謝 宇，黃 鵬，李 震，李良榮*

(1.貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100083)

0 引言

波束形成的實(shí)質(zhì)是接收期望信號的同時抑制內(nèi)部的干擾和噪聲[1-3]。但在實(shí)際應(yīng)用中，總有各種不確定因素影響導(dǎo)致波束形成器的性能下降。如導(dǎo)向矢量存在誤差[4-6]、期望信號來波方向失配等。Gershman等人提出了最差情況性能最優(yōu)(Worst-Case Performance Optimization，WCPO)算法[7]解決了導(dǎo)向矢量的誤差情況，該算法在不確定集約束的范圍內(nèi)，讓所有導(dǎo)向矢量的波束響應(yīng)均大于等于1的前提下，求取滿足目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)矢量。針對導(dǎo)向矢量失配問題，Gu等人[8]于2012年提出干擾加噪聲協(xié)方差(Inter-ference Plus Noise Covariance，INC)矩陣重構(gòu)的算法，為了收集干擾信息，首先在不含有期望信號的角度區(qū)間上積分，然后通過求解二次約束等問題估計(jì)期望信號的方向矢量失配量，能夠有效抑制噪聲。

上述算法雖然在改善波束形成器性能方面能達(dá)到較好的效果，但是在面對陣列互耦時卻不能很好地抑制干擾?；ヱ畹拇嬖趯?dǎo)致數(shù)據(jù)矩陣結(jié)構(gòu)改變，使得傳統(tǒng)波束形成器輸出效果變差。因此，陸續(xù)有學(xué)者提出了改善此問題的辦法。Huang等人[9]提出一種基于迭代思想的最優(yōu)化二次約束問題來同時估計(jì)信號DOA以及互耦矩陣的互耦系數(shù)，利用Capon空間功率譜得到針對陣元互耦情況時的波束形成器，能有效校正陣元互耦現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]提出了先估計(jì)互耦系數(shù)，再重構(gòu)INC矩陣的抗互耦算法。而未知互耦信息下的波束形成算法不需要預(yù)先估計(jì)互耦系數(shù)，可利用最大化輸出信干噪比準(zhǔn)則求出權(quán)向量。文獻(xiàn)[11]提出的基于未知互耦信息下矩陣重構(gòu)的算法，利用協(xié)方差矩陣錐化理論(Covariance Matrix Taper，CMT)和空間功率譜采樣重構(gòu)包含互耦信息的INC矩陣，并對其進(jìn)行特征分解，經(jīng)過計(jì)算得到最優(yōu)權(quán)矢量。該算法在高信噪比時抗互耦性能較好，但在低信噪比下，不能有效抑制干擾和噪聲，使得波束形成器性能下降。

本文研究一種基于未知互耦信息下矩陣重構(gòu)的算法(Matrix Reconstruction with Unknown Mutual Coupling Information，MUMC)，并在此算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。原算法解決了互耦信息未知的矩陣重構(gòu)，但是沒有考慮到低信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)下導(dǎo)向矢量損耗的情況，導(dǎo)致波束形成輸出不穩(wěn)定。針對原算法在低輸入信噪比下干擾方向不能準(zhǔn)確地形成零陷[12]，且波束形成器不夠穩(wěn)健的問題，本算法首先通過計(jì)算在不含有互耦信息的期望信號導(dǎo)向矢量上適配一個誤差值，以減消低信噪比下矩陣重構(gòu)和特征分解對導(dǎo)向矢量的損耗，然后設(shè)定一個輸入信噪比的門限，針對不同信噪比輸出不同的導(dǎo)向矢量值，目的是將導(dǎo)向矢量準(zhǔn)確輸出得到平穩(wěn)的計(jì)算結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)證明不論在高信噪比還是低信噪比下，該波束形成器都能穩(wěn)健輸出。

1 算法原理

1.1 算法模型

假設(shè)陣列形式為M元半波長等間距的均勻直線陣[13-14]，所有信號都是窄帶信號。當(dāng)存在互耦[15]時，θ方向的導(dǎo)向矢量經(jīng)過轉(zhuǎn)換可建模為：

(1)

式中，T[θ]=T1(θ)+T2(θ)為一個M×Q的矩陣[14]。T1(θ)和T2(θ)表示為：

(2)

(3)

則存在互耦時的陣列接收信號矩陣可寫為：

(4)

接收信號的協(xié)方差矩陣為:

(5)

(6)

對式(6)進(jìn)行優(yōu)化問題的構(gòu)造求解，即得到存在互耦時的自相關(guān)矩陣以及接收信號復(fù)包絡(luò)的估計(jì)值，可估計(jì)出存在互耦時的INC矩陣。

(7)

由于干擾的真實(shí)數(shù)量少于潛在干擾的數(shù)量，為了讓潛在信號的功率達(dá)到干擾所在的位置，限定一個范圍，對估計(jì)功率進(jìn)行升序排序，使得能到達(dá)一定水平的潛在信號的功率篩選通過。因此，潛在信號的功率估計(jì)為：

(8)

式中，trace[·]代表矩陣的跡[15]。

(9)

(10)

利用存在陣列互耦信息的接收信號表達(dá)式(4)，讓其通過子空間D后，可求得只包含期望信號和噪聲信息的接收信號y(n)：

DZa(θ0)s0(n)+De(n)=a′(θ0)s0(n)+De(n),

(11)

式中，n=1,2,…,N。

因?yàn)閷?shí)際中無法計(jì)算真實(shí)的接收信號自相關(guān)矩陣，則用y(n)的樣本協(xié)方差矩陣取代：

(12)

式中，N為樣本數(shù)目。

(13)

濾波器輸出為：

(14)

則最優(yōu)權(quán)矢量為：

(15)

通過上述步驟，在存在未知陣元互耦時的信號模型中僅需要估計(jì)出接收信號復(fù)包絡(luò)及其協(xié)方差矩陣，再選擇功率較大的角度進(jìn)行干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的重構(gòu)，在對INC矩陣和接收信號自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征分解后，經(jīng)過計(jì)算得到最優(yōu)波束形成。

1.2 原算法仿真

對上述算法的性能進(jìn)行Matlab仿真實(shí)現(xiàn)。仿真環(huán)境為：具有互耦存在的16元陣元數(shù)的均勻線陣，入射信號有3個，其中兩個是干擾方向信號，入射角度設(shè)置為-30°和+30°；另一個是期望信號，角度設(shè)置為0°，將輸入信噪比設(shè)置成20 dB，干噪比設(shè)置成30 dB，信號采樣點(diǎn)數(shù)200，互耦門限為5，則互耦向量設(shè)定為：[1，0.512 8+0.387 5j,0.355 8+0.278 5j,0.363 6-0.363 6j,0.102 4+0.052 1j],圖1為算法的歸一化波束圖仿真。

圖1 基于未知互耦信息的矩陣重構(gòu)算法的歸一化波束圖Fig.1 Normalized beam diagram of matrix reconstruction algorithm based on unknown mutual coupling information

從圖1可以看出，該算法能準(zhǔn)確地在期望來波方向上形成主波束，并在兩個干擾角度-30°和30°上都形成了零陷，說明該算法具有一定的抗互耦作用。但是兩邊的零陷深度較淺，未超過-55 dB，說明互耦信息的影響較大，當(dāng)噪聲等干擾信息方向有偏差時,則算法性能將會下降。

2 改進(jìn)算法

2.1 原算法存在問題

在對如上算法的分析中可以得知，在高信噪比和高干擾輸入功率下，原算法在對抗陣元互耦上不需要預(yù)先估計(jì)互耦系數(shù)，只需利用最大化輸出信干噪比準(zhǔn)則對權(quán)向量進(jìn)行求解。無論期望信號功率增強(qiáng)還是減弱都保持了很好的性能。但是當(dāng)輸入信噪比較低時，原算法對干擾的抑制能力明顯下降，且不能在干擾方向形成準(zhǔn)確的零陷，整個算法性能失衡。圖2為原算法在-20 dB信噪比輸入下的波束形成圖。

圖2 低輸入信噪比之下波束形成歸一化方向圖Fig.2 Normalized pattern of beamforming under low input SNR

如圖2所示，原算法實(shí)驗(yàn)一旦進(jìn)入較低的信噪比環(huán)境時其抗干擾能力變差，在兩個干擾角度未形成明顯的零陷，且并沒有減弱因陣元互耦帶來的影響，意味著在低信噪比下該算法的性能仍有需要改進(jìn)的空間。

2.2 算法改進(jìn)

陣列間互耦的存在使得干擾零陷抬高、波束形成的主瓣偏移等，這嚴(yán)重影響了波束形成器的性能。在經(jīng)過多次試驗(yàn)仿真發(fā)現(xiàn)，原算法在信噪比大于10 dB時表現(xiàn)良好。因此，只需要設(shè)定一個條件在低于此環(huán)境時適配精確的導(dǎo)向矢量，使得優(yōu)化后的矢量不被陣元間的互耦所干擾，能夠抵抗因低輸入信號而帶來的不同程度噪聲的干擾。

已知陣元上的接收信號可表示為：

(16)

因?yàn)殛嚵行盘栆话愣际寝D(zhuǎn)變到基帶再進(jìn)行處理，所以可將其用矢量形式表示為：

s(t)?[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T=

(17)

當(dāng)確定了波長和陣列的結(jié)構(gòu)時，式(17)中的矢量部分只與到達(dá)波的空間角矢量θ有關(guān)，稱為方向矢量：

(18)

因?yàn)殛嚵虚g互耦的存在將不同位置的陣元所處的電磁環(huán)境改變，加上輸入信號中攜帶的噪聲過雜，在低信噪比下將會損耗方向矢量，令誤差產(chǎn)生。因此，為了降低噪聲對轉(zhuǎn)換過程的消耗，經(jīng)過不斷地實(shí)驗(yàn)計(jì)算，最終確定在建立互耦信息前的方向矢量上賦予一個誤差值，可增加互耦之后的導(dǎo)向矢量準(zhǔn)確性：

(19)

其導(dǎo)向矢量矩陣為：

(20)

計(jì)算時，若是在存在互耦信息的導(dǎo)向矢量上賦予誤差，則互耦與誤差將會產(chǎn)生混淆，導(dǎo)致抗互耦效果變差，因此要在這之前就給導(dǎo)向矢量適配誤差。加入誤差之后，在導(dǎo)向矢量的左側(cè)再乘上互耦矩陣，則存在互耦時的導(dǎo)向矢量為：

(21)

對應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣為：

(22)

式中，C為反映互耦影響程度的互耦矩陣MCM。因?yàn)镃為Toeplitz矩陣，則經(jīng)過推導(dǎo)可以得到：

(23)

(24)

進(jìn)行到這一步，對導(dǎo)向矢量的誤差適配就基本完成了。接下來，需要對算法當(dāng)前信噪比環(huán)境進(jìn)行一個門限判斷。如果當(dāng)前信噪比環(huán)境大于或等于10 dB，則算法繼續(xù)，如果當(dāng)前信噪比低于10 dB，說明算法此時處于一個低信噪比環(huán)境下，則需要在導(dǎo)向矢量上增加一個誤差值，保證算法能夠穩(wěn)健輸出。部分算法流程如圖3所示。

圖3 部分算法流程圖Fig.3 Partial algorithm flowchart

另外，設(shè)定信噪比門限為了防止在高信噪比時加入的導(dǎo)向矢量誤差影響到算法運(yùn)算，造成方向圖輸出不準(zhǔn)確。因此，在低于10 dB的信噪比下給導(dǎo)向矢量適配誤差，使得算法無論在高信噪比還是低信噪比下都能夠保證算法穩(wěn)定輸出。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 改進(jìn)算法仿真

通過仿真驗(yàn)證改進(jìn)算法的性能，假設(shè)期望信號來波方向?yàn)?°，同時加入兩個干擾方向?yàn)閇-30°,30°]，干噪比設(shè)為30 dB，輸入端SNR設(shè)為-20 dB，互耦系數(shù)設(shè)置為[1，0.512 8+0.387 5j,0.355 8+0.278 5j,0.363 6-0.363 6j,0.102 4+0.052 1j]，圖4為改進(jìn)算法仿真得出的歸一化方向圖。

圖4 低信噪比情況下改進(jìn)算法的波束歸一化方向圖Fig.4 Beam normalization pattern of the improved algorithm in the case of low SNR

可以看到，圖2的仿真與圖4的仿真區(qū)別在于對干擾的抑制能力以及波束輸出的穩(wěn)健性。圖4仿真的波束圖，其主瓣對準(zhǔn)了真實(shí)的期望信號來波方向，在干擾方向零陷深度均超過-55 dB，且界限清晰波達(dá)方向明確，很好地說明了算法的有效性。

3.2 綜合仿真對比

為了更加清晰地對比改進(jìn)算法與其他算法的性能，將本算法與其他算法放置在同一環(huán)境中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

對比的算法：改進(jìn)前的Yang算法、SMI算法、基于互耦系數(shù)估計(jì)的抗互耦算法(Mutual Coupling Coefficient Estimate Based，MCCEB)、常規(guī)ESB算法。

綜合仿真：設(shè)置輸入信噪比為-20 dB，干噪比設(shè)為30 dB，期望信號估計(jì)來波方向?yàn)?°，兩個干擾信號的真實(shí)來波方向分別為-30°和30°，快拍數(shù)L=200。

由圖5可以看出，在波達(dá)方向?yàn)?°的情況下，本文算法(記為IMPROVE)假設(shè)的來波方向與實(shí)際的來波方向完全一致，在所對比算法中對干擾的指向也是最準(zhǔn)確的。Yang的算法在低信噪比下波束賦形不穩(wěn)定。ESB算法對干擾抑制混亂，在其他角度形成了零陷，與設(shè)定的仿真環(huán)境不符。而SMI算法則是將期望來波信號當(dāng)成了干擾抑制，出現(xiàn)了信號自消的現(xiàn)象。MCCEB算法是主要針對抗互耦的算法，但是在仿真圖中可以看到，它在未知互耦條件下對干擾的抑制能力尚欠缺。綜合來看，本文算法在低信噪比的環(huán)境中表現(xiàn)是很突出的。

圖5 各種算法在互耦情況下的方向圖對比Fig.5 Direction diagram comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

4 結(jié)束語

本文針對基于未知互耦信息下矩陣重構(gòu)算法存在的問題，即在低輸入信噪比下，波束形成器輸出結(jié)果不理想，抗干擾效果不明顯。對此現(xiàn)象進(jìn)行分析，并對算法改進(jìn)，當(dāng)輸入SNR低于10 dB時，在期望信號的導(dǎo)向矢量上補(bǔ)充一個誤差值，使得后續(xù)重構(gòu)干擾加協(xié)方差矩陣以及進(jìn)行二次特征分解時含有的部分期望信號導(dǎo)向矢量消耗得以補(bǔ)償，當(dāng)輸入SNR大于10 dB時，則按照原算法計(jì)算思路進(jìn)行未知互耦信息下的波束輸出。通過理論剖析和仿真實(shí)驗(yàn)對比，驗(yàn)證了該算法提高低信噪比下的抗互耦性能，無論在高信噪比還是低信噪比下都能良好運(yùn)行，在解決未知互耦信息的耦算法中，該算法具有較強(qiáng)的實(shí)用性及穩(wěn)健性。而對于來波信號靠近時，干擾的進(jìn)一步準(zhǔn)確識別是下一階段需要解決的問題。