高 健 張耀宗 孟祥蕊 馬芳卉

(山東理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 淄博 255000)

1 引言

線性碼的重量分布是編碼理論中的一個(gè)重要研究問(wèn)題。近幾年，線性碼的重量分布，尤其是循環(huán)碼的重量分布，被國(guó)內(nèi)外的編碼學(xué)者廣泛關(guān)注與研究。Ding等人[1]研究了不可約循環(huán)碼的重量分布，利用不可約循環(huán)碼構(gòu)造了一些參數(shù)較好的線性碼。基于指數(shù)和理論，文獻(xiàn)[2,3]在有限域上某些可約循環(huán)碼的重量分布研究中也取得了很大進(jìn)展。

少重量線性碼，如常重量線性碼[4]、2-重量線性碼[5]、3-重量線性碼[6]以及其他少重量線性碼[7,8]等，是重要的線性碼類，可用于認(rèn)證碼[9]、結(jié)合方案以及秘密共享方案的構(gòu)造。Ding[10]基于不可約循環(huán)碼的重量分布構(gòu)造了幾類3-重量線性碼。Schmidt等人[11]基于離散傅里葉變換和高斯和理論得到了不可約循環(huán)碼至多有兩個(gè)重量的充要條件。Zhou等人[12]構(gòu)造了7類3-重量循環(huán)碼并分析了由這些3-重量循環(huán)碼得到的秘密共享方案的結(jié)構(gòu)。

擬循環(huán)碼是一類重要的線性碼，它與卷積碼和低密度校驗(yàn)碼密切相關(guān)。指標(biāo)為2的擬循環(huán)碼也稱為分塊長(zhǎng)度相等的雙循環(huán)碼。Borges等人[13]給出了2元域上雙循環(huán)碼的顯式生成元并確定了雙循環(huán)碼及其對(duì)偶碼生成元之間的關(guān)系。Gao等人[14,15]給出了4元雙循環(huán)碼的生成元以及與對(duì)偶碼生成元之間的關(guān)系，并且證明了4元雙循環(huán)碼是漸進(jìn)優(yōu)的。Patanker等人[16]利用高斯和確定了幾類2元雙循環(huán)碼的重量分布。

本文主要利用有限域上指標(biāo)為2的不可約擬循環(huán)碼構(gòu)造少重量的線性碼。首先，基于有限域上的高斯周期，本文給出了幾類指標(biāo)為2的不可約擬循環(huán)碼的重量分布；其次，基于不可約擬循環(huán)碼的重量分布，本文構(gòu)造了幾類2-重量線性碼和3-重量線性碼，其中包括3類最優(yōu)的2-重量線性碼。

2 基本知識(shí)

3 幾類指標(biāo)為2的不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表1 情形(1)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表2 情形(2)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表3 情形(3)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表4 情形(4)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表5 情形(5)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表6 情形(6)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

表7 情形(7)：不可約擬循環(huán)碼的重量分布

4 最優(yōu)碼的構(gòu)造

5 結(jié)論

本文研究了有限域上指標(biāo)為2的不可約擬循環(huán)碼的重量分布，構(gòu)造了幾類2-重量線性碼和3-重量線性碼。特別地，本文得到了3類最優(yōu)的2-重量線性碼。如何利用ZpZp[v]-加性碼[18,19]的重量分布構(gòu)造有限域上的最優(yōu)碼是一個(gè)有意義的研究問(wèn)題。