肖 峰，張 敏，廖畢文

（陸軍工程大學(xué) 軍械士官學(xué)校，湖北 武漢 430075）

0 引言

作為21世紀(jì)發(fā)展十分迅速的一門交叉學(xué)科，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)等許多領(lǐng)域當(dāng)中［1］，例如：生態(tài)系統(tǒng)、萬維網(wǎng)、基因網(wǎng)絡(luò)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和社交網(wǎng)絡(luò)等，吸引著越來越多的研究者去探究其中的秘密。同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)極其重要的研究方向之一，由于其廣泛存在于社會(huì)生活和自然界當(dāng)中，使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步已經(jīng)在諸多方向得到應(yīng)用［2］。同步現(xiàn)象首次引起人們關(guān)注是在1665年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)了同一橫梁上的兩個(gè)鐘擺，在一段時(shí)間后會(huì)出現(xiàn)同步擺動(dòng)的情況。接下來，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了許多同步現(xiàn)象：螢火蟲會(huì)有規(guī)律地同時(shí)發(fā)光或者不發(fā)光；夏天青蛙的叫聲能夠漸漸趨于同步；觀眾的鼓掌頻率也能夠逐漸同步等［3］。在這之后，國內(nèi)外關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究人數(shù)與日俱增，因此產(chǎn)生了大量突破性進(jìn)展，特別是在信息科學(xué)、電子學(xué)、醫(yī)學(xué)和保密通信等領(lǐng)域。隨著研究的不斷深入，越來越多的同步方式被提出，例如：完全同步、分群同步、映射同步、廣義同步、相位同步、延遲同步等。

在過去的幾十年里，為了實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，人們提出了許多高效、經(jīng)濟(jì)且實(shí)用的控制方法。這些控制方法大多只能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的漸近或者指數(shù)同步，即系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步不受時(shí)間的限制。然而，在實(shí)際情況中，一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)往往需要在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步。例如：在軍事防御當(dāng)中，當(dāng)敵方一枚導(dǎo)彈已經(jīng)發(fā)射，在空中飛行時(shí)，我方導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)需要通過精準(zhǔn)計(jì)算，使得發(fā)射的攔截導(dǎo)彈能夠在有限時(shí)間內(nèi)以及在風(fēng)力和信號(hào)干擾的情況下，準(zhǔn)確攔截目標(biāo)。也就是說，在現(xiàn)實(shí)世界中，人們?yōu)榱送瓿扇蝿?wù)、提高效率或者節(jié)省成本，常常需要網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)盡可能快地實(shí)現(xiàn)同步。因此，有限時(shí)間同步的控制方法便被提出，而后經(jīng)過越來越多學(xué)者的研究和推廣，獲得了豐碩的成果，有限時(shí)間同步控制方法也得到了不斷的發(fā)展和完善。

人們?cè)诓粩嗌钊胙芯亢蟀l(fā)現(xiàn)，所研究的有限時(shí)間同步依賴于人們所考慮的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的初始值。不同的初值，有不同的收斂時(shí)間。在實(shí)際的應(yīng)用中，并不是所有復(fù)雜系統(tǒng)的初始狀態(tài)都是已知的。因此，為解決這個(gè)問題，一種特殊的有限時(shí)間同步方法——固定時(shí)間同步被提出。固定時(shí)間同步優(yōu)越于傳統(tǒng)的有限時(shí)間同步，它能夠使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間實(shí)現(xiàn)同步而與系統(tǒng)的初值無關(guān)。近年來，有關(guān)固定時(shí)間的方法，已經(jīng)在多智能體系統(tǒng)的一致性和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步中展開研究。而對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步的研究仍然處于起步階段。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型及其同步控制策略

1.1 復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的初期，人們所研究的網(wǎng)絡(luò)模型較為簡單，例如：2002年，Wang等［4］給出了一個(gè)最為原始的一般連續(xù)時(shí)間復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型：

其中，xi(t）＝(xi1(t），xi2(t），...，xin(t））T∈Rn為節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)變量，f：Rn→Rn表示連續(xù)函數(shù)，c＞0為網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度。A＝(aij）∈Rn為外部耦合矩陣，如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j(j≠i）之間存在連接，則aij＞0；否則aij＝0(j≠i），且矩陣A中的對(duì)角元素aii的定義為：aii＝－，稱之為耗散耦合條件。?！蔙n×n為正定對(duì)角矩陣，表示內(nèi)部耦合矩陣。此后，許多學(xué)者研究的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型均是在模型(1）的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改和完善的。

隨著研究的不斷深入，人們?yōu)榱烁淤N近實(shí)際，開始將自適應(yīng)耦合強(qiáng)度或者時(shí)滯添加到動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型當(dāng)中，如：Jin等［5］研究了具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型：

其中，ci(t）便是自適應(yīng)耦合強(qiáng)度，ui(t）為作者設(shè)計(jì)的牽制控制器，并選擇控制前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)。同樣，Wu等［6］在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中為了能夠提高模型的同步效率，在2011年研究了具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的分群同步問題。

耦合強(qiáng)度表示的就是網(wǎng)絡(luò)模型中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間耦合關(guān)系的強(qiáng)弱，節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度越大，與此對(duì)應(yīng)，網(wǎng)絡(luò)的同步能力也就越強(qiáng)，反之也就越弱。在實(shí)際情況中，動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的耦合關(guān)系不是固定不變的，它的強(qiáng)度會(huì)隨著周圍的環(huán)境和時(shí)間的變化而增強(qiáng)或者減弱。因此，具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的網(wǎng)絡(luò)模型相比于耦合強(qiáng)度為常數(shù)的模型要更加貼近實(shí)際生活，更加具有現(xiàn)實(shí)意義。

在復(fù)雜系統(tǒng)中，想要更進(jìn)一步貼近實(shí)際情況，只加入自適應(yīng)耦合強(qiáng)度模型是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為此，人們又將時(shí)滯引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。時(shí)滯是時(shí)間滯后，它切實(shí)大量地出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜系統(tǒng)之中，例如：在全民上網(wǎng)的時(shí)代，人們可以通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行視頻聊天、開會(huì)、授課。由于網(wǎng)絡(luò)的問題，用戶有時(shí)會(huì)感受到視頻圖像的延遲與卡頓，也就是視頻圖像產(chǎn)生了時(shí)間滯后。這是因?yàn)樵谕ㄐ啪W(wǎng)絡(luò)中，由于信號(hào)傳輸速度的快慢變化或者信道發(fā)生了擁擠等原因，導(dǎo)致一個(gè)信號(hào)通過通信網(wǎng)絡(luò)時(shí)通常會(huì)伴隨著時(shí)間滯后。即在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的同步控制當(dāng)中，一個(gè)信息的傳遞和此時(shí)此刻的時(shí)間t有關(guān)，還與以前的時(shí)間t－τ存在著聯(lián)系，其中的τ表示一個(gè)常數(shù)，也就是人們所說的時(shí)滯。如：Huang等［7］研究了具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度和常數(shù)時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步：

其中，τ≥0為常數(shù)時(shí)滯，c1(t）和c2(t）為自適應(yīng)耦合強(qiáng)度，G1＝(G1ij）n×n和G2＝(G2ij）n×n為節(jié)點(diǎn)間的外部耦合矩陣，A和B表示內(nèi)部耦合矩陣。

現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在著許多復(fù)雜而又不確定的干擾因素。在常數(shù)時(shí)滯研究的基礎(chǔ)上，人們提出時(shí)變時(shí)滯的概念，即時(shí)滯不是一直不變的，而是隨著時(shí)間在不斷變化的。例如：當(dāng)運(yùn)動(dòng)員參加百米比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從聽到發(fā)令槍響到開始起跑，中間有一個(gè)短暫的滯后，即運(yùn)動(dòng)員的反應(yīng)時(shí)間，不同的運(yùn)動(dòng)員的反應(yīng)時(shí)間會(huì)有所區(qū)別，同一個(gè)運(yùn)動(dòng)員的反應(yīng)時(shí)間也不是一直不變的，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員每天需要通過不斷訓(xùn)練來提高他們自身的反應(yīng)速度，從而縮短了反應(yīng)時(shí)間。隨著人們年齡的增大，身體的各項(xiàng)機(jī)能都會(huì)逐漸下降。因此，人們的反應(yīng)時(shí)間又會(huì)延長。

在人們逐漸意識(shí)到常數(shù)時(shí)滯所具有的局限性后，越來越多的學(xué)者開始研究具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題。例如：作者Liu等［8］研究了具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步問題：

其中，0≤τ(t）≤τ表示發(fā)生在節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的時(shí)變時(shí)滯。

人們對(duì)具有時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)展開研究，將不同類型的時(shí)滯加入同一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型當(dāng)中，例如：Cai和Liu等［9－10］研究了具有混合時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題：

其中，混合時(shí)滯：τ1(t），τ2(t）和τ3(t）分別表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的內(nèi)部時(shí)滯、傳輸時(shí)滯以及自反饋時(shí)滯，且每一個(gè)時(shí)滯都是時(shí)變時(shí)滯?；旌蠒r(shí)滯的引入，能夠更加真實(shí)地反映出現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，具有十分重要的研究意義。

上述所提到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型都是針對(duì)無權(quán)網(wǎng)絡(luò)或者單個(gè)權(quán)值網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究的，隨著研究范圍的逐步擴(kuò)大，人們開始發(fā)現(xiàn)，在真實(shí)的世界中，存在很多具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系不再局限于一種形式，而是多樣的，而且權(quán)重是有區(qū)別的，從而也就產(chǎn)生多種的可能性和選擇性。比如：以交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例，若以中國每個(gè)省份的首府城市作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，城市與城市之間的交通方式的種類有很多，私家車、大巴、高鐵、飛機(jī)、輪船等。如果把每一種交通方式所消耗時(shí)間或者花費(fèi)的成本作為權(quán)重，則在這個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，會(huì)產(chǎn)生多種不同的權(quán)值，形成了具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。此外，還有像通信網(wǎng)絡(luò)、病毒傳播網(wǎng)絡(luò)、人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等都可以看成是具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。因此，人們開始逐漸研究這種具有多重權(quán)值的復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，作者張莉等［11］建立了一種新的具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并研究了該多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的完全同步問題，模型如下：

其中，εl為第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度；H1，H2，…，Hl∈Rn×n為各個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量之間的內(nèi)部耦合函數(shù)，耦合矩陣Al＝(alij）N×N∈Rn×n，(l＝0，1，2）表示第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，vi為控制輸入項(xiàng)。具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步相比于單個(gè)權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型同步，不但提高了同步的能力和效率，同時(shí)也大大節(jié)省了同步所需要的時(shí)間和實(shí)際應(yīng)用中的成本。

作者Qiu等［12］進(jìn)一步研究了在無時(shí)滯和有時(shí)滯兩種情況下的多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步，模型分別為：

該模型是具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)l重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，bl表示第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度，Gl＝為第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣，Γ1，Γ2，...，Γl表示各個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量之間的內(nèi)部耦合矩陣，的定義與bl，Gl ir，Γl類似。多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)，進(jìn)一步拓寬了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究領(lǐng)域，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜系統(tǒng)有了更為深入的了解。

1.2 復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步控制策略

在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究過程中，控制網(wǎng)絡(luò)模型實(shí)現(xiàn)同步的方法有很多種，像主穩(wěn)定函數(shù)方法、連接圖穩(wěn)定性方法以及Lyapunov方法等。其中，人們最常用的方法是Lyapunov方法。隨著Lyapunov方法研究的不斷深入和優(yōu)化，研究者提出了許多針對(duì)不同類型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型完成同步的控制策略。實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的控制策略大體上分為兩類：非連續(xù)性控制和連續(xù)性控制。其中，非連續(xù)性控制策略細(xì)分為：周期間歇性控制、非周期間歇性控制、脈沖控制和樣本點(diǎn)控制等；連續(xù)性控制策略又分為牽制控制、自適應(yīng)控制和混合控制等。

連續(xù)性控制策略就是持續(xù)性、不間斷地控制網(wǎng)絡(luò)模型當(dāng)中的節(jié)點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)同步，例如：作者Lu和Wang等［13－14］在2008年研究網(wǎng)絡(luò)模型同步時(shí)采用了自適應(yīng)控制策略來實(shí)現(xiàn)同步，控制器如下：

其中，ei(t）(i＝1，2，...，N）為同步狀態(tài)誤差，ηi＞0(i＝1，2，...，N）為任意正常數(shù)。從上述控制器便可以看出，該模型想要完成網(wǎng)絡(luò)同步，需要通過控制器控制全部的節(jié)點(diǎn)才能實(shí)現(xiàn)。這樣一來，若在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)當(dāng)中，節(jié)點(diǎn)繁雜龐大，控制起來就會(huì)產(chǎn)生高額的成本，且耗時(shí)也會(huì)變長。因此，這樣的控制器雖然可以實(shí)現(xiàn)同步的功能，但卻很難在實(shí)際運(yùn)行中產(chǎn)生盈利。

為了解決控制節(jié)點(diǎn)多的問題，研究者開始研究一類新的控制策略——牽制控制，即通過控制網(wǎng)絡(luò)模型中的部分節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)同步，如：Yu等［15］利用牽制控制器實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，控制器如下：

該控制器是一個(gè)分段函數(shù)控制器，其中，c為耦合強(qiáng)度，di為控制增益，Γ為內(nèi)部耦合矩陣?？刂破?10）選擇只需要控制前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)，就能使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)完成同步，相較于控制器(9），(10）在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)很大程度地減少控制成本，縮短同步時(shí)間。

從上述兩個(gè)控制器能夠看出，其均為連續(xù)性控制器。所控制的節(jié)點(diǎn)在實(shí)現(xiàn)同步之前都在工作，沒有休息時(shí)間。如果在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，高負(fù)荷的運(yùn)轉(zhuǎn)必然會(huì)導(dǎo)致設(shè)備的使用壽命縮短，安全性也會(huì)大大降低，從而導(dǎo)致成本增加。

為了解決這一類問題，人們?cè)O(shè)計(jì)出利用間歇性控制策略來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步，間歇性控制通常分為周期間歇性控制和非周期間歇性控制兩種。

Yu等［16］利用了周期間歇性控制策略來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)模型的同步，從而有效地解決了連續(xù)性控制器中所存在的連續(xù)工作的問題。其周期間歇性控制器如下：

其中，函數(shù)K(·）為控制增益且滿足K(0）＝0，T為控制周期，δ為控制寬度。

隨著人們研究的逐步加深，間歇性控制策略也日漸成熟，并廣泛地出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)、生物、醫(yī)療、機(jī)械等各個(gè)領(lǐng)域，而且在實(shí)際生活中有著許多與間歇性控制相關(guān)的具體案例，像LED屏幕上文字的滾動(dòng)、汽車擋風(fēng)玻璃上的雨刮器的控制、人們基金購買當(dāng)中的定投、飛機(jī)起飛時(shí)間間隔、火車發(fā)車以及地鐵到站的時(shí)間間隔等都是運(yùn)用了間歇性控制。上述的這些案例大多采用的是周期性間歇性控制策略，即工作的運(yùn)行時(shí)間和休息的間歇時(shí)間是固定的，與之相對(duì)應(yīng)的就是非周期間歇性控制策略，Liu等［17］利用非周期間歇性控制策略完成了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制，控制器如下：

其中，i＝1，2，...，N，k＝0，1，2，...，di為正常數(shù)，稱為控制增益。［tm，sm］為工作時(shí)間，(sm，tm＋1）為休息時(shí)間。此外，sm－tm稱為第m次控制寬度，tm＋1－sm稱為第m次休息寬度。從控制器中可以看出，工作時(shí)間和休息時(shí)間都是可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整和變化的。當(dāng)tm＋1－tm≡T，sm－tm≡δ時(shí)，非周期間歇性控制就變?yōu)榱酥芷陂g歇性控制。因此，周期間歇性控制可以看作一種特殊的非周期間歇性控制。非周期間歇性控制策略所涉及的應(yīng)用范圍更廣，使用更加靈活、高效。比如：位于城市中心十字路口中的紅綠燈，當(dāng)非上下班時(shí)間，機(jī)動(dòng)車流量較小時(shí)，紅綠燈會(huì)按照固定的時(shí)間周期進(jìn)行變換，這是一種周期間歇性控制。當(dāng)在上下班高峰期時(shí)，機(jī)動(dòng)車流量突然猛增，會(huì)造成交通擁堵，這時(shí)交警可以介入來控制紅綠燈的時(shí)間，以便更好地解決道路擁堵問題，此時(shí)的紅綠燈變換就變成了非周期間歇性控制。此外，在自然界中，像風(fēng)、海嘯、地震等都是十分明顯的非周期間歇性現(xiàn)象。

從上述的間歇性控制器當(dāng)中可以看到，連續(xù)性控制策略具有休息時(shí)間，即減少了工作時(shí)間，也增加了設(shè)備使用壽命。但是在工作時(shí)間內(nèi)，它無法像牽制控制策略一樣只通過控制部分節(jié)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，它仍然需要在工作的時(shí)間內(nèi)控制全部節(jié)點(diǎn)才能完成同步，這樣對(duì)于一些節(jié)點(diǎn)十分巨大的復(fù)雜系統(tǒng)來說，成本依然很高。

人們?yōu)榱税l(fā)揮連續(xù)性和非連續(xù)性控制策略的優(yōu)勢進(jìn)行了多項(xiàng)研究，Liu和Cai等［8－9］在論文中分別結(jié)合連續(xù)性和非連續(xù)性控制的優(yōu)勢，研究出利用非周期間歇性牽制控制和周期間歇性牽制控制來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步，控制器如下：

從間歇性牽制控制器(13）和(14）可以明顯看出，控制器不但具有休息時(shí)間，而且在工作時(shí)間內(nèi)僅需牽制前l(fā)(1≤l＜N）個(gè)節(jié)點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步。因此，相較其他控制策略，牽制控制與間歇性控制的結(jié)合，可使間歇性牽制控制策略在工程應(yīng)用中具有高效率、低成本和易實(shí)施的優(yōu)點(diǎn)。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制

上述文獻(xiàn)中所采用的連續(xù)性或者非連續(xù)性控制策略，雖然具有許多優(yōu)點(diǎn)，但只能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的漸近同步或者指數(shù)同步?，F(xiàn)如今，由于有限時(shí)間同步更強(qiáng)的實(shí)用性和高效性，有限時(shí)間控制策略逐漸被提出。Yang等［18］提出設(shè)計(jì)了有限時(shí)間連續(xù)性控制器來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步。控制器如下：

其中，ηi＞0為常數(shù)，k＞0為可變常數(shù)，實(shí)數(shù)β滿足0＜β＜1，sign(·）為符號(hào)函數(shù)。有限時(shí)間同步與漸近同步和指數(shù)同步比較，最大的優(yōu)勢為在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步，且這個(gè)有限時(shí)間可以被估算出。例如：Yang等［18］提出的有限時(shí)間經(jīng)過計(jì)算，表示為：t1＝V(0）1－0.5(1＋β）／［2k(1－0.5(1＋β））］，V(0）表示作者所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)的初值。然而，有限時(shí)間連續(xù)性控制策略同樣具有和連續(xù)性控制策略相同的不足之處，且該網(wǎng)絡(luò)模型并沒有將時(shí)滯加入其中，使得其在實(shí)用性方面還有很大差距。

在有限時(shí)間控制策略中，人們更多的是采用非連續(xù)性控制來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步。Mei等［19］設(shè)計(jì)了有限時(shí)間周期間歇性控制器并完成了網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步，控制器如下所示：

其中，i＝1，2，...，N，ηi＞0為控制增益，0為可變常數(shù)，P為正定矩陣。Mei等［19］在網(wǎng)絡(luò)模型中引入了常數(shù)時(shí)滯，并且估算出了有限時(shí)間：T3＝2V1/2(0）/(θ），θ為控制速率。當(dāng)在實(shí)際工程應(yīng)用中，沒有固定的時(shí)間周期時(shí)，用戶需要選擇非周期間歇性控制策略來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步，Liu等［8］設(shè)計(jì)了有限時(shí)間非周期間歇性控制器實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，控制器表示如下：

其中，η1和η3為正常數(shù)控制強(qiáng)度，η2是可變正常數(shù)，實(shí)數(shù)μ滿足0≤μ＜1。該網(wǎng)絡(luò)模型中引入了時(shí)變時(shí)滯，但時(shí)滯僅位于節(jié)點(diǎn)內(nèi)部。因此，具有混合時(shí)滯(內(nèi)部時(shí)滯、傳輸時(shí)滯和自反饋時(shí)滯等）的有限時(shí)間同步控制有待繼續(xù)研究。

從上述有限時(shí)間控制策略中可以看出，為了得到在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步的估計(jì)值，人們需要預(yù)知網(wǎng)絡(luò)模型的初值，以便計(jì)算V(0）。但在實(shí)際應(yīng)用中，并不是所有系統(tǒng)的初值都是已知的。因此，有學(xué)者利用固定時(shí)間連續(xù)性控制策略來解決此類問題，作為一種特殊的有限時(shí)間控制策略，固定時(shí)間控制的優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，所需的穩(wěn)定時(shí)間不受網(wǎng)絡(luò)模型初值的限制，即估算的穩(wěn)定時(shí)間與系統(tǒng)的初值無關(guān)。Ji等［20］研究的固定時(shí)間控制器如下所示：

其中，di＞0，μ＞0，r＞0，0＜θ＜1和δ＞1。通過計(jì)算，得出了實(shí)現(xiàn)同步的穩(wěn)定時(shí)間的估計(jì)值：

從(19）明顯可以看出，穩(wěn)定時(shí)間的估計(jì)值與系統(tǒng)初值無關(guān)，而是由系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量N所決定。此外，穩(wěn)定時(shí)間的估計(jì)值，可以通過選擇適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)θ和δ來改變。對(duì)比有限時(shí)間和固定時(shí)間控制策略可以看出，利用固定時(shí)間控制器來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，在實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中具有更為廣泛和有效的利用價(jià)值。

3 結(jié)語

目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題，已經(jīng)逐步滲透到了自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程技術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域。與此同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)多種同步，不同類型的控制器也逐漸被設(shè)計(jì)出來。為了盡可能快速高效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，有限時(shí)間和固定時(shí)間同步控制策略也被研究出來。此外，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的方法除了構(gòu)造Lyapunov的方法之外，還有主穩(wěn)定函數(shù)方法和連接圖方法等。在實(shí)際工程技術(shù)當(dāng)中，并非所有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都能夠用整數(shù)階或者實(shí)值來描述。因此，基于分?jǐn)?shù)階或復(fù)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型在某些方面能夠更加貼近真實(shí)的工程應(yīng)用。雖然目前已經(jīng)有學(xué)者在研究分?jǐn)?shù)階和復(fù)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題，但這類研究還處在初步研究階段，后續(xù)還有廣闊的研究空間和價(jià)值。