姜高勇 周甲強(qiáng) 王 進(jìn) 魏中華 張霖波 李 斌

(1.山東省路橋集團(tuán)有限公司 濟(jì)南 250014； 2.武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院 武漢 430063)

目前，采用概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法是土木工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)發(fā)展趨勢(shì)，該方法以可靠度理論為基礎(chǔ)，充分考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中各因素的不確定性，并在設(shè)計(jì)表達(dá)式中以多個(gè)分項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

為提高我國(guó)鐵路工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)水平，實(shí)現(xiàn)鐵路工程全壽命周期管理，中國(guó)鐵路總公司于2018年發(fā)布了企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)：Q/CR 9129-2018《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范(極限狀態(tài)法)》，規(guī)定了隧道襯砌結(jié)構(gòu)目標(biāo)可靠指標(biāo)；住建部于2019年頒布了國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)可靠指標(biāo)和國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 50216-2019《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》，標(biāo)志著我國(guó)鐵路隧道設(shè)計(jì)由容許應(yīng)力法向可靠度設(shè)計(jì)方法轉(zhuǎn)軌。

為了對(duì)現(xiàn)有方法計(jì)算隧道襯砌可靠指標(biāo)的準(zhǔn)確性、可能存在的問題進(jìn)行分析和驗(yàn)證，本文基于蒙特卡洛法編寫隧道襯砌整體失效概率統(tǒng)計(jì)程序，將其與驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并對(duì)各計(jì)算方法的使用給出建議。進(jìn)而通過APDL程序直觀顯示襯砌單元相關(guān)結(jié)果的云圖，如功能函數(shù)值、可靠指標(biāo)、大、小偏心比率等。

1 現(xiàn)有計(jì)算方法

鐵路隧道可靠度設(shè)計(jì)的內(nèi)容主要包括：①隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征；②功能函數(shù)及計(jì)算；③可靠指標(biāo)或失效概率計(jì)算方法等3個(gè)方面。在隨機(jī)變量方面，對(duì)鐵路隧道的荷載、材料參數(shù)，以及幾何參數(shù)等統(tǒng)計(jì)特征國(guó)內(nèi)已開展了大量的研究，為鐵路隧道可靠度設(shè)計(jì)提供了數(shù)據(jù)支撐。

我國(guó)鐵路隧道襯砌結(jié)構(gòu)有鋼筋混凝土襯砌和混凝土襯砌2種，計(jì)算其承載能力極限狀態(tài)的功能函數(shù)數(shù)值，需要預(yù)先確定截面的彎矩、軸力、偏心距、混凝土受壓區(qū)高度等變量。這些變量沒有解析解，需要通過數(shù)值計(jì)算才能得到。因此，現(xiàn)有研究一般采用隨機(jī)有限元法[1]研究隧道可靠性，該方法忽略隨機(jī)變量的相關(guān)性，適用于解決不確定性結(jié)構(gòu)非線性問題，其技術(shù)路線見圖1。

圖1 隨機(jī)有限元概率分析路線圖

主要步驟為：首先通過隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行抽樣，接著對(duì)每個(gè)樣本采用荷載結(jié)構(gòu)法計(jì)算模型進(jìn)行有限元計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果，如彎矩、軸力、偏心距等。在此基礎(chǔ)上確定隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征(分布類型、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差)。根據(jù)現(xiàn)有研究的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，假定這些變量均服從正態(tài)分布，可根據(jù)極限狀態(tài)方程，采用驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算每個(gè)襯砌單元的可靠度。

此外，也可根據(jù)抗力(R)和效應(yīng)(S)的表達(dá)式得到R和S的統(tǒng)計(jì)特征。根據(jù)現(xiàn)有研究的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，假定R服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，S服從正態(tài)分布，可采用JC法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)并得到結(jié)構(gòu)的失效概率[2]。

這2種方法思路明確，計(jì)算效率高，已得到較多的應(yīng)用，但也具有一定的局限性，主要包括：

1)均需根據(jù)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征，假定內(nèi)力、抗力和效應(yīng)的分布類型，由此對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的偏差。

2)以控制截面可靠指標(biāo)(即可靠指標(biāo)最小值)作為整個(gè)隧道襯砌的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)，忽略了失效位置具有不確定性。

3)功能函數(shù)所涉及的變量中，偏心距的大、小(大偏心或小偏心)會(huì)影響混凝土受壓區(qū)高度和鋼筋應(yīng)力的計(jì)算方法，因此，根據(jù)其平均值判斷大、小偏心，并計(jì)算功能函數(shù)的數(shù)值欠合理，忽略了襯砌單元的大、小偏心具有不確定性，可能導(dǎo)致一定的誤差。

2 功能函數(shù)

根據(jù)不同的圍巖環(huán)境和跨度設(shè)定，鐵路隧道二次襯砌類型可采用鋼筋混凝土襯砌或素混凝土襯砌施工。二次襯砌的極限狀態(tài)方程和混凝土矩形截面偏心受壓構(gòu)件正截面承載力極限狀態(tài)方程相同，其中，鋼筋混凝土襯砌截面(見圖2)極限狀態(tài)方程[3]如式(1)，矩形截面偏心受壓構(gòu)件正截面承載力示意圖見圖2。

圖2 矩形截面偏心受壓構(gòu)件正截面承載力示意圖

(1)

此外，采用JC法功能函數(shù)還可表示為抗力R和效應(yīng)S的形式，其計(jì)算方法見式(2)。

Z=g(R,S)=R-S

(2)

式中：抗力表達(dá)式R為

效應(yīng)表達(dá)式S為

根據(jù)抽樣計(jì)算結(jié)果，可以得到抗力R和效應(yīng)S的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并采用JC法根據(jù)對(duì)應(yīng)功能函數(shù)式(2)計(jì)算截面可靠指標(biāo)β。

一般認(rèn)為功能函數(shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)截面可靠指標(biāo)β可得到截面的失效概率Pf，其計(jì)算方法見式(3)。

Pf=Φ(-β)=1-Φ(β)

(3)

式中：Φ為正態(tài)分布累計(jì)分布函數(shù)的反函數(shù)。

3 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征

本文以200 km/h客貨共線雙線鐵路隧道復(fù)合式襯砌為例，計(jì)算二次襯砌在V級(jí)圍巖淺埋[4-7]情況下的結(jié)構(gòu)失效概率及襯砌單元可靠度。其中，二次襯砌采用C35混凝土，內(nèi)外側(cè)均采用HRB335鋼筋，二次襯砌承受圍巖壓力的比例為0.7，隧道開挖跨度12.06 m，高度為10.25 m。其中，考慮幾何參數(shù)的不確定性，隧道設(shè)計(jì)參數(shù)見表1。

表1 隧道配筋參數(shù)

根據(jù)《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》推薦的上下限法，確定基本變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)，上下限法計(jì)算公式見表2。

表2 上下限法計(jì)算公式

V級(jí)圍巖重度均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)確定過程如下所示。

已知V級(jí)圍巖重度為17～20 kN/m3，x1=17；x2=20；

則圍巖重度均值μ1=(x1+x2)/2=18.5；

圍巖重度標(biāo)準(zhǔn)差σ1=(x1-x2)/4=0.75；

圍巖重度變異系數(shù)δ1=(σ1/μ1)=0.040 5

按照圍巖重度統(tǒng)計(jì)參數(shù)計(jì)算方法，計(jì)算相關(guān)基本變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)，其計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 基本變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)

4 隨機(jī)有限元模擬與概率分析

4.1 數(shù)值模型

隨機(jī)有限元計(jì)算采用ANSYS軟件建立隧道二次襯砌的荷載-結(jié)構(gòu)模型，采用二維梁?jiǎn)卧?Beam3)模擬襯砌，二維桿單元(Link10)模擬圍巖對(duì)襯砌的約束，其計(jì)算模型見圖3。

圖3 計(jì)算模型

4.2 驗(yàn)算點(diǎn)法

根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果，得到功能函數(shù)所涉及隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。其中，第82號(hào)單元襯砌內(nèi)力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表4。

表4 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)

基于隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)和功能函數(shù)表達(dá)式(式1)，采用驗(yàn)算點(diǎn)法，也稱改進(jìn)一次二階矩法(AFOSM)，計(jì)算每個(gè)單元的可靠指標(biāo)，計(jì)算得到所有單元的可靠指標(biāo)云圖如圖4所示。

圖4 設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

圖4中單元的可靠指標(biāo)最小值為1.978，位于第82號(hào)單元，因此該單元截面為控制截面?？煽恐笜?biāo)最大值為6.881，位于第97號(hào)單元。襯砌整體可靠指標(biāo)取最小值β=1.978。

由圖4可見，整體上看，襯砌破壞或小偏心破壞的比例接近100%，大、小偏心破壞的不確定性較小。但是隧道襯砌拱肩處單元的大、小偏心出現(xiàn)比例相當(dāng)，大、小偏心的不確定性較大。例如第59號(hào)單元，通過受壓區(qū)高度均值判斷其為小偏心受壓破壞。然而，在蒙特卡洛抽樣統(tǒng)計(jì)中，小偏心破壞出現(xiàn)28 300次，僅占總抽樣的56.6%，另外還有21 700次大偏心破壞。這說明將受壓區(qū)高度均值作為大、小偏心破壞判斷依據(jù)，會(huì)忽略大、小偏心的不確定性。尤其是當(dāng)隧道處于復(fù)雜地質(zhì)條件時(shí)，如受偏壓作用、構(gòu)造應(yīng)力作用時(shí)，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響將更大。

為了探究襯砌單元大、小偏心破環(huán)的具體分布情況，對(duì)抽樣過程的大、小偏心出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，大、小偏心占比分布結(jié)果顯示見圖5。

圖5 大、小偏心占比

圖5結(jié)果表明，對(duì)于大部分單元，大偏心狀態(tài)占比較大時(shí)，大、小偏心的不確定性會(huì)進(jìn)一步加大，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差。

4.3 JC法

為了克服驗(yàn)算點(diǎn)法的不足，可以在每次有限元計(jì)算結(jié)束時(shí)，通過得到的內(nèi)力等變量提前判斷單元的大、小偏心，并通過抗力和作用的表達(dá)式，計(jì)算抗力和作用的具體數(shù)值，從而得到其統(tǒng)計(jì)特征，其計(jì)算結(jié)果見圖6。

圖6 控制截面抗力和作用統(tǒng)計(jì)特征

由圖6可見，抗力比較符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，作用比較符合正態(tài)分布。

根據(jù)抗力和作用統(tǒng)計(jì)參數(shù)，采用JC法計(jì)算得到的單元可靠指標(biāo)，其范圍為1.47～9.15，最小值出現(xiàn)在拱頂(第83號(hào)單元)，與驗(yàn)算點(diǎn)法控制截面為相鄰單元，但可靠指標(biāo)最小值為β=1.47，明顯小于驗(yàn)算點(diǎn)法控制截面的結(jié)果。

由于每次抽樣計(jì)算時(shí)，均利用內(nèi)力等變量判斷了大、小偏心，因此該方法不受大、小偏心不確定性的影響，計(jì)算結(jié)果理論上比驗(yàn)算點(diǎn)法更為可靠。但是，該方法假定抗力為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，作用為正態(tài)分布，由圖6可知，這與實(shí)際情況有一定的差別，并由此造成計(jì)算結(jié)果的偏差。

4.4 蒙特卡洛法

為了分析并驗(yàn)證以上2種方法的準(zhǔn)確性和可能存在的問題，本研究通過APDL編程，基于蒙特卡洛模擬，直接統(tǒng)計(jì)單元失效次數(shù)和襯砌整體失效次數(shù)。其實(shí)現(xiàn)方法為，在每次抽樣計(jì)算時(shí)，通過內(nèi)力等變量判斷功能函數(shù)的數(shù)值，并定義一個(gè)狀態(tài)變量，若功能函數(shù)值小于0，則將該單元的狀態(tài)變量賦值為“1”，即失效一次。每次計(jì)算完成后，將各個(gè)單元的狀態(tài)變量數(shù)值相加，如為0，說明所有單元均未失效，否則(即大于0)，則至少有一個(gè)單元失效，可判斷整個(gè)襯砌結(jié)構(gòu)失效1次。為保證計(jì)算精度，蒙特卡洛法[19]建議樣本容量必須滿足N≥100/Pf。即失效樣本數(shù)量NPf應(yīng)大于等于100。

通過試算，本例抽樣50 000次，可以滿足精度要求。得到V級(jí)圍巖淺埋情況下，車速200 km/h雙線隧道結(jié)構(gòu)整體的失效概率為Pf=0.011 88。

由此得到隧道二襯襯砌結(jié)構(gòu)整體可靠指標(biāo)β=-Φ-1(0.011 88)=2.261 0。

根據(jù)隨機(jī)有限元生成的“pdrs”的文件，可以查找每次抽樣基本變量的輸入值與計(jì)算得到的內(nèi)力結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，可統(tǒng)計(jì)各單元失效次數(shù)，其計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 單元失效次數(shù)

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，控制截面失效次數(shù)579次，結(jié)構(gòu)整體失效次數(shù)594次。說明所有抽樣中，有15次是非控制截面失效。常見的失效位置(即功能函數(shù)值小于0)主要出現(xiàn)在拱肩、邊墻和拱肩等處。其中，某個(gè)非控制截面失效時(shí)的單元功能函數(shù)值云圖見圖7。

圖7 某非控制截面失效時(shí)單元功能函數(shù)值云圖

以上結(jié)果說明了在抽樣計(jì)算過程中，隧道二次襯砌的失效位置存在不確定性。一般情況下，隧道主要承受較大的豎向壓力，因此拱頂處產(chǎn)生的彎矩較大，容易達(dá)到承載能力極限狀態(tài)，控制截面的失效次數(shù)可能比較接近整體襯砌的失效次數(shù)。

特別地，對(duì)于承受較大水平壓力或地基反力的隧道，其邊墻或拱腳等位置也可能產(chǎn)生較大的彎矩，從而達(dá)到極限狀態(tài)。或者，當(dāng)隧道處于復(fù)雜的地質(zhì)條件時(shí)，如受偏壓作用、構(gòu)造應(yīng)力作用或附近有建筑物或構(gòu)造物時(shí)，失效位置的不確定性也可能進(jìn)一步加大，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。

4.5 結(jié)果對(duì)比及分析

4.5.1結(jié)果對(duì)比

圖8為3種可靠度計(jì)算方法得到的控制截面失效概率對(duì)比。

由圖8可見，采用蒙特卡洛法得到的襯砌整體失效概率為0.011 88，控制截面失效概率為0.011 58，兩者比較接近。驗(yàn)算點(diǎn)法得到控制截面失效概率為0.023 9，JC法得到的失效概率為0.069 9，兩者蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果差別較大。其中JC法雖然避免了大、小偏心不確定性的影響，但由于其假定的抗力和作用的分布與實(shí)際分布有一定的偏差，其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性反而低于驗(yàn)算點(diǎn)法。

4.5.2適應(yīng)分析

由上可知，蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果最為可靠，對(duì)于可靠指標(biāo)不大的結(jié)構(gòu)，直接計(jì)算結(jié)構(gòu)整體失效概率能夠直觀快速地反映結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的能力。但對(duì)可靠指標(biāo)較大的結(jié)構(gòu)，需進(jìn)行大量的抽樣計(jì)算才能滿足精度的要求，耗時(shí)較長(zhǎng)。

表6給出了不同鐵路隧道可靠指標(biāo)計(jì)算所需的抽樣次數(shù)和計(jì)算時(shí)間。

表6 不同可靠指標(biāo)的計(jì)算時(shí)間

由表6可見，當(dāng)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)在3左右時(shí)(失效概率為0.001)，抽樣次數(shù)為100 000次，計(jì)算時(shí)間在8 h左右。而當(dāng)失效概率下降一個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，抽樣次數(shù)變成10倍，需要3 d以上才能完成1次蒙特卡洛計(jì)算。

對(duì)于隧道結(jié)構(gòu)，當(dāng)可靠指標(biāo)較小時(shí)，精度不足導(dǎo)致的偏差可能直接影響設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇。為了兼顧計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率，建議首先采用驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法同時(shí)計(jì)算襯砌可靠指標(biāo)，當(dāng)控制截面可靠指標(biāo)低于3.5時(shí)，再用蒙特卡洛法進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)可靠指標(biāo)大于3.5時(shí)，結(jié)構(gòu)失效概率較小，對(duì)計(jì)算精度允許情況下，可以直接取驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法兩者中較低值作為結(jié)構(gòu)可靠度的近似值。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以某鐵路雙線隧道為例，利用ANSYS 中PDS模塊的抽樣計(jì)算功能，編寫了蒙特卡洛法隧道襯砌單元和整體失效概率計(jì)算方法，并將其與驗(yàn)算點(diǎn)法、JC法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比。通過以上研究，得到結(jié)論如下。

1)驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法需分別假定截面內(nèi)力、抗力和效應(yīng)的分布類型，與實(shí)際抽樣結(jié)果的分布不完全一致，由此可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)一定的偏差。

2)驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法均以控制截面的可靠度作為整個(gè)結(jié)構(gòu)的可靠度，忽略了失效位置的不確定性。一般情況下，隧道主要承受較大的豎向壓力，因此拱頂處產(chǎn)生的彎矩較大，容易達(dá)到承載能力極限狀態(tài)，控制截面的失效次數(shù)和整體失效次數(shù)相當(dāng)，誤差不大。但是，對(duì)于承受較大水平壓力或地基反力的隧道，其邊墻或拱腳等位置也可能產(chǎn)生較大的彎矩，從而達(dá)到極限狀態(tài)?；蛘撸?dāng)隧道處于復(fù)雜的地質(zhì)條件時(shí)，如受偏壓作用，構(gòu)造應(yīng)力作用，或附近有建筑物或構(gòu)造物時(shí)，失效位置的不確定性也可能進(jìn)一步加大，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。

3)驗(yàn)算點(diǎn)法根據(jù)受壓區(qū)高度均值作為大、小偏心破壞判斷依據(jù)，并用統(tǒng)一的功能函數(shù)計(jì)算可靠度，忽略了單元大、小偏心存在的不確定性。本文算例表明，拱肩處單元抽樣計(jì)算結(jié)果的大、小偏心出現(xiàn)頻率相當(dāng)，但在驗(yàn)算點(diǎn)法中，只能采用小偏心及其對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，容易造成誤差。當(dāng)隧道處于復(fù)雜地質(zhì)條件時(shí)，大、小偏心的不確定性可能進(jìn)一步加大。

4)蒙特卡洛法可直接統(tǒng)計(jì)每個(gè)單元和整體襯砌的失效次數(shù)，其計(jì)算結(jié)果不受失效位置不確定性和大、小偏心不確定性的影響，也不需假定抗力和作用的分布類型，計(jì)算結(jié)果最為可靠，但是，其計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

為提高計(jì)算效率，建議首先采用驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法同時(shí)計(jì)算可靠指標(biāo)，當(dāng)可靠指標(biāo)低于3.5時(shí)，用蒙特卡洛法進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)可靠指標(biāo)大于3.5時(shí)，結(jié)構(gòu)失效概率較小，計(jì)算精度允許的情況下，可以取驗(yàn)算點(diǎn)法和JC法的較低值作為結(jié)構(gòu)可靠度的近似值。