李迎春， 李 欣*， 李吉祥， 孫江波，王增路， 張壯壯， 劉 非

(1.長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012;2.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院, 吉林 長春 130012)

0 引 言

光學(xué)自由曲面是指沒有任何回轉(zhuǎn)對(duì)稱性的光學(xué)曲面，該光學(xué)曲面作為一個(gè)典型特征表面，不僅簡化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，降低了系統(tǒng)的重量，增加了設(shè)計(jì)自由度，還極大地改善了光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)性能[1]。如果要求零件可以滿足光學(xué)特性的條件，則必須依賴高水平精度的加工來保證。橢圓振動(dòng)切削最初是由日本學(xué)者提出的[2-3]，它改善了刀具與加工表面的摩擦狀態(tài)，使得表面質(zhì)量進(jìn)一步提高，同時(shí)有效降低切削力和減小切削熱及刀具的磨損，被廣泛認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)光學(xué)自由曲面精密加工的有效方法之一[4]。在光學(xué)自由曲面的精密加工(無論是橢圓振動(dòng)切削或者其他類型切削)過程中，由于刀具形狀誤差和機(jī)床的固有頻率振動(dòng)等因素存在，不可避免地會(huì)導(dǎo)致工件表面產(chǎn)生一系列不規(guī)則的形貌特征，對(duì)最終產(chǎn)品的光學(xué)性能產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。光學(xué)元件的表面特征可以認(rèn)為是由低頻、中頻及高頻分量疊加而成[5-6]。每一類幾何形貌特征的形成都是多種因素綜合作用的結(jié)果，如圖 1所示。

圖1 表面形貌特征及其影響因素

光學(xué)零件表面的幾何形貌與其光的散射性能存在著重要的聯(lián)系。當(dāng)光照射在光學(xué)器件的表面，尤其是在粗糙的表面上，會(huì)產(chǎn)生散射現(xiàn)象，在這種情況下，由于高頻的誤差，例如表面的粗糙度會(huì)造成較大的角散射，而中頻的誤差則會(huì)造成較小的角散射[7]，進(jìn)而對(duì)光學(xué)系統(tǒng)性能造成一定的影響。關(guān)于表面散射的研究已經(jīng)很多，其中瑞利-萊斯理論應(yīng)用于超平滑的表面，也就是表面的高度波動(dòng)比入射波波長的1/100小[8]。貝克曼-基爾霍夫的散射理論[9]也可以應(yīng)用于粗糙表面，但由于存在近軸的假定，在入射的角度過大，會(huì)產(chǎn)生與實(shí)驗(yàn)不符的現(xiàn)象[10]，而Harvey-Shack散射理論則是一種可以應(yīng)用于任意角度、不同粗糙表面的散射理論[11]。利用Harvey-Shack散射原理，從頻帶誤差的角度評(píng)估光學(xué)表面的光學(xué)特性，以確定其是否滿足光學(xué)性能指標(biāo)。近幾年，我國國防科技大學(xué)對(duì)精密光學(xué)元件的加工、檢測與評(píng)價(jià)進(jìn)行了較深入的研究[12-14]。根據(jù)哈維-沙克散射原理和統(tǒng)計(jì)光學(xué)原理，對(duì)不同頻率分量誤差與光學(xué)特性的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了初步探討。吳冬良[15-16]教授提出一種簡單的加工誤差與環(huán)圍能量比、散射損失比的關(guān)系式，但由于是全局評(píng)價(jià)的參量，其相關(guān)長度難以全面反映各頻域的分布，因而不能反映出某一頻段的局部誤差對(duì)環(huán)圍能量比及散射損失比的影響。

文中根據(jù)高斯濾波原理對(duì)經(jīng)由刀具路徑仿真獲得的光學(xué)自由曲面加工表面形貌模型在頻率空間上進(jìn)行劃分，獲得只含有粗糙度加工表面。對(duì)仿真獲得的加工表面做均方根偏差分析和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分析，便得到橢圓振動(dòng)切削加工過程中加工參數(shù)(如進(jìn)給量和刀尖圓弧半徑)對(duì)于光學(xué)元件的光學(xué)性能的影響規(guī)律。研究成果可以為橢圓振動(dòng)切削的加工誤差分析提供一種新的思路，促進(jìn)光學(xué)自由曲面的高精密、高可靠性的橢圓振動(dòng)切削加工技術(shù)的發(fā)展，對(duì)實(shí)現(xiàn)可預(yù)測光學(xué)性能的光學(xué)元件的橢圓振動(dòng)切削加工具有一定的指導(dǎo)意義。

1 理論方法

光散射是指光線通過不均勻的介質(zhì)而偏離其原來的傳播方向，并重新產(chǎn)生空間分布的現(xiàn)象。對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)，當(dāng)光線經(jīng)過帶有粗糙度的光學(xué)元件表面時(shí)，將會(huì)發(fā)生光散射，使得圖像對(duì)比度和分辨率降低，成像質(zhì)量下降。Harvey-Shack散射理論是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的散射理論，Harvey和Shack對(duì)表面散射現(xiàn)象提出了線性系統(tǒng)理論[17]，將表面散射看作是標(biāo)量衍射過程，從而得出與表面形貌散射特性有關(guān)的“表面?zhèn)鬟f函數(shù)”，將表面形貌與散射特性關(guān)聯(lián)。Harvey-Shack散射理論是一種適用于任何角度入射光和各種粗糙度面的散射理論[18]。文中使用表面?zhèn)鬟f函數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)來分析加工參數(shù)對(duì)加工表面光散射的影響。

在分析粗糙的光學(xué)加工表面時(shí)，一般將粗糙的表面看成是一種隨機(jī)的過程，由于其隨機(jī)性，可以借助統(tǒng)計(jì)規(guī)律描述粗糙表面。表面輪廓及相關(guān)統(tǒng)計(jì)如圖2所示。

圖2 表面輪廓及相關(guān)統(tǒng)計(jì)

自相關(guān)函數(shù)表示的是粗糙表面輪廓上一個(gè)給定位置的輪廓高度與其相鄰的另一位置的輪廓高度值之間的關(guān)聯(lián)程度，自相關(guān)函數(shù)為

C(Δx,Δy)=E[z(x,y)z(x+Δx,y+Δy)],

(1)

式中：Δx,Δy----粗糙表面兩點(diǎn)坐標(biāo)在x軸、y軸方向上的差值。

對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，得到相關(guān)系數(shù)為

(2)

式中：δ2----表面高度起伏均方差;

δ----粗糙度表面均方根。

當(dāng)Δx=0,Δy=0時(shí)，C(0,0)=δ2。相關(guān)系數(shù)在Δx=0,Δy=0具有最大值1，隨著Δx,Δy的增大，ρ(Δx,Δy)逐漸減小。當(dāng)相關(guān)系數(shù)降至1/e時(shí)，Δx,Δy為表面相關(guān)長度，記作lx,ly。

在實(shí)際的粗糙表面輪廓計(jì)算中，為了計(jì)算方便，常將連續(xù)的表面形貌離散化，則離散二維粗糙度表面的自相關(guān)函數(shù)為

(3)

式中：M，N----分別為x,y方向的采樣點(diǎn)數(shù)，通常取M=N，采樣間隔也取相同值。

根據(jù)維納-辛欽定理，在此基礎(chǔ)上提出一種基于Fourier變換的功率譜密度方法。功率譜密度是對(duì)粗糙表面進(jìn)行全面描述的一種函數(shù)。粗糙表面形態(tài)可以看作是不同頻率下的正弦或余弦波之和，則功率譜密度是在Fourier空間中粗糙度狀態(tài)的整體頻率成分構(gòu)成。

功率譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。文中將非歸一化的自相關(guān)函數(shù)C(Δx,Δy)做Fourier變換，獲得表面輪廓的功率譜密度函數(shù)。

若粗糙表面隨機(jī)，且高度服從高斯分布，入射光線垂直于光學(xué)表面時(shí)，散射表面?zhèn)鬟f函數(shù)為

(4)

式中：l----自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)長度;

λ----入射光波長;

作傅里葉逆變換，即可得到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，其公式為

(5)

式中：PSF----點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

2 仿真分析

以復(fù)曲面作為目標(biāo)光學(xué)自由曲面，應(yīng)用Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行橢圓振動(dòng)切削加工表面形貌仿真分析和加工表面的光散射分析。復(fù)曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

z=Rb-

(6)

其中

Rb=d1+d2,Rc=d1，

式中：d1----圓環(huán)回轉(zhuǎn)半徑;

d2----圓環(huán)半徑。

采用麻省理工學(xué)院Ludwick加工眼科透鏡時(shí)使用的數(shù)據(jù)，Rb=265 mm，Rc=132.5 mm。

三維復(fù)曲面在加工坐標(biāo)系中的示意圖如圖 3所示。

橢圓振動(dòng)車削仿真加工參數(shù)見表 1。

表1 橢圓振動(dòng)車削仿真加工參數(shù)

以復(fù)曲面為例，對(duì)復(fù)曲面進(jìn)行橢圓振動(dòng)車削刀具軌跡規(guī)劃，刀位點(diǎn)路徑與復(fù)曲面三維對(duì)比結(jié)果如圖 4所示。

圖4 刀位點(diǎn)路徑與復(fù)曲面三維對(duì)比

當(dāng)進(jìn)給量為0.1 mm/r，刀尖圓弧半徑為0.1 mm時(shí)，讓刀具的走刀軌跡對(duì)加工表面進(jìn)行刻劃復(fù)映，基于快速刀具伺服金剛石切削過程中的表面形貌模型算法[19]，通過計(jì)算可以得到三維橢圓振動(dòng)切削光學(xué)自由曲面的殘高形貌模型，如圖 5所示。

圖5 復(fù)曲面殘高形貌立體圖

在三維橢圓振動(dòng)車削加工光學(xué)自由曲面過程中，加工參數(shù)的選取數(shù)值會(huì)對(duì)光學(xué)產(chǎn)品的表面質(zhì)量和它的光學(xué)性能產(chǎn)生一定的影響。通過研究加工參數(shù)與表面粗糙度和光散射的相互關(guān)系，可以為選擇合理的加工參數(shù)進(jìn)行加工提供一定的指導(dǎo)價(jià)值。文中以加工參數(shù)中的進(jìn)給量和刀尖圓弧半徑作為自變量，以Sq值作為目標(biāo)函數(shù)研究加工參數(shù)對(duì)表面粗糙度的影響，以加工表面輪廓的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)研究加工參數(shù)對(duì)光散射的影響。

分析過程中，采用進(jìn)給量和刀尖圓弧半徑參數(shù)見表 2。

表2 三維評(píng)價(jià)用切削條件

2.1 復(fù)曲面加工表面粗糙度分析

(7)

式中:Nx,Ny----分別為x,y方向點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

u,v----表面殘高形貌仿真區(qū)域變量，u=0,1,2,…,Nx-1,v=0,1,2,…,Ny-1;

(xu,yv)----仿真區(qū)域中第(u,v)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);

gh(·,·)----三維表面殘高形貌函數(shù)。

基于快速刀具伺服金剛石切削過程中的表面形貌模型算法[19]，通過計(jì)算可以得到三維橢圓振動(dòng)切削光學(xué)自由曲面的殘高形貌模型，然后根據(jù)式(7)獲得加工表面的粗糙度值。

當(dāng)進(jìn)給量作為自變量時(shí)，對(duì)三維橢圓振動(dòng)車削加工復(fù)曲面進(jìn)行三維表面形貌分析，計(jì)算得到的表面均方根偏差Sq值見表3。

表3 不同進(jìn)給量對(duì)應(yīng)的表面粗糙度值

從表中可以看出,進(jìn)給量對(duì)三維橢圓振動(dòng)切削復(fù)曲面的表面粗糙度產(chǎn)生了影響，根據(jù)表3數(shù)據(jù)得到不同進(jìn)給量對(duì)表面粗糙度的影響規(guī)律曲線，如圖 6所示。

從圖中可以看出，進(jìn)給量對(duì)三維橢圓振動(dòng)切削復(fù)曲面的表面粗糙度影響呈現(xiàn)規(guī)律性，表面粗糙度隨著進(jìn)給量的增加而增加，即進(jìn)給量的增加降低了表面質(zhì)量。因此，為獲得較好的加工表面，可以盡可能選擇較小的進(jìn)給量。可以看出,在同等條件下，進(jìn)給量為0.004 mm/r時(shí),表面粗糙度值最小。

圖6 不同進(jìn)給量對(duì)表面粗糙度影響曲線

當(dāng)?shù)都鈭A弧半徑作為自變量時(shí)，對(duì)三維橢圓振動(dòng)車削加工復(fù)曲面進(jìn)行三維表面形貌分析，不同刀尖圓弧半徑對(duì)應(yīng)的表面粗糙度值見表4。

表4 不同刀尖圓弧半徑對(duì)應(yīng)的表面粗糙度值

從表中可以看出，刀尖圓弧半徑對(duì)三維橢圓振動(dòng)切削復(fù)曲面的表面粗糙度產(chǎn)生了影響，根據(jù)表4數(shù)據(jù)得到不同刀尖圓弧半徑對(duì)表面粗糙度的影響規(guī)律曲線，如圖 7所示。

圖7 不同刀尖圓弧半徑對(duì)表面粗糙度影響曲線

從圖中可以看出，刀尖圓弧半徑對(duì)三維橢圓振動(dòng)切削復(fù)曲面表面粗糙度的影響呈現(xiàn)規(guī)律性，表面粗糙度隨著刀尖圓弧半徑的增大而減小，即刀尖圓弧半徑的增加提高了表面質(zhì)量。因此，為獲得較好的加工表面，在不發(fā)生干涉情況下，盡可能選擇較大的刀尖圓弧半徑。可以看出，在同等條件下，刀尖圓弧半徑為0.60 mm 時(shí)，表面粗糙度值最小。

2.2 加工粗糙表面光散射分析

根據(jù)高斯濾波的原理，對(duì)前述應(yīng)用Matlab軟件仿真獲得的橢圓振動(dòng)車削加工復(fù)曲面的三維表面形貌進(jìn)行重構(gòu)，獲得只含有粗糙度誤差的表面形貌數(shù)據(jù)。文中在Harvey-Shack散射理論的基礎(chǔ)上，采用表面散射傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)研究不同進(jìn)給量和不同刀尖圓弧半徑條件下仿真加工獲得的粗糙復(fù)曲面的光散射特性。

在進(jìn)給量作為自變量的情況下，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖如圖8所示。

(a) af=0.004 mm/r

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著進(jìn)給量的增大，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖也發(fā)生了相應(yīng)的變化，這些變化可以歸納為以下幾點(diǎn)：

1)隨著粗糙度的增加，圓心處的光暈也隨之增加，表明粗糙度越高，能量損耗就越大。

2)當(dāng)表面粗糙度增加時(shí)，點(diǎn)擴(kuò)散曲線的中心位置會(huì)隨進(jìn)料速度的增加而改變。

3)中心點(diǎn)附近的暈圈數(shù)目隨表面粗糙程度的增加而增加。

4)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)隨粗糙度值的增加而變得模糊。

①隨著進(jìn)給量的增加，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖逐漸變模糊。

②由于表面粗糙度的存在，中心點(diǎn)處的能量減小，且轉(zhuǎn)移到中心點(diǎn)的周圍。隨著進(jìn)給量的增加，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖四周的暈圈數(shù)量逐漸增多,并且逐漸變亮，即進(jìn)給量的增加導(dǎo)致光學(xué)元件加工表面粗糙度的增加，進(jìn)而致使中心點(diǎn)的能量損失增加。所以進(jìn)給量的增加將導(dǎo)致光散射掉的能量增加，對(duì)光學(xué)元件的光學(xué)性能產(chǎn)生壞的影響。

③隨著進(jìn)給量的增大，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的圖形不斷發(fā)生變化。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖的中心部分隨著進(jìn)給量的變化逐漸變化。在進(jìn)給量由0.004 mm/r增加至0.006 mm/r，即進(jìn)給量剛開始增加的時(shí)候，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖中心部分的變化程度是最小的；在進(jìn)給量由0.012 mm/r增加至0.014 mm/r時(shí)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖中心部分的變化程度達(dá)到最大。

④隨著進(jìn)給量的增加，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖中心部分的變化速率是逐漸增加的。但是在圖6的曲線圖中，表面形貌均方根偏差Sq隨進(jìn)給量而變化的變化速率是近似恒定不變的，或者說相對(duì)于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)中心部分的變化速率小得很多，可以近似看作是不變的。由此可以得出，在一定條件下，因?yàn)檫M(jìn)給量的改變而引起表面粗糙度的改變，當(dāng)粗糙度在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，其對(duì)于光學(xué)元件光學(xué)性能的影響程度較小，即進(jìn)給量在該范圍內(nèi)變化，產(chǎn)生的主要加工誤差不是粗糙度，而是波紋度或者面形誤差。該結(jié)論與向陽等[20]在其論著中得出的結(jié)論相近，說明文中研究具有一定程度上的正確性。

在刀尖圓弧半徑作為自變量的情況下，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖如圖9所示。

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著刀尖圓弧半徑的增大，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖也發(fā)生了相應(yīng)的變化，這些變化可以總結(jié)為以下幾個(gè)方面：

1)當(dāng)表面粗糙度降低時(shí)，圓心附近的光暈會(huì)逐漸暗淡，表明粗糙度愈低，能量損耗愈小。

2)當(dāng)表面粗糙度降低時(shí)，曲線中心區(qū)域會(huì)隨刀具圓弧半徑的增大而改變。

3)中心點(diǎn)附近的暈圈數(shù)目隨粗糙度的降低而降低。

4)隨著表面粗糙度的減小,點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖逐漸變清晰。

(a) r=0.30 mm

①隨著刀尖圓弧半徑的增加，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖的變化相比于進(jìn)給量的增加而引起的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖的變化有著相反的影響，即刀尖圓弧半徑的增加,將導(dǎo)致光學(xué)元件加工表面質(zhì)量變好，光散射掉的能量減小，對(duì)光學(xué)元件的光學(xué)性能產(chǎn)生好的影響。

②從圖6和圖7可以看出，在一定條件下，表面輪廓均方根偏差隨進(jìn)給量和刀尖圓弧半徑的變化而變化,變化速率是相似的，只是符號(hào)差別。從點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖的清晰度來看，對(duì)比進(jìn)給量對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖產(chǎn)生的影響可以發(fā)現(xiàn),刀尖圓弧半徑的增加引起的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖的變化速率是不明顯的。由此推斷，在一定條件下，刀尖圓弧半徑和進(jìn)給量的改變對(duì)加工表面質(zhì)量的影響程度是一致的，但是對(duì)于光學(xué)元件光學(xué)性能的影響程度是不同的，由于進(jìn)給量的改變而引起的光學(xué)元件光學(xué)性能的變化速率要小于進(jìn)給量引起的光學(xué)元件光學(xué)性能的變化速率(由于刀尖圓弧半徑的改變而對(duì)光學(xué)元件光學(xué)性能產(chǎn)生的影響程度要小于進(jìn)給量的變化產(chǎn)生的)。

3 結(jié) 語

以橢圓振動(dòng)車削加工復(fù)曲面為例，分析了加工參數(shù)對(duì)自由曲面光學(xué)元件表面質(zhì)量和光散射的影響規(guī)律。研究表明，隨著進(jìn)給量的增大和刀尖圓弧半徑的減小，復(fù)曲面的表面粗糙度值會(huì)增大，粗糙表面的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)會(huì)減小。但刀尖圓弧半徑的變化對(duì)光學(xué)元件光學(xué)性能的影響小于進(jìn)給量的改變。因此，在實(shí)際加工過程中，不僅從表面粗糙度的角度，還要從光學(xué)性能的角度為光學(xué)自由曲面的高效高精度加工尋找合理的加工參數(shù)。