羅群女，閔莉花

（南京郵電大學(xué)理學(xué)院，南京 210023）

0 引言

圖像分割在圖像分析和計算機視覺研究中起著重要作用。分割是根據(jù)圖像特征如強度、紋理、顏色等，將圖像分割成具有同質(zhì)性的有意義區(qū)域的過程。然而，由于成像設(shè)備不完善或受光照變化的影響，圖像中經(jīng)常出現(xiàn)灰度不均勻的現(xiàn)象，對于圖像分割方法的研究提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

圖像分割技術(shù)經(jīng)過多年發(fā)展，涌現(xiàn)出大量研究成果，其中基于變分和偏微分方程的圖像分割方法已成為圖像分割領(lǐng)域的有效方法之一［1-4］。該方法中使用的分割模型主要分為兩類：基于邊緣的分割模型和基于區(qū)域的分割模型?；谶吘壍姆指钅Ｐ屯ǔＪ抢脠D像梯度信息引導(dǎo)演化輪廓向目標(biāo)邊界移動［5-6］，但這些模型對噪聲和初始輪廓較為敏感，且無法提取模糊和不連續(xù)邊緣圖像的邊界；基于區(qū)域的分割模型主要使用區(qū)域信息指導(dǎo)輪廓演化。最著名的基于區(qū)域的變分模型之一是MS 模型，其目的是找到一個最佳分片光滑函數(shù)來逼近原始圖像，該模型雖然能取得較好的分割結(jié)果，但計算復(fù)雜度較高［7］。因此，Chan 等［8］提出基于簡化的MS 模型與水平集方法的CV模型，將圖像中不同區(qū)域的灰度值看成是對應(yīng)的分片常數(shù)，從而能有效地分割灰度均勻圖像。

近30 年來，基于模糊聚類的分割方法［9-16］，特別是基于模糊C 均值的圖像分割算法得到了廣泛研究。該方法的優(yōu)勢主要在于引入模糊度以確定圖像中每個像素的隸屬度值，從而能夠從原始圖像中保留更多信息；文獻［14］對標(biāo)準(zhǔn)FCM 算法的目標(biāo)函數(shù)進行改進，以彌補圖像強度不均勻的問題，并允許像素標(biāo)記受到周邊影響；文獻［15］提出一個利用局部區(qū)域強度信息的相干局部強度聚類（CLIC）算法，用于估計偏移場和分割圖像；文獻［16］提出一種用于非均勻圖像分割的變分模糊MS 模型，然后利用算子分裂法求解關(guān)于隸屬度函數(shù)的最小化問題。由于引入了隸屬度函數(shù)，上述模型可有效處理任意多相的圖像分割問題。此外，模糊邏輯在活動輪廓法中也得到了廣泛應(yīng)用。文獻［17］結(jié)合偽水平集函數(shù)，提出一種新的基于模糊能量的活動輪廓模型，使得模型不會陷入局部極小解；文獻［18］提出一種基于核函數(shù)的模糊活動輪廓模型，該模型對圖像中的噪聲和異常值具有更強的魯棒性。同時，為了得到更理想的分割結(jié)果，文獻［19-20］提出的局部強度信息與全局強度信息相結(jié)合的方法也受到了更多關(guān)注。

近年來，眾多學(xué)者也提出一些基于Retinex 理論的圖像分割方法［21-24］。2017 年，Zosso 等［22］將Retinex 理論融入CV 模型中，提出了CVB 模型（以下簡稱Zosso 模型）。之后，Jin 等［23］在CVB 模型基礎(chǔ)上提出一種新的變分模型（以下簡稱Jin 模型），該模型考慮了圖像結(jié)構(gòu)部分的分片常數(shù)性質(zhì)，引入全變差正則項以校正與分割輸入圖像，能夠獲得相對準(zhǔn)確的分割結(jié)果，但其沒有考慮多相分割。此外，Min 等［24］提出一種分割非均勻圖像的變分模型（以下簡稱Min 模型），由于該模型考慮了偏移場的局部常數(shù)先驗和全局平滑先驗，因此能夠獲得更精確的分割結(jié)果。

本文提出一種新的基于模糊聚類與Retinex 理論的多相圖像分割模型，并在交替極小化方法的框架下，設(shè)計一種有效算法對模型進行數(shù)值求解。實驗結(jié)果表明，該模型對于真實圖像和灰度不均勻的醫(yī)學(xué)圖像均能有效進行分割，相比于已有的Cai 模型［1］、Yang 模型［2］、Zosso 模型［22］、Jin模型［23］和Min模型［24］，能得到更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。

1 本文分割模型

一幅大小為M×O的灰度不均勻圖像i，根據(jù)Retinex理論，可把其看作物體反射（結(jié)構(gòu)）部分s與光照（偏移場）部分b的乘積［25-26］，即：

對等式（1）兩邊同時取對數(shù)變換，并令I(lǐng)0=log(i)，B=log(b)，S=log(s)，則有：

這里，反射部分S表示人眼觀察到的真實圖像，一般認為是分片常數(shù)函數(shù)；B表示圖像中的光照偏移場部分，一般認為是光滑函數(shù)。

將一幅圖像分成N個不同區(qū)域，基于隸屬度函數(shù)［27-28］的概念，圖像中每個像素屬于各個區(qū)域的概率ui(i∈[1，N])，滿足兩個約束：①0 ≤ui≤1，即所有像素的隸屬度函數(shù)都是非負的；②，即每個像素的所有隸屬度函數(shù)之和為1。

通過引入模糊隸屬度函數(shù)，本文在Jin 模型的基礎(chǔ)上，提出以下模糊變分模型：

這里c=(c1，c2，…cN)，u=(u1，u2，…uN)，c1，c2，…cN為不同區(qū)域的平均灰度值，λ、α、β為正參數(shù)，N為圖像區(qū)域的劃分?jǐn)?shù)量。

由于變分模型對于每個變量都是凸的，可通過交替極小化算法進行求解。更準(zhǔn)確地說，先固定變量(u，B，S)計算變量c，然后固定c以更新(u，B，S)。因此，上述極小化問題等價于：

因此，下面只需討論問題（5）。

2 算法求解

本節(jié)首先應(yīng)用交替極小化算法求解問題（5），通過引入輔助變量d1，問題（5）可轉(zhuǎn)化為下列帶約束的優(yōu)化問題：

將式（7）轉(zhuǎn)換成無約束極值問題，其對應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為：

其中，ρ、ρ1是正的罰參數(shù)，θ、θ1是拉格朗日乘子。

下面用原始對偶算法求解上述鞍點問題。給定第k步的解zk、uk，具體迭代過程如下：

（1）固定uk，求解關(guān)于zk+1的子問題：

其中，σ為正參數(shù)，δZ是示性函數(shù)，定義為：

用投影ProjZ表示在凸集Z上的歐幾里得投影，得到zk+1：

應(yīng)用向前向后分裂（FBS）方法［29］求解上述問題：

首先，給定uk，根據(jù)式（25）更新，其中t是迭代步長。

運用Gauss-Seidel 方法進一步得到：

最終求得：

綜上，本文算法的具體步驟如下：

算法1基于模糊聚類和Retinex 理論的圖像分割算法

3 數(shù)值實驗

本節(jié)對醫(yī)學(xué)MR 圖像與真實圖像進行實驗，并通過與Cai 模型、Yang 模型，Zosso 模型、Jin 模型和Min 模型進行對比，驗證本文提出模型和算法的有效性。實驗運行環(huán)境為：PC 機CPU 為AMD Ryzen 5 4600U with Radeon Graphics，操作系統(tǒng)為64位Win10，MATLAB 版本為R2020b。通過采用默認值，并調(diào)整每幅圖像參數(shù)來獲得對應(yīng)的實驗結(jié)果，以提供最佳的可能結(jié)果。在所有實驗中，大多數(shù)參數(shù)采用默認值：β=3，t=0.1，?=10^(-5)，ε=10^(-3)，τ=0.7，σ=0.01。參數(shù)α根據(jù)偏移場的強度進行調(diào)整，對于不同的測試圖像，參數(shù)λ、α、ρ、ρ1的取值見表1。

Table 1 Parameters settings for images I-IX表1 檢驗圖像I-IX的參數(shù)設(shè)置

此外，本文選取量化指標(biāo)Dice 相似系數(shù)（DSC）［30］、分割精度（SA）［2］以及kappa 系數(shù)（k）作為分割結(jié)果的評價標(biāo)準(zhǔn)，其定義分別為：

其中，| · |表示區(qū)域面積，R1表示分割后的目標(biāo)物體區(qū)域，R2為對應(yīng)的真實區(qū)域。

SA 是正確分類的像素數(shù)目除以像素總數(shù)，可表示為：

其中，TP為真陽性數(shù)，F(xiàn)P為假陽性數(shù)，TN為真陰性數(shù)，F(xiàn)N為假陰性數(shù)。另外，Kappa系數(shù)定義為：

顯然，這3個指標(biāo)的值越接近1，表明分割精度越高。

3.1 模型優(yōu)勢

以二相分割為例，選取3 幅從Weizmann segmentation dataset 數(shù)據(jù)集中下載的檢驗圖像，將本文模型與沒有加入模糊聚類的Retinex 分割模型進行對比，分割結(jié)果見圖1。

Fig.1 Two-phase segmentation comparison experiments on of different models test images圖1 不同模型對檢驗圖像的二相分割結(jié)果比較

其中，圖1（a）為輸入的原始圖像，圖1（b）-（d）分別為Zosso 模型、Jin 模型和本文模型分割結(jié)果。圖片I 和圖片II的目標(biāo)對象內(nèi)部灰度變化較大，且邊界較模糊，Zosso 模型和Jin 模型分割結(jié)果存在較多不正確的點。觀察圖III發(fā)現(xiàn)Zosso 模型存在分割不足的問題，而本文模型由于引入了模糊隸屬度函數(shù)，真實反映出圖像本身的不確定性，能夠從原始圖像中保留更多信息，且在交替極小化方法的框架下對子問題u采用向前向后分裂算法求解，通過內(nèi)外迭代收斂的復(fù)合算法使得模型得到更優(yōu)解，進一步優(yōu)化了模型的分割性能。圖1 的最后一列也顯示出本文模型得到了更精確的分割結(jié)果。為定量刻畫3 個模型的分割性能，表2 記錄了3 種方法分割每幅圖像的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，本文模型在所有方法中的3 個量化指標(biāo)數(shù)值均值最高，因此對于這些檢驗圖像，本文模型更加可靠、穩(wěn)定。

Table 2 Evaluation results of segmentation effect of different models表2 不同模型分割結(jié)果的評價指標(biāo)結(jié)果 %

3.2 多相分割

本節(jié)將本文模型用于醫(yī)學(xué)圖像的四相分割，并選取3幅腦部MR 圖像進行比較，這些圖片可從BrainWeb dataset獲取得到。其大小都為217*181，切片厚度為1mm，圖像都是由T1加權(quán)脈沖序列產(chǎn)生（TR=22ms，TE=9.2ms，傾斜角為30°）。在圖2 中，第一列顯示了3 幅原始的非均勻MR 圖像，其是由不同偏移場相乘產(chǎn)生的，最后一列顯示了白質(zhì)（白色）、灰質(zhì)（灰色）和腦脊液（深灰色）的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果（Ground Truth），第二列至第五列依次為：Cai 模型、Yang 模型、Min 模型以及本文模型分割結(jié)果。觀察圖2 可以發(fā)現(xiàn)，4 個模型都能得到較滿意的分割結(jié)果，但后兩種算法在對白質(zhì)和灰質(zhì)區(qū)域的細節(jié)保留能力上優(yōu)于前兩種算法，且在黑框內(nèi)的區(qū)域，本文模型得到了比其他模型更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。

表3 給出了各個模型對于3 幅MR 圖像所得分割結(jié)果的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，相比于其他模型，本文模型在白質(zhì)區(qū)域和灰質(zhì)區(qū)域具有更高的分割精度，而在腦脊液區(qū)域的精度數(shù)值與Cai 模型基本持平，略低于Yang 模型和Min模型。

3.3 真實圖像分割

本節(jié)驗證本文模型對真實圖像（其非均勻性未知）進行分割的有效性。圖3 展示了4 個不同模型對真實灰度不均勻圖像的分割結(jié)果，這些圖片可從網(wǎng)址（http：//www.imagecomputing.org/～cmli/）和（https：//xiaohaocai.netlify.app/）下載得到。觀察圖3 可發(fā)現(xiàn)，由于圖像VII 中的目標(biāo)對象內(nèi)部灰度變化較大，因此4 個模型都能產(chǎn)生較好的分割結(jié)果；對于圖像VIII，由于目標(biāo)物體與圖像背景的灰度值較為接近，Cai 模型、Yang 模型和Min 模型都存在分割不足的問題，尤其在左下角區(qū)域，而本文模型的分割結(jié)果更趨近于目標(biāo)物體邊界；對于圖像IX 的分割結(jié)果，Yang 模型和Min 模型都存在較多不正確的點，而Cai 模型和本文模型都能很好地分割灰度不均勻圖像。以上結(jié)果表明，本文模型對于分割真實灰度不均勻圖像的有效性。

Fig.2 Four-phase segmentation comparison experiments of different models on MR images圖2 不同模型對MR圖像的四相分割結(jié)果比較

Table 3 Evaluation results of segmentation effect of different models表3 不同模型分割結(jié)果評價指標(biāo) %

Fig.3 Segmentation results of different models on real images圖3 不同模型對真實圖像的分割結(jié)果

4 結(jié)語

本文針對存在灰度不均勻問題的圖像，提出一種基于模糊聚類與Retinex 理論的圖像分割變分模型。通過引入模糊隸屬度函數(shù)，變分模型可定位圖像中更多的輪廓信息，高效地執(zhí)行分割任務(wù)。同時，本文設(shè)計了一種有效的復(fù)合求解算法，即交替極小化方法嵌套向前向后分裂算法。特別地，該復(fù)合算法使內(nèi)迭代與外迭代過程均滿足收斂條件，進而精確地求解子問題u，進一步優(yōu)化了模型的分割性能。此外，本文設(shè)計了兩相與多相圖像分割實驗，數(shù)值結(jié)果驗證了算法的有效性與可行性，并通過與幾種經(jīng)典模型比較，驗證了本文模型具有更高的分割精度。但復(fù)合算法在精確求解問題的同時，也具有一定局限性，即增大了CPU 時間的消耗。未來將對算法運行效率加以改善，同時設(shè)計一種自適應(yīng)參數(shù)選取方法，以期獲得更理想的分割效果。