晉會(huì)杰 高長銀

1.商丘工學(xué)院，河南商丘 476000；2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，河南鄭州 450001

0 前言

人們?cè)谝话俣嗄昵鞍l(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)后，針對(duì)壓電效應(yīng)研究一直是壓電學(xué)基礎(chǔ)理論研究的主要課題。因工程應(yīng)用和科技發(fā)展的需求，對(duì)壓電效應(yīng)的研究由單純基于應(yīng)力的縱向、橫向等二維效應(yīng)研究逐步發(fā)展到基于晶體扭轉(zhuǎn)、彎曲變形等三維復(fù)合效應(yīng)研究[1]。目前，國內(nèi)外對(duì)一次壓電效應(yīng)和縱向、橫向等二維變形效應(yīng)的研究與應(yīng)用較多，而對(duì)扭轉(zhuǎn)、復(fù)合變形等三維變形效應(yīng)的研究較少。從壓電材料方面，對(duì)壓電陶瓷及其器件研究的較多，對(duì)壓電石英及其器件研究的較少。美國學(xué)者通過切向極化的壓電陶瓷圓管的極化電場實(shí)現(xiàn)圓管扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，用其逆效應(yīng)作為傳感器測量扭矩；四川壓電聲光所研究利用單層扭轉(zhuǎn)壓電效應(yīng)的超聲旋轉(zhuǎn)致動(dòng)器。國內(nèi)外都缺少對(duì)石英晶組扭轉(zhuǎn)力作用電荷分布情況的研究。本文通過研究石英測量晶組在扭轉(zhuǎn)力作用下對(duì)電荷靈敏度分布規(guī)律的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)分析，確定檢測電極布置的最大靈敏度方向，為設(shè)計(jì)新型扭矩傳感器時(shí)檢測電極的位置提供理論基礎(chǔ)。

1 石英晶片組在扭轉(zhuǎn)效應(yīng)下電荷量的實(shí)驗(yàn)測定與分析

1.1 石英晶片數(shù)量的選擇與扭矩測量晶組組成

在組合晶組過程中，通常需要把橫向干擾降到最小，同時(shí)使信號(hào)轉(zhuǎn)換過程中的效率最高。若達(dá)到以上要求，需要在準(zhǔn)確判斷晶軸的同時(shí)，保證扭轉(zhuǎn)晶組組合的干擾最小，而這里的干擾一般來源于軸向力與徑向力。所以，通過最大限度減小軸向力與徑向力干擾，最大限度減少電荷放大器的數(shù)量，非必要不使用外接電路來實(shí)現(xiàn)測量精度的提高和成本最小化[2-3]。

不同的晶片切型所帶來的向間干擾也不同。可以通過選擇合適的晶片切型來有效減小軸向力所產(chǎn)生的向間干擾。根據(jù)石英晶體的壓電效應(yīng)原理可知：在理想狀態(tài)下，y0o切型的石英晶片在軸向力作用下，在其機(jī)械軸方向上不產(chǎn)生電荷，但其在剪切力作用下是會(huì)產(chǎn)生壓電效應(yīng)的。當(dāng)徑向力作用于晶片時(shí)，通過最大限度減小扭轉(zhuǎn)晶組徑向力的向間干擾，使晶片電極輸出信號(hào)為零，通?？梢圆捎秒妷悍ê碗姾煞▋煞N方法來減小向間干擾。

電壓法是在兩片晶片中間粘貼上兩片半圓電極（保證粘貼的對(duì)稱性），然后將其中一個(gè)電極接入電荷放大器A 中，把另一個(gè)電極接入電荷放大器B 中，電荷放大器A 的輸出通過一個(gè)反相器后與電荷放大器B 并聯(lián)輸出。這種方法需要用到電荷放大器A、電荷放大器B 和一個(gè)反相器，這三個(gè)外接電路不但會(huì)導(dǎo)致成本增加，而且會(huì)帶來更大的測量誤差[4]。

如圖1（a）所示，扭轉(zhuǎn)晶組是由3 片石英晶片構(gòu)成了A、B、C、D 四個(gè)電極，當(dāng)徑向力作用于晶組時(shí)，無論方向如何，都會(huì)在晶體的表面產(chǎn)生一定的束縛電荷，而且從圖1（a）可以看出，電極A、電極C 與電極B、電極D 所產(chǎn)生的電荷大小是相等的，但符號(hào)正好相反，所以電極A 與電極C 并聯(lián)后，電荷相互抵消使輸出為零，這就是電荷法。由以上分析可知，電荷法能有效消除徑向力的影響。當(dāng)只有扭矩作用時(shí)，電極A、C 與電極B、D產(chǎn)生的電荷大小相等且符號(hào)相同，故電極A 與C并聯(lián)后，輸出變?yōu)閱坞姌O2 倍，如圖1（b）所示。該方法相比于電壓法少一個(gè)電荷放大器，同等條件下電極輸出的電荷量是單電極的2 倍，極大提高了扭轉(zhuǎn)晶組壓電效應(yīng)的靈敏度。因此，采用電荷法實(shí)驗(yàn)效果更好。

1.2 實(shí)驗(yàn)儀器與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

1.2.1 實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果

本次實(shí)驗(yàn)裝置原理圖如圖2所示。實(shí)驗(yàn)臺(tái)上的軸向預(yù)載是可調(diào)的，砝碼通過滑輪裝置施加扭矩，電極之間連線與晶片布置采用電荷法，采用型號(hào)FDH-2 的電荷放大器和SY2-Ⅲ數(shù)字電壓表。

采用分割電極法將檢測電極布置到最大靈敏度方向，通過實(shí)驗(yàn)測量得到扭矩與束縛電荷量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表1所示。在此基礎(chǔ)上繪制出扭轉(zhuǎn)電荷量與扭矩的關(guān)系圖，如圖3所示。由圖3可以看出，電極所測量的電荷量與扭矩具有線性關(guān)系。

表1 檢測電極測得的束縛電荷量與扭矩之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.2.2 實(shí)驗(yàn)誤差分析

由上述電荷法結(jié)合圖1（b）分析可知，在檢測電極所檢測到的電荷量在數(shù)值上等于單個(gè)半圓電極所測電荷量的4 倍，可通過下面積分公式可以計(jì)算得到各個(gè)電極所檢測到的電量理論值。

其中，ηbz+為垂直于y、z表面的等效面束縛電荷密度；Mt為扭矩；r為半徑；θ為扭轉(zhuǎn)角。

利用最小二乘法可以擬合得到電極電量q（單位：pC）和Mt（單位：N·mm）成線性關(guān)系。若設(shè)線性關(guān)系方程為：

其中，a為斜率；b為截距。

將表1中實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)代入回歸直線方程得：

其中，q為檢測電量。通過表1求出回歸方程的截距項(xiàng)均不超過0.1 pC，故可以不考慮截距項(xiàng)。

依據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)（Statistical hypothesis test）的原理對(duì)相關(guān)顯著性檢驗(yàn)，從而得到線性相關(guān)系數(shù)為0.999，說明扭矩與電壓之間的線性關(guān)系極其顯著。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)公式（3）和理論計(jì)算關(guān)系式（1），得到各個(gè)電極上電荷量的實(shí)驗(yàn)值與理論計(jì)算值之間存在相對(duì)誤差的大小為：

石英晶片切型時(shí)尺寸和角度不精準(zhǔn)，電極制作時(shí)存在的尺寸偏差，電極貼放時(shí)存在的角度偏差，電極的不平整，加載過程抖動(dòng)等因素綜合在一起導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)值同理論值之間產(chǎn)生了較大偏差。

2 扭轉(zhuǎn)作用下電荷靈敏度分布規(guī)律的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)分析

2.1 扭轉(zhuǎn)作用下電荷靈敏度分布規(guī)律的理論計(jì)算

要找到電極布置的最大靈敏度方向，首先要對(duì)扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布規(guī)律進(jìn)行分析和計(jì)算，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測定。扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布是指在一定的扭矩力作用下對(duì)確定切型的石英晶片采用分割電極法進(jìn)行扭轉(zhuǎn)電荷檢測時(shí)，電極分割線在不同的電極貼放角度時(shí)檢測到電荷量的變化規(guī)律[5]。在研究壓電式測力傳感器時(shí)，可以通過研究扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布規(guī)律來確定石英切型精度[6]。

由式（5）可知，當(dāng)Mt和晶片半徑r為定值時(shí)，z表面產(chǎn)生的電荷量Q的大小只與d34的值有關(guān)[7]，而晶體的材料和切型決定了壓電系數(shù)d34的大小，對(duì)扭轉(zhuǎn)作用下電荷靈敏度分布規(guī)律的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)晶片中不同方向下壓電系數(shù)d大小的研究[8]。在圖4晶體坐標(biāo)系中給定壓電系數(shù)d的值，在其相對(duì)坐標(biāo)系Ox'y'z'中，不同方向的作用力大小也是給定的，對(duì)扭轉(zhuǎn)作用下電荷靈敏度分布規(guī)律的研究最終就是在新坐標(biāo)系Ox"y"z"中計(jì)算壓電系數(shù)d34的值。

Ox"y"z"坐標(biāo)系是在空間中將電極分割線繞著坐標(biāo)軸z軸旋轉(zhuǎn)α角后形成的，相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣為：

其中，α為圖4所示的電極貼放角度。

將其代入應(yīng)變張量的坐標(biāo)關(guān)系式，可求得N的轉(zhuǎn)置矩陣（應(yīng)變張量的變換矩陣）為：

將坐標(biāo)變換矩陣（公式6）和N的轉(zhuǎn)置矩陣（公式7）同時(shí)代入到壓電常數(shù)的張量變換公式d'=AdM-1=AdNT，求得在新坐標(biāo)系下的壓電系數(shù)：

從中可以得到晶片的扭矩靈敏度分布規(guī)律為：

由公式（9）可知，表征扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布規(guī)律的d '34的大小隨cosα（即呈余弦規(guī)律變化）。

2.2 扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布規(guī)律的實(shí)驗(yàn)分析

利用圖2的實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度分布規(guī)律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測定。橫坐標(biāo)為電極分割線與計(jì)算坐標(biāo)系y軸之間的夾角α，縱坐標(biāo)為電極產(chǎn)生的輸出電壓。圖5是進(jìn)行四種不同的扭矩力作用下的實(shí)驗(yàn)測定，可以看出，在同一扭矩下靈敏度分布基本呈余弦規(guī)律變化，與前面的理論推導(dǎo)結(jié)論一致。

3 結(jié)束語

綜上所述，采用分割電極法將檢測電極布置到最大靈敏度方向，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同扭矩作用下電荷量的實(shí)驗(yàn)測量，電極所測量的電荷量與扭矩成線形關(guān)系。要獲得最大扭轉(zhuǎn)電荷靈敏度，電極分割線須與石英晶體坐標(biāo)系的y軸相重合。該研究將為設(shè)計(jì)新型扭矩傳感器檢測電極的位置粘貼提供理論基礎(chǔ)。