劉新榮，周偉鋒，周小涵, *，莊 煬，王自強

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.庫區(qū)環(huán)境地質(zhì)災(zāi)害防治國家地方聯(lián)合工程研究中心，重慶 400045；3.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶 400045)

0 引言

截至2021年，我國交通隧道已達到40 800處，累計里程4 575.39萬延米[1-2]。隨著交通網(wǎng)絡(luò)的飽和，大規(guī)模的隧道建設(shè)期將逐漸過渡到長時間的運營維護期。隧道施工過程中出現(xiàn)的地層欠挖、圍巖大變形、模板變形漏漿等問題導(dǎo)致的襯砌混凝土澆筑不到位，以及運營過程中遭受硫酸鹽等物質(zhì)的侵蝕引起的混凝土剝落、強度喪失等問題，均會致使二次襯砌厚度損失[3-4]，從而削弱襯砌剛度，產(chǎn)生較大變形，侵占行車空間，甚至出現(xiàn)二次襯砌斷裂引發(fā)塌方的情況，危及行車安全[5-6]。因此，在二次襯砌厚度損失的條件下，判斷運營隧道的安全狀態(tài)具有重要的現(xiàn)實意義。

目前，對于二次襯砌厚度損失條件下隧道安全狀態(tài)的判斷研究主要基于數(shù)學(xué)評價模型和數(shù)值分析模型。采用數(shù)學(xué)評價模型需要收集大量工程案例建立數(shù)據(jù)庫[7-8]或者依賴人為經(jīng)驗評價判斷[9-10]，并且隧道實際的安全狀態(tài)無法準(zhǔn)確獲知。通過有限元、離散元等建立的數(shù)值模型[11-12]，雖然能準(zhǔn)確地模擬襯砌的力學(xué)特征，但是數(shù)值軟件的學(xué)習(xí)、精細化模型的建立、本構(gòu)模型參數(shù)的選定以及計算過程需要占用大量的時間與資源，因此制約了其在工程中的推廣應(yīng)用。此外，簡化力學(xué)模型[13-14]也常用于隧道的受力分析，雖然計算精確度較數(shù)值模型差，但是由于其難度小、計算速度快等，目前被工程人員廣泛應(yīng)用。彈性地基梁模型作為一種簡化力學(xué)模型，能夠較好地反映地層對襯砌的彈性抗力作用，因此使用頻率較高。目前，彈性地基梁法大多采用直梁單元迭代求解，但單元尺寸劃分對結(jié)果的真實性影響較大[15]。因此，也有部分學(xué)者采用彈性曲梁的方式進行襯砌力學(xué)分析[16-19]。分析認為，襯砌承受的荷載等于土彈簧壓力，通過假定初始參數(shù)進行迭代求解，最后借助現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)并結(jié)合對稱性確定初始參數(shù)。Wang等[20]、黃偉明等[21]采用空間狀態(tài)法將內(nèi)力與位移對偶進行盾構(gòu)隧道管片受力分析，分開考慮土彈簧與地層荷載，雖然回避了確定待定參數(shù)，但是在求解荷載項時形成了復(fù)雜的荷載積分，導(dǎo)致最終解析公式復(fù)雜。劇仲林[22]結(jié)合圓曲梁和彈性地基曲梁理論求解初期支護拱部的內(nèi)力和位移，但由于確定待定參數(shù)時采用與求解過程不一致的兩腳拱模型，導(dǎo)致結(jié)果可能存在誤差。綜上所述，目前彈性地基梁理論的發(fā)展已經(jīng)較為成熟，但是待定參數(shù)的確定依然值得進一步研究。同時，該理論在二次襯砌厚度損失條件下隧道安全評估方面的應(yīng)用研究較少。

鑒于此，本文基于彈性地基曲梁理論，根據(jù)空間狀態(tài)法建立襯砌力學(xué)響應(yīng)解析解模型，采用Laplace變換進行模型解析，并與數(shù)值模型計算結(jié)果進行對比驗證。本文提出的解析解形式簡潔，避免了求解過程中出現(xiàn)復(fù)雜的荷載項解析公式，依靠基本地勘資料即可進行計算。

1 模型建立及基本假定

隧道開挖后，圍巖往往產(chǎn)生較大的變形，使得圍巖-襯砌能夠緊密貼合，因此可以將襯砌近似看作是支承在彈性地基上的曲梁。由于襯砌結(jié)構(gòu)厚度的損失，隧道截面由等厚的均質(zhì)環(huán)逐漸演變?yōu)辇X狀的階梯形連續(xù)曲梁。因此，其力學(xué)模型可以近似地考慮為彈性地基上的階梯形曲梁，如圖1所示。根據(jù)二次襯砌的幾何曲率，荷載形式，厚度損失范圍、程度、位置，將二次襯砌分為n段，記為L1，L2，…，Ln。其中，未劣化時的二次襯砌設(shè)計厚度為h0，損失厚度為ci，任意一段二次襯砌的有效承載厚度為h0-ci，半徑為Ri，厚度損失范圍為di。

圖1 二次襯砌厚度損失模型

基于以上條件，做出如下假設(shè)：1)圍巖滿足Winkler彈性地基梁模型；2)二次襯砌可以視為歐拉曲梁，符合平截面假定，襯砌材料滿足線彈性要求；3)忽略由于截面突變導(dǎo)致形心軸偏移的誤差。

2 彈性地基曲梁模型解析

2.1 彈性地基上的曲梁單元

從厚度劣化的二次襯砌結(jié)構(gòu)上取出一段微元體Rdθ，其受力情況如圖2所示。建立局部坐標(biāo)系，其中，ρ和φ分別代表徑向和切向，對應(yīng)方向的位移為uρ和uφ，截面面積為A，慣性矩為I，中性面的半徑為R，截面彎矩為M，剪力為Q，軸力為N，彈簧徑向和切向抗力系數(shù)分別為kρ和kφ，作用在微元體上的徑向壓力為qρ，切向壓力為qφ。各物理量的正向如圖2所示。

圖2 彈性地基曲梁微元受力示意圖

根據(jù)彈性力學(xué)可知，切向位移和徑向位移均可以導(dǎo)致曲梁產(chǎn)生轉(zhuǎn)角和切向應(yīng)變。由此可知，曲梁轉(zhuǎn)角γ和中曲面處的切向應(yīng)變εφ分別為

(1)

(2)

由假定3)可知，軸向應(yīng)力在截面高度上滿足線性分布，截面的平均應(yīng)力應(yīng)等于中曲面處的軸向應(yīng)力。此外，襯砌材料為線彈性材料，滿足胡克定律。因此，截面軸力

(3)

式中E為二次襯砌材料彈性橫量。

彎矩和軸力均會導(dǎo)致微元體的轉(zhuǎn)角改變，其中，彎矩增大，微元體的轉(zhuǎn)角增大(轉(zhuǎn)角與彎矩正方向相同)，而軸力增大，微元體轉(zhuǎn)角減小。根據(jù)材料力學(xué)可知，彎矩和軸力對轉(zhuǎn)角的改變量分別為式(4)中等式右側(cè)的第1項和第2項。

(4)

由于h?R，可以近似地認為外周半徑等于中性軸半徑R。則根據(jù)圖2得到的微元體受力平衡方程，同時略去高階微量后可以得到如下方程：

(5)

(6)

(7)

通常在襯砌受力分析中，襯砌壓力通過直角坐標(biāo)系以水平壓力qx與豎直壓力qy的形式給出，而qφ和qρ是極坐標(biāo)形式，則根據(jù)坐標(biāo)變換公式得出

式中qx與qy分別代表襯砌所受水平壓力與豎直壓力的絕對值。

2.2 彈性地基上曲梁單元解析矩陣

采用空間狀態(tài)法，將內(nèi)力與位移對偶[21]，將式(1)和式(3)—(6)整理為一階方程矩陣形式，見式(8)。

(8)

式中：S為力學(xué)響應(yīng)矩陣；D為系數(shù)矩陣；f為襯砌承受的外荷載矩陣。

對式(8)兩端進行Laplace變換，可以得到

Y(s)=(Is-D)-1S(0)+(Is-D)-1T(s)。

(9)

式中：S(0)為力學(xué)響應(yīng)矩陣的始端狀態(tài)物理量；Y(s)和T(s)分別為S和f的象函數(shù)；I為6階單位矩陣；s為θ的映射變量。

對式(9)做Laplace逆變換，即可求得力學(xué)響應(yīng)矩陣S的解析式：

S(θ)=L-1[(Is-D)-1]S(0)+L-1[(Is-D)-1T(θ)]。

(10)

式中L-1為Laplace 逆變換符號。

令

(11)

(12)

則

(13)

2.3 彈性地基上考慮厚度損失的襯砌環(huán)內(nèi)力與變形

襯砌環(huán)由L1～Ln段彼此剛性連接構(gòu)成，接頭處內(nèi)力與位移連續(xù)變化。對于梁Li，其始端記為Li,0，終端記為Li,1，因此二次襯砌變形、內(nèi)力在曲梁間的傳遞方程為

Si,0=Si-1,1。

(14)

式中：Si, 0為第i段曲梁始端力學(xué)響應(yīng)矩陣；Si-1, 1為第i-1段曲梁終端力學(xué)響應(yīng)矩陣。

由2.1節(jié)可知，變形、內(nèi)力在曲梁Li內(nèi)的傳遞方程為

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，計算得到二次襯砌任意截面的變形與內(nèi)力：

(16)

解析式(16)中第1段曲梁初始力學(xué)響應(yīng)矩陣S1, 0含有6個內(nèi)力與位移待定參數(shù)需要求解。考慮到二次襯砌作為一個封閉的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，雖然被離散為n段曲梁，但實質(zhì)上首尾相接、協(xié)調(diào)變形，第n段曲梁終端的內(nèi)力、變形應(yīng)等于第1段曲梁始端的內(nèi)力與變形，即

Sn,1=S1,0。

(17)

將式(16)代入式(17)可解出S1,0。

(18)

將式(18)回代入式(16)中，可以得到二次襯砌任意截面處的內(nèi)力和變形。

3 解析解驗證

為驗證解析解的可靠性，本文以某Ⅳ級圍巖深埋公路隧道為工程背景，采用數(shù)值軟件(ANSYS)對襯砌的內(nèi)力和位移進行模擬。采用數(shù)值軟件建立的荷載-結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。其中，隧道斷面采用《公路隧道設(shè)計規(guī)范》[23]中的三心圓斷面，二次襯砌為45 cm厚的C25混凝土，彈性模量為28 GPa。隧道頂部承受垂直均布壓力qy=115.72 kPa。由于隧道埋深較大，將側(cè)向梯形水平荷載簡化為均布水平荷載qx=34.72 kPa。參考《公路隧道設(shè)計細則》[24]中地基彈簧抗力系數(shù)的取值，徑向彈簧的抗力系數(shù)為kρ=400 MPa/m。切向彈簧抗力系數(shù)分別取kφ=0[24]和kφ=kρ/3[25]。通過自行設(shè)計Matlab代碼對襯徹的內(nèi)力和位移進行求解，試算1～2次后確定頂部彈簧受拉區(qū)，受拉區(qū)內(nèi)彈簧剛度歸零。

圖3 荷載-結(jié)構(gòu)模型(單位：cm)[23]

圖4示出在kφ=0和kφ=kρ/3 工況下，軸力與彎矩的解析解與ANSYS數(shù)值解的對比結(jié)果(θ=0°～180°)?？梢钥闯?，采用2種方法所得結(jié)果的吻合度較高。當(dāng)kφ=0時，隨著θ的增大，軸力總體呈現(xiàn)增大趨勢，而彎矩呈現(xiàn)波浪形變化。其中，拱頂位置承受最大正彎矩94.4 kN·m，在拱腰(θ=50°附近)和拱腳(θ=125°附近)位置出現(xiàn)負彎矩的極大值。襯砌作為典型的偏心受壓構(gòu)件，截面承載能力受到彎矩和軸力耦合作用的影響。因此，可以認為拱頂、拱腰、拱腳是該襯砌的危險截面。相較于kφ=0，當(dāng)kφ=kρ/3時，切向彈簧可以分擔(dān)部分荷載，因此彎矩和軸力曲線較為平緩，同時軸力在彈簧非受拉區(qū)逐漸減小。

(a)軸力

4 二次襯砌厚度損失下隧道結(jié)構(gòu)的安全性分析

拱頂、拱腰和拱腳作為隧道截面的控制截面，同時也是二次襯砌厚度損失的易發(fā)區(qū)。針對這3個位置(拱腰、拱腳均取左側(cè)劣化)進行厚度損失范圍和損失程度(損失厚度)的計算分析，具體計算工況見表 1。其中，工況1#表示二次襯砌厚度正常的情況(h0=0.45 m)；工況2#—6#、7#—11#、12#—16#分別針對拱頂、拱腰、拱腳二次襯砌厚度損失范圍的情況；17#—20#、21#—24#、25#—28#分別表示拱頂、拱腰、拱腳二次襯砌損失厚度的情況。計算采用圖3所示模型。由于本文主要探討二次襯砌局部厚度損失情況下隧道結(jié)構(gòu)安全性的變化規(guī)律，因此忽略初期支護所分擔(dān)的部分荷載。此外，考慮到防水板的存在，切向彈簧剛度取為0[23]。

表1 計算工況表

《公路隧道設(shè)計規(guī)范》[23]規(guī)定：混凝土襯砌的安全系數(shù)由抗壓強度控制時，安全系數(shù)的計算公式為

KN≤φαRabh。

(19)

(20)

由抗拉強度控制時，安全系數(shù)的計算公式為

(21)

式(19)—(21)中：K為安全系數(shù)；φ為構(gòu)件縱向彎曲系數(shù)，對隧道襯砌可取1；α為軸向力的偏心影響系數(shù)，可根據(jù)經(jīng)驗公式(20)確定；e為偏心距；Ra為混凝土或砌體的抗壓極限強度；b為截面寬度；h為截面厚度；Rl為混凝土或砌體的抗拉極限強度。

4.1 二次襯砌厚度損失范圍對結(jié)構(gòu)安全性的影響

圖5示出拱頂、拱腰和拱腳損失厚度為0.15 m時，二次襯砌各位置安全系數(shù)隨厚度損失范圍d的變化規(guī)律?？梢钥闯?，拱頂、拱腰和拱腳安全系數(shù)呈現(xiàn)相似的變化規(guī)律。其中，局部厚度的降低對于遠離劣化位置的結(jié)構(gòu)安全系數(shù)影響較小，其變化曲線近似于水平線；而厚度劣化位置的安全系數(shù)變化曲線類似于“湯匙形”的3階段變化曲線。3個階段的變化情況分別為：1)第1階段，二次襯砌厚度開始出現(xiàn)劣化，該位置的安全系數(shù)顯著降低；2)第2階段，隨著劣化范圍的逐漸增大，二次襯砌安全系數(shù)呈現(xiàn)近似線性的回升趨勢；3)第3階段，當(dāng)劣化范圍足夠大時，安全系數(shù)趨于穩(wěn)定。

(a)拱頂厚度損失范圍的影響

為了探究二次襯砌安全系數(shù)隨厚度損失范圍的變化曲線呈現(xiàn)“湯匙形”的原因，以拱腰(對應(yīng)工況1#、7#—11#)為例，提取內(nèi)力進行分析，得到拱腰厚度損失范圍對拱腰內(nèi)力的影響，結(jié)果見圖6。

圖6 拱腰厚度損失范圍對拱腰內(nèi)力的影響

由圖6可知：隨著拱腰處二次襯砌厚度損失范圍的增大，該位置處的軸力幾乎無變化，但彎矩呈現(xiàn)下凹式二次拋物線的降低規(guī)律；此時，偏心距e(e=M/N)與彎矩同步降低，在截面尺寸不變的情況下，偏心影響程度降低，極限承載力提升，因此，第2階段的安全系數(shù)有所提升。值得注意的是，由于內(nèi)力的重分布，在厚度損失區(qū)域周圍的部分非劣化位置，安全系數(shù)有一定程度的下降，以θ=20°為例，當(dāng)厚度損失范圍由0.5 m增大到2.0 m時，解析解計算得出的安全系數(shù)由13.7降為7.0。而在第1階段，雖然e有所降低，但二次襯砌截面積相較于工況1#降低了1/3，因此安全系數(shù)明顯降低；在第3階段，彎矩變化較小，安全系數(shù)也趨于平穩(wěn)。

4.2 二次襯砌損失厚度對結(jié)構(gòu)安全性的影響

圖7示出在拱頂、拱腰、拱腳厚度損失范圍為1.0 m時，減小二次襯砌局部厚度對二次襯砌各位置安全系數(shù)的影響規(guī)律。

由圖7可以看出：當(dāng)二次襯砌厚度局部損失時，在劣化區(qū)域內(nèi)，安全系數(shù)呈現(xiàn)先減后增的2階段變化規(guī)律。其中，第1階段呈現(xiàn)近似線性下降的趨勢。而非劣化區(qū)的安全系數(shù)則由于內(nèi)力的重分布，存在不同程度的下降。以拱頂厚度損失為例，當(dāng)c由0增大到0.25 m時，對應(yīng)拱腰和拱腳安全系數(shù)的降幅分別為8.8%(由3.97減小為3.62)和3.1%(由3.46減小為3.35)。

以拱頂為例進行分析(如圖7(a)所示)，提取對應(yīng)工況(1#、17#—20#)拱頂處的彎矩和軸力，結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出：隨著拱頂厚度的減小，拱頂處軸力僅有5.5%的微小增幅(由491.9 kN增大為518.8 kN)，因此可以忽略軸力變化對安全系數(shù)的影響；而彎矩呈現(xiàn)上凸形下降曲線，拱頂襯砌厚度越小，彎矩的降幅越大，偏心距e也表現(xiàn)為相似的變化規(guī)律。

圖8 拱頂損失厚度對內(nèi)力的影響

圖9 相對偏心距η和偏心影響系數(shù)β隨拱頂損失厚度c的變化曲線

KN≤(1.75βRlb)h。

(22)

由圖9可以看出：η和β隨c的變化曲線可以近似分為Ⅰ、Ⅱ 2個階段。其中，第Ⅰ階段，截面抗彎剛度削減程度不高，劣化段二次襯砌依然是承載的主體，拱頂彎矩M與截面厚度h近似為線性變化，偏心影響系數(shù)β較為穩(wěn)定，如式(22)拱頂安全系數(shù)隨截面厚度也呈近似線性變化(η和β實際上有所變化)；而在第Ⅱ階段，截面抗彎剛度大幅降低，導(dǎo)致內(nèi)力重新分布，劣化段內(nèi)的彎矩和η急劇減小，β陡增，當(dāng)β對安全系數(shù)的增益效果高于h的減小時，安全系數(shù)則會增大。然后，通過有限元模型進行了驗證分析，發(fā)現(xiàn)同樣存在安全系數(shù)增大的現(xiàn)象。雖然計算所得安全系數(shù)偏大，但是由于局部劣化會產(chǎn)生較大變形，對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性不利，在實際工程中，應(yīng)同時考慮安全系數(shù)與變形的影響。

5 結(jié)論與討論

本文基于彈性地基曲梁理論，根據(jù)空間狀態(tài)法構(gòu)建襯砌力學(xué)響應(yīng)解析解模型，并采用Laplace變換求解了襯砌各截面的內(nèi)力與位移，其與有限元數(shù)值模型計算結(jié)果較為吻合。相較于常規(guī)彈性地基曲梁模型，本文構(gòu)建的解析解模型考慮了地層荷載和圍巖抗力的作用，無需通過現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)即可確定初始計算參數(shù)，可將其應(yīng)用于二次襯砌厚度損失條件下隧道安全狀態(tài)評估中。主要得出以下結(jié)論：

1)隨著二次襯砌厚度損失范圍和程度的增加，劣化位置的軸力無明顯變化，而彎矩因剛度的減小而顯著降低，偏心距隨彎矩同步降低。

2)擴大二次襯砌厚度損失范圍，損失區(qū)域的彎矩呈下凹式拋物線形降低，截面偏心程度減小，安全系數(shù)呈現(xiàn)突降—回升—穩(wěn)定3階段的“湯匙形”變化規(guī)律；而遠離劣化區(qū)域的安全系數(shù)變化較小。

3)當(dāng)二次襯砌厚度損失較小時，劣化位置處彎矩與二次襯砌厚度同步降低，軸力偏心變化對安全系數(shù)的影響較小，安全系數(shù)隨二次襯砌有效厚度的變化近似呈線性降低。當(dāng)二次襯砌厚度損失程度繼續(xù)增大時，軸力偏心距的降低對安全系數(shù)的增益顯著提升，大于二次襯砌厚度減小的劣化效應(yīng)，安全系數(shù)反而增大，但是局部可能發(fā)生變形破壞。

本文對于厚度損失的二次襯砌安全性的分析主要基于彈性階段，但實際在襯砌開裂或局部屈服后，仍然具備一定的承載能力，因此對于出現(xiàn)塑性行為的襯砌，其安全狀態(tài)評估具有重要意義。鑒于此，后續(xù)可開展不同損失厚度的襯砌承載模型試驗，進一步驗證和拓展局部塑性狀態(tài)下的本文解析解將是以后的主要研究方向。