祝傳海

楊小軍

2022年5月，中國礦業(yè)大學(xué)迎來捷報：深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室研究員楊小軍因在分形冪律流體和標(biāo)度律混沌方面的猜想和特殊函數(shù)等領(lǐng)域的突出貢獻榮獲2022年度奧巴達（Obada）獎。而在此前，他還曾榮獲2019年度奧巴達青年杰出研究人員獎。

奧巴達獎是由非洲科學(xué)院和自然科學(xué)出版集團組織和設(shè)立的一個國際獎項，旨在表彰在跨越傳統(tǒng)界限與范式的創(chuàng)新和跨學(xué)科研究領(lǐng)域作出突出貢獻的科研人員。這一獎項先后兩次花落楊小軍，是對他多年在相關(guān)領(lǐng)域里持續(xù)收獲原始創(chuàng)新成果的致敬、肯定和鼓勵。

“‘?dāng)?shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙’‘宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。’而數(shù)學(xué)也像一個包含了各種謎題的王國，從廣為人知的哥德巴赫猜想、魅力無窮的梅森素數(shù)到懸而未決的千禧難題……數(shù)學(xué)當(dāng)中一些絕妙的難題總是像磁石般吸引著無數(shù)科學(xué)家前赴后繼來研究和解答，唯有以懷疑和創(chuàng)新為原始驅(qū)動的力量，才能澆灌出打破知識邊界的學(xué)術(shù)之花?！闭菙?shù)學(xué)原始創(chuàng)新的魅力和作用，讓楊小軍板凳甘坐十年冷，收獲了風(fēng)雨后的陽光。

研以詠志——解決“數(shù)學(xué)病態(tài)問題”

什么是分形冪律流體和特殊函數(shù)？相關(guān)數(shù)學(xué)研究又有怎樣的作用和意義……對很多非專業(yè)人士來說，他們或許會有很多這樣的疑問。

俗稱“青寶塔”的羅馬花椰菜，蘊含著當(dāng)今世界最前沿的數(shù)學(xué)幾何學(xué)原理之一：椰菜的每一小簇是整個花簇的其中一個分支，但通過一定比例放大后，卻可以得到一個與整體幾乎完全一致的花簇。這一原理就是——分形。概括地說，這是一種“自相似”的特質(zhì)。

分形研究的是自然界的不規(guī)則現(xiàn)象，幾乎無處不在，所以又被稱為描述大自然的幾何學(xué)。美國著名的物理學(xué)家惠勒曾說過這樣一句話：“將來，誰不知道分形概念，就不能稱為有知識。”分形又是數(shù)學(xué)上一類不可微的函數(shù)問題，由于微積分基本定理——牛頓-萊布尼茨導(dǎo)數(shù)不能解決這類問題，分形問題也被稱為國際上的“數(shù)學(xué)病態(tài)問題”。從20世紀70年代至今，描述這類數(shù)學(xué)病態(tài)問題的物體運動變化率都是國際前沿難題。楊小軍，正是用他多年的原創(chuàng)性研究突破了這一國際難題。

2016年，楊小軍辭去從事了7年的電氣工程師工作，攻讀中國礦業(yè)大學(xué)的博士學(xué)位。他一腳跨入數(shù)學(xué)科研領(lǐng)域，把所有的精力放在了解決國際數(shù)學(xué)難題上。在謝和平院士和博士生導(dǎo)師高峰教授的帶領(lǐng)下，楊小軍在非線性數(shù)學(xué)領(lǐng)域進行了深入的研究。他圍繞分形微積分學(xué)及其在力學(xué)方面的應(yīng)用進行了多項原創(chuàng)性的研究，包括局部分數(shù)階算子、局部分數(shù)階積分變換等。2017年12月提前博士畢業(yè)后，他又開始對廣義分數(shù)階微積分學(xué)領(lǐng)域和特殊函數(shù)領(lǐng)域進行創(chuàng)新性研究，并得到了國內(nèi)外專家的認可。2019年，他系統(tǒng)地研究了廣義微積分學(xué)算子，獨立完成了國際上首部系統(tǒng)研究廣義分數(shù)階微積分學(xué)算子理論專著《廣義分數(shù)階導(dǎo)數(shù)：理論、方法和應(yīng)用》。次年，在畢業(yè)論文基礎(chǔ)上，他所在的課題組整理出版了國際上首部廣義微積分學(xué)理論在粘彈性理論方面的專著——《廣義分數(shù)階導(dǎo)數(shù)在粘彈性力學(xué)中的應(yīng)用》。2022年，課題組把畢業(yè)論文的原創(chuàng)性成果整理后在斯普林格出版社作為一個章節(jié)發(fā)表了《非奇異核廣義微積分學(xué)：在粘彈性力學(xué)的新觀點》。

圍繞牛頓-萊布尼茨導(dǎo)數(shù)不能處理的數(shù)學(xué)病態(tài)問題，在讀博士期間，楊小軍提出了不可微函數(shù)的局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分數(shù)階積分。

“在已有的數(shù)學(xué)模型中，分數(shù)階微積分學(xué)能解決經(jīng)典的帶有連續(xù)性的冪律現(xiàn)象，但對于處處不連續(xù)的現(xiàn)象就無法解決了。所以，我們構(gòu)造了一種新的微積分學(xué)，這就是局部分數(shù)微積分學(xué)?！睘榇?，楊小軍還出版了3部英文專著：《現(xiàn)代局部分數(shù)階微積分學(xué)及其應(yīng)用》、《局部分數(shù)泛函分析及其應(yīng)用》和《局部分數(shù)階積分變換及其應(yīng)用》，系統(tǒng)性地分析了局部分數(shù)微積分學(xué)的原理和應(yīng)用。對此，楊小軍如是詮釋：“相當(dāng)于我們把幾何的意義引到代數(shù)的意義上來，讓這一難題能進行分析了，原來用幾何學(xué)解決的問題，如今運用微積分學(xué)就能解決了?！?/p>

求線性局部分數(shù)階常微分方程和偏微分方程的定解，也是應(yīng)用科學(xué)中不可微函數(shù)的數(shù)學(xué)病態(tài)問題，目前國際上無方法可解，同樣是當(dāng)今國際前沿難題。對此，楊小軍創(chuàng)新性地提出了關(guān)于局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的線性數(shù)學(xué)模型，如分形松弛模型和人口模型的分形速率方程。

楊小軍近年出版的部分專著

為了解決這一問題，圍繞廣義希爾伯特空間上的完備正交基，楊小軍的創(chuàng)新性研究建立了基于分形上的Mittag-Leffler函數(shù)上的局部分數(shù)階Fourier型級數(shù)、局部分數(shù)階Fourier型積分變換及其局部分數(shù)階Laplace型積分變換，為求解這類不可微導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這些成果楊小軍與歐洲科學(xué)院院士哈里·莫漢·斯利瓦斯塔瓦（Hari Mohan Srivastava）教授和非洲科學(xué)院院士巴爾干杜米特魯（Dumitru Baleanu）教授合作，已經(jīng)在愛思唯爾以著作形式：《局部分數(shù)階積分變換及其應(yīng)用》（Local Fractional Integral Transforms and Their Applications）出版。

與此同時，圍繞環(huán)境（如空氣等因素）對流體干擾形成的粗糙和不光滑特征，楊小軍還提出了相應(yīng)的質(zhì)量、動量及能量守恒定律，進一步建立了定義在Cantor集上的Navier-Stokes方程，進而獲得了局部分數(shù)階Korteweg-de Vries方程和局部分數(shù)階Boussinesq方程。以不可微行波變換技術(shù)為手段，他得到了反常淺水波理論模型的精確行波解，進一步揭示了反常淺水波的機理與行為特征，進而推動其理論的發(fā)展，形成局部分數(shù)階微積分學(xué)與力學(xué)之間跨學(xué)科結(jié)合研究之范例。以上成果，已經(jīng)被愛思唯爾以著作形式：《分形矢量分形：一個局部分數(shù)階微積分學(xué)觀點》接受出版。

“我們都知道，在工程實踐中，要描述一個桌子表面的粗糙度是相當(dāng)復(fù)雜的一個問題，但這又是我們常常要面對的問題。再比如，一個球從樓梯上滾下來，與一個細菌從一個管道上滾下來，它們的運動是相似的。如果我們能夠解決不可微函數(shù)的數(shù)學(xué)病態(tài)問題，在工程中，就可以用分形數(shù)學(xué)來描述與解決這樣的難題?！痹谶@一理念的指引下，楊小軍提出的不可微函數(shù)的局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分數(shù)階積分，形成了一個新的微積分學(xué)分支，為不可微函數(shù)問題的分析奠定了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，也為分形數(shù)學(xué)與物理（力學(xué)）之間的跨學(xué)科問題研究奠定了理論基礎(chǔ)。

除此之外，近幾年來，楊小軍在歐拉工作的基礎(chǔ)上對相關(guān)理論進行的廣義擴展工作迎來了收獲期。他對超幾何函數(shù)進行了系統(tǒng)的研究，在愛思唯爾出版了英文獨著《超越幾何函數(shù)、超越三角函數(shù)和超越雙曲函數(shù)》，成為國際上首部超越幾何三角函數(shù)和超越幾何雙曲函數(shù)理論方面的專著，也是國內(nèi)首部超越幾何函數(shù)理論的著作。此外，他對和分數(shù)階相關(guān)的特殊函數(shù)和原來的超越幾何函數(shù)以及積分變換進行了系統(tǒng)的研究，研究成果匯集成一部900多頁的著作——《對科學(xué)家和工程師的特殊函數(shù)理論及其應(yīng)用》，在斯普林格出版，進一步提出了幾類超越幾何三角函數(shù)和超越幾何雙曲函數(shù)理論體系、特殊積分變換和級數(shù)，部分成果填補了國內(nèi)外的空白，獲得了國際同行的廣泛認可和關(guān)注。特別值得關(guān)注的是，基于Kohlrausch-Williams-Watts函數(shù)，楊小軍建立了特殊級數(shù)和特殊積分變換，為信號分析和數(shù)學(xué)物理問題提供了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

潛心研究——“這是一個數(shù)學(xué)新分支”

事實上，完成局部分數(shù)微積分學(xué)這一創(chuàng)新研究時，楊小軍和他的導(dǎo)師都沒有意料到相關(guān)研究在國際上的影響力會這么大。

“后來我們才知道，許多國家的學(xué)者都在致力于這一領(lǐng)域的突破，韓國、泰國、哥倫比亞、土耳其、埃及、印度、馬來西亞、美國、西班牙、意大利、南非……甚至還有利比亞和伊拉克的一些學(xué)者都在研究這一領(lǐng)域?！焙芏嗳颂岢?，局部分數(shù)微積分學(xué)這一解決方案的提出，在國際上形成了一個新的微積分學(xué)分支，為不可微函數(shù)問題的分析奠定了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，具有重要的科學(xué)意義。

楊小軍認為，之所以能夠在國際上引起極大的反響，是因為解決不可微問題的運動變化率，能進一步應(yīng)用到工程領(lǐng)域中的不可微非線性科學(xué)問題，可以為自然科學(xué)中物理規(guī)律的建立奠定理論基礎(chǔ)?！皬倪@一意義上來說，這項研究的確具有重要的理論價值和科學(xué)意義?！?/p>

不僅如此，楊小軍傅里葉型變換的研究作為積分變化的新分支也被美國密西西比大學(xué)官網(wǎng)收錄，并給出評論：“楊小軍創(chuàng)新性提出的關(guān)于局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的線性數(shù)學(xué)模型，是Fourier分析的新分支，具有重要的應(yīng)用價值?！痹缭诖饲?，德國《數(shù)學(xué)文摘》評論他相關(guān)領(lǐng)域的工作時就說：“這是一個數(shù)學(xué)的新分支?！?/p>

國際期刊《分形與分數(shù)》主編卡洛·卡塔尼（Carlo Cattani）教授（意大利）認為，楊小軍把局部分數(shù)階微積分學(xué)引入到泛函分析領(lǐng)域，進一步促進了局部分數(shù)階微積分學(xué)的發(fā)展。

一花引來百花開，此后，相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域迎來了研究熱潮。國際期刊《分數(shù)微分及其應(yīng)用》主編巴爾干杜米特魯教授及合作者提出了局部分數(shù)階同倫擾動sumud變換代數(shù)方法，并得到了定義在Cantor集合上的Klein-Gordon方程的不可微解，把局部分數(shù)階微積分學(xué)引入到了物理學(xué)領(lǐng)域。胡安·J.涅托（Juan J.Nieto）教授（西班牙，2022年度奧巴達獎獲獎?wù)撸┖投啾緡H期刊的主編及著名學(xué)者先后加入局部分數(shù)階微積分學(xué)及其應(yīng)用的研究課題。

因在相關(guān)領(lǐng)域的卓越貢獻，楊小軍被邀請擔(dān)任斯普林格、愛思唯爾、世界科學(xué)等出版機構(gòu)的書稿評論員，之后還被邀請到清華大學(xué)等著名大學(xué)講學(xué)，還應(yīng)邀擔(dān)任《分形》（中國科學(xué)院一區(qū)）的編委。

楊小軍的研究成果——局部分數(shù)階二維伯格斯型方程的精確行波解首次提出了局部分數(shù)階Riccati型方程法，自2017年發(fā)表以來，被巴爾干杜米特魯教授和劉發(fā)旺教授等分數(shù)階微分方程領(lǐng)域的高被引科學(xué)家引用，《科學(xué)引文索引》期刊引用82次、他引79次。因在積分算子研究領(lǐng)域的貢獻，他還被邀請擔(dān)任新加坡分形雜志的編委。

至今，楊小軍的研究成果已發(fā)表論文200余篇，被180多種《科學(xué)引文索引》期刊和來自58個國家和地區(qū)的科學(xué)家和學(xué)者引用，他引高達1670次，高被引論文20篇；以第一作者入選基本科學(xué)指標(biāo)數(shù)據(jù)庫高被引論文17篇和熱點論文5篇；在斯普林格、愛思唯爾等出版社出版11篇章節(jié)；在斯普林格等出版英文著作7部；獲得2016年度中國百篇最具影響國際學(xué)術(shù)論文1篇；連續(xù)入選愛思唯爾高被引學(xué)者榜單（2017、2018、2019、2020、2021）、全球高被引科學(xué)家（2019、2020、2021）、全球1000數(shù)學(xué)家（2021）和全球10萬科學(xué)家。

數(shù)學(xué)大師丘成桐說過：“學(xué)術(shù)交流不僅是檢驗科學(xué)成果的舞臺，更是啟迪思維、掌握新知、糾正謬誤的良好途徑?！睂Υ耍瑮钚≤娚钜詾槿?。這些年他堅持活躍在國際舞臺上，一方面在國際同行面前展現(xiàn)自己的科研成果；另一方面吸取各方經(jīng)驗，博采眾長。海納百川有容乃大，國際間的學(xué)術(shù)交流與碰撞，為他的科研之路注入了創(chuàng)新活水，也帶來了豐收碩果。

2019年年初，鑒于楊小軍在局部分數(shù)階微積分學(xué)（分形微積分學(xué)）理論及相關(guān)領(lǐng)域的研究影響力，他被授予2019年國際奧巴達獎青年獎?wù)拢畟€國家的學(xué)者紛紛向他表示祝賀。在此之后，鮮花和掌聲接踵而至，當(dāng)年7月，在土耳其伊斯坦布爾舉行的計算機技術(shù)應(yīng)用國際會議發(fā)布了青年科學(xué)家榜單，楊小軍因在局部分數(shù)階微積分學(xué)理論分析方面的貢獻榮獲這項獎勵；同年，在印度舉行的數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用分析和計算國際會議上，他榮獲斯普林格和JECRC大學(xué)的杰出研究員獎；2020年，在土耳其舉行的為紀念分數(shù)階微積分學(xué)誕生325周年的首屆現(xiàn)代分數(shù)階微積分及其應(yīng)用會議上，他因為在分數(shù)階微積分學(xué)領(lǐng)域的貢獻榮獲阿貝爾獎（Abel Award）。2021年，他由于在熱和流體力學(xué)數(shù)學(xué)研究方法方面的貢獻，被塞爾維亞熱科學(xué)工程學(xué)會授予阿塔納西耶·斯托伊科維奇獎?wù)拢ˋtanasije Stojkovi? Medal）……問渠那得清如許？為有源頭活水來。在不斷交流和學(xué)習(xí)的過程中，楊小軍也收獲了成長和鼓勵。

持之以恒——要“堅守”和“創(chuàng)新”

從電氣工程師崗位上離職短短幾年，楊小軍就成為解決國際難題的學(xué)術(shù)新銳。不可思議的跨越背后是他對數(shù)學(xué)研究深深的熱愛和孜孜不倦的堅持。

2006年，楊小軍從黑龍江科技大學(xué)機械設(shè)計制造及其自動化本科畢業(yè)后考入中國礦業(yè)大學(xué)，成為固體力學(xué)專業(yè)的一名碩士研究生；畢業(yè)后，他并沒有繼續(xù)在校內(nèi)深造，而是去了上海工作。從2009年至2016年，他都在上海天逸電器有限公司機電部任工程師。

按照這一軌跡，楊小軍應(yīng)該與學(xué)術(shù)研究漸行漸遠。讓人意外的是，他竟從未放棄，并做出了驚人之舉——在企業(yè)工作7年間，他拼命擠出空余時間不斷精進自己，學(xué)習(xí)泛函分析、復(fù)分析……僅僅關(guān)于傅里葉型變換的研究方面的著作就看了不下30本。其間他潛心潤花著果，共發(fā)表論文114篇之多，其中《科學(xué)引文索引》論文71篇，關(guān)于局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的線性數(shù)學(xué)模型，就是在這一時期做出來的。就這一理論，他還專門撰寫了兩部英文專著。

之所以有這樣的舉動，楊小軍坦言得益于他對數(shù)學(xué)的愛好和遇上了伯樂。楊小軍將自己對數(shù)學(xué)的愛，比喻成“就像養(yǎng)了一個十一二年的孩子，如果讓我把它放下，我肯定會很寂寞的”，而興趣就是他最大的動力和老師，指引他一路向前。他讀碩士期間非常幸運地遇上了高峰教授。雖然所學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)，但高老師很開明地根據(jù)當(dāng)時的學(xué)科前沿和楊小軍的興趣特點，選擇了當(dāng)時還少有人問津的局部分數(shù)階微積分理論及應(yīng)用作為他的科研方向，沒想到當(dāng)時的留心之舉成就了一個有特別愛好學(xué)生的學(xué)術(shù)生涯。

從2007年開始研究局部微積分學(xué)至今，楊小軍在這條路上已堅持15年之久。他曾記得，有人對他說過，當(dāng)你在一個領(lǐng)域堅持做10年、20年的時候，你才會成為本領(lǐng)域的專家?！叭绻茉谶@個領(lǐng)域繼續(xù)堅持3個20年，我就覺得很開心了。”在自己喜歡的路上風(fēng)雨兼程，哪怕再辛苦，他都甘之如飴。

獲得奧巴達獎之后，楊小軍坦言，這是一種認可，也是一種動力。近年來，許多國際期刊都邀請他擔(dān)任主編、編委職務(wù)，“這也是對我長年堅持從事原創(chuàng)性研究的認可”。

團隊合影

雖然有很多機會，但博士畢業(yè)之后，楊小軍選擇留在中國礦業(yè)大學(xué)，加盟深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室擔(dān)任研究員。很多人對他的選擇感到不解，但楊軍依然對當(dāng)初的選擇感到慶幸——“實驗室對我的科研給予了很大的自由、寬容與支持，不以出身、方向論英雄，能讓我靜下心來堅持做獨立的原創(chuàng)性的工作。”在這樣的平臺上，楊小軍自由成長，被列入“學(xué)校緊缺的學(xué)術(shù)成果特別突出的優(yōu)秀中青年人才”，成為學(xué)校“越崎學(xué)者”。如今，他有了自己的課題組，團隊正在進行更多的原創(chuàng)性研究。對未來，楊小軍有清晰的規(guī)劃：繼續(xù)解析數(shù)論方面的研究，黎曼猜想的工作也即將有著作要出版；在標(biāo)度律流體方面的猜想也正好能跟千禧難題連接起來，這是他所在團隊近期在國際領(lǐng)域嶄露頭角的工作，得到了很多國際同行的關(guān)注和鼓勵；另外復(fù)分析理論方面，他們也有新的進展，提出了一類特殊函數(shù)的零點猜想、不等式猜想和雙曲線猜想；在特殊函數(shù)領(lǐng)域方面，他的目標(biāo)是特殊函數(shù)統(tǒng)一化表述理論。

在許多場合，楊小軍都不吝嗇表達自己是個幸運的人——得遇恩師，有支持自己的家人、朋友和學(xué)生?！爱?dāng)年，無論是我的父母、岳父母，都非常支持我從事這樣的研究工作，我愛人還給我買了相關(guān)方面的書籍，讓我非常感動?！比缃裨谌瞬诺呐囵B(yǎng)上，楊小軍也希望能給學(xué)生帶去如春風(fēng)化雨般的感受，全力支持他們在自己喜歡的領(lǐng)域中堅守和創(chuàng)新，“原始創(chuàng)新需要耐得住寂寞，努力在自己的研究領(lǐng)域持續(xù)創(chuàng)新，才能幫助國家實現(xiàn)創(chuàng)新”。循循善誘的話時常響在學(xué)生的耳畔。楊小軍堅信，歷史長河，大浪淘金，留下來的永遠是值得留存的經(jīng)典，而原始創(chuàng)新就是經(jīng)典。他堅信，哪怕是對數(shù)學(xué)分支的一小點創(chuàng)新貢獻，也可以為推動數(shù)學(xué)發(fā)展添磚加瓦，而他們所要做的，就是堅持自己認為對的事情，將點滴匯聚，期待有朝一日變成奔騰飛馳的江海之潮。