孫偉娜

【摘? ?要】“比例”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，“比例”內(nèi)容的教學(xué)對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)比例本質(zhì)、發(fā)展比例推理能力起著重要作用。教師結(jié)合學(xué)情，對(duì)教材問題情境進(jìn)行改編，通過設(shè)計(jì)“對(duì)比任務(wù)、想象任務(wù)、延展任務(wù)”三個(gè)層次的學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生正確建構(gòu)比例概念，發(fā)展比例推理能力。

【關(guān)鍵詞】比例；學(xué)習(xí)任務(wù)；比例推理

比例是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，比例思維是學(xué)生思維發(fā)展的重要內(nèi)容之一。研究表明，對(duì)學(xué)生來說學(xué)習(xí)比例存在著一定的困難。Elena等人發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生在解決“比例”問題時(shí)遇到的障礙通常是不理解相關(guān)概念和相關(guān)問題的情境［1］。Abdullah等人通過測(cè)試發(fā)現(xiàn)，六年級(jí)學(xué)生會(huì)對(duì)“比例”概念產(chǎn)生誤解［2］。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該正視學(xué)生對(duì)比例概念的認(rèn)知基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)障礙，精準(zhǔn)把握教學(xué)目標(biāo)，并圍繞教學(xué)目標(biāo)提供適合學(xué)生探索的問題情境，設(shè)計(jì)豐富而有層次的學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生正確構(gòu)建比例概念，發(fā)展比例推理能力。

一、目標(biāo)分析：“比例的認(rèn)識(shí)”認(rèn)識(shí)什么？

學(xué)生在學(xué)習(xí)比的有關(guān)知識(shí)（如比的意義、化簡(jiǎn)比、求比值等）的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)比例的意義、基本性質(zhì)以及應(yīng)用比例解決問題等知識(shí)。北師大版教材通過“圖片像不像”“調(diào)制蜂蜜水”等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生理解比例的意義、積累比例推理的經(jīng)驗(yàn)。比例推理的概念最早由皮亞杰提出，指學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)量信息，利用比例的相關(guān)性質(zhì)，解決比例問題的過程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第三學(xué)段（5～6年級(jí)）關(guān)于比例的內(nèi)容要求中提出：“在實(shí)際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡(jiǎn)單的問題?！钡谒膶W(xué)段（7～9年級(jí)）要求用函數(shù)建模解決問題，兩個(gè)學(xué)段的要求跨躍大，學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)容易出現(xiàn)斷層。因此，教師在小學(xué)階段教學(xué)“比例”概念時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)比例概念的本質(zhì)并發(fā)展比例推理能力。

學(xué)生對(duì)比例概念的認(rèn)識(shí)與理解有哪些經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)？在學(xué)習(xí)中可能會(huì)遇到哪些困難？研究團(tuán)隊(duì)對(duì)B市H區(qū)Z小學(xué)六年級(jí)40名學(xué)生進(jìn)行了如下前測(cè)調(diào)研。

（1）想一想：哪兩張圖片像？說說你是怎樣想的？

（2）仔細(xì)觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？寫一寫。

以上問題需要學(xué)生結(jié)合問題情境聯(lián)想比的意義，比較兩種量之間的關(guān)系做出分析與判斷。教師通過對(duì)學(xué)生不同的表達(dá)情況的分析，了解學(xué)生在“多重角度比較關(guān)系”“量與量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”“量與量之間的協(xié)同共變關(guān)系”等比例推理能力的具體表現(xiàn)。調(diào)研結(jié)果如表1、表2所示。

從調(diào)研結(jié)果可知，大部分學(xué)生知道需要找到等值比較關(guān)系來判斷，但幾乎沒有學(xué)生從不同角度構(gòu)建等比關(guān)系，關(guān)注兩個(gè)量協(xié)同共變規(guī)律的更是寥寥無幾。學(xué)生在構(gòu)建比例關(guān)系解決問題時(shí)，并沒有對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行深入分析與理解?！氨壤恼J(rèn)識(shí)”不應(yīng)僅讓學(xué)生知道“表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例”，還需要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，經(jīng)歷豐富情境中的多重比較，充分體會(huì)組成比例的量之間的對(duì)應(yīng)及協(xié)同共變關(guān)系?；诖?，筆者試圖通過解析教材、改編問題情境、設(shè)計(jì)多層次任務(wù)來解決這些問題。

二、活用教材：教材資源如何轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)任務(wù)？

教材是執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)與體現(xiàn)課改精神的載體，也是眾多教育專家和一線教師智慧的結(jié)晶。［3］教師需要理解教材重難點(diǎn)，結(jié)合學(xué)情對(duì)教材資源進(jìn)行有效的開發(fā)?！氨壤恼J(rèn)識(shí)”一課，通過學(xué)情調(diào)研了解到學(xué)生對(duì)“比例的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠”，教師進(jìn)一步梳理教材資源，結(jié)合學(xué)情對(duì)情境進(jìn)行改編，在尊重教材的同時(shí)充分利用教材。

通過對(duì)人教版、北師大版、浙教版、蘇教版四個(gè)版本教材中例題主題圖進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)各版本教材選取的情境素材不同，語意結(jié)構(gòu)不同。但都結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際，希望他們?cè)谪S富的現(xiàn)實(shí)情境中，經(jīng)歷觀察比較、自主探究等活動(dòng)認(rèn)識(shí)比例，通過豐富的素材幫助學(xué)生更好地構(gòu)建比例概念。對(duì)北師大版教材的縱向梳理發(fā)現(xiàn)，“比例關(guān)系”滲透于不同年級(jí)，如三年級(jí)基本數(shù)量關(guān)系、五年級(jí)分?jǐn)?shù)問題、六年級(jí)“比的認(rèn)識(shí)”中都存在比例關(guān)系。在量與量的比較中，學(xué)生初步感受了兩種相關(guān)聯(lián)的量協(xié)同共變。

進(jìn)一步對(duì)“比例的認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行分析，北師大版教材以“圖片像不像”這一情境為學(xué)生理解比例概念提供了實(shí)例支撐，引導(dǎo)學(xué)生在同一個(gè)情境中，通過不同角度分析兩個(gè)量之間的關(guān)系并構(gòu)建比例關(guān)系。學(xué)生既可以從兩個(gè)長(zhǎng)方形的“方度”（用長(zhǎng)與寬的比來刻畫長(zhǎng)方形的形狀）是否相同的角度構(gòu)建關(guān)系，也可以從“圖形的放大與縮小”（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是否擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)）的角度構(gòu)建關(guān)系，還可以依托此問題情境感悟兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)及協(xié)同共變關(guān)系。基于以上分析，教師對(duì)北師大版教材提供的問題情境產(chǎn)生如下思考：圖片A給出了長(zhǎng)和寬數(shù)據(jù)，是否利于學(xué)生迅速聚焦倍比關(guān)系？問題情境是借助幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生尋找比例關(guān)系，如何充分挖掘情境素材背后的多重設(shè)計(jì)意圖，通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生直觀感受、具體分析說明，更好地理解比例的意義？

在上述分析基礎(chǔ)上，對(duì)北師大版教材問題情境進(jìn)行再加工，改編主題圖問題情境（如圖1），提供數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)支架，幫助學(xué)生整體觀察和思考。具體改編如下：①去除主題圖中圖片A數(shù)據(jù)信息，讓學(xué)生整體觀察圖形，從不同角度尋找關(guān)系。②主題圖中增加圖片F(xiàn)，與圖片A長(zhǎng)、寬數(shù)據(jù)相同（水平與豎直方向上的數(shù)據(jù)剛好調(diào)換），圖像不同，以幫助學(xué)生厘清“對(duì)應(yīng)關(guān)系”。

教師基于學(xué)情調(diào)研、教材分析和主題圖問題情境改編，對(duì)“比例的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容制訂如下教學(xué)目標(biāo)。

1.結(jié)合“圖片像不像”問題情境，能對(duì)長(zhǎng)方形中長(zhǎng)和寬兩種量從不同角度進(jìn)行比較，找到相等的比組成比例；能說出比例各部分名稱。

2.結(jié)合“調(diào)制蜂蜜水”問題情境，通過化簡(jiǎn)比或求比值的方法正確判斷兩個(gè)比能否組成比例。

3.通過具體問題情境解釋比例的含義，在多重比較中，發(fā)現(xiàn)組成比例的量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及協(xié)同共變關(guān)系，發(fā)展比例推理能力。

三、任務(wù)設(shè)計(jì)：用有層次的任務(wù)促進(jìn)學(xué)生理解

要讓學(xué)生立體地理解所學(xué)知識(shí)、問題及任務(wù)設(shè)計(jì)就需要讓他們經(jīng)歷一定的過程和層次。蔡金法教授提出“教學(xué)過程中問題提出的五個(gè)層次：經(jīng)驗(yàn)層、感知層、理解層、情境層、應(yīng)用層”［4］。本文設(shè)計(jì)的三大任務(wù)也遵從了這樣的過程，對(duì)比任務(wù)中的問題依次實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)層、感知層、理解層的發(fā)展過程；想象任務(wù)中的情境助力學(xué)生情境層的思維發(fā)展；延展任務(wù)使學(xué)生在情境層和應(yīng)用層兩方面應(yīng)用比例概念解決問題。

（一）設(shè)計(jì)對(duì)比任務(wù)，理解對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.思考圖片像不像，感受多重角度比較

（1）出示改編后的問題情境（如圖1）。

師：請(qǐng)你想一想，怎樣的兩張圖片像，怎樣的兩張圖片不像？

生：A和D兩張圖片像，因?yàn)锳和D長(zhǎng)的比是1∶2，寬的比也是1∶2，所以這兩張圖片像。

生：因?yàn)锳圖片長(zhǎng)∶寬=6∶4=6÷4=3/2；D圖片長(zhǎng)∶寬=12∶8=12÷8=3/2，它們長(zhǎng)與寬比值一樣，所以A圖、D圖像。

師：不同方法之間有什么聯(lián)系？

生：比值相等的兩張圖片像。

生：說明像不像，可以從不同角度寫出相等的比。

師：觀察圖形F，它也可以寫出6∶4，與圖A的6∶4是相等的比，為什么這兩張圖片不像呢？

生：雖然都是6∶4，但圖A是高6、寬4，圖F是高4、寬6，所以這兩張圖片不像。

增加圖片F(xiàn)與圖片A的數(shù)、形對(duì)比觀察分析，使學(xué)生感受到構(gòu)建比例關(guān)系需要關(guān)注前后（量）之間的對(duì)應(yīng)性。

（2）增設(shè)輔助問題“畫出和原圖像的圖片”，繼續(xù)感受多重角度比較及協(xié)同共變性。

師：你還能畫出和它們像的圖片嗎？

生：我畫了一個(gè)長(zhǎng)24、寬16的長(zhǎng)方形，以及一個(gè)長(zhǎng)15、寬10的長(zhǎng)方形，24∶16=6∶4；6∶15=4∶10，它們都和圖A像。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：和圖A像的圖片有很多，遵循長(zhǎng)和寬同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)這個(gè)規(guī)律，新的圖形才能和圖A 像。

通過解決問題，學(xué)生對(duì)正確構(gòu)建比例關(guān)系有了整體感知。

2.討論不像的照片，感受對(duì)應(yīng)比較關(guān)系

在畫新的相像圖片的過程中，有的學(xué)生把長(zhǎng)、寬數(shù)據(jù)比弄反了，出現(xiàn)了比較關(guān)系不對(duì)應(yīng)的情況。不少執(zhí)教六年級(jí)的教師也反映課堂教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)比較關(guān)系不對(duì)應(yīng)的情況因此，本過程教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對(duì)應(yīng)比較，從而正確構(gòu)建比例關(guān)系。

師：如何判斷其他圖片與圖A的關(guān)系？

生：圖E和圖C與圖A不像，因?yàn)檎也坏较嗟鹊谋取?/p>

師：圖F里也有一組6∶4，為什么看起來和圖A不像呢？

生：圖F里的6是淘氣的胖度，而圖A里的6是淘氣的高度，當(dāng)然不像了！

師：想一想，除了完全找不到相等比的情況之外，還有什么情況下圖片不像？

生：雖然比是相等的，但關(guān)系不對(duì)應(yīng)時(shí)圖片也不像。

教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不像的圖片，尤其是圖F與圖A的對(duì)比分析，重點(diǎn)體會(huì)兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的對(duì)應(yīng)比較、協(xié)同共變關(guān)系。教師通過適當(dāng)改編教材情境，增加對(duì)比圖片的學(xué)習(xí)支架、辨析不像的圖片與原圖的關(guān)系等內(nèi)容，使得學(xué)生對(duì)構(gòu)建比例關(guān)系的要素有了更直觀、深刻的認(rèn)識(shí)。

（二）巧用想象任務(wù)，感悟協(xié)同共變

出示問題情境：觀察表格（如表3），你能寫出比例嗎？

“調(diào)制蜂蜜水”情境直接呈現(xiàn)了表格數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分析數(shù)據(jù)寫出比例，解釋含義。為充分利用問題情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)比例概念的理解，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)想象任務(wù)，幫助學(xué)生更好地感悟協(xié)同共變關(guān)系。

師：你還能調(diào)制出一樣甜的蜂蜜水嗎？有什么發(fā)現(xiàn)？

生：蜂蜜是4，水是20；蜂蜜是5，水是25。如果水是5，蜂蜜就是1，還有很多種調(diào)法，都是一樣甜。

生：蜂蜜和水同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相同的倍數(shù)，蜂蜜水就一樣甜。

設(shè)計(jì)“想象如何調(diào)制一樣甜的蜂蜜水”的學(xué)習(xí)任務(wù)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)比例關(guān)系中兩種相對(duì)應(yīng)的量之間的協(xié)同共變，以發(fā)展學(xué)生的比例推理能力。

（三）構(gòu)建延展任務(wù)，發(fā)展比例推理

1.豐富比例情境，體會(huì)不同情境的語義結(jié)構(gòu)類型

“圖片像不像”和“調(diào)配蜂蜜水”屬于教學(xué)情境中的語意結(jié)構(gòu)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)豐富比例情境，做出正確判斷，才能更好地應(yīng)用比例概念解決問題。教師利用延展性學(xué)習(xí)任務(wù)“你還能在其他情境中找到比例關(guān)系嗎？舉例說明”，引導(dǎo)學(xué)生尋找現(xiàn)實(shí)情境中的比例關(guān)系，豐富對(duì)語義結(jié)構(gòu)情境的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)應(yīng)用比例概念解決問題打好基礎(chǔ)。

2.整體歸納、認(rèn)識(shí)比例，聚焦多重比較、對(duì)應(yīng)關(guān)系及協(xié)同共變

豐富的問題情境里可以找到很多比例關(guān)系，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析不同情境中能構(gòu)建比例關(guān)系的量之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)共性并歸納出構(gòu)建比例關(guān)系的關(guān)鍵要素。教師利用學(xué)習(xí)任務(wù)“概括歸納在哪些情況下能找到比例？”，使學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，對(duì)比例的概念有完整的認(rèn)知。

教師要對(duì)教材進(jìn)行全面細(xì)致的分析，理解概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，結(jié)合學(xué)情設(shè)置合理的學(xué)習(xí)目標(biāo)，用好、用活教材資源，并將其轉(zhuǎn)化成能引導(dǎo)學(xué)生不斷思考、不斷進(jìn)階的學(xué)習(xí)任務(wù)，使學(xué)生理解“比例概念”，獲得“比例推理能力”，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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［3］游嵐.研讀教材? ?構(gòu)建有深度的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，19（3）：12-13.

［4］田晴.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視問題提出的“層次性”：基于蔡金法教授對(duì)示范課“前后的概念”的評(píng)析［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（10）：38-42.

（北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)? ?100080）