王禮立，王 暉，丁圓圓，陳霞波，楊黎明，龔文波，浣 石，繆馥星

（1. 寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江寧波 315211；2. 寧波市中醫(yī)院王暉工作室，浙江寧波 315000；3. 季華實(shí)驗(yàn)室，廣東 佛山 528200）

由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)波動(dòng)理論[1]，按中醫(yī)整體觀思路，我們?yōu)槊}搏波系統(tǒng)建立了一個(gè)等價(jià)的一維波力學(xué)模型[2-3]。問題的控制方程組由如下3 個(gè)守恒方程（動(dòng)量守恒、質(zhì)量守恒和能量守恒）加上系統(tǒng)本構(gòu)方程（廣義的狀態(tài)方程）組成。

動(dòng)量守恒方程為：

式(1)～(4)中：X為物質(zhì)坐標(biāo)，t為時(shí)間；p為壓力，V為比容（與密度互為倒數(shù)），v為質(zhì)點(diǎn)速度，e為比內(nèi)能，均為(X，t)函數(shù)。本構(gòu)方程p=p(V) 一般為非線性函數(shù)。

對上述脈搏波系統(tǒng)的控制方程組（式(1)～(4)）進(jìn)行分析，并展開進(jìn)一步研究[2-6]后，可知：

(1)脈搏現(xiàn)象包含著血液的流動(dòng)和在血液中傳播的攜帶能量（內(nèi)能e+動(dòng)能）及整體信息的脈搏波。前者是人眼易見的實(shí)體血液本身的物質(zhì)流；后者是人眼不易見、以波形式傳播的能量信息流，可以分別理解為中醫(yī)的“血”和“氣”。中醫(yī)的“氣”是什么？目前并無共識。按上述分析并聯(lián)系中醫(yī)氣血觀可知：血是氣傳播的物質(zhì)載體（媒介），氣是以波形式傳播、攜帶能量和生命體整體信息、推動(dòng)血運(yùn)行的波；即脈搏波不只是反映心臟、血液和血管等循環(huán)系統(tǒng)本身局部實(shí)體器官的信息。血液物質(zhì)流與脈搏波能量信息流兩者既互有區(qū)別，又密切相關(guān)耦合。這與中醫(yī)“氣為血之帥，血為氣之母”的觀點(diǎn)一致。

(2)脈搏波所包含的壓力波p(X,t)、質(zhì)點(diǎn)速度波v(X,t)、比容波V(X,t)和內(nèi)能波e(X,t)等不同形式的擾動(dòng)，以波速C傳播：

式中：K(p)= - dp/(dV/V0) 為非線性體積壓縮模量。可見，波速C由非線性本構(gòu)方程p=p(V) 的局部斜率（dp/dV）決定（見圖1），隨p而變，不是恒值。要注意區(qū)分脈搏波傳播速度C和血液質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)速度v，前者（100～101m/s 量級）以比后者（10-1m/s 量級）快得多的速度，把心臟施加給循環(huán)血液的擾動(dòng)（脈動(dòng)載荷），攜帶著能量和信息，由近及遠(yuǎn)地傳遞到生命體的各部分，不到1 s 即已傳遍全身。因此，心臟實(shí)際上并非像目前教科書所述那樣，簡單地理解成把血液以流速v泵向全身的泵，而是脈搏波發(fā)生器[6]。

圖1 波速C 取決于本構(gòu)方程p-V 曲線的局部斜率（dp/dV）Fig. 1 The wave velocity C depends on the local slope(dp/dV) of the p-V curve

(3)式(1)～(4)共同組成脈搏波系統(tǒng)的控制方程組，其中的3 個(gè)守恒方程是普適的，反映了各種脈搏波的共性方面；而非普適的系統(tǒng)本構(gòu)方程則反映了不同脈搏波的不同特性?？梢姡煌}搏波系統(tǒng)的傳播特性主要由脈搏波系統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系決定，而各種病態(tài)可以看作偏離常態(tài)本構(gòu)關(guān)系的不同反映。聯(lián)想到近年來引人注目的中醫(yī)體質(zhì)學(xué)[7-8]，就體質(zhì)的重要性和地位而言，相當(dāng)于前述量化的脈搏波系統(tǒng)中的本構(gòu)關(guān)系。

需要強(qiáng)調(diào)，脈搏波本構(gòu)關(guān)系的研究涉及對脈搏波性質(zhì)的理解。目前很多研究者（例如費(fèi)兆馥[9]、Luo 等[10]）把脈搏波理解為脈搏壓力波（縱波），也有研究者（例如Xue 等[11]）把脈搏波理解為沿固體血管傳播的徑向位移波（橫波），而實(shí)際上脈搏波是流-固耦合和縱波-橫波耦合的復(fù)雜波[5]，其波速依賴于2 個(gè)無量綱參數(shù)：血液-血管模量比Kb(p)/Ev(p)和血管徑厚比D(p)/h0，前者是本構(gòu)關(guān)系的反映。對于這樣的脈搏波系統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系，迄今未見有關(guān)研究報(bào)導(dǎo)。

既然脈搏波的傳播特性取決于本構(gòu)關(guān)系，問題的研究核心之一就在于如何通過實(shí)驗(yàn)研究來確定脈搏波本構(gòu)關(guān)系，以及如何采用這些方法從現(xiàn)有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)來獲得脈搏波本構(gòu)關(guān)系，這正是本文中研究的目的。

怎么來確定脈搏波系統(tǒng)本構(gòu)方程呢？目前可從以下3 個(gè)途徑來進(jìn)行探索：(1)由實(shí)測脈搏波波速對壓力的關(guān)系C(p)進(jìn)行反分析；(2)對脈搏波p-V本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行實(shí)測；(3)由一系列實(shí)測脈搏波波形進(jìn)行Lagrange 反分析。下面分別加以探討。

1 由實(shí)測脈搏波波速與脈壓的關(guān)系 C (p) 進(jìn)行反分析

近年來，有關(guān)脈搏波傳播速度C與血壓p的關(guān)聯(lián)性C(p)之研究，在西醫(yī)界倍受重視。

西醫(yī)界把脈搏波波速PWV（pulse wave velocity，即本文式(5)所示的C）看作反映動(dòng)脈彈性和硬化程度的指標(biāo)。2007 年歐洲高血壓指南將主動(dòng)脈PWV 高于12 m/s 列為高血壓的危險(xiǎn)因素之一[12]?！吨袊哐獕悍乐沃改希?018 年修訂版）》也將PWV 列為評估高血壓患者心血管風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)[13]。進(jìn)一步，人們把實(shí)測的C(p)作為無創(chuàng)傷、無袖帶、連續(xù)監(jiān)測血壓的重要途徑之一，加以更廣泛研究。通常從Moens-Korteweg (MK)公式[14-15]和 Hughes 公式[16-17]出發(fā)，建立脈搏波波速C與血壓p的關(guān)系。

MK 公式[14-15]為：

式中：E、h0和D0(=2R0)分別為血管彈性模量、初始壁厚和直徑，ρb為血液密度，E0為血壓為零時(shí)的血管彈性模量，ζ 為血管的材料系數(shù)。

Ma 等[18]指出，MK 公式[14-15]包含2 個(gè)基本假設(shè)：(1)血管是彈性薄壁管（h0/D0＜10）；(2)隨血壓的變化，動(dòng)脈的厚度和半徑保持不變。然而，對于人類動(dòng)脈，這2 個(gè)假設(shè)并不成立；而Hughes 公式[16-17]則完全是經(jīng)驗(yàn)的，缺乏任何理論基礎(chǔ)。Ma 等[18]基于Fung 的超彈性模型[19]，建立了一個(gè)由以下無量綱公式表征的、無需上述假設(shè)和經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式的分析模型（以下簡稱RH 模型）：式中：α 和β 為依賴于材料和血管幾何參數(shù)的常數(shù)。

其實(shí)，按照我們的整體觀脈搏波模型給出的波速C表達(dá)式（式(5))，可以直接由C(p)反演系統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系。事實(shí)上，式(5)可改寫為：

可見，RH 簡化式實(shí)際上對應(yīng)于指數(shù)形式的p(V)關(guān)系或?qū)?shù)形式的V(p)關(guān)系。具體的p-V曲線特性取決于本構(gòu)參數(shù)α 和β。能不能利用文獻(xiàn)數(shù)據(jù)獲得具體的脈搏波本構(gòu)關(guān)系？下面討論2 個(gè)實(shí)例。

(1)實(shí)例1

Ma 等[18]指出，在人類血壓范圍（5～20 kPa）內(nèi)，若?。?/p>

RH 簡化式（式(7b)）能與RH 模型（式(7a)）高度一致，如圖2(a)所示。

圖2 RH 簡化式（式(7b)）與RH 模型（式(7a)）和文獻(xiàn)實(shí)測舒張壓數(shù)據(jù)的比較Fig. 2 Comparison of the RH simplified formula (Eq.(7b)) with the RH model (Eq. (7a))and the measured diastolic blood pressure (DBP) literature data

把式(10a)代入式(9a)，取p0=5 kPa，V0=0.995×10-3m3/kg，或即ρ0=1.005×103kg/m3，可以得出對應(yīng)的p-V關(guān)系式為：

式中：p的單位為kPa，V的單位為10-3m3/kg。相應(yīng)的曲線如圖3(a)所示。

(2)實(shí)例2

Ma 等[18]還指出，若?。?/p>

RH 簡化式(7b)能與文獻(xiàn)報(bào)道的人體舒張壓實(shí)測數(shù)據(jù)較好吻合，如圖2(b)所示。

把式(11a)代入式(9a)，取p0=6 kPa，V0=0.995×10-3m3/kg (ρ0=1.005×103kg/m3)，可以得出對應(yīng)的p-V關(guān)系式為：

式中：p的單位為kPa，V的單位為10-3m3/kg。相應(yīng)的曲線如圖3(b)所示。

圖3 不同情況下RH 簡化式（式(7b)對應(yīng)的p-V 曲線Fig. 3 p-V curves for the RH simplified formula (Eq. (7b)) under different conditions

對比圖3 中兩曲線后可見，圖3(b)曲線陡峭得多，意味著波速C隨脈壓p升高而迅速增大。由此可見，不同的本構(gòu)參數(shù)α 和β 對于本構(gòu)關(guān)系p-V曲線有明顯影響，必然會影響脈搏波波速C以及不同形式脈搏波的波形傳播特征，從而影響脈搏波能量和信息的傳遞。這為我們下一步定量化研究中醫(yī)脈診的脈象特征與系統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系p-V曲線特征之間的聯(lián)系，包括研究常態(tài)及病態(tài)脈象與系統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系p-V曲線之間的定量聯(lián)系等等，提供了一個(gè)良好開端和基礎(chǔ)。

2 對脈搏波 p-V 關(guān)系進(jìn)行實(shí)測

對脈搏波p-V本構(gòu)關(guān)系最直接的實(shí)驗(yàn)研究方法無疑是對其進(jìn)行實(shí)測。為說明這一點(diǎn)，先回顧一下式(6)所示的MK 公式和Hughes 公式。這一在西醫(yī)界獲得廣泛認(rèn)可和采用的公式，從我們的整體觀脈搏波模型的觀點(diǎn)來重新審視的話，MK 公式只是本模型的式(5)在“血管為彈性薄壁管”特定假設(shè)下的簡化特例，而Hughes 公式實(shí)質(zhì)是對狗進(jìn)行體內(nèi)（in vivo）+體外（in vitro）的脈搏p-V關(guān)系實(shí)測后所得出的。

事實(shí)上，由彈性力學(xué)[20]知內(nèi)壓p下薄壁圓管的環(huán)應(yīng)力σθ和環(huán)應(yīng)變εθ分別為：

至于Hughes 公式，回顧其原文[16-17]可知，Hughes 等在狗的活體體內(nèi)實(shí)驗(yàn)中，用三軸超聲導(dǎo)管測量了主動(dòng)脈內(nèi)外徑隨血壓的變化，如圖4(a)所示。由式(12)的分析可知，由此實(shí)際上已得出比容隨壓力的變化V(p)，即相應(yīng)的活體p-V本構(gòu)關(guān)系。而Hughes 等在死狗體外實(shí)驗(yàn)中，則直接對p-V本構(gòu)曲線進(jìn)行了測量，如圖4(b)所示。

圖4(b) Hughes 等[16-17]在死狗體外直接測得的p-V 曲線Fig. 4(b) The p-V curve directly measured in the in-vitro measurements for dogs by Hughes et al[16-17]

圖4(a) Hughes 等[16-17]在狗的活體體內(nèi)實(shí)驗(yàn)中，用三軸超聲導(dǎo)管測得的主動(dòng)脈內(nèi)外徑隨血壓的變化Fig. 4(a) Aortic inner and outer diameters along with aortic pressure recorded simultaneously and continuously with a triaxial ultrasonic catheter in the in-vivo measurements for dogs by Hughes et al[16-17]

Hughes 等[16-17]的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果當(dāng)時(shí)以E(p)的形式（式6(b)）表述，而沒有以更具實(shí)質(zhì)意義的p-V本構(gòu)關(guān)系的形式表述，顯然是受到當(dāng)時(shí)已被廣泛認(rèn)可的MK 公式的影響。其實(shí)，由Hughes公式（式(6b)）和式(12c)可導(dǎo)出：

由此可見，MK-Hughes 公式（式(6)）實(shí)際上對應(yīng)于式(14)所示的指數(shù)函數(shù)形式的V(p)，或?qū)?shù)函數(shù)形式的p(V)本構(gòu)關(guān)系，式中的η0和η1依賴于p0、V0、D0/h0、E0和本構(gòu)參數(shù)ζ。

Hughes 等的貢獻(xiàn)常常被歸結(jié)于提出了Hughes 公式（式(6b)）。其實(shí)，更有價(jià)值的貢獻(xiàn)在于對脈搏波p-V本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行體內(nèi)+體外的直接實(shí)測。Hughes 等是開創(chuàng)這方面研究的先驅(qū)，雖然尚限于狗的實(shí)驗(yàn)。

把上述脈搏波p-V關(guān)系實(shí)測法與C(p)關(guān)系反分析法兩者相比較，前者屬于直接實(shí)測法，其誤差一般可小于后者的間接反演法；但前者屬于有創(chuàng)法，而后者屬于無創(chuàng)法，因而更便于推廣應(yīng)用。不過，不論是基于RH 簡化式反演的p-V本構(gòu)關(guān)系（式(9)和圖3），還是基于Hughes 等實(shí)測結(jié)果建立的p-V本構(gòu)關(guān)系（式(14)），都只是提供了一個(gè)基于大量實(shí)測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。從中醫(yī)脈診學(xué)的觀點(diǎn)來看，脈象因人、因時(shí)、因地而異，換句話說，脈搏波的本構(gòu)關(guān)系必定因人、因時(shí)、因地而異；甚至于同一個(gè)人因測量部位、測量時(shí)辰、病況變化而異。原則上，如同中醫(yī)體質(zhì)分類那樣，本構(gòu)關(guān)系也有不同類型，需要因人而定。

如何能夠針對個(gè)人、無創(chuàng)地由實(shí)測數(shù)據(jù)來確定其脈搏波p-V關(guān)系？本文中建議采用脈搏波反分析法，即通過實(shí)測一系列波形進(jìn)行Lagrange 反分析[2-3,21]，下面作進(jìn)一步具體討論。

3 由系列實(shí)測波形進(jìn)行Lagrange 反分析

由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)波動(dòng)理論[1-3]，Lagrange 反分析基于動(dòng)量守恒方程（式(1)）和質(zhì)量守恒方程（式(2)）。前者建立了壓力p(X,t)的偏導(dǎo)數(shù)和質(zhì)點(diǎn)速度v(X,t)的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，而后者建立了比容V(X,t)的偏導(dǎo)數(shù)和質(zhì)點(diǎn)速度v(X,t)的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。通過求解v(X,t)作為過渡，可以求取脈搏波的p-V本構(gòu)方程（式(4)）。具體步驟如下：

(1)在設(shè)定的測點(diǎn)設(shè)置由n(n≥3)個(gè)相鄰的測壓元件組成的陣列式壓力傳感器。一旦實(shí)測得到p(Xi,t)，i=1, 2 , ··· ,n，就可由式(1)求得 ?v/?t；應(yīng)用初始條件v|t=0=v0，即可積分求得v(X,t)。

(2)求得v(X,t)后，就可由式(2)求得 ?V/?t；應(yīng)用初始條件V|t=0=V0，即可積分求得V(X,t) 。

(3)由p(X,t)和V(X,t)消去t，即得p-V本構(gòu)方程。

根據(jù)實(shí)測的一系列脈搏波信息去反求系統(tǒng)本構(gòu)方程，力學(xué)上稱為解“反問題”（反演）。其實(shí)，中醫(yī)的切脈相當(dāng)于根據(jù)脈診信息對病況做出診斷，以便對癥下藥，予以診治，以數(shù)理語言來表述，同樣是在解“反問題”。兩者在思維方式上是相通的。

為正確而成功地施行脈搏波的反分析，有必要強(qiáng)調(diào)以下2 點(diǎn)：(1)正確選取測點(diǎn)；(2)滿足必需的測量分辨率和精度。

首先，測點(diǎn)取何處？原則上凡能測量到脈搏波的地方都可以，當(dāng)然以脈搏波信號越強(qiáng)越好。聯(lián)系到至今仍指導(dǎo)著中醫(yī)臨床實(shí)踐的“寸口三部九候診法”， 研究者們顯然會更多關(guān)注橈動(dòng)脈切脈部位“寸、關(guān)、尺”3 處。初步容易設(shè)想，能不能直接對寸、關(guān)、尺3 部的脈搏波進(jìn)行Lagrange 反分析[2-3]。但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)并不可行，這一方面由于寸、關(guān)、尺3 部的間距約為10 mm，達(dá)不到反分析差分?jǐn)?shù)值分析的精度要求；另一方面，也是更重要的，由于按照中醫(yī)寸口脈分候臟腑學(xué)說，左手寸、關(guān)、尺分候心、肝、腎，右手寸、關(guān)、尺分候肺、脾、命門（右腎），則顯然在寸、關(guān)、尺3 處分別確定的本構(gòu)關(guān)系既有基本共性，又分別包含不同的分候特性，不能等同視之。事實(shí)上，脈診實(shí)踐中常常出現(xiàn)關(guān)部脈搏波最強(qiáng)，寸部次之，尺部最弱的情況。由于Lagrange 反分析適用于波強(qiáng)單調(diào)變化的簡單波，這樣的強(qiáng)弱起伏的脈搏波分布顯然不符合這一要求。所以就寸口脈而言，應(yīng)該對寸、關(guān)、尺分別測量，在每個(gè)測點(diǎn)采用陣列式傳感器測取系列波形后進(jìn)行反分析。這樣才能更好結(jié)合中醫(yī)脈診特點(diǎn)，以促進(jìn)傳統(tǒng)中醫(yī)脈診的定量化發(fā)展。

其次，在進(jìn)行Lagrange 反分析時(shí)都要經(jīng)歷數(shù)值微分和數(shù)值積分運(yùn)算，從而存在一個(gè)如何滿足對于測量分辨率和計(jì)算精度等要求的問題。下面通過一個(gè)實(shí)例來加以討論。

Hu 等[22]采用圖5(a) 所示的電容型陣列傳感器測量了脈搏壓力波的時(shí)空分布。陣列傳感器長10 mm，寬7.5 mm，含4 個(gè)長度方向和3 個(gè)寬度方向共12 個(gè)微傳感器。典型的“關(guān)”部的測量結(jié)果如圖5(b)所示，圖中縱坐標(biāo)是無量綱壓力波幅值，橫坐標(biāo)是采樣數(shù)。把圖5(b)的中間一列前3 行（即圖中Ch2、Ch5、Ch8）的實(shí)測無量綱壓力波形換算為p-t圖，則如圖5(c)所示。圖中波形沿脈搏波傳播方向依次遞減，可滿足Lagrange 反分析的要求。然而，實(shí)驗(yàn)中采用的掃描速率為100 Hz，相當(dāng)于采樣時(shí)間即時(shí)間分辨率為10 ms，其精度對于Lagrange 反分析是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。由于微傳感器中心間距為2.5 mm（參看圖5(a)），如果波速按照10 m/s 計(jì)，對應(yīng)的時(shí)間差為0.25 ms。因此，傳感器的時(shí)間測量精度至少應(yīng)該是25 μs，才能保證兩位有效數(shù)的測量精度。

圖5(a) Hu 等[22]的實(shí)驗(yàn)中采用的電容型陣列傳感器Fig. 5(a) The capacitor array sensor used in the experiment by Hu et al[22]

圖5(b) Hu 等[22]的實(shí)驗(yàn)中“關(guān)”部各通道的實(shí)測波形Fig. 5(b) The waveform of each channel at Guan pulse taking position in the experiment by Hu et al[22]

圖5(c) 對應(yīng)于Hu 等[22]的實(shí)驗(yàn)中電容型陣列傳感器通道2、5、8 的p-t 圖的電信號Fig. 5(c) Electrical signals corresponding to the p-t waveforms measured at Ch2, Ch5 and Ch8 of the capacitor array sensor in the experiment by Hu et al[22]

Hu 等[22]的實(shí)驗(yàn)雖然提供了有益的信息，但因其掃描速率不夠高，尚難以據(jù)此進(jìn)行Lagrange 反分析，由此足以說明測量精度的重要性。今后需要研制具有微秒級別時(shí)間分辨率的毫米級陣列傳感器，以推動(dòng)Lagrange 反分析法在脈搏波本構(gòu)關(guān)系研究中的應(yīng)用。

這是目前尚無由脈搏波Lagrange 反分析來確定本構(gòu)關(guān)系之實(shí)例的主要原因，也是我們正在進(jìn)行中的研究工作，將另文討論。

4 結(jié) 論

脈搏波控制方程組的本構(gòu)關(guān)系決定著脈搏波的傳播特征，但迄今缺乏這方面的有關(guān)研究報(bào)導(dǎo)。如何通過實(shí)驗(yàn)研究來確定脈搏波本構(gòu)關(guān)系，以及如何通過這些方法從現(xiàn)有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)來獲得脈搏波本構(gòu)關(guān)系，是當(dāng)前研究的核心之一。

本文中探索了3 個(gè)可行途徑：(1)由實(shí)測脈搏波波速C對壓力p的關(guān)系C(p)進(jìn)行反分析（無創(chuàng)法)；(2)直接對脈搏波p-V關(guān)系進(jìn)行實(shí)測（有創(chuàng)法）；(3)由一系列實(shí)測脈搏波波形進(jìn)行Lagrange 反分析（無創(chuàng)法）。

采用上述方法，根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，成功地獲得了不同類型的脈搏波本構(gòu)關(guān)系。由C(p) 關(guān)系的RH 簡化式實(shí)際上可推得指數(shù)型p(V)本構(gòu)關(guān)系。由MK-Hughes 式實(shí)際上可推得對數(shù)型p(V)本構(gòu)關(guān)系。脈搏波傳播特性隨非線性本構(gòu)參數(shù)發(fā)生顯著變化。這一研究還為今后從大量已有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)探索其背后更具實(shí)質(zhì)意義的本構(gòu)關(guān)系提供了一個(gè)新思路、新途徑。

按照中醫(yī)體質(zhì)分類觀點(diǎn)，脈搏波本構(gòu)關(guān)系必定也有不同類型，具體因人、因時(shí)、因地而異；并且對個(gè)人還因測量部位、測量時(shí)辰、病況變化而異，原則上不存在單一普適的關(guān)系。在這個(gè)意義上，脈搏波的Lagrange 反分析具有廣闊發(fā)展前景，但它對正確選擇測點(diǎn)和提高測量敏感度和精度等方面提出了更高要求。