無效。對(duì)于非單子集的信息，按照比例法的原理，無論現(xiàn)有的評(píng)估信息量多么渺小，哪怕無窮小，非完備部分的信息都將毫無保留地分配給現(xiàn)有信息，又將導(dǎo)致直覺相悖的結(jié)果出現(xiàn)。

表1 三種D數(shù)聚集方法對(duì)比

2.3 基于評(píng)估等級(jí)的D數(shù)聚集方法

鑒于基于比例的D數(shù)聚集方法在處理單子集方面的不足，本文提出一種基于評(píng)估等級(jí)的D數(shù)聚集方法(簡稱等級(jí)法)，將非完備信息的非完備部分信息平均分配所有的評(píng)估等級(jí)。將屬性2修正為：

定義3對(duì)于一個(gè)離散型D數(shù)，簡化表示為D={(di，νi)}，(i=1，2，3…)，聚集方法表示為

(5)

由表1可知，等級(jí)法不管是對(duì)單子集還是非單子集的處理，無論信息完備與否，聚集結(jié)果都更為合理，與直覺也相符，同時(shí)也向下兼容D數(shù)原始聚集方法。

在評(píng)估過程中，如果相關(guān)指標(biāo)及權(quán)重信息，則首先需要建立層次化的結(jié)構(gòu)模型，對(duì)每個(gè)層次每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重信息納入評(píng)估范圍，基于評(píng)估等級(jí)的加權(quán)D數(shù)聚集方法，可表示為

定義4假設(shè)每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重與專家的評(píng)估結(jié)果分別表示為ωk和Di={(di，νi)}，(i,j,k=1,2,3，……)，則基于評(píng)估等級(jí)的加權(quán)D數(shù)聚集方法，可逐步加權(quán)求和，表示為：

(6)

其中，Di={(di，νi)}是離散型的，di∈R，m是dj的個(gè)數(shù)，即評(píng)估等級(jí)的個(gè)數(shù)，m≥n；E(D)表示專家在評(píng)估時(shí)，充分考慮各指標(biāo)屬性的權(quán)重與屬性值的評(píng)估結(jié)果。

3 數(shù)值驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 數(shù)值驗(yàn)證

某公司擬引進(jìn)摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)，通過對(duì)市場上常見摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行摸底，最終確定4種品牌納入候選評(píng)估。為方便專家充分表達(dá)評(píng)估意見，采用語言評(píng)估等級(jí)L={很差(I)，差(P)，一般(A)，好(G)，很好(E)}供評(píng)估使用，邀請(qǐng)10位專家參與評(píng)估[22]。在評(píng)估時(shí)，假如有6位專家認(rèn)為某個(gè)品牌的某項(xiàng)指標(biāo)很差，其他4位認(rèn)為差，那么關(guān)于該品牌此項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)估結(jié)果可以用D數(shù)表示為：{(I,0.6)，(P,0.4)}。假如有3位專家給出的評(píng)價(jià)是好，6位給出非常好，另一位沒有給出評(píng)價(jià)，則該評(píng)估結(jié)果用D數(shù)表示為{(G,0.3)，(E,0.6)}，該評(píng)估信息是非完備的。需要說明的是，各評(píng)估指標(biāo)信息在本算例中默認(rèn)相同，忽略權(quán)重信息。專家的原始評(píng)估信息(數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[22])如表2所示。

表2 摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)評(píng)估結(jié)果(語言)

為應(yīng)用D數(shù)的聚集方法，需將語言評(píng)價(jià)集轉(zhuǎn)化為數(shù)值評(píng)價(jià)集，采用文獻(xiàn)[22]定義的效用函數(shù)如表3所示。表2可轉(zhuǎn)化為表4。

表3 語言集效用函數(shù)

表4 摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)評(píng)估結(jié)果(數(shù)值)

評(píng)估信息中存在著非完備信息，如表4所示。采用等級(jí)法分步驟地對(duì)各品牌摩托車的引擎指標(biāo)進(jìn)行融合。以摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)K為例，由于評(píng)估信息是非完備的，融合結(jié)果為

(7)

(8)

同理，其他摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)的評(píng)估結(jié)果為：

I(DY)=2.10，I(DH)=3.83，I(DB)=2.90

(9)

其中，I(DK)表示K的最后得分，I(DY)表示Y的最后得分，I(DH)表示H的最后得分，I(DB)表示B的最后得分。由式(8)(9)可知，最后排序?yàn)镠>K>B>Y，故應(yīng)推薦摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)H。

3.2 結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的等級(jí)法的有效性，將D數(shù)原始聚集方法和比例法再次運(yùn)用到上述案例，所得到的結(jié)果如表5所示?？梢钥闯?，三種方法所得到的排序結(jié)果是一樣的，說明本文提出的等級(jí)法是有效的。

表5 不同的聚集方法結(jié)果對(duì)比

對(duì)于完備數(shù)據(jù)的處理，如圖1的H和B可知，三種方法得到的評(píng)估數(shù)據(jù)一樣。對(duì)于非完備數(shù)據(jù)的處理，如圖1中K和Y可知，三種方法得到的結(jié)果大小排序?yàn)椋罕壤?等級(jí)法>原始法。造成這種差距的原因主要在于，原始法直接將非完備信息中的非完備部分信息拋棄，因而所得評(píng)估結(jié)果值最??；比例法則將非完備信息中的非完備部分信息按現(xiàn)有評(píng)價(jià)信息進(jìn)行二次疊加分配，忽略了潛在的其它信息，造成“強(qiáng)者愈強(qiáng)，弱者愈弱”的情況，即沒有全面對(duì)待非完備部分的信息，只是基于現(xiàn)有信息進(jìn)行分配。而等級(jí)法將非完備信息中的非完備部分信息按比例分配給評(píng)估等級(jí)中的所有信息，一方面考慮了現(xiàn)有的評(píng)估信息，另一方面也考慮了未知的潛在信息，因而評(píng)估的結(jié)果更為全面。

4 結(jié)語

本文在對(duì)D數(shù)原始聚集方法及基于比例的D數(shù)聚集方法在處理非完備信息的不足進(jìn)行充分分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于評(píng)估等級(jí)的D數(shù)聚集方法。將非完備信息中的非完備部分信息進(jìn)行充分利用，平均分配給評(píng)估等級(jí)，兼顧已有信息與非完備信息。如果信息是完備的，將退化為D數(shù)原始聚集方法，說明新提出的方法具有兼容性；如果信息是非完備的，將充分利用非完備部分的信息，說明新提出的方法具有兼容性。實(shí)例驗(yàn)證表明，本文提出的基于評(píng)估等級(jí)的D數(shù)聚集方法在信息處理，特別是在處理非完備信息及單子集評(píng)估信息等方面具有合理性、全面性、有效性。