趙 蒙，王明宇，王 健，喬 睿

(1.空軍工程大學 防空反導學院， 西安 710051； 2. 93792部隊， 河北 廊坊 065000)

1 引言

彈道導彈具有射程遠、速度快、威力大、突防能力強、打擊精度高等特點，已經成為現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭中的殺手锏武器。由于彈道導彈彈頭RCS非常小而且還攜帶有強電磁干擾，一般預警雷達系統(tǒng)難以穩(wěn)定的跟蹤目標，為此，如何獲取相對準確的彈道數(shù)據(jù)是眾多研究者關注的熱點之一[1-5]。目前主要有2種途徑，一種是通過衛(wèi)星、雷達等設備的實測數(shù)據(jù)來擬合、外推彈道目標的彈道軌跡；另一種是通過數(shù)據(jù)仿真的方法來生成目標彈道軌跡[6-7]。事實上，在戰(zhàn)前幾乎無法通過第一種手段獲敵方彈道導彈彈道軌跡數(shù)據(jù)，為此彈道仿真技術成為分析對手彈道數(shù)據(jù)的首選方法。近些年來，國內外學者在彈道仿真方面開展了大量研究工作，但是不同程度的存在一些不足之處，文獻[8-9]根據(jù)彈道目標運動規(guī)律，分別建立了彈道目標動力學方程和運動學方程用于彈道飛行軌跡的預測，但是所建模型中沒有包含彈道導彈主動段模型。文獻[10]根據(jù)彈道導彈性能建立了包含不同飛行階段的彈道模型，但是該方法沒有考慮彈道導彈在主動段的飛行特性。文獻[11]在分析導彈各階段受力情況的基礎上，建立了參數(shù)時變的多級彈道模型，但是該模型只是在導彈速度矢量和位置矢量所決定的平面內建立二維的運動模型。文獻[12]在分析常用彈道仿真模型的基礎上，提出了一種基于運動學模型與歷史實測數(shù)據(jù)的彈道仿真方法，但該模型無法實現(xiàn)全彈道的仿真，并且仿真精度還受到測量數(shù)據(jù)的影響。文獻[13]以流體力學原理為基礎，提出一種適用于彈道實時仿真的低空風切變復合模型，但該模型適用范圍有限，只能應用近地上空彈道仿真。文獻[14]依據(jù)彈道導彈不同階段的運動特性建立了6自由度仿真模型，并利用遺傳算法研究了彈道參數(shù)優(yōu)化問題，但是忽略了主動段飛行程序的部分約束條件。

本文在深入分析彈道導彈主動段飛行方案的基礎上，分三步設計了彈道導彈主動段運動程序，根據(jù)彈道導彈在主動段、自由飛行階段和再入段的受力情況，聯(lián)合主動段飛行程序，構建了包含了攝動力、大氣阻力等因素的彈道導彈全彈道動力學和運動學模型，并對彈道導彈在各階段的運動特性進行了仿真研究，以期為反導攔截系統(tǒng)研究分析彈道導彈的運動特性、規(guī)律提供一定的參考和借鑒。

2 主動段模型

2.1 主動段飛行程序設計

彈道導彈主動段飛行程序是指導彈主動段俯仰角隨時間變化的規(guī)律，主動段飛行程序的設計是彈道導彈總體設計工作中的重要組成部分，直接影響導彈戰(zhàn)術、技術指標能力的有效發(fā)揮[15-16]。設飛行過程中導彈傾角為φ(t)、彈道傾仰角為φ(t)、導彈攻角為α(t)，三者關系如下：

φ(t)=φ(t)+α(t)

(1)

在主動段由于導彈要穿越稠密大氣層、克服大氣阻力，為了減小空氣動力對彈道的影響，彈道在整個主動段飛行過程中攻角α(t)一般都趨近于零(不大于3°)，一般可忽略不計，因此可認為彈道導彈在主動段飛行過程中其推力方向始終與速度方向一致。主動段不僅要盡快使導彈穿越稠密大氣層以減小阻力帶來的速度損失，還要考慮導彈轉彎時的法向過載使導彈具備較高的操縱效率。為了滿足這些要求，彈道導彈主動段飛行程序通常又細分為3個階段，分別為垂直上升段、轉彎段、瞄準段，最終使導彈在主動段終點達到理想的彈道傾角φe(t)和速度矢量Ve。對于單級導彈，其主動段的飛行程序通常按以下方式設計。

垂直上升段(0～t1)：垂直起飛能夠讓導彈快速穿越稠密大氣層減小空氣阻力的影響，但是時間t1不宜過大也不能太小，過大不僅容易造成彈道轉彎過載增大，而且還會增加重力帶來的速度損失。t1取值過小，無法保證導彈推力發(fā)動機在t1時刻達到額定工作狀態(tài)。在0～t1時間內，導彈傾角、彈道傾仰角、導彈攻角分別為：

(2)

t1通常是根據(jù)導彈的重推比確定，一般來說導彈的重推比越小，導彈的推力就越大，所以主動段的加速度就越大，導彈就可以在較短時間內達到相應的高度，因此垂直上升段時間t1就可適當取小一點。反之導彈的重推比越大，t1的取值應該大一些。

轉彎段(t1～t2)：在t1～t2時間段由于導彈開始按照飛行程序角進入轉彎狀態(tài)，導彈的攻角α(t)不等于零，為了減小空氣對導彈轉彎的影響，必須控制攻角α(t)的大小。在轉彎段飛行程序設計時，通常要依據(jù)導彈的飛行狀態(tài)控制攻角的幅度，在這個階段導彈傾角、攻角由式(3)確定。

(3)

瞄準段(t3～tend)：為了便于彈道導彈在主動段結束時刻tend處順利實施頭體分離、減小彈頭的落點散布，該段時間中導彈的傾角φ(t)設計為一常值，因此也可稱為常值飛行段。該階段內導彈的傾角基本保持不變，即

φ(t)=φ(t3)

(4)

上述內容為彈道導彈主動段飛行程序設計的一般工程實踐方法，對于擔負具體作戰(zhàn)任務的彈道來講，需要根據(jù)具體的作戰(zhàn)需求設計滿足要求的飛行程序。

2.2 導彈受力情況

在導彈的實際飛行過程中，由于實際的物理現(xiàn)象和過程往往非常復雜，為了便于建立模型，需要對一些過程和變量進行近似等效。建模過程中將導彈的運動視為質點運動，導彈在主動段飛行過程中，主要受到推力、地心引力、空氣阻力、升力、柯式慣性力、牽連慣性力、攝動力等，下面對彈道導彈的受力情況進行分析。

在主動段，為了保持導彈的穩(wěn)定性彈道導彈的攻角非常小，基本是一個重力轉彎過程，而發(fā)動機推力的方向始終沿著彈體軸線方向，所以推力加速度方向與導彈的速度方向一致。設導彈的發(fā)動機推力為P，則推力加速矢量為：

(5)

空氣阻力的矢量方向始終與導彈速度矢量的方向相反，空氣阻力加速度可以表達為：

(6)

式中：Cd是阻力系數(shù)；S為導彈的等效橫截面積；ρ為大氣密度；m(t)為導彈的瞬時質量。

大氣密度ρ是高度的函數(shù)，可表達為

ρ=ρ0e-kh

(7)

其中：h為導彈距離地面的高度；ρ0=1.22 kg/m3；k=0.141 41×10-2m-1。

導彈的瞬時質量m(t)與導彈起飛質量、燃料消耗率、燃燒時間有關，可表示為

(8)

地心引力加速度伴隨著導彈的整個飛行過程，由于導彈與地球的距離遠遠小于與其他星球的距離，因此其他星球對導彈的引力相對于地球對導彈的引力非常小，可忽略不計。設導彈的位置矢量為r，則其重力加速度矢量為：

(9)

在彈道導彈運動過程中，除受到重力、推力、空氣阻力之外還受到柯式慣性力、牽連慣性力、攝動力的影響。由于柯式慣性力、牽連慣性力對導彈的運動軌跡影響很小，基本可忽略，因此只考慮地球攝動力影響，有

(10)

式中：J2=1.082 63×10-3；re為地球半徑；rx、ry、rz分別為r在各軸的分量。

所以彈道導彈在主動段的加速度向量可表示為：

a=ap+ag+ad+ah=

(11)

2.3 主動段模型

在地心慣性坐標系下，設彈道發(fā)射時的方位角為θ，忽略導彈的橫向運動，根據(jù)彈道導彈在助推段飛行過程中的受力情況，可得助推段彈道導彈質心的運動方程為

(12)

在主動段，彈道導彈的傾角主要是按照飛行程序的設計進行變化。

2.4 模型求解

(13)

其中n為迭代步長。因此給定彈道導彈目標參數(shù)及其初值，利用Runge-Kutta積分就可以得到任意時刻目標的運動狀態(tài)信息。

3 自由飛行段模型

一般情況下，在彈道導彈的主動段發(fā)動機關機之后，彈道導彈進入自由飛行階段，此時彈道導彈基本已經穿過大氣層，近似在真空中飛行，大氣對彈道導彈的阻力幾乎為零，所以在自由飛行段彈道導彈只受到重力和攝動力的影響，因此自由飛行段彈道導彈質心的運動方程為

(14)

在自由飛行段，彈道導彈傾角主要是在重力的作用下緩慢變化，在導彈高度上升段逐漸減小，達到彈道最高點時彈道傾角為零。在導彈高度下降段導彈的傾角值為負并且不斷減小。φ(t)由t時刻導彈的位置矢量r和速度矢量v決定，具體可通過式(15)計算。

(15)

4 再入段模型

在彈道導彈再次進入大氣層后，彈道導彈主要受到大氣阻力、地心引力和攝動力的影響，彈道導彈的彈頭既有縱向的運動、又有橫向的運動，當橫向運動比較小并被忽略時，在彈頭再入大氣層運動過程中，始終認為彈頭在再入大氣層時的速度矢量和再入大氣層時的位置所決定的平面內運動。因此再入段彈道導彈質心的運動方程為

(16)

該階段的導彈傾角與自由飛行段的彈道傾角計算方法相同。

5 仿真驗證

5.1 仿真參數(shù)

以射程3 000 km左右、兩級火箭發(fā)動機的彈道導彈為例，在地心慣性坐標系下對模型的有效性進行仿真驗證，設彈道導彈的發(fā)射點坐標為(-323 637，-5 144 076，3 744 779)，地理坐標為東經86.40°、北緯36.06°，彈道導彈的仿真參數(shù)見表1所示。

表1 仿真參數(shù)

5.2 主動段飛行程序

按照彈道導彈主動段飛行程序設計，主動段的飛行程序主要是導彈飛行傾角隨時間的變化規(guī)律。多級火箭助推的彈道導彈其轉彎段主要由一級火箭實現(xiàn)，主要原因是在該階段內導彈的飛行速度相對較小，有利于實現(xiàn)快速轉彎。根據(jù)彈道導彈的相關參數(shù)，設置主動段的垂直上升時間t1=15 s，轉彎時間t2=40 s，瞄準段時間t3=10+2+50 s。其中2 s是一級火箭與二級火箭助推器級間分離時間，50 s是二級火箭燃燒時間，主動段飛行程序如圖1所示。由圖1可見，所設計的飛行程序在彈道導彈垂直起飛段結束后開始執(zhí)行程序轉彎，轉彎開始時導彈的速度較小，此時彈道以較大的角速度進行轉彎，實現(xiàn)導彈的快速轉彎。到轉彎后期隨著導彈速度的不斷增大，轉彎的角速度逐漸減小，導彈進入緩慢轉彎狀態(tài)，達到了轉彎過程中保持導彈運動穩(wěn)定性的要求。

圖1 主動段飛行程序曲線Fig.1 Flight program curve of the active phase

5.3 仿真結果

根據(jù)彈道導彈在各階段的運動方程，使用四階Runge-Kutta積分解算彈道方程，根據(jù)計算得到彈道導彈的落點坐標為(-867 878，-2 935 684，5 587 847)，地理坐標為東經73.53°、北緯61.41°，射程為2 954 km，總飛行時間為1 222 s，彈道最大高度為1 058 km，到達彈道最高點的時間為648 s。

圖2為彈道導彈主體彈道各個飛行階段導彈的飛行軌跡。根據(jù)圖2可見，彈道導彈的主動段和再入段在整個彈道導彈飛行過程中占比很小，大部分時間彈道導彈都處于自由飛行段，在1 222 s的飛行過程中主動段飛行時間只有117 s，基本只占整個彈道的1/10。圖3是導彈彈頭和兩級助推器在地心慣性坐標系下的運動軌跡，一級助推器相對于二級助推器飛行過程很短，這主要是因為一級助推器分離時速度和高度相對較小。圖4是彈頭和兩級助推器飛行高度隨時間的變化曲線，由圖4可見，在主動段導彈的高度隨時間變化比較緩慢，并且能夠清楚的獲得彈道最高點高度和到達彈道最高點的飛行時間。

圖2 主體彈道飛行軌跡Fig.2 Main body trajectory

圖3 彈頭和助推器的飛行軌跡Fig.3 Trajectory of warheads and boosters

圖4 彈頭和助推器飛行高度曲線Fig.4 Variation curve of flight altitude with time

圖5是速度曲線，主要反映了彈頭、一級和二級助推器速度的變化情況，根據(jù)彈頭速度的變化情況可明顯看出主動段結束時刻以及彈道導彈進入大氣層的再入時刻。在主動段結束時刻彈頭的運動速度達到4 750 m/s，隨后逐漸減小至彈道最高點，過了彈道最高點之后又逐漸增大，直至進入大氣層的再入時刻，在進入大氣層后，由于受到大氣阻力的作用速度迅速減小直至落地。通過導彈運動速度變化規(guī)律，能夠清楚地判斷出彈頭和助推器的運動階段。

圖5 彈頭和助推器飛行速度曲線Fig.5 Variation curve of flight speed with time

圖5中藍色的曲線是二級助推器飛行軌跡，如果不考慮器彈道系數(shù)和大氣阻力對其影響，二級助推器應該和彈頭飛行速度相同，但實際上二級火箭與彈頭分離之前兩者之間有一定的相對速度差，另外由于助推器的橫截面積大于彈頭的等效橫截面積，相對于彈頭而言助推器受到的大氣阻力更大，所以在兩者分離之后且未到達彈道最高點時刻，二級助推器速度減速比彈頭的要明顯，這也就是圖中兩者產生較大差異的原因。

圖6是兩級助推器的推力加速度曲線，一級發(fā)動機點火后其推力加速度大約為2g，隨著彈道燃料的消耗，一級助推器關機時刻推力加速度達到6g左右。二級發(fā)動機點火后其推力加速度大約為4g，到主動段結束時刻推力加速達到13.5g。

圖6 助推器推力加速度曲線Fig.6 Thrust acceleration curve of booster with time

圖7是彈道導彈飛行全程導彈傾角(與投影點處平面的夾角)曲線，導彈在主動段結束后的自由飛行段彈道傾角逐漸緩慢的減小，在達到彈道最高點的時刻導彈傾角為0°，而后繼續(xù)減小，到達再入點后，由于受到大氣阻力的影響增大，彈道傾角變化速度加劇，落地時刻彈道傾角達到72°左右，所以通過彈道傾角的變化規(guī)律也能夠快速判斷彈道的運動階段。

圖7 導彈傾角曲線Fig.7 Missile inclination curve with time

彈道導彈彈頭的跟蹤識別是彈道導彈防御體系的核心環(huán)節(jié)，提前研究彈道導彈的飛行軌跡和運動規(guī)律、特點，將更有利于開展彈道導彈彈頭的跟蹤和識別。通過仿真得到了彈道導彈的一些運動規(guī)律以及彈道的關鍵參數(shù)，這些仿真得到的彈道數(shù)據(jù)基本能夠全面反映彈道導彈的運動特點和運動規(guī)律，相關的結論可供彈道導彈彈道設計、目標識別的技術人員參考和借鑒。

6 結論

導彈彈道仿真技術是開展彈道導彈防御系統(tǒng)模擬對抗的關鍵技術之一，在有效獲取敵方彈道目標運動軌跡數(shù)據(jù)之前，迫切需要通過模擬仿真手段來檢驗彈道防御系統(tǒng)的反導攔截效能。本文針對部分文獻的不足，在設計彈道導彈主動段飛行程序的基礎上，根據(jù)彈道導彈在不同運動階段的受力情況，充分考慮大氣阻力、攝動力等因素，構建了彈道導彈運動模型，通過仿真計算得到了彈道導彈的彈道高點、射程、最大速度、飛行時間、落點位置等關鍵彈道參數(shù)，分析了整個飛行過程中彈道導彈飛行高度、速度、傾角、加速度等隨時間的變化規(guī)律，仿真結果能夠全面地反映彈道導彈助推器、彈頭在幾個不同運動階段的運動特性。仿真結果和結論可以為彈道導彈防御系統(tǒng)研究分析彈道導彈的運動特性、規(guī)律提供參考和借鑒。