摘要：考慮到傳統(tǒng)同時(shí)取送貨問(wèn)題模式單一，無(wú)法應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變情況的現(xiàn)實(shí)需要，研究了一種考慮同時(shí)取送貨的路徑優(yōu)化問(wèn)題（vehicleroutingproblemwithdronesforsimultaneouspickupanddelivery，VRPD-SPD）。首先，以車(chē)輛與無(wú)人機(jī)總成本最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立了考慮無(wú)人機(jī)單架次訪問(wèn)順序約束的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。其次，提出了一種基于遺傳思想的兩階段啟發(fā)式算法（two-stageheuristicalgorithmbasedgenetic，TSHAG），第一階段結(jié)合貪婪算法和節(jié)約算法生成初始解，第二階段通過(guò)改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化初始解，設(shè)計(jì)了多元組編碼方式來(lái)提高解碼效率，改進(jìn)了交叉算子來(lái)增加鄰域解的搜索空間，設(shè)計(jì)了新的變異算子來(lái)提高算法全局尋優(yōu)性能。最后，算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了TSHAG算法能夠有效地解決VRPD-SPD問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：車(chē)機(jī)協(xié)同；同時(shí)取送貨；兩階段啟發(fā)式算法；遺傳算法

中圖分類號(hào)：U116;TP18文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1001-3695（2023）05-008-1335-06doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.10.0542

在包裹配送［1］、商品退貨［2］、廢舊回收［3］等城市末端物流系統(tǒng)中，取貨/送貨是物流方向相反的兩種基本服務(wù)形式，對(duì)取貨路徑和送貨路徑進(jìn)行優(yōu)化是末端物流的研究重點(diǎn)。由于需要同時(shí)考慮兩種服務(wù)形式的配送需求，同時(shí)取送貨問(wèn)題是一類更加復(fù)雜的車(chē)輛路徑衍生問(wèn)題，但可能形成比單一的取貨/送貨路徑規(guī)劃問(wèn)題成本更優(yōu)、重箱率更高的調(diào)度方案，因而引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

同時(shí)取送貨問(wèn)題是在滿足相關(guān)約束條件的前提下，同時(shí)考慮用戶的取送貨需求，通過(guò)構(gòu)造合適的取送貨路線使得配送成本最小的一類組合優(yōu)化問(wèn)題。該問(wèn)題最早由Min［4］提出，用于解決圖書(shū)配送—回收路徑規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)［5～9］進(jìn)一步考慮了時(shí)間窗約束，研究了帶時(shí)間窗的同時(shí)取送貨問(wèn)題，并通過(guò)遺傳算法、模擬退火算法來(lái)求解問(wèn)題。文獻(xiàn)［10～13］將同時(shí)取送貨問(wèn)題抽象成兩級(jí)車(chē)輛路徑問(wèn)題，并通過(guò)節(jié)約算法、遺傳算法來(lái)求解問(wèn)題。隨著無(wú)人機(jī)在物流領(lǐng)域的推廣應(yīng)用，無(wú)人機(jī)同時(shí)取送貨問(wèn)題成為該領(lǐng)域新的研究熱點(diǎn)［14，15］。文獻(xiàn)［16，17］研究無(wú)人機(jī)同時(shí)取送貨問(wèn)題，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［18］研究應(yīng)急情形下帶時(shí)間窗的無(wú)人機(jī)同時(shí)取送貨問(wèn)題，提出改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行求解。由于車(chē)輛與無(wú)人機(jī)在實(shí)際配送環(huán)境中均存在各種限制，部分學(xué)者開(kāi)始探索車(chē)機(jī)互補(bǔ)進(jìn)行配送的模式［19］。其中文獻(xiàn)［20］將無(wú)人機(jī)抽象成一類特殊車(chē)輛，對(duì)車(chē)機(jī)獨(dú)立配送模式下的同時(shí)取送貨問(wèn)題進(jìn)行了研究，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［21］進(jìn)一步研究了車(chē)機(jī)獨(dú)立配送模式下帶時(shí)間窗的同時(shí)取送貨問(wèn)題，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)遺傳算法進(jìn)行求解。然而，上述研究未涉及車(chē)機(jī)協(xié)同模式的同時(shí)取送貨問(wèn)題，且未見(jiàn)相應(yīng)的求解算法。

綜上所述，同時(shí)取送貨問(wèn)題現(xiàn)有研究主要聚焦于單一工具配送或車(chē)機(jī)獨(dú)立配送模式，難以滿足路況限制、無(wú)接觸收取等情形下的配送需要。本文研究了考慮同時(shí)取送貨的車(chē)機(jī)協(xié)同路徑優(yōu)化問(wèn)題，建立了以最小化總成本為目標(biāo)的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，提出了一種基于遺傳思想的兩階段啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，通過(guò)改進(jìn)算法編碼方式和交叉、變異算子提升了求解性能。

1問(wèn)題描述及建模

1.1問(wèn)題描述

在VRPD-SPD問(wèn)題中，用戶點(diǎn)是能夠提供全天候服務(wù)的自提、自寄點(diǎn)，令車(chē)輛搭載無(wú)人機(jī)為用戶提供取送貨服務(wù)，即無(wú)人機(jī)從車(chē)輛裝載貨物后起飛為用戶送貨，或從用戶處取貨后降落回車(chē)輛進(jìn)行卸貨，所有用戶均由無(wú)人機(jī)進(jìn)行服務(wù)，且無(wú)人機(jī)每次只能攜帶一個(gè)包裹，車(chē)輛僅提供貨物中轉(zhuǎn)及無(wú)人機(jī)起降、充換電等功能。問(wèn)題旨在構(gòu)造合理的車(chē)輛行駛路線與無(wú)人機(jī)飛行路線，使得在滿足各類資源約束條件下，完成全部用戶取送貨需求的總成本最小，如圖1所示。

這里做如下合理假設(shè)：a）假定車(chē)輛、無(wú)人機(jī)均為同質(zhì)的；b）假定車(chē)輛與無(wú)人機(jī)的行駛距離為歐氏距離；c）假定無(wú)人機(jī)的負(fù)載量滿足任一單個(gè)用戶的需求；d）假定無(wú)人機(jī)有最大續(xù)航里程限制；e）假定無(wú)人機(jī)的行駛速度遠(yuǎn)大于車(chē)輛的行駛速度；f）假定無(wú)人機(jī)僅能在特定節(jié)點(diǎn)（錨點(diǎn)）處起降，且起降位置為同一節(jié)點(diǎn)。

1.2數(shù)學(xué)建模

建模所需符號(hào)及其含義如表1所示。

目標(biāo)函數(shù)式（1）表示最小化總成本，總成本等于車(chē)輛使用成本、無(wú)人機(jī)使用成本、車(chē)輛與無(wú)人機(jī)總行駛距離之和；約束式（2）確保車(chē)輛出入倉(cāng)庫(kù)流量平衡，任一車(chē)輛從倉(cāng)庫(kù)出站就必須返回倉(cāng)庫(kù)；約束式（3）保障車(chē)輛訪問(wèn)錨點(diǎn)唯一性及出入度平衡；約束式（4）確保車(chē)輛經(jīng)過(guò)的任一錨點(diǎn)至少有一個(gè)無(wú)人機(jī)架次；約束式（5）確保無(wú)人機(jī)只從車(chē)輛經(jīng)過(guò)的錨點(diǎn)起降；約束式（6）（7）確保每一個(gè)顧客必須被無(wú)人機(jī)訪問(wèn)，且無(wú)人機(jī)在顧客點(diǎn)的流量平衡；約束式（8）保障無(wú)人機(jī)起降點(diǎn)流量平衡；約束式（9）確保任一架次無(wú)人機(jī)訪問(wèn)顧客不允許出現(xiàn)先取后送的情況；約束式（10）（11）確保每架次至多含一對(duì)取送貨顧客；約束式（12）～（14）是車(chē)輛容積約束；約束式（15）是無(wú)人機(jī)架次續(xù)航約束；約束式（16）（17）表示決策變量的取值約束。

2兩階段啟發(fā)式算法

遺傳算法［22，23］為求解同時(shí)取送貨問(wèn)題的常用方法之一，具有快速的隨機(jī)搜索能力和可擴(kuò)展性。本文基于VPPD-SPD問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于遺傳思想的兩階段啟發(fā)式算法，第一階段結(jié)合貪婪和節(jié)約算法生成初始解，第二階段利用改進(jìn)遺傳算法改進(jìn)初始解。下面介紹算法的具體內(nèi)容。

2.1初始解生成

貪婪算法［24］、節(jié)約算法［25］是同時(shí)取送貨問(wèn)題常用的、效率較高的算法之一。故第一階段通過(guò)貪婪、節(jié)約算法分別生成無(wú)人機(jī)路徑和車(chē)輛路徑，得到初始解。首先，通過(guò)貪婪算法生成無(wú)人機(jī)路徑；其次，基于無(wú)人機(jī)路徑確定的錨點(diǎn)位置，通過(guò)節(jié)約算法生成車(chē)輛路徑。

2.1.1基于貪婪思想的無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃算法

基于貪婪思想和無(wú)人機(jī)訪問(wèn)順序規(guī)則，確定錨點(diǎn)位置并構(gòu)造無(wú)人機(jī)飛行路線，具體步驟如圖2所示。

2.1.2基于節(jié)約思想的車(chē)輛路徑規(guī)劃算法

基于無(wú)人機(jī)路徑已確定的錨點(diǎn)，通過(guò)串行節(jié)約里程法構(gòu)造車(chē)輛行駛路線，具體步驟如圖3所示。

2.2改進(jìn)遺傳算法

第二階段改進(jìn)了遺傳算法的編碼方式、交叉及變異算子用于優(yōu)化初始解，具體內(nèi)容如下。

2.2.1染色體編碼

每個(gè)基因位對(duì)應(yīng)一個(gè)多元組〈X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7〉，其中X1表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)，X2表示節(jié)點(diǎn)屬性，X3表示需求量，X4表示到達(dá)該節(jié)點(diǎn)載重，X5表示離開(kāi)該節(jié)點(diǎn)載重，X6表示對(duì)應(yīng)站點(diǎn)/錨點(diǎn)，X7表示架次編號(hào)。解碼時(shí)可以根據(jù)多元組信息確定車(chē)輛路徑和無(wú)人機(jī)路徑，如圖4所示。

2.2.2交叉算子

本文提出了三類交叉算子：顧客節(jié)點(diǎn)交叉（customer-change）算子，用于對(duì)無(wú)人機(jī)訪問(wèn)的同類型顧客節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行交換；錨點(diǎn)交叉（anchor-change）算子，用于車(chē)輛訪問(wèn)錨點(diǎn)內(nèi)部之間進(jìn)行交換；架次交叉（vehicle-change）算子，用于對(duì)車(chē)輛訪問(wèn)錨點(diǎn)及其所含的架次進(jìn)行調(diào)整。

1）customer-change算子

customer-change算子通過(guò)從不同無(wú)人機(jī)路徑中隨機(jī)選擇兩個(gè)同種類型的顧客節(jié)點(diǎn)進(jìn)行交換來(lái)生成鄰域解，如圖5所示。

2）anchor-change算子

anchor-change算子通過(guò)從車(chē)輛路徑中隨機(jī)選擇兩個(gè)錨點(diǎn)進(jìn)行交換來(lái)生成鄰域解，如圖6所示。

3）vehicle-change算子

vehicle-change算子從車(chē)輛路徑中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的錨點(diǎn)，再將錨點(diǎn)及錨點(diǎn)所在的架次組合進(jìn)行交換得到鄰域解，如圖7所示。

2.2.3變異算子

本文提出了兩種變異算子：錨點(diǎn)替換（anchor-swap）算子，用于對(duì)車(chē)輛訪問(wèn)節(jié)點(diǎn)與未訪問(wèn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行交換；顧客合并（customer-merge）算子，用于合并單送貨點(diǎn)和單取貨點(diǎn)無(wú)人機(jī)路徑。

1）anchor-swap算子

anchor-swap算子隨機(jī)選擇一對(duì)已訪問(wèn)錨點(diǎn)和未訪問(wèn)錨點(diǎn)，將兩者進(jìn)行交換得到鄰域解，如圖8所示。

2）customer-merge算子

customer-merge算子首先在個(gè)體解內(nèi)查詢是否存在單送貨點(diǎn)和單取貨點(diǎn)的無(wú)人機(jī)路徑，若存在，則將送貨點(diǎn)與取貨點(diǎn)合并在同一路徑內(nèi)，若調(diào)整后存在空無(wú)人機(jī)路徑的錨點(diǎn)，則刪除后得到鄰域解，如圖9所示。

2.3算法整體流程

兩階段算法整體流程如圖10所示。

3數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)

3.1實(shí)驗(yàn)環(huán)境

Liamp;Lim實(shí)例集（Liamp;Limbenchmark（sintef.no））［26，27］是取送貨問(wèn)題常用的數(shù)據(jù)集，其中包含聚類分布lc類型、隨機(jī)分布lr類型、隨機(jī)聚類分布lrc類型。由于缺少VRPD-SPD問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集，本文基于Liamp;Lim實(shí)例集的數(shù)據(jù)類型進(jìn)行構(gòu)造，具體構(gòu)造方式如下：

a）保留原車(chē)輛和客戶信息，車(chē)輛容積Q=200。

b）增加錨點(diǎn)信息，錨點(diǎn)數(shù)量設(shè)置比例約為顧客點(diǎn)數(shù)量的1/3，即顧客點(diǎn)C=10時(shí)，錨點(diǎn)數(shù)量Va=3；C=20時(shí)，Va=6；C=30時(shí)，Va=10；C=50時(shí)，Va=16；C=100時(shí)，Va=30。

c）增加無(wú)人機(jī)信息，無(wú)人機(jī)的續(xù)航距離為30，同一錨點(diǎn)處無(wú)人機(jī)最大架次數(shù)量為3。

d）50個(gè)用戶以下測(cè)試集從原測(cè)試集各類型中共選取12組數(shù)據(jù)，并從中隨機(jī)選取指定數(shù)量節(jié)點(diǎn)形成，如lr-10是指從隨機(jī)分布lr類數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取了10個(gè)用戶。

e）100以上用戶測(cè)試集從原測(cè)試集各類型中共選取15組數(shù)據(jù)形成。

本文算法在PC計(jì)算機(jī)（IntelCorei102.9GHz、8GB內(nèi)存）上利用Java語(yǔ)言，基于IDEA2021環(huán)境編程實(shí)現(xiàn)。

3.2參數(shù)敏感性分析

TSHAG中種群規(guī)模、迭代次數(shù)、選擇概率是算法主要參數(shù)，為了分析參數(shù)取值對(duì)算法性能的影響，基于數(shù)據(jù)集lc101、lr101、lrc101進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，種群規(guī)模設(shè)置為60、80、100、120；迭代次數(shù)設(shè)置為20、30、50；選擇概率設(shè)置為70%、80%、90%，并記錄最優(yōu)解和求解時(shí)間，結(jié)果如圖11所示。

由圖11（a）可知，種群規(guī)模為60～100時(shí)，最優(yōu)解隨著種群規(guī)模的增大而減少，當(dāng)種群規(guī)模為100～120時(shí)，最優(yōu)解趨于收斂；由圖11（b）可知，最優(yōu)解在迭代次數(shù)接近30時(shí)趨于收斂；由圖11（c）可知，選擇概率為70%～80%時(shí)，最優(yōu)解隨著選擇概率的增大而減小，當(dāng)選擇概率為80%、90%時(shí)，最優(yōu)解趨于收斂，且求解時(shí)間隨著各類參數(shù)值的增大而增大。綜上所述，本文算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模100，最大迭代次數(shù)30，選擇概率80%。

3.3模型與算法驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證兩階段啟發(fā)式算法TSHAG的準(zhǔn)確性與時(shí)效性，基于50個(gè)用戶以下的12組測(cè)試集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每組數(shù)據(jù)上運(yùn)行算法10次，對(duì)比算法與CPLEX求解的最優(yōu)解、平均解、求解時(shí)間如圖12所示。

由圖12（a）可知，在10、20、30個(gè)顧客點(diǎn)的算例集中，本文算法與CPLEX在求解質(zhì)量上基本相等，10次運(yùn)行的平均解與CPLEX的結(jié)果平均誤差為0.75%，最優(yōu)解與CPLEX的結(jié)果誤差為0；在50個(gè)顧客點(diǎn)的算例集中，CPLEX受時(shí)間限制較大，無(wú)法在有效時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解。由圖12（b）可知，本文算法在求解時(shí)間上明顯優(yōu)于CPLEX，在10、20、30個(gè)顧客點(diǎn)的算例集中，本文算法約6s內(nèi)可以求解，而CPLEX求解時(shí)間長(zhǎng)達(dá)7200s；在50個(gè)顧客點(diǎn)的算例集中，本文算法約13s內(nèi)可以求解，CPLEX無(wú)法在有效時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解，本文算法相比于CPLEX平均計(jì)算時(shí)間節(jié)省了80%。

3.4較大規(guī)模算例的實(shí)驗(yàn)分析

對(duì)于100以上用戶的測(cè)試集，CPLEX無(wú)法在有效時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解，因此將本文算法與基于遺傳思想的自適應(yīng)算法（AAGM）［28］和混合禁忌模擬退火算法（SA-TS）［29］的最優(yōu)解、求解時(shí)間進(jìn)行比較，并求出相應(yīng)的GAP值，如表2所示。其中：C表示顧客數(shù)量；A表示最優(yōu)解使用的錨點(diǎn)數(shù)；R表示最優(yōu)解使用的架次數(shù)量；P表示最優(yōu)解使用的車(chē)輛；Obest表示TSHAG最優(yōu)解；Ebest表示AAGA最優(yōu)解；Sbest表示SA-TS最優(yōu)解；GAPOG表示TSHAG最優(yōu)解與AAGA最優(yōu)解的相對(duì)誤差；GAPOS表示TSHAG最優(yōu)解與SA-TS最優(yōu)解的相對(duì)誤差；TCPU表示算法得到最優(yōu)值時(shí)需要的求解時(shí)間。

由表2中第9、12列可知，本文算法在絕大多數(shù)算例集上的最優(yōu)解優(yōu)于對(duì)比算法AAGM、SA-TS，平均差距分別為-189%、-241%；從第7、10、13列可知，本文算法在求解速度上明顯占優(yōu)，能夠在約21s內(nèi)求得最優(yōu)解，相比算法AAGM的平均求解時(shí)間節(jié)省了46%，對(duì)比算法SA-TS的求解時(shí)間超過(guò)了2min。為驗(yàn)證兩階段啟發(fā)式算法的穩(wěn)定性，記錄每個(gè)算例集10次獨(dú)立運(yùn)行的解與最優(yōu)解的對(duì)比情況，并計(jì)算相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差，如圖13所示。

圖13（a）～（c）展示了在lc、lr、lrc類數(shù)據(jù)集下本文算法運(yùn)行結(jié)果的波動(dòng)情況，各類型數(shù)據(jù)集總體波動(dòng)較小，并且15組算例集10次獨(dú)立運(yùn)行的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差均在1%以內(nèi)。

綜上所述，根據(jù)與CPLEX對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了TSHAG算法求解VRPD-SPD問(wèn)題的準(zhǔn)確性；根據(jù)與遺傳、模擬退火對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了TSHAG算法求解VRPD-SPD問(wèn)題的有效性以及穩(wěn)定性。

4結(jié)束語(yǔ)

本文研究了考慮同時(shí)取送貨的車(chē)機(jī)協(xié)同路徑優(yōu)化問(wèn)題，建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)了一種基于遺傳思想的兩階段啟發(fā)式算法。首先結(jié)合貪婪算法和節(jié)約算法生成初始解，其次改進(jìn)了編碼方式提高解碼效率，并設(shè)計(jì)了三種交叉算子、兩種新的變異算子提升算法求解質(zhì)量。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明了本文所提出的兩階段啟發(fā)式算法TSHAG解決VRPD-SPD問(wèn)題的有效性。

在本文的基礎(chǔ)上，未來(lái)的研究工作可以從以下方面進(jìn)行展開(kāi)：a）由于實(shí)際需求的多樣性，當(dāng)要解決以時(shí)效性為目標(biāo)的應(yīng)急任務(wù)時(shí)，考慮帶時(shí)間窗的無(wú)人機(jī)不同位置起降、跨車(chē)?？康能?chē)機(jī)協(xié)同同時(shí)取送貨問(wèn)題；b）在本文算法的基礎(chǔ)上研究更高效的算法框架或算法策略，可以結(jié)合松弛定界等策略提高鄰域解的搜索效率，并結(jié)合實(shí)際案例情況展開(kāi)計(jì)算實(shí)驗(yàn)。

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