孫興龍，馬克茂，姜宇，侯振乾

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109）

0 引言

近年來，由于臨近空間飛行器等高速武器的迅猛發(fā)展，相應(yīng)攔截技術(shù)和防御手段的研究已迫在眉睫。針對此類高空、高速機(jī)動目標(biāo)，攔截彈大多采用復(fù)合制導(dǎo)策略，即“中制導(dǎo)+末制導(dǎo)”的遠(yuǎn)程、梯次的攔截方式。在復(fù)合制導(dǎo)的過程中，對中、末制導(dǎo)交班時刻提出了一定條件，首先是導(dǎo)引頭交班，即導(dǎo)引頭可靠的截獲目標(biāo)；其次是彈道交班，即彈道應(yīng)平滑過渡。以上分別對中制導(dǎo)結(jié)束時刻的彈-目相對距離和彈道前置角進(jìn)行了約束。

目前常用的制導(dǎo)策略包括比例制導(dǎo)、滑模制導(dǎo)和最優(yōu)制導(dǎo)等。其中，最優(yōu)制導(dǎo)的求解包含了對約束條件的考量，因此適用于具有終端約束的中制導(dǎo)律設(shè)計。文獻(xiàn)［1］根據(jù)中制導(dǎo)末端的視場角約束，提出一種新的虛擬目標(biāo)的設(shè)置方法，并運(yùn)用最優(yōu)控制理論設(shè)計了滿足視場角約束的中制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［2-3］對中制導(dǎo)問題進(jìn)行了描述，在滿足相應(yīng)約束條件下，根據(jù)不同的優(yōu)化指標(biāo)采用GPM對最優(yōu)中制導(dǎo)問題進(jìn)行了離散求解。其中，前者尋求飛行時間最短，后者尋求對制導(dǎo)角度的約束。周覲等［4］采用GPM對含有相關(guān)約束條件的中制導(dǎo)律進(jìn)行了求解并將此作為基準(zhǔn)最優(yōu)彈道，通過改變終端約束條件，并根據(jù)鄰域最優(yōu)控制理論對基準(zhǔn)最優(yōu)彈道進(jìn)行調(diào)整，最終得到中制導(dǎo)最優(yōu)彈道簇，有效減少了彈道優(yōu)化時間。在最優(yōu)中制導(dǎo)律求解的相關(guān)成果中，多數(shù)旨在提高彈道優(yōu)化的求解效率。然而，在中制導(dǎo)階段，所需制導(dǎo)信息多數(shù)依賴于載機(jī)或地面基站來提供，因此，可能存在由于通訊故障等原因?qū)е碌闹茖?dǎo)指令無法更新的風(fēng)險。

滑模控制因其對外部干擾具有強(qiáng)魯棒性且算法簡單的優(yōu)點，也被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律的設(shè)計［5-7］。對于高速目標(biāo)而言，為保證制導(dǎo)回路性能不受目標(biāo)機(jī)動的影響，特別是末制導(dǎo)階段，需在設(shè)計制導(dǎo)律時加入對目標(biāo)機(jī)動的補(bǔ)償項［8］。文獻(xiàn)［9］利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對目標(biāo)機(jī)動等干擾項進(jìn)行估計并補(bǔ)償，設(shè)計了帶角度約束的滑模制導(dǎo)律。然而，末制導(dǎo)階段對導(dǎo)彈的響應(yīng)速度及攔截精度有較高要求，因此，形式簡單及制導(dǎo)精度較高的比例導(dǎo)引常常被用于末制導(dǎo)律的設(shè)計。文獻(xiàn)［10］根據(jù)精確的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引模型設(shè)計了比例導(dǎo)引律，在保證導(dǎo)彈以給定落角擊中目標(biāo)的同時，避免了導(dǎo)引末端控制量發(fā)散的問題。文獻(xiàn)［11］提出了一種帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律，并設(shè)計了一種盲區(qū)控制方案以減少終點處的法向過載。

基于以上分析，本文基于GPM離散化方法及滾動時域的方式，對含有終端約束的中制導(dǎo)律進(jìn)行優(yōu)化求解，以此實現(xiàn)攔截彈道的在線修正。采用高增益觀測器對目標(biāo)機(jī)動等信息進(jìn)行估計，并引入末制導(dǎo)律的設(shè)計中，實現(xiàn)對臨近空間飛行器等機(jī)動目標(biāo)的有效攔截。

1 彈-目相對運(yùn)動模型描述

在三維空間中，彈-目相對運(yùn)動幾何關(guān)系的描述如圖1所示。圖中：M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心；R表示彈-目之間的相對距離；qε和qβ分別表示視線高低角和偏轉(zhuǎn)角；θm和ψm分別表示導(dǎo)彈彈道傾角和彈道偏角；Vm和Vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度大小。坐標(biāo)系Mxyz平行于參考慣性坐標(biāo)系，Mx4y4z4為視線坐標(biāo)系，Mx4軸以彈-目視線方向為正，My4軸位于包含視線的鉛錘面內(nèi)，與Mx4軸垂直且向上為正，Mz4軸與Mx4軸、My4軸滿足右手定則。

圖1 三維空間導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運(yùn)動幾何關(guān)系Fig.1 Geometric relationship of relative motion between missile-target in 3-D space

在以上空間關(guān)系中，彈-目相對運(yùn)動方程可描述為

式中：(atr，atε，atβ)、(am4r，am4ε，am4β)分別表示目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線坐標(biāo)系的3個軸上的分量。

2 最優(yōu)中制導(dǎo)律設(shè)計

在對臨近空間高速目標(biāo)的攔截過程中，中制導(dǎo)律的設(shè)計通常以能量消耗最小或飛行時間最短為前提，目標(biāo)是將導(dǎo)彈以較好姿態(tài)導(dǎo)引至相應(yīng)空域并為末制導(dǎo)階段的成功攔截創(chuàng)造有利條件。因此，首先對中制導(dǎo)律求解過程的相關(guān)約束進(jìn)行描述。

2.1 約束條件

設(shè)中制導(dǎo)過程的初始時刻為0，終端時刻為tf。初始時刻制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

1）交班距離約束

依據(jù)導(dǎo)引頭的探測距離，設(shè)定中、末制導(dǎo)交班時刻彈-目相對距離為Rc，則可設(shè)定

2）彈道前置角約束

為實現(xiàn)中、末制導(dǎo)的順利交班，在末制導(dǎo)終端時刻要保證攔截彈前置角小于30°。由圖1所示，攔截彈前置角在俯仰平面為彈道傾角θm與視線高低角qε的差值，在偏航平面為彈道偏角ψm與視線偏轉(zhuǎn)角qβ的差值。在此將該約束轉(zhuǎn)換為視線角的終端約束，設(shè)qε和qβ的期望值分別為qεd和qβd，則有

式 中：θm-30°

3）視線角速率約束

在制導(dǎo)過程中令視線角速率趨于零，可保證導(dǎo)彈以準(zhǔn)平行接近的方式靠近目標(biāo)。于是令

4）攔截過載約束

由于導(dǎo)彈物理條件所限，攔截過載滿足

式中：um為攔截過載的上限值。

2.2 性能指標(biāo)

以攔截所需能量為性能指標(biāo)

式中：tgo=tf-t表示剩余飛行時間；1tgno(n≥0)為時變權(quán)重系數(shù)，隨tgo的減小而不斷增大，n越大，權(quán)重系數(shù)的影響也越大。

最后，最優(yōu)中制導(dǎo)律的設(shè)計問題歸結(jié)為：確定uε、uβ和終端時間tf，在滿足式（1）及以上約束條件的前提下，使得式（6）最小。

針對類似以上優(yōu)化問題，傳統(tǒng)求解過程通常要構(gòu)造相應(yīng)Hamiltonian函數(shù)，這樣勢必引入?yún)f(xié)態(tài)變量并增加了運(yùn)算量，因而不利于高速目標(biāo)的攔截?，F(xiàn)采用GPM對以上優(yōu)化問題進(jìn)行離散化處理，并轉(zhuǎn)化為NLP的形式進(jìn)行求解。

2.3 GPM離散求解最優(yōu)控制問題

在進(jìn)行中制導(dǎo)律求解之前，先對GPM離散化求解過程進(jìn)行簡單描述。

2.3.1 非線性最優(yōu)反饋控制

考慮一般形式的非線性系統(tǒng)模型

式 中 ：x(t)∈X?RNx，X為 狀 態(tài) 空 間 ；u(t，x)∈U?RNu，U為控制空間；p0為系統(tǒng)標(biāo)稱參數(shù)；x為狀態(tài)向量；u為控制向量；f?RNx，關(guān)于其變量是Lipschitz連續(xù)的。

針對以上非線性系統(tǒng)，最優(yōu)反饋控制求解的實質(zhì)為下述Bolza類型代價函數(shù)的優(yōu)化問題：

式中：E(?)表示終端性能指標(biāo)；F(?)表示動態(tài)性能指標(biāo)；x?(t)=f(?)表示動態(tài)約束；Φ=0表示邊界約束；C≤0表示路徑約束。

2.3.2 基于GPM的連續(xù)Bolza問題的離散求解

GPM通過離散化處理，將連續(xù)Bolza問題轉(zhuǎn)化為NLP，通過求解NLP來確定原始最優(yōu)問題的解。由于GPM的配點都分布在區(qū)間[-1，1]上，因此偽譜法的第一步都是將上一節(jié)中最優(yōu)控制問題的時間區(qū)間由t∈[t0，tf]轉(zhuǎn)換至τ∈[-1，1]，對時間變量t作如下變換：

上節(jié)所述最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為

GPM選取K個Legendre-Gauss（LG）點以及τ0=-1為節(jié)點，構(gòu)成K+1個Lagrange插值多項式Li(τ)(i=0，…，K)，并以此為基函數(shù)近似狀態(tài)變量：

式中：Lagrange插值基函數(shù)為

使得節(jié)點上的近似狀態(tài)與實際狀態(tài)相等。

同 理，采 用Lagrange插 值 多 項 式Lˉi(τ)(i=1，…，k)作為基函數(shù)近似控制變量：

式中：τi(i=1，…，K)為LG點。

對近似狀態(tài)變量求導(dǎo)可得狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)，從而將動力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，即

式中：微分矩陣D∈Rk×(k+1)可離散確定，即

式中：τk(k=1，…，K)為集合κ中的點；τi(i=0，…，K)屬于集合κ0={τ0，τ1，…，τK}。

這樣，就將最優(yōu)控制問題的動力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束

GPM中的節(jié)點包括K個配點、初始點τ0=-1以及終點τf=1。上文中近似狀態(tài)變量表達(dá)式未定義終端狀態(tài)Xf，終端狀態(tài)也應(yīng)滿足動力學(xué)方程約束：

將終端狀態(tài)約束條件離散并用Gauss積分近似，得

將性能指標(biāo)函數(shù)中的積分項用Gauss積分來近似，得

邊界條件

路徑約束

至此，以上微分方程代數(shù)約束、離散性能指標(biāo)、離散邊界條件和離散路徑約束就定義了一個NLP。即在滿足式（14）、式（17）以及式（20）~（21）的情況下，通過求解式（11）、式（13），保證式（19）最小。該NLP的解即為連續(xù)Bolza問題的解。

2.3.3 實時最優(yōu)反饋控制算法

序列二次規(guī)劃算法多被用來求解約束優(yōu)化問題，采用序列二次規(guī)劃算法對以上NLP進(jìn)行求解?？紤]到在中制導(dǎo)過程中，可能會出現(xiàn)載機(jī)與攔截彈通訊故障等情況，因制導(dǎo)信息缺失不能及時更新制導(dǎo)指令。為應(yīng)對此類突發(fā)狀況，基于所求得的NLP開環(huán)最優(yōu)解序列，并考慮實際應(yīng)用過程中可能存在的信息中斷問題，設(shè)計了一種實時最優(yōu)閉環(huán)反饋控制算法。具體步驟如下：

步驟1選定節(jié)點個數(shù)N，采樣周期為T，即區(qū)間[t0，T1]的間隔為定值T，初始狀態(tài)為x0，離線計算得出開環(huán)最優(yōu)控制量(x(t0)，t)。

步驟2在區(qū)間[t0，T1+Δt1]內(nèi)，將最優(yōu)控制量(x(t0)，t)應(yīng)用于系統(tǒng)上，記T1時刻的狀態(tài)測量值為x(T1)，令i=1；同時，根據(jù)時刻T1的狀態(tài)測量值x(T1)，實 時 計 算 開 環(huán) 最 優(yōu) 控 制 量(x(T1)，t)，t∈[T1，tf]，設(shè)Δt1為優(yōu)化計算時間。

步驟3在區(qū)間[T1+Δt1，T2+Δt2]內(nèi)，于t1時刻發(fā)生通訊中斷導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失，且通訊中斷時常未知，此時將以狀態(tài)x(T1)求得的開環(huán)最優(yōu)控制量(x(T1)，t)進(jìn)行t∈[T1，tf]時間域內(nèi)插值，并將插值所得控制量取出應(yīng)用于系統(tǒng)上，直至t2時刻通訊恢復(fù)并重新對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行采樣。

步驟4在區(qū)間[Ti+Δti，Ti+1+Δti+1]內(nèi)，將開環(huán)最優(yōu)控制量(x(Ti)，t)應(yīng)用于系統(tǒng)上，記Ti+1時刻的狀態(tài)測量值為x(Ti+1)；同時，根據(jù)時刻Ti+1的狀態(tài)測量值x(ti)，實時計算開環(huán)最優(yōu)控制量(x(Ti+1)，t)，t∈[Ti+1，tf]，設(shè)Δti為優(yōu)化計算時間。

步驟5令i=i+1，返回步驟4。

中制導(dǎo)律求解過程如圖2所示，其中t1為數(shù)據(jù)丟失初始時刻，t2為數(shù)據(jù)恢復(fù)時刻。

圖2 信息缺失情況下的制導(dǎo)律實現(xiàn)Fig.2 Realization of guidance law in the absence of information

注1：該算法將狀態(tài)采樣周期設(shè)為T，可將此作為控制周期，根據(jù)系統(tǒng)實際需要進(jìn)行調(diào)節(jié)。同時，能夠很好地應(yīng)對制導(dǎo)過程中出現(xiàn)的信息中斷問題。

注2：如在算法步驟2和步驟4中的描述所示，基于前一采樣時刻所得的系統(tǒng)狀態(tài)計算出開環(huán)最優(yōu)解序列，將該最優(yōu)解序列的第一值應(yīng)用于制導(dǎo)系統(tǒng)，直至基于下一采樣時刻的系統(tǒng)狀態(tài)計算出新的開環(huán)最優(yōu)解序列。這種不斷滾動的動態(tài)優(yōu)化過程，可達(dá)到基于開環(huán)最優(yōu)解來實現(xiàn)閉環(huán)控制的目的。在圖3所示的制導(dǎo)系統(tǒng)流程中也有體現(xiàn)，這種處理思想稱為滾動時域控制。

圖3 閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)流程Fig.3 Process of closed loop guidance system

至此，可保證攔截彈在中制導(dǎo)結(jié)束時滿足交班條件，并順利進(jìn)入末制導(dǎo)階段。為降低末制導(dǎo)階段目標(biāo)機(jī)動對攔截所需過載的要求，本文基于高增益觀測器及比例導(dǎo)引策略，設(shè)計了帶有目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償?shù)哪┲茖?dǎo)律。

3 末制導(dǎo)律設(shè)計

在 末 制 導(dǎo) 階 段，令x=[qεβ]T，y=[qεqβ]T，u=[amεamβ]T，d=[atεatβ]T，

則相對運(yùn)動方程可描述為

式中：

考慮到實際物理條件限制，假設(shè)目標(biāo)機(jī)動連續(xù)且幅值有限。同時，導(dǎo)彈也存在最大機(jī)動過載aM，即滿足

假設(shè)所有變量均可獲得且目標(biāo)機(jī)動已知，針對式（22）所示末制導(dǎo)模型，將系統(tǒng)存在的非線性項進(jìn)行抵消，并對目標(biāo)機(jī)動進(jìn)行補(bǔ)償，可得如下末制導(dǎo)律：

式中：k1>0、k2>0為設(shè)計參數(shù)。將式（24）代入式（22）可得

通過適當(dāng)選取設(shè)計參數(shù)k1、k2，可以保證視線轉(zhuǎn)率的快速收斂，且不會受到目標(biāo)機(jī)動的影響。在式（24）所示制導(dǎo)律中，導(dǎo)引頭可提供變量包括R、R?、qε和qβ，式中其他不可直接測量的變量則采用下節(jié)中描述的高增益觀測器進(jìn)行估計。

3.1 制導(dǎo)信息估計

為對目標(biāo)加速度等制導(dǎo)信息進(jìn)行估計，針對式（22），建立高增益擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器：

式中：?觀測器狀態(tài)變量為觀測器擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)變量。觀測器矩陣增益H(ε)和F(ε)分別取為

式中：參數(shù)aij(i=1，2，3；j=1，2)均選擇為實數(shù)，且使得多項式s3+a1js2+a2js+a3j(j=1，2)均為Hurwitz多項式；ε>0為小的設(shè)計參數(shù)。

3.2 基于目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)引律實現(xiàn)

目標(biāo)機(jī)動信息不可直接測量，需由觀測器的相應(yīng)狀態(tài)變量進(jìn)行替換。由于3.1節(jié)中觀測器進(jìn)行設(shè)計時，擴(kuò)展觀測變量σ?是對a(y，t)d的估計，因此末制導(dǎo)律中的atε和atβ用-Rσ?1和σ?2Rcosqε代替，得到制導(dǎo)律的實現(xiàn)如下：

觀測器設(shè)計中，由于引入了高增益反饋，在觀測誤差向量中會產(chǎn)生尖峰現(xiàn)象，利用飽和函數(shù)對控制量進(jìn)行限幅：

式中：γ≥0為設(shè)計中預(yù)留的過載裕量；sat(?)為飽和函數(shù)，定義為

3.3 末制導(dǎo)回路穩(wěn)定性分析

在末制導(dǎo)律的實現(xiàn)過程中，通過引入飽和函數(shù)保證了控制的有界性。由于尖峰現(xiàn)象持續(xù)時間較短，并不影響系統(tǒng)模型的變化，因此考慮時間區(qū)間[T?(ε)，T]內(nèi)，假設(shè)控制量處于線性區(qū)內(nèi)，將控制量u1、u2代入相對運(yùn)動模型中，可得閉環(huán)系統(tǒng)如下：

式（31）可看作對式（25）所示標(biāo)稱系統(tǒng)的攝動，其中攝動項滿足

式中：Lε>0和Lβ>0為常數(shù)。對于觀測誤差收斂性，文獻(xiàn)［11］中已經(jīng)給出，在此不再累述。此處，考慮制導(dǎo)回路的閉環(huán)穩(wěn)定性時，只考慮式（31）所示系統(tǒng)。

定義Lyapunov函數(shù)

經(jīng)計算可知，V()沿式（31）所示閉環(huán)系統(tǒng)對時間的導(dǎo)數(shù)滿足

由此可得，式（31）所示閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡將趨向于集合Ωq。

以上中、末制導(dǎo)律的完整閉環(huán)制導(dǎo)過程如圖3所示。

4 仿真對比分析

以再入機(jī)動目標(biāo)為例，攔截彈與目標(biāo)的初始條件見表1。假設(shè)彈-目初始相對距離R(0)=350 km，目標(biāo)縱向、側(cè)向機(jī)動加速度為atε=3gsin(πt/20)、atε=5gcos(πt/20)，中、末交班時刻彈-目相對距離Rc=30 km，中制導(dǎo)控制周期為T=1 s，制導(dǎo)指令上限um=7g，性能指標(biāo)權(quán)重系數(shù)n=1，節(jié)點個數(shù)N=25。同時假設(shè)中制導(dǎo)開始5 s后，出現(xiàn)持續(xù)時長為5 s的通訊中斷，以模擬制導(dǎo)信息缺失情況下制導(dǎo)算法的有效性，進(jìn)行攔截仿真驗證。本文中制導(dǎo)指令序列插值算法采用三次樣條插值，仿真結(jié)果如圖4~5所示。

表1 攔截彈與目標(biāo)初始條件Tab.1 Initial conditions of interceptor and target

圖4 攔截彈中制導(dǎo)指令Fig.4 Interceptor midcourse guidance command

圖4為攔截彈中制導(dǎo)指令，圖5為彈道前置角變化。由圖4可以看出，本文所求攔截彈中制導(dǎo)指令為鋸齒狀。這是因為中制導(dǎo)彈道優(yōu)化周期采用可調(diào)定值T，即每隔一個時間T，對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行一次采樣，并以采樣時刻狀態(tài)為初值進(jìn)行一次優(yōu)化求解。此舉避免了彈載制導(dǎo)系統(tǒng)的計算負(fù)荷，并保證了中制導(dǎo)階段的彈道約束。

圖5 攔截彈彈道前置角曲線Fig.5 Heading angle curve of interceptor trajectory

由圖5可以看出整個中制導(dǎo)階段的彈道前置角均維持在20°以內(nèi)，滿足中、末交班彈道前置角約束。從圖4~5中可以看出，攔截開始后的第5 s時刻，本文所設(shè)計的中制導(dǎo)優(yōu)化算法可以很好地應(yīng)對因通訊中斷等原因造成的制導(dǎo)信息缺失狀況。而通常情況下，當(dāng)制導(dǎo)信息無法獲得時，制導(dǎo)系統(tǒng)會以故障發(fā)生前的指令來導(dǎo)引攔截彈，此時會令彈道產(chǎn)生偏差甚至影響攔截效果，如圖5中藍(lán)色曲線所示。

為了驗證所設(shè)計的最優(yōu)中制導(dǎo)律在滿足相應(yīng)約束的前提下，可以保證以所需過載的積分為性能指標(biāo)的最小化，現(xiàn)以比例導(dǎo)引為對照組進(jìn)行中制導(dǎo)階段的仿真驗證。選取式（6）中n=0，比例導(dǎo)引的俯仰通道比例系數(shù)為4、偏航通道比例系數(shù)為3，其他初始條件同上文，驗證結(jié)果如圖6~7所示。圖6為攔截彈所需控制量的對比曲線，圖7為中制導(dǎo)階段性能指標(biāo)的對比曲線。

由圖6可以看出，在攔截過程的前期階段，比例導(dǎo)引所需控制量遠(yuǎn)高于最優(yōu)中制導(dǎo)，這是由比例導(dǎo)引的特性決定的。反觀最優(yōu)中制導(dǎo)，在前期階段所需控制量不算很大，有效降低了不必要的能量浪費(fèi)。圖7所示的性能指標(biāo)變化曲線更好地反映了這一點。由圖7可以看出，與比例導(dǎo)引相比，最優(yōu)中制導(dǎo)的性能指標(biāo)更小。在中制導(dǎo)結(jié)束時刻，比例導(dǎo)引的性能指標(biāo)大小為73 022 m2/s3，而最優(yōu)中制導(dǎo)的性能指標(biāo)大小僅為40 692 m2/s3，該結(jié)果顯示最優(yōu)中制導(dǎo)具有式（6）所示指標(biāo)的最優(yōu)性。

圖6 最優(yōu)中制導(dǎo)與比例制導(dǎo)控制量對比Fig.6 Comparison of control quantities between optimal midcourse guidance and proportional guidance

圖7 最優(yōu)中制導(dǎo)與比例制導(dǎo)性能指標(biāo)對比Fig.7 Comparison of performance indexes between optimal midcourse guidance and proportional guidance

中制導(dǎo)結(jié)束后，進(jìn)入末制導(dǎo)階段，此時高增益觀測器開始對目標(biāo)機(jī)動等信息進(jìn)行估計。選取觀測器參數(shù)為α1j=3、α2j=3、α3j=1，其中j=1、2，參數(shù)ε=0.01，觀測器狀態(tài)初值為0，控制器參數(shù)k1=4、k2=3。

圖8為觀測器對目標(biāo)機(jī)動加速度的觀測曲線。從圖中可以看出，在觀測初期有較為明顯的振蕩，但很快能跟蹤上真實值，在臨近攔截結(jié)束時，目標(biāo)加速度觀測誤差開始變大。這是由于彈-目相對距離R趨近于零，且視線角速率急劇增大所致。

圖8 目標(biāo)加速度觀測曲線Fig.8 Target acceleration observation curve

圖9為攔截彈全程制導(dǎo)指令曲線，從圖中可以看出，過載指令在66.1 s處出現(xiàn)尖峰，此為觀測器中高增益反饋所致。而本文進(jìn)行末制導(dǎo)律設(shè)計時，通過飽和函數(shù)對該尖峰現(xiàn)象進(jìn)行了抑制。圖10為三維攔截的軌跡，最終脫靶量為1.05 m，可以看出本文所設(shè)計制導(dǎo)律可有效攔截機(jī)動目標(biāo)。

圖9 攔截彈制導(dǎo)指令Fig.9 Interceptor guidance command

圖10 三維攔截軌跡Fig.10 3-D interception trajectory

5 結(jié)束語

本文對最優(yōu)中制導(dǎo)律和基于目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償?shù)哪┲茖?dǎo)律進(jìn)行了設(shè)計。首先將中制導(dǎo)律的設(shè)計描述為多約束條件的最優(yōu)求解過程，采用GPM將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP形式，在滿足相應(yīng)約束的前提下實現(xiàn)了過載指令的在線求解，并基于滾動時域的方式完成了最優(yōu)中制導(dǎo)律的閉環(huán)實現(xiàn)，同時保證了在制導(dǎo)信息短時間缺失等工況下的適用性。考慮末制導(dǎo)階段目標(biāo)機(jī)動對攔截性能的影響，采用高增益觀測器對視線轉(zhuǎn)率和目標(biāo)機(jī)動等信息進(jìn)行估計，并將估計值作為反饋補(bǔ)償項引入末制導(dǎo)律，以此降低了高機(jī)動目標(biāo)攔截時對過載的要求。