張建英,賀飛,路寧

(內蒙古大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010021)

1 引言和預備知識

文獻[1]引入了擬壓縮映射的概念,并建立了距離空間上的擬壓縮映射不動點定理,后人稱之為?iri?型擬壓縮不動點定理.這一結果是最一般的壓縮映射不動點定理之一,之后許多學者討論了各類空間上的擬壓縮不動點定理[2-10].特別地,文獻[4]研究了距離空間上的非線性?iri?型擬壓縮不動點定理,改進了許多形式的?iri?型擬壓縮的結果.另一方面,文獻[11]引入了模糊距離空間的概念,并且在此類空間上建立了一些不動點定理,之后許多學者研究了模糊距離空間的性質及該空間上的不動點定理[12-20].

本文將文獻[4]在距離空間上的非線性?iri?型擬壓縮不動點定理推廣到了模糊距離空間,并且所得定理中的非線性函數類更廣.

下面回顧一些基本概念.本文中R+=[0,+∞),R=(?∞,+∞),N={0,1,2,···},N+={1,2,···}.

定義 1.1[18]設函數η:R→[0,1].記η的α-水平集為[η]α={q∈R:η(q)≥α}.若滿足

(1)存在q0∈R,使得η(q0)=1;

(2)對于任意的α∈(0,1],[η]α=[λα,ρα]是 R 中閉區(qū)間,其中

則稱η是模糊實數.

由所有模糊實數組成的集合記為F.若對于η∈F滿足對任意的q<0,使得η(q)=0,則稱η是非負模糊實數.由所有非負模糊實數組成的集合記為F+.

定義 1.2[11]設X是非空集合,函數d:X×X→F+,L,R:[0,1]×[0,1]→[0,1]是兩個非負對稱函數,且滿足L(0,0)=0,R(1,1)=1.對于任意的α∈(0,1]和所有的x,y∈X,記

若滿足

(D1)d(x,y)=當且僅當x=y;

(D2)對于任意x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

(D3)對于任意x,y,z∈X,

(D3L)當p≤λ1(x,z),q≤λ1(z,y)且p+q≤λ1(x,y)時,滿足

(D3R)當p≥λ1(x,z),q≥λ1(z,y)且p+q≥λ1(x,y)時,滿足

則稱d是模糊距離,且稱(X,d,L,R)為(Kaleva-Seikkala型)模糊距離空間.

注 1.1距離空間可以看作特殊的模糊距離空間[11].

引理1.1[19]d(x,y)=當且僅當對于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)=0.

由定義1.2與引理1.1可知,x=y當且僅當對于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)=0.

引理 1.2[20]設(X,d,L,R)是模糊距離空間.記

(R-1)R(a,b)≤max{a,b};

(R-2)任意t∈(0,1],存在s∈(0,t],使得對任意r∈(0,t),有R(s,r)

則(R-1)?(R-2)?(R-3).

注 1.2引理1.2的蘊含關系反過來均不成立[15].

引理 1.3[15]設(X,d,L,R)是模糊距離空間,則下述結論成立:

(i)(R-1)?對任意t∈(0,1],x,y,z∈X,有

(ii)(R-2)?對任意t∈(0,1],存在s=s(t)∈(0,t],使得對任意x,y,z∈X,有

(iii)(R-3)?對任意t∈(0,1],存在s=s(t)∈(0,t],使得對任意x,y,z∈X,有

引理 1.4[15]設(X,d,L,R)是模糊距離空間,且滿足(R-3).設

則集族{U(ε,α):ε>0,α∈(0,1]}構成了X×X上的一組 Hausdorff一致結構基.由集合

組成的集族構成了X×X上的一組Hausdorff拓撲基,而且該拓撲是可度量的.

定義 1.3[15]設(X,d,L,R)是模糊距離空間,{xn}?X,x∈X,

當n,m≥N時,ρt(xn,xm)<ε,則稱{xn}是Cauchy列;

(iii)如果X中的每個Cauchy列都收斂,則稱(X,d,L,R)是完備的模糊距離空間.

引理1.5[15]設(X,d,L,R)是滿足(R-2)的模糊距離空間,則對于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)在積空間X×X上連續(xù).

下面介紹兩類非線性函數,其中一類是文獻[4]中提出的,另一類是本文定理中用到的條件更弱的非線性函數:

2 主要結果

注 2.1令φ(t)=kt,k∈(0,1),顯然φ∈Φ,可得一般的壓縮映射不動點定理.因此,本定理是一般壓縮映射不動點定理的推廣.當非線性函數φ取成

時,壓縮系數便小于1了.

顯然,由注1.1和定理2.1可得在距離空間(X,d)上,帶有非線性函數φ∈Φ的不動點定理.由注1.3和定理2.1可得,如果存在ψ∈Ψ滿足定理2.1的條件,那么f有唯一的不動點,并且由此可得如下結果:

推論 2.1設(X,d)是完備的距離空間,f是X上的自映射.如果存在ψ∈Ψ滿足對于任意的x,y∈X,都有

那么f有唯一的不動點.

注 2.2[4]推論2.1就是文獻[4]中的定理2.2的單映射形式.因此本文的結果將文獻[4]的主要結果推廣到了模糊距離空間.