孫云平，李金緒，鄭平安

(云南師范大學 信息學院，云南 昆明 650500)

延遲和擾動常存在于實際的控制系統(tǒng)中，導致系統(tǒng)性能的降低[1-10]，同時存在時變延遲和擾動的系統(tǒng)由于時變擾動的導數(shù)不等于零，對其進行理論研究相對困難，一般會利用自適應界化技術對時變擾動進行處理，但是得到的結果不太理想[11].本文研究了一種具有時不變擾動及不確定周期時變擾動和延遲的非線性系統(tǒng)的重復學習控制問題，利用文獻[12-13]提出的自適應周期控制方法，對時不變和時變擾動分別設計了參數(shù)學習律，并利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)消除時變延遲影響，提出基于李亞普諾夫理論的混合重復學習控制方案.

1 問題描述

考慮下列非線性系統(tǒng)

(1)

假設1 函數(shù)f(·,·)滿足李普希茨條件，即

|f(x,x(t-τ))-f(xd,xd(t-τ))|≤l(‖x-xd‖+‖x(t-τ)-xd(t-τ)‖),

(2)

其中l(wèi)是未知李普希茨常數(shù).

假設3g(x,θ(t),?)=θ(t)ξ(x,t)?,其中θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θn(t))∈R1×n是周期為T的未知連續(xù)時變參數(shù)向量，?=(?1,…,?n)T∈Rn×1是未知的時不變參數(shù)向量，?的每個分量?i的符號是已知的(i=1,2,…,n)，不妨設?i>0,ξ(x,t)=diag{ξ1(x,t),ξ2(x,t),…,ξn(x,t)}是已知矩陣函數(shù).

假設4θ(t+T)=θ(t)屬于某個緊集，且θi(t+T)=θi(t)，存在未知正數(shù)θM<∞，使得‖θ(t)‖≤θM.

以下推導過程中，除了特別說明，將省略t.

2 控制律與參數(shù)學習律的設計

系統(tǒng)(1)的跟蹤誤差的動態(tài)方程為

(3)

其中，

選取適當?shù)摩?使多項式sn+κ1sn-1+…+κn-1s+κn為Hurwitz多項式，從而可以找到給定常數(shù)ω>0,存在正定矩陣P>0,I為單位矩陣，滿足

(4)

為了消除延遲，設計Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

(5)

其中γ>0為設計增益，對(5)式求導，得

(6)

由(4)式，得到

(7)

由假設1知|Λ|≤|l(‖e‖+‖e(t-τ)‖)|,因此

|eTPCb-1Λ|≤|eTPCb-1|l(‖e‖+‖e(t-τ)‖)|.

(8)

利用Young′s不等式，得

eTPCb-1Λ≤γ-1(eTPCb-1l)2+0.5γeTe+0.5γeT(t-τ)e(t-τ).

(9)

將(9)式代入(7)式，得

(10)

由假設2，可以得到

(11)

由(11)式，設計控制律

(12)

設計時變參數(shù)周期學習律

(13)

(14)

時不變參數(shù)學習律

(15)

(16)

其中r1,i>0,r2,i>0,q1>0分別是設計的常增益;Γ是正定對稱矩陣.

設q0(t)=tT-1q1,r0,i(t)=tT-1r1,i,t∈[0,T)，那么r0,i(t),q0(t)在[0,T)上是嚴格單調增加的連續(xù)函數(shù)，從而有r0,i(0)=0,r0,i(T)=r1,i;q0(0)=0,q0(T)=q1.

將(12)式代入(11)式，得

(17)

(18)

3 收斂性分析

證明定義Lyapunov函數(shù)

(19)

對于 ?t≥T,E(t)在[t-T,t)的差分

(20)

分別計算(20)式等號右邊每一項.由(18)式，可知

(21)

由Θi(t)=Θi(t-T)和(13)式，得到

(22)

由?(t)=?(t-T)和(14)式，得

(23)

由(15)式，得

(24)

由(16)式，得

(25)

由(21)-(24)式，(20)式變?yōu)?/p>

(26)

因α>0，r1,i>0,q1>0，?i>0，從而

(27)

對t∈[jT,(j+1)T]，多次利用(27)式，記t0=t-jT，則

(28)

因為t0∈[0,T),對(28)式求極限，得

(29)

由(13)-(16)式，學習律在[0,T)上變?yōu)?/p>

下面，只需考慮t∈[T1,T)上，E(t)的有界性.

由r0,i(t),q0(t)的取值，有

r1,i≥r0,i(t)≥r0,i(T1)>0;q1≥q0(t)≥q0(T1)>0;2r1,i>r0,i(t)>0;2q1>q0(t)>0.

對(19)式求導，得

(30)

由(22)-(25)式，可得

結合(30)式，得

從而得到

(31)

將上式代(31)式，得

(32)

4 數(shù)值仿真

為了驗證算法的有效性，考慮二階非線性系統(tǒng)

(33)

其中,

選取κ=[1,2]T,q1=1,r1,j=1,r2,j=1,q0(t)=tT-1q1,r0,i(t)=tT-1r1,i(i=1,2),取ω=4,有P=[6,2;2,2].通過編程仿真，圖1說明控制u(t)一定有界，圖2和圖3分別表明跟蹤誤差最大絕對值漸近收斂于0，證明所提算法是可行有效的.

圖1 控制u(t) 圖2 跟蹤誤差e1 圖3 跟蹤誤差e2Fig.1 Controller u(t) Fig.2 Tracking error e1 Fig.3 Tracking error e2

5 結語

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，將學習控制和自適應控制相結合，設計自適應學習控制方案，處理了被控系統(tǒng)中的未知延遲和干擾等不確定性因素，從而達到控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的，提高了系統(tǒng)的性能和指標.數(shù)值仿真表明了所提算法是有效和可行的.