作者簡介：張杰，男，山東臨沂人，碩士研究生，主要研究方向為動態(tài)多目標優(yōu)化；馬菲菲（1983－），女（蒙古族）（通信作者），河南葉縣人，主要研究方向為智能化教育技術(shù)（mfflzz@126.com）；鄭禾丹（1997－），男，河南南陽人，碩士研究生，主要研究方向為服務(wù)計算；劉志中（1981－），男，河南商水人，副教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向為服務(wù)計算與人工智能.

摘 要：近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對基于預(yù)測的動態(tài)多目標優(yōu)化算法開展了深入研究，并提出了一系列有效的算法，然而已有的研究工作通常采用單一的預(yù)測策略，使得算法不能有效地應(yīng)對劇烈的環(huán)境變化。針對上述問題，提出了一種基于混合預(yù)測策略與改進社會學(xué)習優(yōu)化算法的動態(tài)多目標優(yōu)化方法。具體地，當環(huán)境發(fā)生變化時，該方法首先基于代表性個體預(yù)測策略生成一部分群體；其次，基于拐點預(yù)測策略生成一部分新群體，特別地，為了提高種群的多樣性，根據(jù)算法迭代的歷史信息和環(huán)境變化情況隨機地生成一定數(shù)量的新個體；為了提高問題的求解效率，對社會學(xué)習優(yōu)化算法進行了改進，為每個進化空間設(shè)計了適用于動態(tài)多目標優(yōu)化問題的算子；最后，將混合預(yù)測策略與改進的社會學(xué)習優(yōu)化算法結(jié)合，構(gòu)成了一種新的動態(tài)多目標優(yōu)化方法。以FDA、DMOP和F函數(shù)集作為實驗測試函數(shù)集，與四種代表性算法進行了性能對比；并以反向世代距離（inverted generational distance，IGD）對該方法的性能進行了深入的分析。實驗結(jié)果表明所提方法具有較好的收斂性和魯棒性。

關(guān)鍵詞：動態(tài)多目標優(yōu)化；混合預(yù)測策略；代表性個體；拐點；社會學(xué)習優(yōu)化算法

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1001－3695（2023）04－023－1101－07doi： 10.19734/j.issn.1001－3695.2022.08.0453

Abstract：Recently， some researches have been carried out on dynamic multi-objective optimization algorithm based on prediction， and a series of effective algorithms have been proposed. However， existing methods usually adopt a single prediction strategy， make the algorithm unable to effectively cope with drastic environmental changes. To tackle the above issues， this paper proposed a dynamic multi-objective optimization method based on hybrid prediction strategy and improved social learning optimization algorithm. Firstly， when the environment changes， this method generated a part of the group based on the representative individual prediction strategy， and generated some new groups based on the inflection point prediction strategy. In particular， to maintain the diversity of the population， it randomly generated a certain number of new individuals according to the historical information of the algorithm iteration and the environmental changes. To improve the efficiency of solving the problem， this paper improved the social learning optimization algorithm and designed the suitable operators for dynamic multi-objective optimization problems in three evolution space. Finally， it formed a new dynamic multi-objective optimization method by combining the hybrid prediction strategy with the improved social learning optimization algorithm. This paper used FDA， DMOP and F function sets as experimental test function sets， and deeply analyzed the performance of the proposed method with IGD. Experimental results show that the proposed method has good convergence and robustness.

Key words：dynamic multi-objective optimization; mixed prediction strategy; representative individuals; inflection point; social learning optimization algorithm

0 引言

當前，工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)計算中的很多問題（如云計算任務(wù)調(diào)度［1］、光伏組件冷卻［2］、選礦工藝操作［3］、最優(yōu)控制器動態(tài)設(shè)計［4］等）都可以歸納為動態(tài)多目標優(yōu)化問題（dynamic multi-objective optimization problems， DMOP）［5］。這類問題受生產(chǎn)工況、運行環(huán)境等動態(tài)因素的影響，使其目標函數(shù)、約束條件等隨著時間與環(huán)境的變化而具有較強的動態(tài)性，從而導(dǎo)致該類問題的解決方案通常不會長期有效，同時要求求解方法應(yīng)具有快速跟蹤問題變化的能力。近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對動態(tài)多目標優(yōu)化問題開展了廣泛的研究，提出了一系列有效的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。已有的研究方法可以概述為三類，即基于多樣性增強策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法［6～8］、基于記憶機制的動態(tài)多目標優(yōu)化算法［9，10］以及基于預(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法［11～17］。

基于多樣性增強策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法在環(huán)境變化時，通過多樣性引入和多樣性保持機制來增加種群的多樣性，采用隨機生成新的個體［6］或重新加載一部分分布性良好的保留解和接近Pareto真實前沿的解來增加種群的多樣性［7］。該類算法的優(yōu)點是完全專注于種群搜索過程，只在檢測到環(huán)境變化時才做出反應(yīng)。多樣性保持機制在解決環(huán)境變化較小的DMOP時表現(xiàn)較好；然而，當環(huán)境變化劇烈時，該類算法的性能將會變差；此外，隨機解的引入常常導(dǎo)致種群整體沿前沿擴散，難以保持獲得解的均勻性［8］，不能充分地利用環(huán)境的變化信息，使得該類算法的收斂速度有待提高。

基于記憶機制的動態(tài)多目標優(yōu)化算法［9，10］的基本思想是利用歷史的最優(yōu)解來加速收斂進程。該類算法對于周期性問題的求解效果較好?；谟洃洸呗缘姆椒軌蚝芎玫貞?yīng)對周期性變化的問題。但當環(huán)境變化程度較大時，前期環(huán)境的信息可能會對新種群的預(yù)測產(chǎn)生誤導(dǎo)，使得算法無法有效收斂。隨著對動態(tài)多目標優(yōu)化問題研究的逐漸深入，一些研究者提出了基于預(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。預(yù)測策略基于歷史信息預(yù)測環(huán)境變化后的最優(yōu)解，以此快速響應(yīng)環(huán)境變化［11］?；陬A(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法在求解問題過程中，當發(fā)現(xiàn)環(huán)境變化時，則采用預(yù)測機制初始化新環(huán)境下的種群，進而引導(dǎo)種群的進化， 確定下一時刻的Pareto解集［12～18］?；陬A(yù)測策略可以有效地生成質(zhì)量較好的新個體，從而有助于加速種群的收斂；此外，預(yù)測策略還有助于增加種群的多樣性、增強算法的尋優(yōu)能力。當前，基于預(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法對于不同的DMOP都有較好的求解效果，已經(jīng)成為該領(lǐng)域的主要研究方向。

然而，已有的基于預(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法通常采用單一的預(yù)測策略，一方面不能對復(fù)雜的環(huán)境變化做出快速有效的反應(yīng)；另一方面，單一的預(yù)測策略所產(chǎn)生的群體多樣性較差，不能夠快速有效地跟蹤Pareto前沿，從而導(dǎo)致算法不能快速收斂。為了解決上述問題，本文提出了一種基于混合預(yù)測策略與改進社會學(xué)習優(yōu)化算法的動態(tài)多目標優(yōu)化方法。具體的主要貢獻如下：

a）提出了一種新的基于代表性個體的預(yù)測策略。該策略首先通過Clique網(wǎng)格聚類算法確定代表性個體；在基于代表性個體進行預(yù)測時，引入移動方向感知的獎懲因子從而加快算法的收斂速度。

b）提出了一種基于回歸模型的拐點預(yù)測策略。該方法首先通過最小曼哈頓距離獲取拐點，通過移動的歷史信息將拐點代入回歸模型中得到下一時刻拐點解，從而預(yù)測下一時刻整個Pareto解集的運動方向和位置。該方法既能充分預(yù)測種群下一時刻的運動方向，又能豐富新種群的多樣性，能夠有效避免算法陷入局部最優(yōu)。

c）針對社會學(xué)習優(yōu)化算法［18］，設(shè)計了適用于動態(tài)多目標優(yōu)化問題的算子；結(jié)合所提出的混合預(yù)測策略與改進的社會學(xué)習優(yōu)化算法，形成了一種新的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。

1 相關(guān)工作

1.1 基于多樣性增強策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法

在求解動態(tài)多目標優(yōu)化問題時，由于缺乏足夠的多樣性，動態(tài)多目標優(yōu)化算法可能無法找到最優(yōu)解。算法可能已經(jīng)收斂到一個特定的區(qū)域，當新的環(huán)境變化發(fā)生時，算法可能無法找到新環(huán)境的PS。因此，引入種群多樣性且保持種群多樣性的穩(wěn)定是非常重要的。Ruan等人［19］在RM-MEDA（regularity model-based multi-objective evolutionary dynamic algorithm）中引入一種混合多樣性保持機制，該方法在大多數(shù)測試問題上表現(xiàn)良好，但是在FDA2測試問題上表現(xiàn)不佳；Hu等人［6］為了快速找到動態(tài)多目標優(yōu)化問題的Pareto解集，提出了一種多方向搜索策略，在處理DMOP方面具有很強的競爭力，但是在測試問題F8上的性能仍然需要通過增強收斂性和多樣性來提高。近年來，在提出的解決方法中，多樣性增強策略已經(jīng)成為在解決動態(tài)多目標優(yōu)化問題不可缺少的一部分，Ahrari等人［20］為了在解決動態(tài)多目標優(yōu)化問題時合理利用歷史信息，提出一種基于種群相對分布的自適應(yīng)方案。江儲文等人［21］提出一種基于遷移學(xué)習的拐點預(yù)測策略，在生成新的拐點集時，在拐點鄰域內(nèi)選出若干個伴隨個體來增加種群多樣性，避免種群陷入局部最優(yōu)。

該類方法的優(yōu)點是完全專注于搜索過程，并且只在檢測到變化時才做出反應(yīng)。然而，在使用多樣性策略時，其有效性取決于是否能夠檢測到環(huán)境變化，并且該類算法幾乎沒有應(yīng)用歷史信息。

1.2 基于記憶機制的動態(tài)多目標優(yōu)化算法

記憶機制的基本思想是利用先前搜索的最優(yōu)解來加速收斂進程，該類算法對于周期性問題可以取得較好的效果，然而對于非周期問題的求解效果較差。Sahmoud 等人［22］將記憶機制與NSGA-Ⅱ［23］相結(jié)合，提出了一種基于記憶機制的動態(tài)多目標優(yōu)化算法，利用記憶機制存儲大量的Pareto解集，當環(huán)境變化時，存儲的個體被重新使用作為新環(huán)境初始種群中的個體。該方法操作簡單，但實驗結(jié)果并不理想。Liu等人［24］提出了一種基于NSGA-Ⅱ的動態(tài)多目標記憶算法，使用NSGA-Ⅱ作為進化算法，引導(dǎo)種群重新初始化、基于內(nèi)存和局部搜索策略的混合以提高搜索效率。

綜上所述，這類方法可以有效地解決有規(guī)律的環(huán)境變化問題，但可能會因為注重保持種群多樣性導(dǎo)致算法整體變慢，且并不適用于不規(guī)律變化的環(huán)境。

1.3 基于預(yù)測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法

預(yù)測策略使用一些歷史信息或其他手段預(yù)測環(huán)境變化后的最佳解決方案，以快速響應(yīng)環(huán)境變化。Jiang等人［25］提出基于拐點的動態(tài)多目標優(yōu)化不平衡遷移學(xué)習方法，設(shè)計了一個趨勢預(yù)測模型來生成預(yù)測的拐點，并提出了一種不平衡遷移學(xué)習方法，通過將拐點和不平衡遷移學(xué)習技術(shù)相結(jié)合，提高了計算效率；然而該方法發(fā)生負遷移的可能性較大，影響了該算法的性能。Liang等人［26］提出了一種新的基于反饋的預(yù)測策略（FPS），該策略包括校正反饋（CF）和有效性反饋（EF）兩種反饋機制。該方法根據(jù)初始預(yù)測模型計算該個體在新環(huán)境中的預(yù)測解，然后，根據(jù)基于變量分類的步長搜索方法，對預(yù)測模型進行自適應(yīng)校正。馬學(xué)敏等人［27］提出一種基于多區(qū)域中心點預(yù)測的動態(tài)多目標優(yōu)化算法（MCPDMO）。該算法可以快速追蹤變化的PF且分布性較好，但對于三個目標的測試問題，其收斂性有待進一步改善。然而實際生活中的問題較為復(fù)雜且規(guī)律性不強，對于預(yù)測策略具有很大的挑戰(zhàn)性。

2 動態(tài)多目標優(yōu)化問題描述

動態(tài)多目標優(yōu)化問題（DMOP）的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)概念的定義如下。

3 基于混合預(yù)測策略與改進社會學(xué)習算法的動態(tài)多目標優(yōu)化方法

為了更好地解決動態(tài)多目標優(yōu)化問題，本文提出了一種基于混合預(yù)測策略與改進社會學(xué)習算法的動態(tài)多目標優(yōu)化方法（HPS-DMOP）。首先提出了一種基于代表性個體和基于拐點的混合預(yù)測策略，當環(huán)境發(fā)生變化時，通過該混合預(yù)測策略生成部分新個體以此應(yīng)對環(huán)境的變化；為了提高種群的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)，該方法還采用隨機的方法生成部分新個體；其次，本文對社會學(xué)習優(yōu)化算法進行了改進，提出了新的觀察學(xué)習算法與模仿學(xué)習算子；最后，結(jié)合混合預(yù)測策略與改進的社會學(xué)習優(yōu)化算法形成了一種新的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。

3.1 基于代表性個體與拐點的混合預(yù)測策略

在DMOP解的群體中，代表性個體能夠體現(xiàn)群體進化的方向，體現(xiàn)了PS形狀和多樣性。因此，基于某一時間段代表性個體的運動軌跡，可以預(yù)測該個體所代表群體的演化方向。為了快速地確定群體中的代表性個體，本文提出了基于Clique網(wǎng)格聚類的代表性個體獲取方法。Clique網(wǎng)格聚類方法［28］綜合了基于密度的聚類方法和網(wǎng)格聚類方法的優(yōu)點，適合于處理大型DMOP中的高維數(shù)據(jù)，具有較快的聚類速度與較好的聚類效果。該聚類的運行過程為：a）設(shè)置密度閾值、網(wǎng)格數(shù)量等參數(shù)，并將初始化的群體劃分成k個不重疊的矩形單元；b）計算每個網(wǎng)格的局部密度，判斷每個網(wǎng)格密度是否超過密度閾值；若超過密度閾值，則被標記為稠密網(wǎng)格，并基于最小描述長度原理（minimum description length，MDL）［29］與貪心思想［30］找到該聚類的簇；c）獲取最終稠密網(wǎng)格中的代表性個體?；贑lique網(wǎng)格聚類的代表性個體確定方法如算法1所示。

算法1 基于Clique網(wǎng)格聚類的代表性個體獲取

輸入：密度閾值threshold， 網(wǎng)格數(shù)量k，網(wǎng)格寬度grid_width，空隊列GH_density， 初始化群體G。

輸出：代表性個體集。

a）把當前的群體G劃分成k個不重疊的矩形單元；

b）計算每個網(wǎng)格的密度 threshold_grid；

c）判斷threshold_grid 是否大于 threshold，如果threshold_grid gt; threshold，將該網(wǎng)格添加到空隊列GH_density；

d）根據(jù)密度閾值，選取稠密網(wǎng)格，利用最小描述長度原理以及貪心算法找到聚類的簇；

e）在每個簇的周圍找到代表性個體的集合；

f）輸出代表性個體集。

3.3 基于混合預(yù)測策略的群體生成

為了提高種群的多樣性，當環(huán)境變化時，本文采用多種方法生成新的群體，新群體的構(gòu)成如圖2所示。其中，Ⅰ部分群體通過代表性個體預(yù)測策略生成；Ⅱ部分群體通過拐點預(yù)測方法生成；Ⅲ部分群體在算法運行過程中通過隨機的方式生成；Ⅳ部分群體為上一時刻的Pareto解集。該群體混合生成策略可以充分地利用環(huán)境信息，使算法能更好地適應(yīng)環(huán)境的變化。

在動態(tài)環(huán)境中，種群的多樣性對于求解動態(tài)多目標優(yōu)化問題具有重要的作用。為了保持種群多樣性以及預(yù)測結(jié)果的魯棒性，本文提出了一種基于混合預(yù)測策略的群體生成方法，首先基于代表性個體的預(yù)測方法生成一部分新個體；其次，基于拐點預(yù)測方法生成一部分新個體。為了合理地分配每一種預(yù)測算法生成群體的比重，本文給出了由預(yù)測方法生成群體的構(gòu)成公式，如式（15）所示。

final_Set=（δ×RI）+（ξ×KI）+（μ×randK）+（1－δ－ξ－μ）×old（15）

其中：final_Set為當前時刻獲取的最終PS；RI為代表性個體預(yù)測方法生成的Pareto解集；KI為拐點預(yù)測方法生成的Pareto解集；randK表示隨機策略生成的點；old為保留的上一時刻的Pareto解集；δ，ξ，u為比例參數(shù)，即代表性個體預(yù)測生成的新個體在最終PS中所占的比例。在進行新個體的生成時，本文通過實驗的方式確定兩種預(yù)測策略生成群體的比例參數(shù)δ的取值。

3.4 改進的社會學(xué)習優(yōu)化算法

社會學(xué)習優(yōu)化 （social learning optimization，SLO）算法是一種通過模擬人類社會智能演化過程的群體智能算法［18］。該算法根據(jù)班杜拉的社會認知理論，通過模擬人類智能進化過程提出了一種具有三層協(xié)同演化空間的算法。然而現(xiàn)有的SLO算法并不能直接用于求解DMOP，為此，結(jié)合DMOP的特點，本文對SLO算法進行改進，設(shè)計了適合于動態(tài)多目標優(yōu)化問題的算子。下面分別介紹SLO算法中每個演化空間內(nèi)的優(yōu)化操作。

3.4.1 微空間內(nèi)的操作

SLO微空間內(nèi)的操作主要包括基于輪盤賭的選擇操作、交叉操作和變異操作。在DMOP中，在執(zhí)行優(yōu)化算法之前需要找到整個群體中的Pareto解集，為此，本文首先基于擁擠度距離［36，37］選出擁擠度距離最大的點，快速確定Pareto解集。

a）交叉操作。設(shè)X1、X2為兩個m維個體，rand為區(qū)間（0， 1）內(nèi)的隨機數(shù)，pc為交叉率，若rlt;pc，則執(zhí)行交叉操作。交叉操作如圖3所示。其中，S表示維度，I表示目標數(shù)，當X1中第m個目標和X2中第m個目標執(zhí)行交叉互換，得到個體X3與X4。

b）變異操作。本文采用的是單點變異操作，設(shè)X為m維個體，rand為（0，1）的隨機數(shù)，pm為變異概率，且個體每個維度的值都有相同的變異概率。若rlt;pm，則執(zhí)行變異操作，如圖4所示，其中S表示維度，I表示目標數(shù)，當X1中的第m個個體發(fā)生變異時，X2為X1執(zhí)行變異操作之后的個體。執(zhí)行完變異操作之后，計算整個集合的擁擠度距離。

3.4.2 學(xué)習空間的操作

在DMOP中，為保證個體向更好的方向發(fā)展，最終得到最優(yōu)的Pareto解集，本文在學(xué)習空間中，通過比較擁擠度距離將擁擠度距離較大的個體作為學(xué)習對象。

a）模仿學(xué)習算子。

在人類社會中，個體通常隨機地向周圍其他優(yōu)秀個體進行模仿學(xué)習。根據(jù)這一現(xiàn)象，本文由擁擠度距離找到多個擁擠度距離較大的個體，與當前個體組成學(xué)習小組進行模仿學(xué)習。模仿學(xué)習操作如式（16）所示。

5 實驗結(jié)果及分析

5.1 實驗設(shè)置

為了驗證本文算法（HPSDMOP）的有效性，選擇了三種較新的具有代表性的動態(tài)多目標優(yōu)化方法作為比較對象，分別為：a）基于反饋的動態(tài)多目標進化優(yōu)化預(yù)測策略（MOEA/D-FPS）［26］；b）基于環(huán)境變化強度的動態(tài)多目標進化算法（IEC）［38］；c）拐點引導(dǎo)的動態(tài)多目標優(yōu)化預(yù)測方法（KPEA）［35］。本文選擇11個常用的動態(tài)多目標測試函數(shù)對上述算法進行對比測試，所選用的測試函數(shù)如表1所示。

MOEA/D-FPS、IEC以及KPEA算法各自的獨有參數(shù)按照相應(yīng)的文獻進行設(shè)置，其他參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為100；算法迭代次數(shù)為4 000代，變化程度nt=10。此外，對四種算法在動態(tài)多目標優(yōu)化問題前充分收斂和未充分收斂的情況進行分析，令環(huán)境變化頻度τt的值分別取10和30，其他參數(shù)不變。四種算法在11個測試函數(shù)上分別運行20次。為了對四種算法在不同時刻得到解集的收斂性和多樣性進行綜合評估，本文選擇了常用的性能度量指標平均方向距離MIGD對算法得到的解集進行分析，其計算公式如式（22）所示。

5.2 算法性能比較

分別采用本文的方法以及其他三種代表性算法對測試函數(shù)進行了求解，實驗結(jié)果如表2所示。從表2可以看出，針對變化頻度τt取30的情形，本文HPSDMOP算法在11個測試函數(shù)中，在7個測試函數(shù)上的平均方向距離指標（MIGD）優(yōu)于其他三種算法；其中，KPEA算法僅在測試函數(shù)FDA4和F8上表現(xiàn)較好；MOEA/D-FPS算法僅在測試函數(shù)F5和F6上表現(xiàn)更好。在環(huán)境變化頻度τt為10的情形下，本文HPSDMOP算法在7個測試函數(shù)中的平均反向距離指標優(yōu)于其他三個對比算法，KPEA在DMOP1和F8測試函數(shù)上最優(yōu)，IEC在F6測試函數(shù)上最優(yōu)。當τt由10變?yōu)?0，即環(huán)境變化頻度由低轉(zhuǎn)高的過程中，HPSDMOP算法的平均反向距離（MIGD）相差較小，僅在部分函數(shù)中略有下降，此實驗結(jié)果表明，HPSDMOP在環(huán)境劇烈變化時具有更好的適應(yīng)性。

5.3 算法有效性驗證

為了驗證HPSDMOP算法的有效性，本文選取了FDA2測試函數(shù)對四種算法在環(huán)境變化頻度τt取30時的同一時間點的測試結(jié)果進行深入分析。首先，對四種算法在不同時刻的反向距離指標的值進行對比，結(jié)果如圖5所示。其中，橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示IGD的值。IGD越小，表示方法最終實驗效果較好；同時，若方法的IGD值趨于穩(wěn)定，則說明該方法收斂速度越快。

從圖5可以看出，HPSDMOP算法在迭代次數(shù)為5之后基本趨于穩(wěn)定，且IGD值隨時間變化波動很小，且平均值小于其他三種算法。其中，HPSDMOP與KPEA算法最終結(jié)果相差較小。從實驗過程穩(wěn)定性來看，HPSDMOP算法的波動性較小，且在趨于穩(wěn)定之前，IGD在迭代過程中下降速度較為平穩(wěn)，且遠低于KPEA的值。此外，MOEA/D-FPS在第10次迭代才趨于穩(wěn)定，且穩(wěn)定之后的運行實驗結(jié)果遠不如本文算法以及KPEA算法。上述實驗結(jié)果表明，HPSDMOP算法是有效的。

為了觀察不同時刻四種算法得到的解的分布情況，分別設(shè)置t為5、10、14、18、20，記錄這五個時刻每個算法所得到的解在目標空間的值，其結(jié)果如圖6所示。圖中藍色點為不同時刻的最優(yōu)面，其他點為不同時刻求得的解集。

從圖6可以看出，HPSDMOP算法解集分布較其他方法更均勻，算法種群的多樣性保持較好；KPEA和IEC算法的結(jié)果次之。MOEA/D-FPS算法收斂較慢，且解集分布較為集中。因此，本文在同一時刻獲得的解的收斂性和魯棒性均優(yōu)于其他三種算法。

5.4 獎懲算子對算法收斂性影響驗證

為了驗證獎懲因子對HPSDMOP算法收斂性能的影響，本文開展了兩組實驗驗證工作。在第一組實驗中，分別使用HPSDMOP算法和從HPSDMOP中去掉獎懲因子而得到的算法（HPSDMOP-RP）對所有測試函數(shù)進行求解，根據(jù)MIGD結(jié)果設(shè)置閾值，若達到測試閾值，則直接獲取運行時間，否則記錄兩種算法在當前測試函數(shù)前20次迭代所運行的時間，最終將兩種算法在所有測試函數(shù)上的運行總時間進行對比，實驗結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，HPSDMOP算法的收斂速度較快，從而可以證明獎懲因子對于提升HPSDMOP算法的收斂速度是有效的。

在第二組實驗中，采用HPSDMOP與MOEA/D-FPS、KPEA以及IEC算法，對函數(shù)FDA3、FDA4、DMOP2、DMOP3、F5進行求解，并記錄每種算法的運行時間，實驗結(jié)果如圖8所示。

從圖8可看出，在相同環(huán)境下，當環(huán)境變化時，HPSDMOP算法的反應(yīng)速度更快，并且HPSDMOP算法的運行時間較短。在對比算法中，MOEA/D-FPS算法的運行時間較長，主要是因為MOEA/D-FPS算法中的隨機策略導(dǎo)致算法的穩(wěn)定性較弱。

5.5 種群多樣性分析

為了對HPSDMOP算法種群的多樣性進行分析，在混合預(yù)測中，適當調(diào)整種群分布式（14）的權(quán)重，通過對算法運行過程的跟蹤來統(tǒng)計并記錄每一種個體生成策略（基于代表性個體預(yù)測策略、基于拐點預(yù)測策略、基于隨機的生成策略、種群保留策略）所產(chǎn)生的個體在整個種群中的分布。實驗結(jié)果如圖9所示。從圖9可以看出，HPSDMOP算法在求解過程中，基于代表性個性預(yù)測策略與基于拐點的預(yù)測策略所生成的個體在種群中占的份量排在前兩位；其次，基于個體保留策略與基于隨機方法生成策略所占種群規(guī)模的份量排序為第三和第四。從上述實驗結(jié)果可以看出，HPSDMOP算法種群的構(gòu)成是多樣性的，有利于避免算法陷入局部最優(yōu)。

6 結(jié)束語

針對動態(tài)多目標優(yōu)化問題，本文提出了一種基于混合預(yù)測策略與改進社會學(xué)習優(yōu)化算法的動態(tài)多目標優(yōu)化方法（HPSDMOP）。首先在環(huán)境變化時，基于混合預(yù)測策略與隨機方法生成新的種群；其次，對社會學(xué)習優(yōu)化算法進行了改進，最終形成了一種新的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。與其他算法相比，混合預(yù)測策略使得種群在整個解空間分布且在環(huán)境劇烈變化時，通過混合預(yù)測策略可以對不同時刻的解集拐點和代表性個體進行跟蹤，感知個體的進化方向；另一方面，在迭代過程中，通過邊界操作以及隨機策略，使得新解集保持充分的多樣性。最后通過實驗驗證了HPSDMOP算法的優(yōu)越性。在后續(xù)的研究中，將深入研究偏好感知的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。

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